121几个常用函数的导数

大一导数知识点总结一、导数的概念和意义导数是微积分学中的一个重要概念，它是描述函数在某一点附近的变化率的量，可以用来分析函数的变化趋势、求解极值、描绘函数的图像等。

导数的概念最早由法国数学家费尔马引入，后来由莱布尼兹和牛顿等人进一步发展和完善。

导数的意义主要包括以下几个方面：1. 变化率：导数可以表示函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢程度。

例如，对于位置函数，其导数可以表示物体的速度；对于速度函数，其导数可以表示物体的加速度。

2. 切线斜率：导数还可以表示函数曲线在某一点处的切线的斜率，即函数曲线在该点附近的整体趋势。

通过导数，可以求出曲线在某一点的切线方程，从而描绘出曲线的局部特征。

3. 极值点：导数还可以用来分析函数的最大值、最小值和拐点等重要特征。

通过导数的零点和变号，可以求解函数的极值点和拐点，并进一步推断函数的增减性和凹凸性。

二、导数的定义和求解1. 导数的定义：对于函数y=f(x)，在自变量x处的导数定义为：\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]其中，$\Delta x$为自变量的增量，表示自变量的变化量，$\Delta x \to 0$表示$\Deltax$趋近于0。

导数也可以理解为函数在某一点处的增量比率，即函数值的改变量与自变量的改变量之比。

2. 导数的求解：根据导数的定义，可以通过极限计算的方法求解函数的导数。

对于一般函数，可以直接利用导数的定义进行计算；对于复杂函数，可以利用导数的性质和求导法则进行简化计算。

求解导数的方法主要包括以下几种：（1）基本导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。

常用的导数公式如下：\[f'(x) = k, \quad (k为常数)f'(x) = nx^{n-1}, \quad (n为正整数)f'(x) = e^x, \quad f'(x) = \ln xf'(x) = \sin x, \quad f'(x) = \cos x\]根据这些基本导数公式，可以求解各种函数的导数。

第121课导数中不等式放缩基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.（2）与隐零点相关的放缩问题常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.一、典型例题1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()()f xg x >解析：设()()()h x f x g x =-23e 91x x x =+-+，∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数，∴可设()00h x ¢=，∵()060h ¢=-<，()13e 70h ¢=->，∴()00,1x Î.当0x x >时，()0h x ¢>；当0x x <时，()0h x ¢<.∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+，又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.∵()00,1x Î，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.2.已知函数()2e x f x x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()e 2e 1ln 1x x x x +--³+.答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析解析：（1）()e 2x f x x ¢=-，由题设得()1e 2f ¢=-，()1e 1f =-，()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.y x =-+（2）()e 2x f x x ¢=-，()e 2x f x =-，∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，所以()()ln222ln20f x f ³=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+，故可猜测：当0,1x x >¹时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.下证：当0x >时，()()e 21f x x ³-+，设()()()e 21,0g x f x x x =--->，则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-，()g x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<，∴()ln20g ¢<，所以，存在()00,ln 2x Î，使得()00g x ¢=，所以，当()()00,1,x x Î+¥时，()0g x ¢>；当()0,1x x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2e e 210x g x x x =----³，当且仅当1x =时取等号，故()e 2e 1,0x x x x x +--³>.又ln 1x x ³+，即()e 2e 1ln 1x x x x +--³+，当1x =时，等号成立.二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.（1）求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数；（2）求证：()2f x >.答案：（1）1个；（2）见解析解析：（1）()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-，设()1e x g x x=-，则()21e 0x g x x ¢=+>，()()1e x g x f x x¢==-在()0,+¥上递增，()11e 10,202f f=->=-<，存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=，所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.（2）由（1）可知，()y f x =在()00,x 上递减，在()0,x +¥上递增，()()00000min 011e ln 2(1)2x f x f x x x x x ==-=+><<，所以()2f x >.2.已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.（1）当1m ³时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ³-，证明：当()0,1x Î时，()1f x x >+.答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）()e x g x m ¢=-，由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>，ln x m <得()0g x ¢<，所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1e xx x ax x x ++++>，由（1）得：e 1x x ³+，所以()22e 1x x ³+，所以211e 1x x x +<+，()0,1x Î，()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+，令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-，当()0,1x Î时，π1cos cos1cos 32x >>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x ¢<，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()0h x ¢<，所以()h x 在()0,1上为减函数，因此，()()314cos12h x h a >=++，因为π4cos14cos 23>=，而72a ³-，所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而()0,1x Î，所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x <£时，()12f x x >.答案：见解析解析：只需证：ln 1ln 2x x x x -->，令()ln g x x x =-，()ln 12x h x x =+，由()110g x x =-=¢解得：()1,x g x =在(0,1)递减，在(1,2]上递增，故()()min 11g x g ==，由()21ln x h x x -¢=可知：()h x 在(0,2]上递增，故()()()max min 1ln2212h x h g x +==<=，故()()h x g x <，即()12f x x >.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时，()ln f x x >.答案：见解析解析：由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+，且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上，所以0110b ---=，所以2b =-.所以()e 2x f x =-.先证e 21x x ->-，即e 10(0)x x x -->>，令()e 1(0)x g x x x =-->，则()e 10x g x ¢=->，所以()g x 在(0,)+¥是增函数.所以()(0)0g x g >=，即e 21x x ->-.①再证1ln x x -³，即1ln 0(0)x x x --³>，令()1ln x x x j =--，则11()1x x x x j -=-=¢，()0x j ¢=时，1x =，()0x j ¢>时，1x >，()0x j ¢<时，01x <<.所以()x j 在(0,1)上是减函数，在(1,)+¥上是增函数，所以min ()(1)0x j j ==.即1ln 0x x --³，所以1ln x x -³.②由①②得e 2ln x x ->，即()ln f x x >在(0,)+¥上成立.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R Î．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．（1）求a 最大整数值；（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n +++++<-．答案：（1）2；（2）见解析解析：由题意知，()()e ln x f x x a ¢=-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()0f x ¢³恒成立．（1）先证明e 1x x ³+．设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x ¢=-，则函数()g x 在(),0-¥上单调递减，在()0,+¥上单调递增，∴()()00g x g ³=，即e 1x x ³+．同理可证ln 1x x £-∴()ln 21x x +£+，∴()e 1ln 2x x x ³+³+．当2a £时，()0f x ¢>恒成立．当3a ³时，()01ln 0f a ¢=-<，即()()e ln 0x f x x a ¢=-+³不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．（2）（1）知，()e ln 2x x ³+，令1t x t -+=，∴111e ln 2ln t t t t t t-+-++³+=∴11e ln tt t t-++³．由此可知，当1t =时，0e ln2>．当2t =时，213e ln 2->，当3t =时，324e ln 3->， ，当t n =时，11e ln n n n n -++³．累加得0121e e e e n ---+++++>23341ln2ln ln ln 23nn n +++++ ．又0121e e e e n ---+++++=111e e 11e 111e e n -<=---，∴2334ln2ln ln 23++1e ln e 1n n n +++<-．。

