2012年三科联赛数学模拟题

2012语数外三科联赛八年级数学试题一、填空题（每题3分，共30分）1.如果()932=-x ，那么=x .2.计算：3133⨯÷的结果为 .3.在直角坐标系中，A （1，0），B （0，－1），点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则C 点的坐标是 .4.已知2310x x -+=，求2212x x+-的值.5.如图，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 的方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是BC 长的3倍，则图中的四边形ACED 的面积为 .6.如图，在A B C D 中，EF 过对角线的交点O ，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF 的周长为 .7.若点A （a ，b)关于原点的对称点为点B （－4,1），则a+b 的值为 . 8.已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A （－1，1），B （－1，－2），C （2，－2），则顶点D 的坐标为 .9.如图，在矩形ABCD 中，AD=3,将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 .10.小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时上坡与下坡的速度仍保持不变，则小明从学校骑车回家用的时间为 .【解答时存在问题】1. 第3题考虑不全；2. 第5、10题忘记带单位；第8题没加括号. 二、选择题（每题3分，共18分）11.（9）2的平方根是x ，64的立方根是y ，则x+y 的值为（ ）A. 3B. 7C. 3或7D. 1或712.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8mB ．10mC ．12mD ．14m13.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别按A →B ，B →C ，C →D ，D A →的方向同时出发，以1cm/s 的速度匀速运动，在运动中，点E 、F 、G 、H 所形成的四边形为（ ）A 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形14.在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A （1,2），B （0，4），C （－3，2）， 若将各顶点的横坐标分别乘－1，纵坐标不变，得点A 1、B 1、C 1，设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系为（ ）A.S 1= S 2B.S 1> S 2C. S 1<S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定 15.把一个一次函数y=2x+b －1的图象向上平移3个单位后得到的图象的表达式为y=2x －4，则代数式（b+5)2012的值为（ ）A. 1B. －1C. 0D. 201216.如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）【解答时存在问题】 第16题错最多.三、解答题17.（没小题5分，共10分）计算下列各式 （1）（412－231－48）÷23（2）722162718313-+--18.（8分）如图，折叠矩形ABCD 的一边，点B 落在AD 边的点F 处，若AB=6cm ，BC=10cm ，求AE 的长.【解答时存在问题】 1.不带单位； 2.不会求AF 的长.19（7分）.如图，已知AOB ∠中，OA=OB ，点E 在OB 上，四边形AEBF 是矩形，请你用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线，并说明理由.【解答时存在问题】 1 .作图没写结论；2.角平分线叙述为线段或直线；3. 理由说成角平分线上的点到角两边的距离相等.20.（9分）在直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=18cm ，BC=24cm ，点P 从点A 开始沿AD 以1cm/s 的速度向终点D 运动，点Q 从点C 开始沿CB 以2cm/s 的速度向终点B 运动，假设P 、Q 同时开始运动，且当一个动点到达终点后，另一个动点也停止运动.设运动时间为ts ，试分析在运动过程中四边形PQCD 的形状.（非特殊梯形不用说明）【解答时存在问题】1.考虑不全；2. 没说明时间；3.不知s 代表什么.21.（10分）如图，直线y=3x －6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B. （1）求A 、B 两点的坐标.（2）过点A 作直线AC 与y 轴交于点C ，且使OC=21OB ，求△ABC 的面积.【解答时存在问题】1.横纵坐标颠倒；2.没考虑两种情况.22.（8分）如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=150°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转15°得△A 'BC '，A 'C '交AC 于点D.试判断四边形ABC 'D 的形状，并说明理由.23.如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y m x n =+相交于点), 1(b P ． （1）求b 的值；（2）不解关于y x ,的方程组 请你直接写出它的解； （3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由． 【解答时存在问题】1.看不懂图，不会写p 点坐标；24.（10分）某商业集团新进了30台彩电，70台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中40台给甲连锁店，60台给乙连锁店，两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表所示彩电电冰箱甲店 300 180 乙店200 150设集团调配给甲连锁店x 台彩电，卖出这100台电器的总利润为y 元. （1）求y 关于x 的函数关系式.（2）如果集团调配给甲连锁店的彩电不少于10台，但又不多于20台，问：该集团应该如何设计调配方案能使总利润达到最大？并求出最大利润是多少？ 【解答时存在问题】不会用一次函数性质求最值OxyP第23题1l2l2012语数外三科联赛八年级数学参考答案一、填空题（每题3分，共30分）1. 6或02. 13. （－1，0）或（1－2，0）或（1+2，0）或（0，0）4.5 5. 60cm 2 6. 9.6 7. 3 8. (2，1) 9. 2 10. 37.2二、选择题（每题3分，共18分） 11~16分别为： DCD AAB 三、解答题 17. （1）35（2）3－22 说明：每题5分，共10分，要按步得分.18.略解：有折叠可知CF=BC=10 ········1分 所以 FD=8 ········3分设AE=x 则 x 2=（6－x)2+22 ········5分 解得 x=38（cm ) ········7分 所以 AE 的长为38cm. ········8分19.作出矩形对角线，设交点为P ，作射线OP 即可.理由略说明：正确画出得3分，理由正确得4分，本题共7分.20.略解：（1）当PD=CQ 即18－x=2x 时为平行四边形 解得 x=6（s ） ········3分 （2）当CQ=PD+12即2x=18－x+12时为等腰梯形解得 x=10（s ） ·······6分 (3)当AP=BQ 即x=24－2x 时为直角梯形解得 x=8（s ） ········9分 21.（1）A(2，0) B(0，－6) ········4分 (2) 当点C 在y 轴正半轴上时，△ABC 的面积为：21×9×2=9(平方单位)········7分当点C 在y 轴负半轴上时，△ABC 的面积为:21×3×2=3(平方单位) ········10分22. 四边形ABC 'D 为平行四边形 ········2分 理由略.········8分23.解：（1）∵),1(b 在直线1+=x y 上，∴当1=x 时，211=+=b ． ·········3分 （2）解是⎩⎨⎧==.2,1y x·········5分（3）直线m nx y +=也经过点P ·········6分 ∵点P )2,1(在直线n mx y +=上，∴2=+n m . ·········8分 把,1x =代入m nx y +=，得2m =+n .∴直线m nx y +=也经过点P ． ·········10分 24.解：（1）y=300x+200(30－x)+180(40－x)+150(30+x) ········3分=70x+17700 ········5分(2)由表达式知，y 随x 的增大而增大，故当x=20时取得最大利润，最大利润为： 70×20+17700=19100（元） ········8分 调配方案为：甲店彩电20台，电冰箱20台； ········9分 乙店彩电10台，电冰箱50台. ········10分。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ． 解析: 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．复数z ，使322z z z +=，则z 的所有可能值为 _____ ____．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z+==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．所有的满足条件11a b a b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于 ．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(十)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（共8题，每题8分，64分）1.用区间表示函数1()ln(1)3xf x x -=-+的定义域为 。

