北京市昌平区2015年中考二模数学试题

1、(15昌平229) 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ； （2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图2、(15朝阳229) .如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON . （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积； （3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P 的坐标.3、(15东城229)定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。

（1）请在如下的三个图形中，分别作一条等分线.圆平行四边形等腰三角形(2)请在图中用尺规作图．．．．作一条直线l，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线.(保留作图痕迹，不写作法)ARt9034.APABC A AB ACP∠===（3）如图，在中，，，，点P是边AB上的若存在，求动点，问是否存在出的长，若不过点存在的等分线由？，请说出理oVC4、(15海淀229) 如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点(1,0)A-，(1,1)B-，(1,0)C，(1,1)D，记线段AB为1T，线段CD为2T，点P是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P的直线l与1T，2T都有公共点，则称点P是12T T-联络点．例如，点P1(0,)2是12T T-联络点．（1）以下各点中，__________________是12T T -联络点（填出所有正确的序号）；①(0,2)；②(4,2)-；③(3,2).图1备用图（2）直接在图1中画出所有12T T -联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， ①若1r =，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．5、(15门头沟229) 我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线． 如下图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别 交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．F 1F 2O （A ）BDC xyF 1F 2OABCDxy图1 图2（1）如图1，如果抛物线y =x2的过顶抛物线为y =ax 2+bx ，C （2，0），那么① a = ，b = ．② 如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形（2）如图2，抛物线y =ax 2+c 的过顶抛物线为F 2，B （2，c －1）．求四边形ABCD 的面积．（3）如果抛物线2127333y x x =-+的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B 的坐标．xyO6、(15顺义229) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中B （6，0），与y 轴交于点C （0，8），点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C 重合）． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为'E ，若点'E 落在y 轴上（不与点C 重合），请判断以P ，C ，E ，'E 为顶点的四边形的形状， 并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．备用图7、(15西城229) 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画 出一个即可）（2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．8、（15丰台229）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2． （1）分别判断函数1y x=-（0x ＜）和23y x =-（2x ＜） 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数2y x =-+ （,a x b b a ≤≤＞）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围； （3）如果函数222y x ax =-+（15x ≤≤）是以3为上确界的 有上界函数，求实数a 的值.9、（15石景山229）对于平面直角坐标系xOy 中的点(),P m n ，定义一种变换：作点(),P m n 关于y 轴对称的点'P ，再将'P 向左平移()0k k >个单位得到点'k P ，'k P 叫做对点(),P m n 的k 阶“ℜ”变换．（1）求()3,2P 的3阶“ℜ”变换后3'P 的坐标；（2）若直线33y x =-与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点A 的2阶“ℜ”变换后得到点C ，求过,,A B C 三点的抛物线M 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线M 的对称轴与x 轴交于D ，若在抛物线M 对称轴上存在一点E ，使得以,,E D B 为顶点的三角形是等腰三角形，求点E 的坐标．（房山）29.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“友好”抛物线. （1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 （2）如图2，已知抛物线L 3：2284y x x =-+与y 轴交于点C ，点C 关于该抛物线对称轴的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的表达式;（3）若抛物线21()y a x m n =-+的“友好”抛物线的解析式为22()y a x h k =-+,请直接写出1a（怀柔）29. 阅读理解：学习了三角形全等的判定方法:“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”和直角三角形全等的判定方法“HL ”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA ”的情形进行研究．我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D . 初步探究：如图1，已知AC=DF, ∠A =∠D ,过C 作CH ⊥射线AM 于点H ，对△ABC 的CB 边进行分类，可分为“CB<CH ，CB=CH ，CH<CB<CA ，”三种情况进行探究．图2图1深入探究：第一种情况，当BC<CH 时，不能构成△ABC 和△DEF ．第二种情况，（1）如图2，当BC=CH 时，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，根据 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第三种情况，（2）当CH<BC<CA 时，△ABC 和△DEF 不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC 和△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）．（3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH 时，才一定能使△ABC ≌△DEF ． 除了上述三种情况外，BC 边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC ≌△DEF ？写出结论,并利用备用图证明.(平谷）29．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；HNAH NA(B)ANH图1ODCBA图2图3（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，且∠AOB=30°，求OM的长．。

EDCBA昌平区2015年初三年级第二次统一练习 数 学 参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：1011)3tan303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=133++………………………………………………………… 4分 =13+=4+ ………………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2． 系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分 20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分 21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点，∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩， …………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分 解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是8.2千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====，DOCB AEF∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分 ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分 ∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q =∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON =2∠Q =2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH =k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分 29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分 （3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。