基本导函数的导数公式导数公式是微积分中的基础知识之一，也是我们在求导过程中常用的工具。

导数是用来描述函数变化率的概念，是微积分中一个非常重要的概念。

什么是导数？导数是描述一个函数变化率的概念，也可以理解为函数在某一个点的斜率。

它可以看作是函数在该点的瞬时变化率，能够告诉我们函数在该点的变化速率。

导函数的定义针对一个函数f(x)，它在x点处的导数可以通过极限的方法求得：f’(x) = limΔx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx此时，f’(x)即表示函数f(x)在x点处的导数。

基本导函数的导数公式下面是常见的导数公式：1. 常数函数 f(x) = c，则f’(x) = 02. 幂函数 f(x) = xn，则f’(x) = n*x^(n-1)3. 指数函数 f(x) = e^x，则f’(x) = e^x4. 对数函数 f(x) = loga(x)，则f’(x) = 1/xln(a)5. 三角函数–正弦函数 f(x) = sin(x)，则f’(x) = cos(x)6. 余弦函数 f(x) = cos(x)，则f’(x) = -sin(x)7. 正切函数 f(x) = tan(x)，则f’(x) = sec^2(x)8. 余切函数 f(x) = cot(x)，则f’(x) = -csc^2(x)上述公式是我们求导时需要掌握的基本公式，大家可以通过不断地练习和记忆，熟悉这些公式并灵活运用。

利用导数解题的步骤利用导数来求解问题的步骤如下：1. 求出函数的导数2. 找出极值和拐点，计算函数在这些点处的值3. 根据实际问题的条件来确定函数的取值范围4. 计算函数在给定区间内的最大值和最小值5. 确定最终答案以上就是用导数来解题的基本步骤，可以帮助我们更好地理解和应用导数。