( 3.1)-- 2.在△ABC 中。

若1sin cos 3A A +=-，则cos2A =。

93.在数列{}n a 中，1*112,22()n n n a a a n N ++=-=∈,则使10n a >成立的最小正整数n 的值是 。

提示：3，*1112,1()22n n n n a a a n N ++=-=∈ 4.已知()f x 是R 上的奇函数，对任意x R ∈，均有(2)()f x f x +=，且(0,1)x ∈时，2()f x x =，则3()(1)2f f -+= 。

提示：14,(12)(1),(1)0f f f -+=-=5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，△PAB 为等 边三角形，O 为AB 边的中点，且PO ⊥平面ABCD ,则二面角P AC D --的余弦值为。

6.若正整数m 使得对任意一组满足12341a a a a =的正数1234,,,a a a a 都有123412341111m m m m a a a a a a a a +++≥+++成立，则正整数m 的最小值为 。

提示：3，用排序不等式，右边＝234134124123a a a a a a a a a a a a +++不妨设1234a a a a ≥≥≥，列出三组必定成立 7.函数22*()sin cos ,()kk f x x x k N =+∈的最小值为 。

提示：112k -，观察，归纳，证明。

8.将方程33[]40x x -⨯-=（[]x 表示不超过x 的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,k x x x L ，则33312k x x x +++=L 。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t , 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+Y πx ,2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增,所以,221+≥y 或221-≤y , 即值域),221[]221,(+∞+--∞Y . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0, 解得(m , n )=(cbc a --,), 所以m 2+n 2最小值是1. 3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n 解：由924339242222-++=--+n n n n 知92422-++n n 可能为1,3, 11, 33,从而解得.5=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______。

