第5章留数

1 f ( z) z z

含有无穷多的正幂项，所以 是它的本性 奇点。
( z 2 1)(z 2) 2 例4：函数 f ( z ) (sin z )3
在扩充平面内有
些什么奇点？如果是极点，指出它的级。

解：函数 f ( z ) 除使分母为零的点 z 0,1,2, 外，在 | z | 内解析，所有这些点中除 去 1,1,2 外都是(sin z)3的三级零点，从而都 是 f ( z ) 的三级极点 因 z 1 以1与－1为一级零点，所以1与－1
1 f ( z )dz 邻域内任一条简单闭曲线，则称 2i C
为 f ( z )在 z0 处的留数，记作 Re s[ f ( z), z0 ] ，
即
1 Re s[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz c1 2i C
c1 是 f ( z ) 在以 z0 为中心的圆环域内的洛朗 1 ( z z ) 级数中 项的系数。 0
z 0 不是 f ( z ) 的孤立奇点。



孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。 4.1.1 可去奇点 如果 f ( z ) 在 z z0 的洛朗级数中不含 z z0 的 负幂项，则称孤立奇点 z0 是 f ( z ) 的可去奇 点。 sin z 例：f ( z ) z 以 z 0 为孤立奇点，其洛朗 展开式为


z 为 f ( z ) 可去奇点。



2）如果在洛朗级数中含有限个正幂项，则 z 为 f ( z ) 的极点。 3）如果在洛朗级数中含无穷多个正幂项， 则 z 为 f ( z ) 的本性奇点。 z 例：1）函数 f ( z ) 在圆环域 1 | z |
z 1
f1 ( z ) （3） f ( z ) 2

例3 下列函数有些什么奇点？如果是极点，
指出它的级。
1 （1）z ( z 2 1) 2 ；
sin z （2） 3 z
z
；
1 （3） 3 ； 2 z z z 1

ln( z 1) ； （4）
（5）
e
1 z 1
；
z （6） ； 2 z (1 z )(1 e )

5.1.5函数在无穷远点的性态 如果 f ( z ) 在无穷远点 z 的去心邻域
R | z | 内解析，则称
是 f ( z) 的孤立
奇点。
1 作变换 t z

规定把扩充
z 平面上的无穷远点
z 映射为扩充 t 平面上的点 t 0 ），把
扩充 z 平面上的邻域 R | z | 映射成扩 1 充 t 平面上的去心邻域 0 | t | ，且 R 1 有 f ( z ) f ( ) (t ) ，于是，可以把在
Re s[ f ( z ), z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )

规则2：若 z0 是 f ( z ) 的m级极点，有
z z0
1 d m1 Re s[ f ( z ), z0 )] lim m1 [(z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
例1 计算下列积分，C为正向圆周 | Z | 2 ：
z ze z dz ；（2） 4 dz ； （1） 2 z 1 z 1 C C ez dz （3） 2 z ( z 1) C
解：（1）被积函数有两个一级极点 1,1 都在圆周 | Z | 2 内，由规则1，可得
f
( n)

( z0 ) 0, n 0,` 1,2,, m 1; f
( m)
( z0 ) 0

一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。
定理 若 z0 的m级零点，反之也成立。
1 是 f ( z ) 的m级极点，则 z0 是 f ( z)
这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简 便的方法。 例1 函数 有些什么奇点？如果是极点， 指出它的级。 解：函数 的奇点显然是使 sin z 0 的点， 这些奇点是 z k (k 0,1,2,) ，很明显它 们是孤立奇点，由于 ' k (sin z) |z k cos z |z k (1) 0 所以 z k 都是 sin z 的一级零点，也就是 1 的一级极点。
内可以展开成
1
1 1 n 1 f ( z) 1 2 (1) n 1 z z z 1 z 它不含正幂项，所以 是 f ( z ) 的可去奇点。

2）函数 含有正幂项，且 z 为最高 正幂项，所以 为它的一级极点。 3）函数 sin z 的展开式：
2 n 1 z3 z5 z sin z z (1) n 3! 5! (2n 1)!

2. 留数定理 设函数 f ( z ) 在区域D内除有限个孤立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析，C是D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线，则


C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
n
利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就 转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的 留数。
z 0 解析了。

z
5.1.2 极点 如果 f ( z ) 在 z z0 的洛朗级数中只有 z z0 的 有限个负幂项，则称孤立奇点 z0 是 f ( z )
m ( z z ) 极点。若负幂的最高项为 ，则称 0
为 m 级极点。此时函数 f ( z )可表示为

1 f ( z) g ( z) m ( z z0 )

z2 例：对有理分式函数 f ( z ) 2 ( z 1)(z 1)3

如果 z0 为 f ( z ) 的极点，由(5.1.1)式，就有 lim | f ( z ) | 或写作 lim f ( z ) zz zz
0
0
来说，
z 1 是它的一个三级极点， z i 都是
它的一级极点。