结语导数是微积分中最基本的概念之一，也是我们在求解问题时的重要工具。

我们需要掌握常见的基本导数公式，灵活运用导数来解决问题，同时也要不断地学习和实践，提高自己的数学素养。

08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式导数公式:,,,1,(C),0,(x),,x (1) (2),,(sinx),cosx(cosx),,sinx (3) (4)22,,(tanx),secx(cotx),,cscx (5) (6),,(secx),secxtanx(cscx),,cscxcotx (7) (8) xxxx,,(a),alna(e)e, (9) (10)11,,(logx),(lnx),axlnax (11) (12) ，11,,(arcsinx),(arccosx),,221,x1,x (13) (14)11,,(arctan)x,(arccot)x,,221，x1，x (15) (16)08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式基本积分表dxtgxdx,,lncosx，C2,,secxdx,tgx，C,,2cosxctgxdx,lnsinx，C,dx2,cscxdx,,ctgx，C,,2sinxsecxdx,lnsecx，tgx，C,secx,tgxdx,secx，C,cscxdx,lncscx,ctgx，C,cscx,ctgxdx,,cscx，C,dx1x,arctg，C,22xa，xaaaxadx,，C,dx1x,alna,ln，C,22x,a2ax，ashxdx,chx，C,dx1a，x,ln，Cchxdx,shx，C22,,a,x2aa,xdx22dxx,ln(x，x,a)，C,arcsin，C,22,22ax,aa,x,,22n,1nnI,sinxdx,cosxdx,I2nn,,,n002xa222222x，adx,x，a，ln(x，x，a)，C,222xa222222x,adx,x,a,lnx，x,a，C,222xax2222a,xdx,a,x，arcsin，C,22a三角函数的有理式积分:22u1,ux2dusinx,，cosx,，u,tg，dx, 2221，u1，u21，uaxb，a,0(一)含有的积分()dx11(, lnaxbC，，,axb，a1,，1,,,,1，，()axbC2(,() ()daxbx，,,，a(1)08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式x13(, dx(ln)axbbaxbC，,，，2,axb，a211x，，22dx()2()lnaxbbaxbbaxbC，,，，，，4(, 3,,,axb，a2，，dx1axb，,，lnC5(, ,bxxaxb()，dx1aaxb，,，，lnC6(, 22,xaxb()，bxbxx1bdx7(, (ln)axbC，，，22,()axb，aaxb，22x1bdx8(,(2ln)axbbaxbC，,，,， 2,3()axb，aaxb，dx11axb，,，lnC9(, 22,xaxb()，baxbbx()，(二)含有的积分 axb，2310(, axbx，d()axbC，，,3a2311(, xaxbx，d(32)()axbaxbC,，，2,15a22223212(, xaxbx，d(15128)()axabxbaxbC,，，，3,105ax2dx13(, (2)axbaxbC,，，2,axb，3a2x2222dx14(, (348)axabxbaxbC,，，，,3axb，15a,1axbb，,ln(0)，,Cb,baxbb，，dx,15(, ,,xaxb，,，2axbarctan(0)，,Cb,,b,b,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式dxaxbax，d16(, ,,,2,xaxb，bxb2xaxb，dxaxb，dx2axbb，，17(, ,,xxaxb，axb，axbax，ddx18(, ,，2,,xx2xaxb，22xa,(三)含有的积分dx1x19(= arctan，C22,aaxa，dxxnx23d,，20(= 22n22212221nn,,,,()xa，2(1)()2(1)()naxanaxa,，,，1xa,dxln，C21(= 22,2axa，xa,2(四)含有的积分 axba，,(0),1aarctan(0)xCb，,,babdx,22(, ,2,axb，1axb,,,ln(0)，,Cb,2,，,abaxb, x1223(, dxlnaxbC，，2,axb，2a2xxbxddx24(, ,22,,axb，aaaxb，2dx1xln，C25(, 2,2xaxb()，2baxb，dx1dax26(, ,,222,,xaxb()，bxbaxb，08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式2axb，dxa127(, ln,，C32,222xaxb()，22bxbxdxxx1d28(,， 2222,,()axb，2()2baxbbaxb，，2axbxc，，(0)a,(五)含有的积分22axb，,2arctan(4)，,Cbac,2244acbacb,,dx,29(, ,2,2124axbbac，,,axbxc ，，2,ln(4)，,Cbac22,bacaxbbac,，，,424,x1dbx230(, dxlnaxbxc，，,22,,axbxc，，22aaaxbxc，，22(0)a,(六)含有xa，的积分 dxx22ln()xxaC，，，31(,, arsh，C1,22axa，xdx，C32(, ,222223axa，()xa，x22dx(33,xaC，， ,22xa，x1,，C34(, dx,22223xa，()xa，22xax2222xaxxaC，,，，，ln()35(, dx,2222xa，2xx22dx,，，，，ln()xxaC36(, ,22322xa，()xa，22dx1xaa，,ln，C37(, ,22axxxa，08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式22xa，dx,，C38(, 2,222axxxa，2xa22222239(,xaxxaC，，，，，ln() xax，d,22x3222242222340(, ()dxax，(25)ln()xaxaaxxaC，，，，，，,88 12232241(, xxax，d()xaC，，,34xa222222222(2)ln()xaxaxxaC，，,，，，42(, xxax，d,88 2222xa，xaa，,22dx43(, xaaC，，，ln,xx2222xa，xa，22dx,，，，，ln()xxaC44(, 2,xx22(0)a,(七)含有xa,的积分xdxx22lnxxaC，,，45(,= arch，C1,22xaxa,xdx,，C46(, ,222223axa,()xa,x22dx47(,xaC,， ,22xa,x1,，C48(, dx,22223xa,()xa,22xax2222xaxxaC,，，,，ln49(, dx,2222xa,2xx22dx,，，,，lnxxaC50(, ,22322xa,()xa,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式1adx51(,arccos，C ,22axxxa,22xa,dx，C52(, 2,222axxxa,2xa222222xaxxaC,,，,，ln53(, xax,d,22x3222242222354(, ()dxax,(25)lnxaxaaxxaC,,，，,，,88 12232255(, xxax,d()xaC,，,34xa222222222(2)lnxaxaxxaC,,,，,，56(, xxax,d,8822xa,a22dxxaaC,,，arccos57(, ,xx2222xa,xa,22dx,，，,，lnxxaC58(, 2,xx22(0)a,(八)含有ax,的积分 dxx59(, arcsin，C,22aax,xdx，C60(, ,222223aax,()ax,x22dx61(,,,，axC ,22ax,x1，C62(, dx,22223ax,()ax,22xaxx22,,，，axCarcsin63(, dx,2222aax,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式 2xxx64(, dx,，arcsinC,22223aax,()ax,22dx1aax,,65(, ln，C,22axxax,22ax,dx,，C66(, 