实验中学2012年秋三科联赛数学试题时间：120分钟 满分：100分 命题人：占春生一、选择题（每小题5分，共25分）1．已知b a 、为常数，关于x 的不等式b x ax ++＞1与bx a x --＜)1(3的解集相同，则22)1()1(+-+b a =（ ）.A ．0B ．3C ．4D ．82．关于y 的方程0)2(4422=--+k y k y 的两个实根21y y 、，满足||2||21y y +=，则k 的值为（ ） A ．1或4B ．0或1C ．0或4D ．0或1或43．如图，将边长为a 的正六边形654321A A A A A A 在直线L 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当1A 第一次滚动到图2位置时，顶点1A 所经过的路径的长为（ ） A ．a π3324+ B ．a π3348+ C ．a π334+D ．a π6324+4．已知边长为6的正△ABC ，半径均为32的三个圆⊙A 、⊙B 、⊙C 在△ABC 外的交点为D 、E 、F ，则△DEF 的周长为（ ） A ．18318-B ．18C ．332936-+ D ．125．上数学课时，老师给出了一个一元二次方程02=++b ax x ，并告诉学生，从数字1，3，5，7中随机抽出一个作为a ，从数字0，4，8中随机抽取一个作为b ，组成不同的方程共m 个，其中有实数解的方程共n 个，则m n=（ ）A ．125B ．127C ．21D ．31二、填空题（每小题5分，共25分） 6．已知Z x y x =-+-1)1(3，则2)1(312-+++--Z y x Z x x 的值为 .7．如图，△ABC 内接于⊙O ，其外角平分线AD 交⊙O 于1 62 1L 图1图2点D ，DM ⊥AC 于M ，下列结论：①DB=DC ；②AC －AB=2AM ；③AC+AB=2CM ；④1ACAB AD CD 22=⋅-，其中正确的结论有.第7题 第8题第9题8．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM 上有点B （不含O 点），使得AB 与OB 的长度都是整数，由此称B 是“奥数点”，若OA=8，则图中的奥数点B 的个数为 .9．已知五边形ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 交于点P ，BD 与CE 交于点Q ，则四边形APQD 的面积等于 . 10．一部自动扶手电梯自下向上匀速运行，甲、乙两人同时分别从电梯的下端、上端相向匀速而行，甲走了12m 后与乙相遇，甲、乙两人离开电梯时分别在电梯上走了28m 、63m ，则自动扶手电梯露在外面部分的长度为 m.三、解答题（每小题12分，共50分）11．已知不相等的两正数b a 、满足252-=-a a ，252=-b b ，求下列各式的值.（1）||3322b a b ab a -+-（2）)()22(2)5(522bba ab a b a b b a a b a a +-÷--+++-12．若直角三角形的两边长x ，y 都是质数，且使得代数式yx 12-及x y 32+的值均为正整数，求这个直角三角形的AOB M内切圆半径r.13．如图，I 是△ABC 的内心，AB ≠AC ，过点作的圆与边AB 相切于点B ，与直线AC 交于点D 和E ，连接BE ，若∠ABC=80°，∠EBC=30°，2DI BI =，求∠DIC 的小大.14．若关于r 的方程0)74()72(2=+++-r x r rx 的根是正整数，求实数r 的值. 15．如图，在平面直角坐标系x O y 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知A （﹣1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．（1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；（2）当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；当一次函数y =x +b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；（3）已知▱AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．参考答案1．A 2．C 3．B4．B ．易证：△DEF ≌△ABC ，∴△DEF 周长为18cm. 5．B6．517．①②③④ 8．49．设S △PGQ =S △HQM =b ，S △PQH =a∴126=+b a ∴213=+b a10．设自动扶梯露在外面的部分长度为x m ，由题意得x x x --=-6363:28281212 x =48或x =0（舍）∵露在外面部分长度为48m.11．5=+b a ，2=ab （1）原式=17176117614)(7)(322==-+-+abb a ab b a （2）原式=b a ab b ab a b b a b a b --⋅-⋅-++⨯)(2)()()()(5252233 =22522222525+=++=+=+⨯ababb a a b a b （也可用252-=-a a 整体代入） 12．（1）若y x ＞，则1≤43232＜＜x x x y ++，∴132=+xy 或2①132=+x y ，32+=y x ，y y x 5412+=-，∴5=y ，13=x ②232=+xy ，322+=y x ，无解 （2）若y x =，则yx 12-不是正整数，无整数解 （3）若y x ＜，则1≤212＜y x -，∴112=-yx ，12-=x y ，xx x x y 143)12(232+=+-=+不可能为正整数 综上，13=x ，5=y ，∴此直角三角形第三边为12或194， ∴2=r 或219418- 13．连BI ，∴∠IDA=∠IBE连IE 交BC 于F ，则∠IFB=∠BEF+∠EBF∵AB 是圆BIDE 的切线，∴∠ABI=∠BEI ，且∠ABI ＝∠CBI ∴∠BEI ＝∠CBI∴∠ADI=∠IBE=∠CBI+∠CBE=∠BEI+∠CBE=∠IFB=40°+30°=70°∵BI=2DI ，∴∠DEI=21∠BEI=20°由I 为△ABC 的内心得∠ICD=∠ICF ，∴∠DIC=21∠DIF=25°14．当r =0时，x =1；当r ≠0时，设两根为1x ，2x （1x ≥2x ）且为正整数，r r r x x 727221+=+=+ rr r x x 747421+=+= ∴31)(2121=++-x x x x ，3)1)(1(21=--x x⌒ ⌒1x =4，2x =2，r =47综上，实数r 为0或47. 15．（1）分别连接AD 、DB ，则点D 在直线AE 上，如图1， ∵点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD ⊥AD ，在Rt △DOB 中，由勾股定理得，BD=2， ∵AE ∥BF ， ∴两条射线AE 、BF 所在直线的距离为2．（2）当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b=2或﹣1＜b ＜1；当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是1＜b ＜2（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ ，根据点M 的位置，分以下四种情况讨论：①当点M 在射线AE 上时，如图2． ∵AMPQ 四点按顺时针方向排列，∴直线PQ 必在直线AM 的上方，∴PQ 两点都在弧AD 上，且不与点A 、D 重合，∴0＜PQ ＜2．∵AM ∥PQ 且AM=PQ ，∴0＜AM ＜2 ∴﹣2＜x ＜﹣1，②当点M 不在弧AD 上时，如图3， ∵点A 、M 、P 、Q 四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M 在弧BD 上时，设弧DB 的中点为R ，则OR ∥BF ，当点M 在弧DR 上时，如图4，过点M 作OR 的垂线交弧DB 于点Q ，垂足为点S ，可得S 是MQ 的中点．∴四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形，∴0≤x ＜． 当点M 在弧RB 上时，如图5，直线PQ 必在直线AM 的下方，此时不存在满足题意的平行四边形．④当点M 在射线BF 上时，如图6，直线PQ 必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M 的横坐标x 的取值范围是﹣2＜x ＜﹣1或0≤x ＜．。