6,a昌平区2015年高三第二次统一练习数学试卷(理科) 2015.41. 已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则AB 中元素的个数为A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.130(21)x dx -⎰等于A ．12- B. 23C. 1D. 63. 已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则 1a 等于A. 4-B. 6-C. 8-D. 10-4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球 总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 36+B. 33+侧视图C.33+D.7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是 A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =8. 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是 A ．1{,}212 B ．1{,}612 C．{}121224D．1{,}61224 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是___________. 10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为 DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则CP =_______,MN = . 11. 在ABC ∆中，若a =，b ，5π6B ∠=，则边c =__________.12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）BCDEAMD14. 如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界）， 圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AEBD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； (III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第i 行，第j 列的数记作ij a ,*,i j ∈N ，如11232,16a a ==. （I ）写出155366,a a a ，的值；(II) 若502,ij a =求,i j 的值；(只需写出结论) （III ）设n n b a =，11422n nn c b +=-- (*∈N n ), 记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S ；并求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 4+三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分) 解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω. ()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<， 所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ， 37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ,)3,0,0(1B , )0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD . 设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得,)1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD.因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D . 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令2ln ()x x g x x+=，则221ln ()x x g x x +-'= 令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x-'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数. ()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分解法二：2112()2x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<时，()0f x '>恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a =±时，()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a <-a >方程()0g x =有两个实数根12x x ==若a <-，两个根120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a >()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DFDF a +=，解得{a c =2222b a c =-=. 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以02120≠-x x .所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- . ……………9分 (ii) 证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n =-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++.因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I ）1522a =，536652,122a a == . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n 个数，所以 b n = ( 2n – 1 ) 2 n – 2 ( n – 1 ) = 4 n 2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…； 因为 11422n n n c b +=--所以*11(N )2(1)n n c n n n =-∈+， 故 11()12n n S n n *=-∈+N.…………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112[1][1]22n n n n n n ++++---=()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分。

2015年北京市昌平区中考数学二模试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为（）A．165×104B．1.65×105C．1.65×106D．0.165×107 2．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣3的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．4．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．15．（3分）如图，直线AB∥CD，Rt△DEF如图放置，∠EDF＝90°，若∠1+∠F＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．（3分）五一期间（5月1日﹣7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是（）A．24B．25C．26D．277．（3分）如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB 的长为（）A．2B．4C．D．28．（3分）小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（）A．10元B．11元C．12元D．13元9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：my2﹣9m＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA＝CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF＝2，则BD＝．14．（3分）把方程x2+6x+3＝0变形为（x+h）2＝k的形式，其中h，k为常数，则k＝．15．（3分）在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m，球刚好打过网，而且落在离网6m的位置上，则球拍击球的高度h＝m．16．（3分）如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30°，最小边长为2，点D、E分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：．18．（5分）如图，AB⊥AD，AE⊥AC，∠E＝∠C，DE＝BC．求证：AD＝AB．19．（5分）求不等式≤x的负整数解．20．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值．21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y 轴交于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOC面积的2倍，求点P的坐标．22．（5分）自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少公里？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线交于点O．将△BCD 沿直线BD翻折，得到△BED．（1）画出△BED，连接AE；（2）求AE的长．24．（5分）我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题．（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB＝10，AC＝8，求DF的长．26．（5分）【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα＝，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC＝α，所以∠ACB＝90°，tanα＝＝．易得∠BOC＝2α．设BC＝x，则AC＝3x，则AB＝x．作CD⊥AB于D，求出CD＝（用含x的式子表示），可求得sin2α＝＝．【问题解决】已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P＝β，tanβ＝，求sin2β的值．五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分）27．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O及点A（﹣4，0）和点B（﹣6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线y＝2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．（1）补全图形；（2）求证：OG＝OH；（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y＝a（x﹣m）2+a （x﹣m）与y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式与；（2）判断二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a与m的值；如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．2015年北京市昌平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000，这个数用科学记数法表示为（）A．165×104B．1.65×105C．1.65×106D．0.165×107【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【解答】解：将1650000用科学记数法表示为：1.65×106．故选：C．2．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣3的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】13：数轴；14：相反数．【解答】解：∵﹣3的相反数是：﹣（﹣3）＝3，∴表示﹣3的相反数的点是点D．故选：D．3．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【解答】解：从正面看易得第一层有1个正方形，第二层有3个正方形．故选：A．4．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．1【考点】R5：中心对称图形；X4：概率公式．【解答】解：∵四个图形中，是中心对称图形的有平行四边形、矩形及圆三个，∴P（中心对称图形）＝，故选：C．5．（3分）如图，直线AB∥CD，Rt△DEF如图放置，∠EDF＝90°，若∠1+∠F＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【考点】JA：平行线的性质．