2,222axxax,2xax2222axC,，，arcsin67(, axx,d,22axx32222422368(, ()daxx,(52)arcsinaxaxaC,,，，,88a12232269(, xaxx,d,,，()axC,34xax2222222(2)arcsinxaaxC,,，，70(,xaxx,d,88a2222ax,aax,,22dx71(,axaC,，，ln ,xx2222ax,axx,dx,,，arcsinC(, 722,xxa2(0)a,,，，axbxc(九)含有的积分1dx2ln22axbaaxbxcC，，，，，73(, ,2aaxbxc，，2axb，2274(, axbxcx，，daxbxc，，,4a24acb,2 ，，，，，，ln22axbaaxbxcC38ax12dx75(, axbxc，，,2aaxbxc，，08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式b2 ,，，，，，ln22axbaaxbxcC32adx12axb,76(, ,，arcsinC,22acbxax，,bac，42242axbbacaxb,，,2277(, cbxaxx，,dcbxaxC，,，，arcsin,324a84abac，x12baxb,278(dx, ,，,，，cbxaxCarcsin,232acbxax，,24abac，xa,,或()()xabx,,的积分 (十)含有xb,xa,xa,dx()()ln()xbbaxaxbC,，,,，,，79(, ,xb,xb,xaxa,,xa,dx()()arcsinxbbaC,，,，80(, ,bx,bxbx,,xa,dx2arcsin，C()ab,81(, ,bx,()()xabx,,22()xabbaxa,,,,()()arcsinxabxC,,，，82(, ()()dxabxx,,,44bx,()ab,(十一)含有三角函数的积分,，cosxC83(, sindxx,sinxC，84(, cosdxx,,，lncosxC85(, tandxx,lnsinxC，86(, cotdxx,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式,xlntan()，，C87(,, lnsectanxxC，，secdxx,42xlntan，C88(,,lncsccotxxC,， cscdxx,2289(, tanxC，secdxx,290(, ,，cotxCcscdxx,91(, secxC，sectandxxx,92(, ,，cscxCcsccotdxxx,x1293(, sindxx,，sin2xC,24x1294(, cosdxx，，sin2xC,2411n,nn,,12n95(, sindxx,，sincossindxxxx,,nn11n,nn,,12n96(, cosdxxcossincosdxxxx，,,nndx1cos2dxnx,97(, ,,，nnn,,12,,sinxnxnx,,1sin1sindx1sin2dxnx,98(, ,，nnn,,12,,cosxnxnx,,1cos1cos11m,mnmn,，,112mn99(, cossindxxxcossincossindxxxxx，,,mnmn，，11n,mnmn，,,112, ,，cossincossindxxxxx,mnmn，，11,，,,，cos()cos()abxabxC100(, sincosdaxbxx,2()2()abab，,11,，，,，sin()sin()abxabxC101(, sinsindaxbxx,2()2()abab，,11sin()sin()abxabxC，，,，102(, coscosdaxbxx,2()2()abab，,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式xabtan，2dx222103(, arctan，C()ab,,2222abx，sinabab,,x22abbatan，,,1dx222104(, ln，C()ab,,22x22abx，sinba,abbatan，，,22ababx，,dx22arctan(tan)，C105(, ()ab,,ababab，,，2abx，cosxab，tan，dx1ab，222ba,106(, ()ab,ln，C,abx，cosabba，,xab，tan,2ba, dx1b107(, arctan(tan)xC，2222,axbxcossin，aba1tanbxa，dxln，C108(, 2222,2tanabbxa,axbxcossin,11109(, xaxxsindsincosaxxaxC,，2,aa12222110(, xaxxsind,，，，xaxxaxaxCcossincos23,aaa11111(, xaxxcosdcossinaxxaxC，，2,aa12222112(, xaxxcosdxaxxaxaxCsincossin，,，23,aaa(十二)含有反三角函数的积分(其中a,0)xx22113(arcsindx, xaxCarcsin，,，,aa22xaxxx22()arcsin,，,，axC114(, xxarcsind,244aa3xx1x22222arcsin(2)，，,，xaaxC115(xxarcsind, ,39aa08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式xx22116(, arccosdxxaxCarccos,,，,aa22xaxxx22117(,()arccos,,,，axC xxarccosd,244aa3xx1x22222118(, arccos(2),，,，xaaxCxxarccosd,39aaxax22119(, arctandxxaxCarctanln(),，，,aa2x1xa22120(,xxarctand()arctanaxxC，,，,a22a33xxaax2222arctanln(),，，，xaxC121(, xxarctand,366aa(十三)含有指数函数的积分1xx122(, aC，axd,aln1axax123(, ，Cedxe,a1axax124(, axC,，xxed(1)e2,a1nnaxnax,1nax125(, ,xxedxxxeed,,aax1xxxaaC,，126(, xaxd2,ln(ln)aa1nnxnx,1nx127(, ,xaxdxaxaxd,,lnlnaa1axax128(, abxbbxC,，esindbxxe(sincos)22,ab，1axax129(, bbxabxC，，ecosdbxxe(sincos)22,ab，1axn,1axn130(, bxabxnbbx,esindbxxesin(sincos)222,abn，2nnb(1),axn,2，esindbxx 222,abn，08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式1axn,1axn131(, bxabxnbbx，ecosdbxxecos(cossin)222,abn，2nnb(1),axn,2 ，ecosdbxx222,abn，(十四)含有对数函数的积分 132(, xxxCln,，lndxx,dx133(,lnlnxC， ,xxln11n，1n134(, xxC,，xxxlnd(ln),nn，，11n,1nn135(, xxnxx(ln)(ln)d,(ln)dxx,,1nmnmn，,11mn136(, ,xxx(ln)dxxxxx(ln)(ln)d,,，，mm11(十五)含有双曲函数的积分 137(,chxC， shdxx,138(,shxC， chdxx,139(,lnchxC， thdxx,x12140(, shdxx,，，sh2xC,24x12141(, chdxx，，sh2xC,24(十六)定积分,,142(,,0 cosdnxxsindnxx,,,,,,,143(,0 cossindmxnxx,,,,0,mn,,144(, coscosdmxnxx,,,,,,,mn,,0,mn,,145(, sinsindmxnxx,,,,,,,mn,08070141常用导数和积分公式 08070141常用导数和积分公式0,mn,,,,,146(,, sinsindmxnxxcoscosdmxnxx,,,,00,mn,,,2,,nn22147( ,, Isindxxcosdxxn,,00n,1 , IIn,2nnnn,,1342 (为大于1的正奇数)，,1 InI,,,,,n1nn,253nn,,,1331,(为正偶数)，, InI,,,,,,n02nn,2422。