2012年全国高中数学联赛模拟测试一学校 姓名 计分第一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1、函数322()(1)x xf x x -=+的值域是 ．答案：11[,]44-．解析：2221()11x x f x xx-=⋅++，令tan x α=，则11sin 2cos 2sin 424f ααα=⋅=，由此，1144f -≤≤，当tan,tan 88x ππ=-时两边分别取得等号．2、已知△A B C 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，()OH m OA OB OC =++, 且AB BC CA >>。

则实数m 的取值集合为__________。

答案：{1}解析：由于(1)()AH O H O A m O A m O B O C =-=-++，利用()(1)()0A H CB A H O B OC m O A C B ⋅=⋅-=-⋅=得1m =。

3、已知实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意x R ∈总成立，则实数a 的取值范围为 。

答案：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：令x ka =，则原不等式变为2132k k a -+-≥，当且仅当23k =时，左边取最小值13。

4、如图，三行三列的方阵中有16个数(123,4123,4)ij a i j ==，，；，，，从中任取四个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率值p = 。

答案：449455解析：1111694441644491455C C C P C A =-=⋅。

5、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是B C D ∆的垂心，G 是A B C ∆的重心。

若AH ＝4，AB ＝AC ，则GH ＝ 。

11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ABCHO答案：G H =解析：设DH 交BC 于F ，利用已知条件知点G 在AF 上，依次求出8AF =，4FH =，FG =，在G F H ∆中利用余弦定理得G H =6、{}0n n f ≥是Fibonacci 数列，定义如下：01111,1,,1,2,n n n f f f f f n +-===+= . 则方程：()2121n n n nf f f ++=-的解集为 。