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵∠ABD＝∠1+∠F＝70°，∴∠BDC＝110°，∵∠EDF＝90°，∴∠2＝∠BDC﹣∠EDF＝20°．故选：A．6．（3分）五一期间（5月1日﹣7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是（）A．24B．25C．26D．27【考点】VD：折线统计图；W4：中位数．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：23℃，24℃，24℃，25℃，26℃，28℃，30℃，最中间的数是25，则中位数是25；故选：B．7．（3分）如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB 的长为（）A．2B．4C．D．2【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理．【解答】解：连接OA，OB，∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝2∠APB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝＝2．故选：D．8．（3分）小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（）A．10元B．11元C．12元D．13元【考点】9A：二元一次方程组的应用．【解答】解：设购买1支签字笔应付x元，1本笔记本应付y元，根据题意得，解得8x+8y＝96，即x+y＝12，所以在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付8+4＝12元，故选：C．9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【解答】解：P点在AB上运动时，y＝（5﹣x）×＝﹣x2+x，0＜x ≤5）抛物线的一部分；点P在BC上运动时，y＝（x﹣5）×＝x2﹣x（5＜x≤5）．抛物线的一部分．故选：B．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：my2﹣9m＝m（y+3）（y﹣3）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【解答】解：my2﹣9m＝m（y2﹣9）＝m（y+3）（y﹣3）．故答案为：m（y+3）（y﹣3）．12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．【考点】AA：根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．13．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA＝CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF＝2，则BD＝4．【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【解答】解：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴点F是AD的中点，又∵点E为AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BD＝2EF＝2×2＝4．故答案为：4．14．（3分）把方程x2+6x+3＝0变形为（x+h）2＝k的形式，其中h，k为常数，则k＝6．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【解答】解：移项，得x2+6x＝﹣3，配方，得x2+6x+9＝﹣3+9，所以，（x+3）2＝6．故答案是：6．15．（3分）在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m，球刚好打过网，而且落在离网6m的位置上，则球拍击球的高度h＝ 1.5m．【考点】SA：相似三角形的应用．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，DE：BC＝AE：AB，则，∴h＝1.5m．故答案为：1.5．16．（3分）如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30°，最小边长为2，点D、E分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是8或4+2．【考点】PC：图形的剪拼．【解答】解：如图1将△ABC沿EF剪下，可拼成矩形BCDE．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴，即．∴AB＝2．矩形BCDE的周长＝2BC+2BE＝2BC+AE＝2×2+2＝4+2；如图2将△ABC沿EF剪下，可拼成梯形DCFE．∵EF是三角形的中位线，∴EF＝．∴BD＝1．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CB＝4．∵DE＝AF．∴FC+DE＝AC＝4．∴梯形四边形的周长＝EF+BD+BC+FC+DE＝1+1+2+4＝8．故答案为：8或4+2．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【解答】解：原式＝1+3+3×+3＝4+4．18．（5分）如图，AB⊥AD，AE⊥AC，∠E＝∠C，DE＝BC．求证：AD＝AB．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠EAC＝∠DAB＝90°，即∠EAD+∠DAC＝∠CAB+∠DAC．∴∠EAD＝∠CAB，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AD＝AB．19．（5分）求不等式≤x的负整数解．【考点】C7：一元一次不等式的整数解．【解答】解：去分母，得4+x﹣6≤2x，移项，合并，得﹣x≤2，系数化为1，得x≥﹣2，所以原不等式的负整数解为﹣2，﹣1．20．（5分）已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【解答】解：原式＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3＝x2﹣4x+2，∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴原式＝1+2＝3．21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．（1）求一次函数的解析式；（2）点P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOC面积的2倍，求点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m），B（n，﹣3）在反比例函数的图象上，∴m＝＝6，﹣3＝，∴n＝2．∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），∵一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，6），B（2，﹣3）两点，∴，解方程组得∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3；（2）∵一次函数y＝﹣3x+3与y轴交点C（0，3），且B（2，﹣3）∴△BOC面积＝3，∵P是x轴上一点，且△BOP的面积是△BOC面积的2倍，∴设P（a，0），∴×|a|×3＝6，解得，a＝±4．∴点P的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．22．（5分）自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少公里？【考点】8A：一元一次方程的应用．【解答】解：设老张家到单位的路程是x千米，依题意，得13+2.3（x﹣3）＝8+2（x﹣3）+0.8x，解这个方程，得x＝8.2，答：老张家到单位的路程是8.2千米．四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线交于点O．将△BCD 沿直线BD翻折，得到△BED．（1）画出△BED，连接AE；（2）求AE的长．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．【解答】解：（1）画法：①以B为圆心，BC长为半径画弧，再以D为圆心，DC长为半径画弧，两弧交于点E；②连接BE、DE，得△BED；连接AE；如图1所示：（2）连接CE交BD于点F；如图2所示：∵将△BCD沿直线BD翻折，得到△BED，∴BD垂直平分CE．∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，∴∠BED＝∠BCD＝90°，DE＝DC＝AB＝3，EB＝BC＝6．∴；∴．∵，∴．∴．∴．∵BD垂直平分CE，O为AC中点，∴OF为△ACE的中位线，∴AE＝2OF＝．24．（5分）我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题．（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是100；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【解答】解：（1）女生总人数：10÷20%＝50（人），素描的女生人数为：50﹣10﹣16＝24（人），补全条形统计图，如图所示．（2）50+30+6+14＝100（人），所以样本容量为100；故答案为：100．（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×＝360（人）．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB＝∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB＝10，AC＝8，求DF的长．【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．【解答】解：（1）DF与⊙O相切．∵∠CDB＝∠CAB，又∵∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD．∴AC∥DF．∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF．∴DF与⊙O相切．（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC＝8，∴．∵AB是⊙O的直径，∴．在Rt△AEO中，．∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD．∴．∴．∴．26．（5分）【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα＝，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC＝α，所以∠ACB＝90°，tanα＝＝．易得∠BOC＝2α．设BC＝x，则AC＝3x，则AB＝x．作CD⊥AB于D，求出CD＝x（用含x的式子表示），可求得sin2α＝＝．【问题解决】已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P＝β，tanβ＝，求sin2β的值．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．【解答】解：【阅读学习】∵S＝AB•CD＝AC•BC，△ABC∴CD＝＝＝x．∵AB＝x，∴OC＝AB＝x，∴sin2α＝＝＝．故答案为x，；【问题解决】如图，连接NO，并延长交⊙O于Q，连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．在⊙O中，∠NMQ＝90°．∵∠Q＝∠P＝β，OM＝ON，∴∠MON＝2∠Q＝2β．∵tanβ＝，∴设MN＝k，则MQ＝2k，∴NQ＝．∴OM＝NQ＝．∵，∴．∴MH＝．在Rt△MHO中，sin2β＝sin∠MON＝．五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分）27．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O及点A（﹣4，0）和点B（﹣6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线y＝2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离．