121几个常用函数的导数导函数1、导函数的定义导函数的定义由函数f()在=0处求导数的过程可以看到在处求导数的过程可以看到,由函数当时,f’(0)是一个确定的数那么当变化时是一个确定的数。

那么那么,当变化时变化时,当时便是一个函数我们叫它为f()的导函数的一个函数,我们叫它为的导函数。

便是的一个函数我们叫它为的导函数yf(+)f()即:′f()=y′=lim=lim→0→0在不致发生混淆时，导函数也简称导数。

在不致发生混淆时，导函数也简称导数。

函数函数y=f()在点0处的导数f′(0)等于函数f()的导(函)数f′()在点0处的函数值。

(1)求函数的增量y=f(+)f();(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:yf(+)f()=;y(3)求极限，得导函数y′=f′()=lim。

→0根据导数定义，解：根据导数定义，y=f(+)f()=22=0''yoy∴f()=2=lim=lim0=0。

→0→0(2)求函数求函数f()=0的导数；的导数；的导数0(3)求函数求函数f()=-2的导数的导数。

的导数0公式1C=0(C为常数)。

'证明：证明：y=f()=C,y=f(+)f()=CC=0y∴=0,∴f()=C=lim0=0。

''→0求下列函数的导数(1)y=导数的导数解：根据导数定义，根据导数定义，y=f(+)f()=+=,y∴f()=lim=lim1=1→0→0'(2)y=2的导数解：根据导数定义，根据导数定义，y=f(+)f()=(+)=2+,222y∴f()=lim=lim(2+)→0→0=2、'(3)y=3的导数f()=()=3、'3'21(4)求函数y=的导数11yf(+)f()+因为：解：因为：==(+)1==2(+)+1y)=lim(2所以y′=lim→0→0+1=2(5)函数y=f()=导数y=f()=''12汇总以上公式，可以得到统一的公式：汇总以上公式，可以得到统一的公式：(公式2:)=nn'n1(n∈R)算一算：求下列函数的导数(1)y=12(2)y=131(3)y=4(4)y=153(5)y=(6)y=31求曲线f()=在点P(1,1)处的切线方程处的切线方程。

考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1—2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2—1,2—2,2—3选考内容（三选二）：选修4-2，4—4,4—5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1。