黄冈三科联赛数学试题本试题考试时间为120分钟，满分为100分一．选择题(本大题共5小题；每小题6分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若平面上有n 个不同的点，其中任意三点都可以构成一个直角三角形，则n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．可以大于52.已知两个不相等的正整数a ，b 满足0a b a b -+-=和220b b -+-=，则ab 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．43.若两个正数的算术平均数（即两数和的一半）为）A ．6±B ．6C ．36±D ． 364.如图，已知正ABC ∆的顶点为B （1，0），C （3，0），过原点O 的直线分别与边AB,AC 交于点M 、N ，若OM MN =,则点M 的坐标为（ ）A ．51,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．5,22⎛ ⎝⎭ C ．5,42⎛ ⎝⎭ D ． 5,44⎛ ⎝⎭5.如图，在四边形ABCD 中，已知270BAD ADC ∠+∠= ,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，4EF =,阴影部分分别是以AB 、CD 为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ． 32π二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分，将答案填写在题中横线上．)1.当0a <=__________.2.把具有22161a b +形式的数称为“好数”，其中a 、b 都是自然数.则在0、100、2010、2011四个数中，不是“好数”的是________.3.如图，已知点A 、B 在直线y x =上，过A 、B 分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于点C 、D.若2BD AC =,则224OC OD -=________.4.如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，7BC =,BE 垂直于BAD ∠的平分线AE 于点E,F 是CD 的中点，BD 与EF 交于点G ，则:EG GF =________.5.如图，正六边形被三组平行线分割成小的正三角形，则图中所有正三角形的个数是________.三.（本题满分8分）解方程组：2()2345x y z x y z ⎧++=⎪⎨==⎪⎩=+, 求证：CD延长线上的点，若EF BE DF∠=．135EAF五.（本题满分8分）某项工程甲队需12天完成，乙队需9天完成，若允许两队同时按整日工作，试找出在时间上不超过一周（7天）的施工方案．六.（本题满分8分）如图，已知点H 为ABC ∆的垂心，以AB 为直径的⊙1O 与BCH ∆的外接圆⊙2O 交于点D ，延长AD 与CH 交于点P.求证P 为CH 的中点．七.（本小题满分8分）4个人每人都有一条信息，并且任意两人的信息都不同，现在他们两两交换自己的所有信息，每次交换信息耗时t 分钟：（1）要使每个人都知道全部的信息，至少需要多少时间？（2）如果把题中4个人换成2n (n 为正整数)个人，你能猜测出至少需要多少时间吗？数学参考答案一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.B二、1.- 3. －6 4.4:7 5.38t=≥，代入①得2t2-5t-12=0解得t=4和t=32-(因t≥0，故舍去)4=得x+y+z=11由②和等比定理得113451212x y z x y z++====解得111155,,.4312x y z===四、如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG的位置，则AE=AG，BE=DG，∠EAG=90°，故EF=BE+DF=DG+DF=GF，△AEF≌△AFF（SSS），∴∠EAG=∠GAF=1(360)1352EAG︒-∠=︒五、设甲工作x天乙工作y天，满足方案要求，则11290,7,x yx y x y⎧+=⎪⎨⎪<≤⎩且均为整数由①得y=9-x+4x,综合②知x可取唯一值4，且有x=4,y=6.故要求的方案为甲工作4天，乙工作6天.六、延长AP与⊙O2交于点Q，联结AH、BD、QB、QC、QH，由AB是⊙O1的直径知∠ADB=90°，故∠BDQ=90°，BQ是⊙O2的直径.∴CQ⊥BC，BH⊥HQ，又H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC.∴AH∥CQ，AC∥HQ，即四边形ACQH为平行四边形，从而P为CH的中点.七、(1)用1、2、3、4表示这4个人及其最初所有的信息.第一次1与2、3与4交换信息，他们分别知道了前两条和后两条信息；①第二次1与3、2与4交换信息，他们每个人就知道全部信息了。