【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线经过（0，0），（﹣4，0），（﹣6，3）三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）设直线CD的解析式为y＝2x+m，根据题意，得，化简整理，得x2﹣4x﹣4m＝0，由△＝16+16m＝0，解得m＝﹣1，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣1；（3）平移后的解析式为y＝x2+x+4 ①，作直线MN∥CD且与平移后的抛物线切于G点，作GH⊥CD于H，设直线MN的解析式为y＝2x+n②，联立①②整理，得x2﹣4x+16﹣4n＝0，∵直线MN与抛物线相切，∴△＝16﹣4（16﹣4n）＝0解得n＝3直线MN的解析式为y＝2x+3 ③，联立①③，解得x＝2，y＝7，∴G（2，7），直线GH⊥MN，设直线GH的解析式为y＝﹣x+b′④，将G点坐标④，得﹣1+b′＝7，解得b′＝8，GH的解析式为y＝﹣x+8 ⑤，联立GH与CD，得，解得，H（，），∴GH＝＝新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标（2，7），该最短距离．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．（1）补全图形；（2）求证：OG＝OH；（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．【考点】LO：四边形综合题．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图2，延长AE、DC交于点P．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAE＝∠AEB，∠BAE＝∠DP A．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∠DAE＝∠DP A．∴BA＝BE，DA＝DP，又∵BG⊥AE，DH⊥AE，∴G为AE中点，H为AP中点．又∵O为AC中点，AD＝BC，∴OG＝CE＝（BC﹣BE）＝（AD﹣AB），OH＝CP＝（DP﹣CD）＝（AD ﹣AB），∴OG＝OH．（3）作PK⊥AC交AC的延长线于K．若OG⊥OH，由（2）可知，OH∥DP，OG∥BC，∴BC⊥DP，∴四边形ABCD是矩形，AC＝＝13，易证DA＝DP＝12，PC＝7，由△PCK∽△DCA，可得＝＝，可得CK＝，PK＝，∴AK＝，∴tan∠OAF＝＝．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：形如y＝a（x﹣m）2+a （x﹣m）与y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3）与y＝2（x ﹣3）2﹣2（x﹣3）；（2）判断二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是否为兄弟抛物线？如果是，求出a与m的值；如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．【解答】解：（1）抛物线y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3）与y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）是兄弟抛物线；故答案为y＝2（x﹣3）2+2（x﹣3），y＝2（x﹣3）2﹣2（x﹣3）；（2）二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：∵y＝x2﹣x＝（x﹣1）2+（x﹣1），y＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）2﹣（x﹣1），∴二次函数y＝x2﹣x与y＝x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线．此时a＝1，m＝1．（3）设对称轴为直线x＝2且开口向上的抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2+k（k ＜0），如图，∵△P AB为直角三角形，∴△P AB为等腰直角三角形，∴AB＝﹣2k，∴B（2﹣k，0），把B（2﹣k，0）代入y＝2（x﹣2）2+k得2k2+k＝0，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣，∴A（，0），B（，0），∴抛物线解析式为y＝2（x﹣）（x﹣），当y＝2（x﹣）（x﹣﹣1），则与y＝2（x﹣）（x﹣﹣1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y＝2（x﹣）（x﹣+1）＝2（x﹣）（x﹣），即y＝2（x ﹣）（x ﹣）与y ＝2（x ﹣）（x ﹣）为兄弟抛物线；当y ＝2（x ﹣）（x ﹣+1），则与y ＝2（x ﹣）（x ﹣+1）成一对兄弟抛物线的另一个二次函数为y ＝2（x ﹣）（x ﹣﹣1）＝2（x ﹣）（x ﹣），即y ＝2（x ﹣）（x ﹣）与y ＝2（x ﹣）（x ﹣）为兄弟抛物线．。

昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则AB 中元素的个数为A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个2.13(21)xdx -⎰等于A ．12- B. 23C. 1D. 63. 已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则 1a 等于A. 4-B. 6-C. 8-D. 10-4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6,a5.右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球 总数s A. 6i <B. 7i < C. 8i < D. 9i <6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.36+ B. 33+ C.33+ D.7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图 所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是 A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =8. 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体ABCD -的体积的取值集合是 A ．1{,}212B ．1{6C ．{}1224D ．1{,}61224侧视图 俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.已知直线l 的极坐标方程为sin 2cos 30ρθρθ-+=，则直线l 的斜率是___________.10. 如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为 DC 延长线上一点，MN 与⊙O 相切于点N ，若AP ＝8, PB ＝6, PD ＝4, MC ＝2，则CP =_______,MN = .11. 在ABC ∆中，若a =b ，5π6B ∠=，则边c =__________.12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 .13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻， 且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界）， 圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.BCDEA MD三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分)已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC 的中点，AEBD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .（I ） 求证：1CD B DM ⊥平面； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； (III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.20. (本小题满分13分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第i 行，第j 列的数记作ij a ,*,i j ∈N ，如11232,16a a ==.（I ）写出155366,a a a ，的值；(II) 若502,ij a =求,i j 的值；(只需写出结论)（III ）设n n b a =，11422n nn c b +=-- (*∈N n ), 记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求n S ；并求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 4+三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. (本小题满分13分) 解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分 （II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ， 37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1. 又因为,AB BE M AE =为的中点,所以BM AE ⊥, 即.DM AE ⊥AD //BC 又因为, 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形. 所以//.AE CD 故CD DM ⊥.因为平面⊥AE B 1平面AECD , 平面 AE B 1平面AE AECD =,1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD .1.B M AE ⊥ 因为⊂CD 平面AECD , 所以⊥M B 1CD .因为M M B MD =1 , MD 、⊂M B 1平面MD B 1,所以⊥CD 平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ,)3,0,0(1B , )0,0,1(-A , )0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD . 设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD , ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x,令1=z 得,)1,1,3(-=→m .所以55,cos >=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分 (III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ .则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD.因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ . 又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D . 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=,(10≤≤λ),C ，因为11MP MB B P =+.所以(2)MP λ=.