1 集合1。

1。

1 集合的含义与表示1。

1。

2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1。

2.1 函数的概念1。

2。

2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1。

3。

1 单调性与最大（小）值1.3。

2 奇偶性第二章基本初等函数(I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2。

1。

2 指数函数及其性质2。

2 对数函数2。

2。

1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2。

3 幂函数第三章函数的应用3。

1 函数与方程3.1。

1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3。

2.1 几类不同增长的函数模型3。

2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1。

1 空间几何体的结构1.1。

1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1。

2 空间几何体的三视图和直观图1。

2。

1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3。

1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3。

2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2。

1 空间点、直线、平面之间的位置关系2。

1。

1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2。

1。

4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2。

1 直线与平面平行的判定2.2。

2 平面与平面平行的判定2.2。

3 直线与平面平行的性质2.2。

4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3。

1 直线与平面垂直的判定2。

高中常用导数公式有哪些一、常见的导数公式1. 常数函数的导数公式对于常数函数f(f)=f，其中f为常数，则它的导数为$\\frac{d}{dx} c = 0$。

2. 幂函数的导数公式对于幂函数f(f)=f f，其中f为任意实数，则它的导数为$\\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$。

3. 指数函数的导数公式对于指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0,f≠1，则它的导数为$\\frac{d}{dx} a^x = a^x \\ln(a)$。

4. 对数函数的导数公式对于对数函数$f(x) = \\log_a(x)$，其中f为常数且f>0,f≠1，则它的导数为$\\frac{d}{dx} \\log_a(x) =\\frac{1}{x \\ln(a)}$。

5. 三角函数的导数公式•正弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\sin(x) = \\cos(x)$•余弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\cos(x) = -\\sin(x)$•正切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\tan(x) = \\sec^2(x)$•余切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\cot(x) = -\\csc^2(x)$6. 反三角函数的导数公式•反正弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arcsin(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•反余弦函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arccos(x) = \\frac{-1}{\\sqrt{1-x^2}}$•反正切函数的导数：$\\frac{d}{dx} \\arctan(x) = \\frac{1}{1+x^2}$二、导数的性质1.导数的和与差如果f(f)和f(f)都在某一点可导，则(f+f)′(f)=f′(f)+f′(f)，(f−f)′(f)=f′(f)−f′(f)。

常见的导数公式高中导数（Derivative）是研究数学函数性质的重要工具，它的定义可以采用微积分的概念来表达，特别是可以表达函数曲线的切线斜率。

偏导数则是在多元函数中表达某一变量的变化率而言，而且可以得到最佳值的时候也是很好的应用函数。

对于高中学生来说，有一些导数公式是他们需要掌握的，那么今天我们就来了解具体都有哪些常用的导数公式：首先，常用的一阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的一阶导数为f(x)，表示函数在x点处的斜率，其表示形式为：f(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其次，二阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的二阶导数为f(x)，表示函数在x点处的曲率，其表示形式为：f``(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h再次，多元函数的偏导数公式：如果F(x,y)是某一多元函数，那么它的偏导数可以表示为：F/x=lim(h→0)[F(x+h,y)-F(x,y)]/hF/y=lim(h→0)[F(x,y+h)-F(x,y)]/h最后，高阶导数公式：如果f(x)是某一多元函数，那么它的高阶导数为f(n)(x)，其表示形式为：f(n)(x)=lim(h→0)[f(n-1)(x+h)-f(n-1)(x)]/h我们可以看出，高中学生需要掌握的常见的导数公式主要有一阶导数公式、二阶导数公式、偏导数公式以及高阶导数公式。

这些公式是微积分日常应用中使用较频繁的，因此高中学生在学习微积分时，都有必要学习这些常见的导数公式，以便更好地理解微积分知识。

除了学习常见的导数公式之外，高中学生要注意掌握数学分析基础知识，特别是在函数曲线计算中，要注意抓住重点，比如：函数的斜率、函数的极值，以及函数图形的变化等等。

在实际的应用中，需要准确的理解函数的性质，以便更好的解决问题。

同时，学习微积分的过程切不可急于求成，应该多多练习，通过反复练习，让自己对微积分知识有更深入的理解，才能真正掌握这些知识，有助于高考取得好成绩。

14个导数公式导数是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的变化率。

在微积分中，导数有许多重要的公式和性质。

本文将介绍14个常用的导数公式，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、常数的导数公式对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，则其导数恒为0。

这是因为常数函数在任意一点的变化率为0，即斜率为0。

二、幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n为实数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

这个公式可以用来求解多项式函数的导数。

三、指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，则其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

这个公式是指数函数求导的基本规律。

四、对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，则其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

