一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 一、拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数3
2
1y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()2
2
2111111y x
x x x x x x =-+++=+-=+-
()()3
11111322241422327x x x x x x ++⎛⎫
++- ⎪++=•••-≤=
⎪ ⎪
⎝⎭
。 当且仅当
112x x +=-，即13x =时，上式取“=”
。故max 32
27
y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。 例2
求函数)01y x
x =<<的最大值。
解：
y ==。
因()()3
2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
， 当且仅当()2212
x x =-
，即x =时，上式取“=”
。故max y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()2
2
2
222236418244y x
x x x x =-=⨯--
()()3
2223
24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦
。
当且仅当()
2224x x =-
，即x =
=”。 故max
3
2
18827
y ⨯=
，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
例4 (1)已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()
521
x x y x ++=
+的最小值。
解：()()
14114155911
x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=
=+++≥=++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()
()
2
2413x y x +=
+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>Q ，()
()
()()2
24124
24
34
224
1414
141
x y x x x x +∴=
=
≤
=⨯+++++++
++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x
y x -=
的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2
x
t =，则0t >。
所以211cos 113sin sin 222x t t y t x x t t -+=
+=+=+≥= 当且仅当
1322
t
t =
，即3t x π==时，上式取“=”
。故min y =。 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 四、拼凑常数降幂
例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：333333113,113a a b b ++≥=++≥=Q 。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：3
3
3
3
3
3
311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++Q