因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a =时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>， 当112x <<时，()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立， 令2ln ()x x g x x +=，则221ln ()x x g x x+-'= 令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数. ()(1)1g x g >=，所以 1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分 解法二：2112()2x ax f x x a x x+-'=+-= 令2()21g x x ax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<()0f x '>恒成立， 1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a =±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a <-a >方程()0g x =有两个实数根1244a a x x -+==若a <-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-若a >()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=. 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以02120≠-x x .所以 2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=- . ……………9分 (ii) 证明：0k =时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ， 直线1:(2)2PB y x n=--, 1(3,)2N n -， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n =-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++.因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分20. (本小题满分13分)解：（I ）1522a =，536652,122a a == . ……………4分(II) I =20 , j =3. …………8分(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， b n 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n 个数，所以 b n = ( 2n – 1 ) 2 n – 2 ( n – 1 ) = 4 n 2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…； 因为 11422n n n c b +=--所以*11(N )2(1)n n c n n n =-∈+， 故 11()12n n S n n *=-∈+N.…………10分 因为 12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而()()()1112[1][1]22n n n n n n ++++---=()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=> 得()()51551122n n n ++≤<， 所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．…………13分。

昌平区2015年高三年级第二次统一练习 2015昌平二模 北京市昌平区2015届高三二模数学 数学试卷(文科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则集合()U C M N 中元素的个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. 4||1i-等于 A.1B.2 C. 2 D. 223．设1222114,log ,()43a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. a c b >> B. a b c >>C. b a c >>D. c a b >>4. 已知错误！未找到引用源。

是等腰直角三角形, D 是斜边BC 的中点，AB = 2 ,则()AB AC AD +⋅等于A ．2B ．22C ．4D ．6侧（左）视图俯视图正视图1111225. 若某几何体的三视图如图所示，则此 几何体的直观图是6.水厂监控某一地区居民用水情况，该地区A ,B ,C ,D 四个小区在8:00—12:00时用水总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四个小区中，单位时间内用水量逐步增加的是ABDC 12TQ 8 Q 2Q 1 OA12 TQ 8Q 2Q 1 OB12TQ 8Q 2Q 1 OC12 TQ 8Q 2 Q 1OD7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，其部分图象如图所示, 若，则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是A.21y x =-+B. cos y x =C. ,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. 2log y x =8. . 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么符合上述条件的所有四面体的体积的不同值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 已知函数2,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则=x ．10. 执行下面的程序框图，如果输入的5n =，那么输出 的S 的值为______．xyO1211. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36， 则样本中[98,104)的产品的个数是_____________.12. 数列{}n a 中，如果132n n a a +=-*()n ∈N ，且112a =，那么数列{}n a 的前5项的和5S 的值为 .13. 已知圆()()22115x y ++-=经过椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为_______.14. 点P 到曲线C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到曲线C 的距离. 已知点(2,0)P ，若点P 到曲线C 的距离为3. 在下列曲线中：① 2230x y -=， ② 22(1)(3)3x y ++-=， ③ 225945x y +=， ④ 22y x =. 符合题意的正确序号是 .（写出所有正确的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的三边分别为c b a ,,， 3B π=，且33, 2.b a == （Ⅰ）求sin 2A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.96 98 100 102 104 106 0.1500.125 0.100 0.075 0.050 克频率/组距O16.(本小题满分13分)某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为25. 专业 性别中文英语 数学体育 男 n1 m1 女1111（I ） 求,m n 的值；（II ）现从男同学中随机选取2名同学，进行社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同），求选出的这2名男同学中至少．．有一位同学是“数学专业”的概率.17.(本小题满分13分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且32n n a S p =-（其中p 是不为零的常数），*n ∈N . （I ）证明：数列}{n a 是等比数列；（II ）当p =1时，数列11,2n n n b b a b +=+=且，求数列{}n b 的通项公式.18.(本小题满分14分)在如图所示的几何体中，ACDE BC A ⊥平面平面，//CD AE ，F 是BE 的中点，90ACB ∠=，22AE CD ==,1,6AC BC BE ===.（I ） 求证：//DF ABC 平面； （II ）求证：DF ABE ⊥平面;（III ）求三棱锥E D BC -的体积.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点(3,0)F ，点1(3,)2A 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II)若直线(0)y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且与圆2222:O x y a b +=+相交于,P B 两点，问-1OM PB k k =⋅是否成立？请说明理由.20.（本小题共13分）已知函数2()(2)2ln f x a x x =-+. ( I ) 若1a =,求函数()f x 的单调区间;( II ) 若()f x 在区间[1,4]上是增函数,求实数a 的取值范围; (III) 已知函数1()()44g x f x a a=-+(0)a ≠，当[2,)x ∈+∞时,函数()g x 图象上的点FEDC BA均在不等式2x y x≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域内,求实数a 的取值范围.昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDACBBDC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 1 10. 14 11. 90 12. 252- 13. 101014. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)解：（I ） 由,sin sin B b A a =得31sin sin =⋅=b B a A . 因为a b <，所以A B <，则22cos 3A = 42sin 22sin cos 9A A A ==. ……………7分 (II)由B ac c a b cos 2222-+=,c c 24272-+=，解得,621+=c 舍）(621-=c ， 1362sin 22ABC S a c B ∆+=⋅⋅⋅=故. ……………13分 法二：因为a b <，所以A B <，则22cos 3A =. ,sin 32cos cos 32sin )32sin()sin(sin A A A B A C ππππ-=-=--=6162312132223sin +=⋅+⋅=C ， ,sin sin AaC c =由得,621+=c 1362sin 22ABC S a c B ∆+=⋅⋅⋅=故.……………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==．解得 3m =． 所以1n =． ……………6分（II ）由题意可知，男生共有6人，分别记为123456,,,,,a a a a a a ．其中数学专业的男生为456,,a a a .从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,a a a a a a a a a a ，23242526,,,a a a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共15种可能．设事件B ：选出的这2名男同学中至少有一位同学是“数学专业”．事件B 包括：141516,,a a a a a a ，242526,,a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共12种可能．所以至少有一位同学是“数学专业”的概率是124()155P B ==． ……………13分17. (本小题满分13分) 解：（I ）在数列}{n a 中，32nn a S p =- 当1n =时，12a p =当2n ≥时，1133()()2222n n n n n p p a S S a a --=-=--- 11322n n a a -=所以，13n n aa -=故所以数列}{n a 是以2p 为首项，以3为公比的等比数列. ……………7分（II ）当p =1时，12a =，123n n a -=⋅所以1,n n n b b a +=+因为1123,n n n b b -+-=⋅所以 02123b b -=⋅所以 13223b b -=⋅ 24323b b -=⋅2123,n n n b b ---=⋅以上各式叠加得： 0122123232323,n n b b --=⋅+⋅+⋅++⋅所以所以112(13)231,13n n n b ---=+=--12b =. 又因为 当1n =时，12b =符合上式.