这个公式是对数函数求导的基本规律。

五、三角函数的导数公式对于三角函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。

对于f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

这是三角函数求导的基本规律。

六、反三角函数的导数公式对于反三角函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)。

对于f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1 / √(1 - x^2)。

这些公式是反三角函数求导的基本规律。

七、双曲函数的导数公式对于双曲函数f(x) = sinh(x)，其导数为f'(x) = cosh(x)。

对于f(x) = cosh(x)，其导数为f'(x) = sinh(x)。

这是双曲函数求导的基本规律。

八、反双曲函数的导数公式对于反双曲函数f(x) = arcsinh(x)，其导数为f'(x) = 1 / √(x^2 + 1)。

1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（ ）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为（ ）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（ ）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案：D解析：∵y=32x =32x ， ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（ ） A.23B.23- C.-12D.12 答案：C解析：y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是（ ）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（ ）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（ ）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x -2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析：∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。

函数y=sin(x)，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arsin(y)，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arsin(x)=arsin(x)=asin(x)的形式。

sh= sinh,ch=cosh,th=tanh，cth=coth，sch=sech，xh=csch。

e≈2.718281828459045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n!e x =x 0/0! + x 1/1! + x 2/2! + x 3/3! + x 4/4! + x 5/5!...+ x n /n! +...ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tgxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx xx xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x 2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==双曲函数1sinh()()2x xx e e -=- 1cosh()()2x x x e e -=+()sinh()1tanh()cosh()coth x xx x x e e x x e e x ---===+)cosh(1)(sec )sinh(1)(csc x x h x x h == 反双曲函数csc ()sinh()ln sinh()h x a x x xx 211 sec ()cosh()ln cosh()h x a x xx x 211⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x x x a 11ln 2111ln )tanh(2 ()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11ln 2111ln coth 2x xx x x a sec ()ln 1a h x ⎛⎫=±+⎪⎝⎭csc ()ln 1,0ln 1,0a h x x x ⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭双曲函数与三角函数的关系(i 为虚数单位，即i•i = -1) sinh(x)=-i•sin(i•x)cosh(x)=cos(i•x)tanh(x)=-i•tan(i•x)coth(x)=i•cot(i•x)sech(x)=sec(i•x)csch(x)=i•csc(i•x)与双曲函数有关的恒等式cosh2(x)-sinh2(x)=1coth2(x)-csch2(x)=1tanh2(x)+sech2(x)=1加法公式sinh(x+y)=sinh(x)•cosh(y)+cosh(x)•sinh(y)cosh(x+y)=cosh(x)•cosh(y)+sinh(x)•sinh(y)tanh(x+y)=[tanh(x)+tanh(y)]/[1+tanh(x)•tanh(y)]coth(x+y)=(1+coth(x)•coth(y))/(coth(x)+coth(y))减法公式sinh(x-y)=sinh(x)•cosh(y)-cosh(x)•sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)•cosh(y)-sinh(x)•sinh(y)tanh(x-y)=[tanh(x)-tanh(y)]/[1-tanh(x)•tanh(y)]coth(x-y)=(1-coth(x)•coth(y))/(coth(x)-coth(y))二倍角公式sinh(2x)=2•sinh(x)•cosh(x)cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)=2•cosh2(x)-1=2•sinh2(x)+1 tanh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x))coth(2x)=(1+coth2(x))/2coth(x)三倍角公式sin(3•x)=3•sin(x)4•sin3(x)sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh3(x)cosh(3x)=4cosh3(x)-3cosh(x)半角公式cosh2(x/2)=(cosh(x)+1)/2sinh2(x/2)=(cosh(x)-1)/2tanh(x/2)=(cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)coth(x/2)=sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x) 德莫佛公式(cosh(x)±sinh(x))n=cosh(nx)±sinh(nx)指数定律()()()()()()()()nx nn a x xa x n m nmn n m m m m mn m n m mm m n m nm n m nmex x e e a a a a a a a b a b a a a a b a b a a aaa a a ln 1ln ln 111========⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⨯==⨯=⨯--⨯+ 对数公式()()()()()1log log log 1log log 1ln ln 1log ln ln log log log log log log 1log log log log log log log log log 1log 01log log 1log =⨯=====⨯=⨯=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯=====a b b be a a e a b a b b bnmb m n m m n m nm n m n m n m b a a n a b n b a a a a a c c a a m a a a a n a a a a a a a b a a b a n n a 则常用导数公式1、y=c(c 为常数) y'=02、y=x n y'=nx (n-1) x'=1， (1/x )'=-1/x 2，'=3、y=a x y'=a x ln(a) y=e x y'=e x4、y=log a (x) y'=log a x=1/x(ln(a)) y=ln(x) y'=1/x y=xlog a (x) y'=log a (x)+1/ln(a)5、y=sin(x) y'=cos(x)6、y=cos(x) y'=-sin(x)7、y=tan(x) y'=1/cos 2(x)=(sec(x))28、y=cot(x) y'=-1/sin 2(x)=(csc(x))2(sec(x)) '=sec(x)•tan(x) (cscx) '=-csc(x)•cot(x)9、y=arcsin(x) y '=y=arcsinh(x) y '= 10、y=arccos(x)y '=-y=arccosh(x)1y x '=>11、y=arctan(x) y'=1/(1+x 2) y=arctanh(x) y'=1/(1-x 2) (|x|<1) 12、y=arccot(x) y'=-1/(1+x 2) y=arccoth(x) y'=1/(1-x 2) (|x|<1) 13、(sinh(x)) '=cosh(x) (cosh(x)) '=sinh(x)(tanh (x)) ' =1/cosh 2(x) (coth(x)) '=1/sinh 2(x)求导法则1、 复合函数求导：y=f(u)=f[g(x)]，y'=f'(u)•g'(x)= f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中u=g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x 看作变量』 2、求导四则运算法则：(1) ()()()()()f x g x f x g x '''±=±(2) ()()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⨯=+ ()()()Cf x Cf x C ''=，为常数 (3)()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '''⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭()()()x g x g x g 21'-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3、反函数求导：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证 明1、显而易见，y=c 是一条平行于x 轴的直线，所以处处的切线都是平行于x 的，故斜率为0。