5.1.3 本性奇点 如果 f ( z ) 在 z z0 的洛朗级数中含有 z z0 的无穷多个负幂项，则称孤立奇点 z0 为 f ( z ) 的本性奇点

例：函数 f ( z) e 以 z 0 为它的本性奇点， 因为在级数
1 z
e
1
z
中含有无穷多个 z 的负幂项。

例：考察函数
1 f ( z) sin 1
。
z
z0
1 或 z (n 1,2, ) 也都是它的奇点，当 n
1 是它的一个奇点，除此之外， n z
n
z 0 ，也就是说，在 z 0 的不论怎样小
的去心邻域内总有 f ( z ) 的奇点存在，所以
1 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 n



解：1） z 0,i 为奇点，0是一级极点， i 是二级极点。 2） z 0 是奇点，是二级极点（分母是三 级零点，分子是一级零点）。 3） z 1,1 是奇点，1是二级极点，－1是一 级极点。 4）z 0 是奇点，是可去奇点。 5） z 1 是本性奇点。 6）z i, (2k 1)i(k 1,2,3,) 是奇点， i 是 二级极点，(2k 1)i 是一级极点。

5.2.2留数的计算规则 如果 z0 是 f ( z ) 的可去奇点，那末 如果 z0 是本性奇点，则须把 f ( z )在 z0 展开 成洛朗级数来求 c1 ； 如果 z0 是极点，则可根据以下规则来求 c1：
Re s[ f ( z), z0 ] 0 ；


规则1：若 z0 是 f ( z ) 的一级极点，有
0 0
z n z0

z z0

5.1.4 函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f ( z ) 若能表示为
f ( z) ( z z0 ) ( z)
m

其中 ( z ) 在 z0 解析，且 ( z0 ) 0 ，m为一 正整数，则称 z0 为 f ( z ) 的m级零点。 若 f ( z ) 在 z0 解析，则 z0 为 f ( z ) 的m级零 点的充要条件是
n 0 使分母为零， n 时，
1
所以 0 不是 f ( ) 的孤立奇点，也就是
z 不是 f ( z ) 的孤立奇点。


5.2 留数 5.2.1 留数的定义及留数定理 1. 定义 若 z z0 是解析函数 f ( z ) 的一个孤立 奇点， f ( z ) 在 z0 的去心邻域内解析，C为
P( z ) 规则3：当 f ( z ) Q( z )
P( z ) 和 Q ( z ) 都在 z0 解 ，
析，如果 P( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 ，则 z0 为 f ( z ) 的一级极点，且有
P( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] ' Q ( z0 )
t
去心邻域 R | z | 上对 f ( z ) 的研究化为 在 0 | t | 1 内对 (t ) 的研究。
R

（1）如果 t 0 是 (t ) 的可去奇点、m级极 点或本性奇点，则 z 是 f ( z ) 的可去奇点， m级极点或本性奇点。 （2）若 f ( z ) 在 R | z | 内可以展开为 洛朗级数，那么我们有如下结论： 1）如果在洛朗级数中不含正幂项，则

1 1 1 1 2 3 z 2! z 3! z
在本性奇点的邻域内，f ( z ) 具有以下性质： （维尔斯特拉斯定理）若 z0 是 f ( z ) 的本性奇 点，则对于任一复数 0 及任给的 0 ，任 意的 r 0 ，在区域 0 | z z0 | r ，必存在 ' 一点 z ，使得 | f ( z ' ) 0 | 。
2

是 f ( z )的2级极点。

f ( z) 对于 z 2 ，因为 lim z 2
3

3
，
所以 z 2 是 f ( z ) 的可去奇点。

令z
1

，则原函数可化为
f( ) 1 (1 2 )(1 2 )3

5 sin 3
1 可知 0, n n
(5.1.1)
其中， g( z) cm cm1 ( z z0 ) cm2 ( z z0 )2 在 | z z0 | 内是解析的函数，且 g ( z0 ) 0 ， 反过来，当任何一个函数 f ( z ) 能表示成上式 的形式，且 g ( z0 ) 0 时，那末 z0 是 f ( z )的m 级奇点。
sin z 1 sin z 1 sin z

例2 设函数 f1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 分别以 z 0 为n级极 点及m级极点（n m），则 z 0 是下列函 数的什么奇点？ （1）f1 ( z) f 2 ( z) ； （2）f1 ( z) f 2 ( z) ；


推论：在任意一个圆环域 0 | z z0 | r 中， 必存在序列 {zn } ，使 lim f ( z n ) 0。 综上所述，如果 z0 为 f ( z )的可去奇点，那 末 lim f ( z ) 存在且有限；如果 z0 为 f ( z ) 的 z z 极点，那末lim f ( z ) ；如果 z0 为 f ( z ) 的 zz 本性奇点，那末 lim f ( z ) 不存在也不为 。
sin z 1 z z z z ( z ) 1 . z z 3! 5! 3! 5!
3 5 2 4
Байду номын сангаас

式中不含
sin z lim 1 z 0 z
z 的负幂项，是可去奇点，且
，若
sin z z
在 z 0点无定义或不等
于1，则只要重新定义 z 0 处的函数值，使 其等于1，奇点就可去，f ( z ) sin z 就在