所以113n n b -=+,*n ∈N . ……………13分18. (本小题满分14分)证明：（Ⅰ）设M 为AB 中点，连结,FM CM .在ABE ∆中，F 为BE 中点，1//,2FM AE FM AE =.又因为//CD AE ,且12CD AE =, 所以//,CD FM CD FM =.所以 四边形CDFM 为平行四边形.故//DF CM ，DF ABC ⊄平面，CM ABC ⊂平面, 所以//DF ABC 平面. ……………5分 （Ⅱ）在Rt ABC ∆中，1AC BC ==,∴2AB =.在ABE ∆中，2AE =,6BE =,2AB =.因为222BE AE AB =+.所以ABE ∆为直角三角形. 所以AE AB ⊥.又ACDE BC A ⊥因为平面平面，ACDE BC AC A =平面平面.又90ACB ∠=因为，所以AC BC ⊥. 故BC ACDE ⊥平面. 即BC AE ⊥.BC AB B =,所以AE ABC ⊥平面，CM ⊂平面ABC . 故AE CM ⊥.在ABC ∆中，因为AC BC =,M 为AB 中点, 所以 CM AB ⊥ .AE AB A =,所以 C M A B E ⊥平面. 由（Ⅰ）知 //DF CM ,所以 DF AB E ⊥平面. ……………11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知BC ACDE ⊥平面所以BC 为三棱锥E B CD -的高,所以11111113326D BCE B CDE CDE V V S BC --∆===⨯⨯⨯⨯=. ……………14分 19.(本小题满分14分)解：（I ）因为椭圆C 的右焦点(3,0)F ，经过点1(3,)2A2222231143a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩， 解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）不成立 .…………………6分 由（I ）知，圆221:5C x y +=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点M . 所以方程组22(*)14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 有且只有一组解.由(*)得222(41)8440k x kmx m +++-=.从而2216(41)0k m ∆=-+=化简得2214m k =+ ① 24,41M km x k =-+ 214M M m y kx m k=+=+. ② 所以点M 的坐标为224(,)1414km m k k -++. 由于0PB k k =≠，由①可知0m ≠， 所以2211414414OM PB m k k k k km k +⨯=⨯=-≠--+， -1OM PB k k =⋅不成立.……………14分20.（本小题共13分）解：（I ）当1a =时，2()(2)2ln ,f x x x =-+定义域()0,+∞.2'22(1)()24,x f x x x x -=-+= 因为0x >，所以'()0f x ≥.所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞,无单调递减区间. ……………3分（II ）[]2'2242()24(0),1,4ax ax f x ax a a x x x -+=-+=≠∈. 因为()f x 在区间[1,4]上是增函数,所以'()0f x ≥在区间[1,4]上恒成立，即22420ax ax -+≥在[1,4]上恒成立. （i ）当0a =满足题意（ii ）令2()242,h x ax ax =-+则2()2(1)22,h x a x a =--+对称轴1x =. ① 当0a >时，只需(1)0,h ≥即220,a -+≥解得0 1.a <≤② 当0a <时，只需(4)0,h ≥即1620,a +≥解得10.8a -≤< 综上，实数a 的取值范围是118a -≤≤ ……………7分 （III ）依题意，()g x x ≥在[2,)+∞上恒成立. 令21()()(2)2ln 4,4p x g x x a x x a x a=-=-+-+-则min ()0p x ≥在[2,)+∞上成立即可. '2(2)(21)()241,x ax p x ax a x x--=-+-= ① 当0a <时， 因为2x >，所以20,210,x ax ->-<则'()0,p x <()p x 在[2,)+∞上是单调递减， 且1(4)2ln 4404p a =-+<，所以不满足min ()0p x ≥，则0a <不成立. ② 当104a <<时，122a<. 令'()0,p x >则递增区间是1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，令'()0,p x <则递减区间是12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2min 11111()()(2)2ln 422ln 2.22242p x p a a a a a a a a==-+-+-=-- 22ln 20a --≥，解得12a e≤， 所以102a e<≤. ③当14a ≥时，122a≥. 令'()0,p x >则递增区间是[)2,+∞.所以min 1()(2)2ln 24 2.4p x p a a==-+- 因为14a ≥，所以11,41,4a a ≤-≤-则140,4a a-+≤2ln 220-<， 所以min ()(2)0,p x p =<不满足min ()0p x ≥，则14a ≥不成立, 综上，实数a 的取值范围是102a e <≤. ……………13分。

2015北京各区中考数学25题汇编及答案25．如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ． （1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．25．如图1，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在线段ED 上．连接AF 并延长交 ⊙O 于点G ，在CD 的延长线上取一点P ，使PF=PG ．（1）依题意补全图形，判断PG 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 为半径OA 的中点，DG ∥AB，且OA PG 的长．25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于 点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；F（2）若DF =3，DE =2．①求值；②求FAB ∠的度数．25．如图，点A B C D E 、、、、在⊙O 上，AB CB ⊥于点B ，tan 3D =，2BC=，H为CE 延长线上一点，且AH =CH =（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若点D 是弧CE 的中点，且AD 交CE 于点F ，求EF 的长．25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD 是⊙O的直径，P A ∥BC ，与DB 的延长线交于点P ，连接AD ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若BC =4 ，求AD 的长．25．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，且AD =DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE是⊙O 的直径，连结DE ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；BEADCC（2）若4sin 5C =，AC =6，求⊙O 的直径．25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．25．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA =∠ABC ；（2）如果BD =1，tan ∠BAD =12，求⊙O 的半径．25.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点， AD ⊥ DC 于D , 且AC 平分∠DAB ，延长DC 交AB 的延长线于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若tan ABC =43∠，BE =PC 的长．25．如图，△ABC 内接于⊙O ，OC ⊥AB 于点E ，点D 在OC 的延长线上，且∠B =∠D =30°.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AB =求⊙O 的半径．25．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 边上，过点E 作EF ⊥BC ，延长FE 交⊙O 的切线AG 于点G ． （1）求证：GA =GE ．PE（2）若AC =6，AB =8，BE =3，求线段OE 的长．答案25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩F∴△OEC ≌△OAC ． (1)分∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°，∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ． ∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°， ∴∠OEF =90°． ∵⊙O 的半径为3， ∴OE =OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，∴5OF ，………………………………………………………………………3分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=， ∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………………………4分∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°． ∴BD =2BC． 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∴BC =F∴BD=．…………………………………………………………………………………….5分25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG . ∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP =90°，2CG OA ==A∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分25. （1）连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAF ＝∠DAO ∵OA =OD ∴∠OAD ＝∠ODA ∴∠ DAF ＝∠ODA ∴AF ∥OD ．┉┉1分 ∵DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线┉┉2分 （2）①连接BD ∵直径AB ， ∴∠ADB =90° ∵圆O 与BE 相切 ∴∠ABE =90°∵∠DAB +∠DBA =∠DBA +∠DBE =90° ∴∠DAB =∠DBE ∴∠DBE =∠F AD ∵∠BDE=∠AFD =90° ∴△BDE ∽△AFD ∴32==DF DE AD BE ┉┉3分 ②连接OC ，交AD 于G 由①，设BE =2x ，则AD =3x ∵△BDE ∽△ABE ∴BE DE AE BE =∴xx x 22232=+∵AB BC ⊥于点B∴AC 是⊙O 的直径…………………………………1分 ∵D ACB ∠=∠，∴tan tan 3D ACB =∠= 在Rt ABC ∆中，2BC =，∴36AB BC == 由勾股定理AC =在CAH ∆中，由勾股定理逆定理：22250AC AH CH +==∴90CAH ∠=°即CA AH ⊥∴AH 是⊙O 的切线…………………………………2分 （2）解：∵点D 是弧CE 的中点∴EAD DAC ∠=∠…………………………………3分 ∵AC 是⊙O 的直径 ∴AE CH ⊥∴90H EAH H HCA ∠+∠=∠+∠=° ∴EAH HCA ∠=∠∴EAD EAH DAC HCA ∠+∠=∠+∠ 即AFH HAF ∠=∠∴HF HA =∵CA AH ⊥AE CH ⊥∴2AH EH CH =⨯可得EH = ∴EF =5分25.（1）证明：连接OA 交BC 于点E ，由AB =AC 可得OA ⊥BC ．