2012年锦州市高中语数外三科联赛数学试题试卷满分150分．考试时间：100分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确选项填在括号中 1.已知集合{}{}1,1,1A B x mx =-==，且AB A =，则m 的值为（ ）.1A .1B - .11C -或 .110D -或或2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平 面图形的面积是（ ）2.2A1.2B.1C.2D 3.设2log 31x =，则39x x+的值为（ ） .6A .3B .2C124.已知0.6222,0.6,log 0.6a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（） .Ab a c >> .B a c b >> .C a b c >> .D c a b >>5.如右图为一个几何体的三视图，其中主视图、左视图为矩形，俯视图为正三角形，1112,4A B AA ==，则几何体的表面积为（ ）.6A.24B.24C +.32D6.已知函数()()21,43xf x eg x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.22A ⎡⎣(.2B [].1,3C ().1,3D7.已知函数()()()()36log 16316x x x f x x --+>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩满足()89f n =-，则()4f n +=（ ）.2A - .1B - .1C .2D8.设函数(),00,0,0x x f x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()1g x xf x =-，则函数()g x 的递减区间是（ ）().,1A -∞ ().0,1B 1.,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1.0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭9.已知函数()y f x =和()y g x =的定义域及值域均为[],a a -（常数0a >），其图像如图所示，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦根的个数为（ ）.2A .3B .5C .6D10.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值.设(){}min 2,2,10xf x x x=+-()0x ≥，则()f x 的最大值为（ ）.7A .4B .5C .6D二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．将答案填在题中横线上．11.计算()2321log 72122lg lg 202-+⎡⎤--+⎣⎦=______________.12.已知函数()()f x g x 和定义如下表：则不等式()()f g x g f x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦解的集合为________________________.13.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由：______________________________________________________.14.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的公共点，那么称这个点为“好点”，下面五个点()1,1M ，()1,2N ，()2,1Q ，()2,2G ，12,2H ⎛⎫⎪⎝⎭中，“好点”为_____________________________. 15.函数()f x 的定义域为A ，若()()1212,,x x A f x f x ∈=且时总有12x x =，则称()f x 为单函数. 例如()()21f x x x R =+∈是单函数，现给出下列结论：1AAC1C 1BBx200400600 ①函数()()2f x x x R =∈是单函数；②函数()()2x f x x R =∈是单函数； ③偶函数()[](),,,0y f x x m m m R m =∈-∈>且一定不是单函数； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中正确的结论是 .（写序号）三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ⊆ , 则a 的取值范围是___________2. 某人投两次骰子, 先后得到点数,m n , 用来作为一元二次方程20x mx n ++=的系数, 则使方程有 实根的概率为______________3. 过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切 于点D ，且与平面ABC相切。

若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=︒∠=︒则四面体ABCD 的外接球的半径r ＝________4. 如图, ,M N 分别为正六边形ABCDEF 的对角线AC ,CE 的内分点,且AM AC ＝CNCE＝λ, 若B ,M ,N 三点共线,则λ=______________ 5. 已知2()(3f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是6. 对所有的实数x 及1t ≤≤222(2)()x t x at ++++＞18, 则实数a 的取值范围是 ______ .7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式：1()2n n n a c b +=(n Z ∈), 则称△ABC 为 “n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3次幂平均三角形”, 则角B 的最大值是 ______ .8. 设,,u v w 为复数, 其中()22,3,25w a bi a b a b =+≥+=,3u w v -=, 若1v =, 则当u 的辐角主值最小时,uw的值为_____________ 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 9．定义域为实数集R 的函数f (x )同时满足以下3个条件：①x ＞0时，f (x )＞0，②f (1)＝2，③对任意m ，n R ∈，都有f (m ＋n ) ＝f (m )＋f (n )．设集合22{(,)(3)(4)24}A x y f x f y =+≤，{(,)()()(3)0}B x y f x f ay f =-+=，21{(,)|()()()}2C x y f x f y f a ==+，若A ∩B ≠Ф 且A ∩C ≠Ф，试求实数a 的取值范围．10. 已知双曲线方程1222=-y x ，是否存在过焦点的直线l ，交双曲线于A 、B 两点，使得∠AOB ＝π2． 若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由。

2012年全国高中数学联赛模拟卷(三)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y =的最大值是 _______。

解：函数的定义域为[1, 5]，且y ＞0, y =22≤===，等号成立，即x ＝12727时函数取最大值6 3 2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃方式有____________种.解：跳5步共有32种，其中包含3步跳到D 的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。

在加上2种3步跳，共26种。

3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________。

解：()()()24233f a b c a b c a b c c =++=+++-+-()()()()()()3113031130f f f f f f =+--≤+-+3137≤++=, 当()221f x x =-+时, ()27f =4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =L ，则通项n a = ______。

解：1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ．5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[33, 22]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________。