高中数学几个常用的函数的导数综合测试卷（附解析）选修2-2 1.2 第1课时几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y＝0B．若y＝5x，则y＝5C．若y＝x－1，则y＝－x－2[答案]D2．若函数f(x)＝x，则f(1)等于()A．0 B．－12C．2 D.12[答案]D[解析]f(x)＝(x)＝12x，因此f(1)＝121＝12，故应选D.3．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵f(x)＝14x2，f(2)＝limx0 f(2＋x)－f(2)x＝limx0 1＋14x＝1.切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，则f(2)＝()A．0 B．3x2C．8 D．12[答案]D[解析]f(2)＝limx0 (2＋x)3－23x＝limx0 6x2＋12xx＝limx0 (6x＋12)＝12，故选D.5．已知f(x)＝x，若f(－1)＝－2，则的值等于()A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]A[解析]若＝2，则f(x)＝x2，f(x)＝2x，f(－1)＝2(－1)＝－2适合条件．故应选A.6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]∵y＝x3＋x2－x－1yx＝(1＋x)3＋(1＋x)2－(1＋x)－1x＝4＋4x＋(x)2，y|x＝1＝limx0 yx＝limx0[4＋4x＋(x)2]＝4.故应选D.7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为() A．(－2，－8) B．(－1，－1)C．(1,1) D.－12，－18[答案]C[解析]设点P的坐标为(x0，y0)，∵y＝x2，y＝2x.k＝＝2x0＝2，x0＝1，y0＝x20＝1，即P(1,1)，故应选C.8．已知f(x)＝f(1)x2，则f(0)等于()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]∵f(x)＝f(1)x2，f(x)＝2f(1)x，f(0)＝2f(1)0＝0.故应选A. 9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为()A．y＝－x B．x＝0C．y＝0 D．不存在[解析]∵y＝3xy＝3x＋x－3x＝x＋x－x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2＝x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2yx＝1(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是()A.14433B.14334C.12334D.13443[答案]A[解析]s＝4t＋t－4t＝t＋t－t4t＋t＋4t＝t＋t－t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)＝t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)limt0 st＝124t2t＝144t3，s(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y＝x表示路程关于时刻的函数，则y＝1能够说明为________．[答案]某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析]由导数的物理意义可知：y＝1能够表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是__ ______．[答案](2,4)[解析]设切点坐标为(x0，x20)，因为y＝2x，因此切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，因此2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y＝15x2上点A2，45的切线的斜率为______________．[解析]∵y＝15x2，y＝25xk＝252＝45.14．(2021江苏，8)函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak＋1，其中kN*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是_ _______．[答案]21[解析]∵y＝2x，过点(ak，a2k)的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，因此ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，a3＝4，a5＝1，a1＋a3＋a5＝21.三、解答题15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．[解析]因为点P不在曲线y＝x上，故设切点为Q(x0，x0)，∵y＝12x，过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，x0＝2，切线方程为：y－2＝122(x－2)，即：x－22y＋2＝0.16．质点的运动方程为s＝1t2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析]∵s＝1t2，s＝1(t＋t)2－1t2＝t2－(t＋t)2t2(t＋t)2＝－2tt－(t)2t2(t＋t)2limt0 st＝－2tt2t2＝－2t3.－2t3＝－264，t＝4.即质点在第4秒的速度为－264.17．已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析]∵y＝1x，y＝－1x2.(1)明显P(1,1)是曲线上的点．因此P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在P(1,1)点导数．即k＝f(1)＝－1.因此曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)明显Q(1,0)不在曲线y＝1x上．则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)坐标代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．解得a＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为Aa，1a，则切线斜率为k＝－1a2＝－13，解得a＝3，那么A3，33，A－3，3－3.代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．整理得切线方程为y＝－13x＋233或y＝－13x－233.18．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．[解析]两曲线方程联立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1y＝1.y＝－1x2，k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。