………………………1分C B∵PA ∥BC ， ∴∠PAO =∠BEO =90°. ∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线. …………………………… 2分 （2）解：根据（1）可得CE =21BC=2． Rt △ACE 中，122=-=CE AC AE . ………………………………3分∴tan C =21=CE AE ． ∵BD 是直径，∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分 又∵∠D =∠C ， ∴AD =52tan =DAB.………………………………………………………5分25． （1）证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠1=∠C =∠B ，..................................................1分 又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°， ∴∠E +∠EAD =90°， ∴∠1+∠EAD =90°，∴AC 是⊙O 的切线．...........................................2分 （2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ， ∵DA =DC ，AC =6， ∴CF =12AC =3，..................................... ............3分 ∵4sin 5E =，∴4sin 5C =， ∴在Rt △DFC 中，DF =4，DC =5， ∴AD =5，∵∠ADE =∠DFC =90°，∠E =∠C ，∴△ADE ∽△DFC ，.............................................4分C∴AD DFAE DC =， ∴545AE =， ∴AE =254，∴⊙O 的直径为254．....................5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠，∴BFD CAB ∠=∠． ∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，∴DF OD ⊥． ∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8，∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEORt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆． ∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴321DF CEB A O320=DF ． ………………………………………………… 5分25．（1）证明：联结AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，AD ⊥BC .∵AC = AB ，∴12∠=∠．…….1分 ∵OA OD =，∴13∠=∠． ∴23∠=∠，∴OD ∥AC ．…….2分（2）∵AC = AB =10，∴B C ∠=∠．∴cos C=cos 5ABC ∠=． 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，cos 5BD ABC AB ∠==， ∴BDCD = BD….3分∵EF 为⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，由∵OD ∥AC ，∴∠DFC =90°. …….4分 在Rt △CDF 中，cos C=5CF CD =，∴CF =2．∴AF =8． ∵OD ∥AC ，∴ODE ∆∽AFE ∆．∴OE OD AE AF =．∴OB BE ODAB BE AF+=+． ∵152OB OA OD AB ====,∴103BE =．…….5分 25．（本小题满分5分）（1）证明：连接OA .（如图）∵ AE 为⊙O 的切线，BD ⊥AE ， ∴ ∠DAO =∠EDB =90°. ∴ DB ∥AO .∴ ∠DBA =∠BAO . …………1分 又 ∵OA =OB ， ∴ ∠ABC =∠BAO .∴ ∠D B A =∠A B C . ………………………………………………2分（2）在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，C∵ BD =1，tan ∠BAD =12， ∴ AD =2，……………………………………………………………………3分由勾股定理得AB .∴ cos ∠DBA 又∵ BC 为⊙O 的直径， ∴ ∠BAC =90°. 又∵∠DBA =∠ABC .∴ cos ∠ABC = cos ∠DBA∴ 5.cos ABBC ABC===∠…………………………………………4分 ∴ ⊙O 的半径为5.2…………………………………………………………5分25.解：（1）∵ OC =OA∴ ∠CAO =∠OCA ∵ AC 平分∠DAB ∴ ∠DAC =∠CAO ， ∴ ∠ACO =∠DAC ． ∴ OC ∥AD ．…………………………………………………………………….1分 ∵ AD ⊥PD ， ∴OC ⊥PD ． ∴ PD 是⊙O 的切线……………………………………………………………...2分（2）连接AE ．∵CE 平分∠ACB ，∴AE BE =，∴AE BE == ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°．在Rt △ABE 中，14AB =………………………………………3分 ∵ ∠P AC =∠PCB ，∠P =∠P ， ∴ △P AC ∽△PCB ， ∴ PC AC PB BC =．…………………………………………………………………..4分 又∵4tan 3ABC =∠，∴43AC PCBC PB==， 设PC =4k ，PB =3k ，则在Rt △POC 中，PO =3k +7，OC =7，∵ PC 2+OC 2=OP 2， ∴()()2224737k k +=+， ∴ 126,0k k ==(舍去)．∴ PC =4k =4×6=24． …………………………………………………………..5分25证明：（1）连接OA .∵∠B =∠D =30°，∴∠AOC =2∠B =60°，……………………….(1分) ∴∠OAD =180°-∠AOD -∠D =90°，…………….(2分) 即OA ⊥AD ,∴AD 是⊙O 的切线.……………….(3分)（2）∵OA =OC ,∠AOC =60°，∴△ACO 是等边三角形， ∵CO ⊥AB ∴ ……………………….(4分)在Rt △ABC 中∴⊙O 的半径为6.……………………………….(5分)1122AE AB ==⨯=sin sin60AEACE AC∠==︒6AC ===。

EF OA BCD1昌平.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．2朝阳．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。

后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①P A =4，PC =23，PB= .②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1图23东城. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，(2) 如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.4海淀．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCAD图3DEBACFEBCA D图1 图2 图35门头沟 ．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．DAB CPDC AB图1 图26顺义．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．图3PCABDD图2图1ABPC B CPA7西城．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．8丰台．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．①依题意补全图形；②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．A BECD DCEBA9石景山．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF ，22AB =，2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．10平谷．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．11怀柔．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ； （3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1()2AC AB -.OBDC AEC B H EFGODA图1ACDB图2B DA CPC BA M 图1图2P CBAMa HFEDABC12房山.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =22FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .13通州．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP 的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②图2a H FEMNDA BC图1aH FEDABC图 3N MO A BP EFDC NOMA BP1昌平．解：（1）HG E FODCBA……………………… 1分（2）PHG E FODCBA证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． …………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， …………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． ……… 5分∴ OG =OH ． ………………… 6分（3）717． ……………………………………………………… 7分2朝阳. （1）①72；……………………………………………………………………………1分图1CGF EBAD②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分 ∴P A ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°. ∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分3东城①解BE AD =，BE AD ⊥；……2分②∴BE AD ⊥.……4分BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1.∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分 ∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒.（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++.∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……4海淀（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒．…………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．………………………………………………..……………4分②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．…………………………………………………………………7分5门头沟解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∴ CD =CE ，∠DCE =90°．∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE .…………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ，F EB CADF EBCA D MD A B C E即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP 的距离为312-．…………………………………………7分6顺义（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分∴∠BAP=60º，AP= AC，又∵∠BAC=90°，∴∠P AC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠P AE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠P AE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，4123EDBAC P321EAPCBD∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75º， ∴∠DPC =15º．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形．7西城．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………7分8丰台. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分 （2）①见右图；…….2分 ②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =，E APCBD EDBACP图10图11∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分9石景山．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分 ∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ， ∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分 （3）BH 的最大值为25+……8分10平谷．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD =23．∴AC =27． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，∴AM=2，DM =23．∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3． (7)∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM =23．∵∠BCD=60°，∴CN =3．∴BC=CN+BN =33．∴AC =213． (8)即AC =27或213．11怀柔．解：（1）补全图形，如图1所示.………1分（2）延长DM交CE于点F.∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.∵M为BC边中点，∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,∴△DMB≌△FMC (ASA)，∴DM=FM.∵∠DEF=90°.∴EM=12 DF,∴MD=ME.……………………………4分（3）延长BD交AC于点G.………………… 5分∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,∴△A DB≌△ADG (ASA)，ECDBANMCDA B21FEDCBAPM图1图1PEDMAB C∴BD=DG,AB=AG.又∵△DMB ≌△FMC, ∴BD=CF ，DM=MF, ∴CF=DG, 又∵BG ∥CF,∴四边形DFCG 为平行四边形. ∴DF=CG, ∴2MD=CG, ∴2MD=AC-AB, ∴MD=12(AC-AB). ……………………………7分 12房山.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∠3=∠4∴FHE FDE ︒==90∠∠ ,即BE CF ⊥…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形 ∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3）222BF CE AC += ……………………………………………………………7分13通州.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴12CD AB =， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ，P GME DCBAF∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。

DC B A -3-2-13210圆矩形平行四边形直角三角形E DFB21CA AB C D2015年北京市昌平区初三二模数 学 2015．6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是1650000 ，这个数用科学记数法表示为A ．410165⨯ B ．51.6510⨯ C ．61065.1⨯ D ．710165.0⨯2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示 -3的相反数的点是A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为4.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为A . 12B . 14C . 345．如图，直线AB ∥CD ，Rt △DEF 如图放置，∠EDF =90°，若∠1+∠F =70°， 则∠2的度数为 A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°ABP OMCABD NA BCQ6．五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是A ．24B ．25C ．26D ．277．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为 A ．2B ． 4C 2D ． 228．小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付 A ．10元 B ．11元 C ．12元 D ．13元9．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ． 若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 A ．90°B ． 95°C ．100°D ． 105°10.如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为AB →BC ，动点Q 的运动路线为BD ．点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．售货员：好的，那你应该付52元．小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．EDCBAA BCE F终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列能大致表示y 与x 的函数关系的图象为二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：29my m -= .12．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是 ． 13．已知：如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA =CD ，CF 平分∠ACB ， 交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF =2，则BD = ．14．把方程2630x x ++=变形为()2x h k +=的形式，其中h ，k 为常数，则k = ． 15．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高，球刚好打过网，而且落在离网6 m 的位置上，则球拍击球的高度h = m ．16. 如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为30︒，最小边长为2， 点D 、E 分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE 剪开，然后再将两部 分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是 ．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：111)3tan 303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭o ．18．如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =．19．求不等式432x+-≤x 的负整数解．20. 已知0142=--x x ，求代数式3)1()3(22+---x x x 的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象交于()1A m -，，()3B n -，两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．（1）求一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍，求点P22. 自从2012年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省元，求老张家到单位的路程是多少公里？四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ．OADCBEF（1）画出△BED ，连接AE ； （2）求AE 的长．24．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题. （1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．OABCD26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共22分） 27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．图1图2F OAB C D28.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD 于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．（1）补全图形；（2）求证：OG=OH；（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．E29. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如()()2y a x m a x m =-+-与()()2y a x m a x m =---的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；（2）判断二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对兄弟抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．备用图EDCBA昌平区2015年初三年级第二次统一练习 数 学 参考答案及评分标准 2015. 6一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．解：1011)3tan 303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭o=133++………………………………………………………… 4分 =13+=4+． ………………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ AB AD ⊥，AE AC ⊥，∴90,EAC DAB ∠=∠=︒即 EAD DAC CAB DAC ∠+∠=∠+∠．∴∠EAD =∠CAB ． …………………………………… 1分在△ADE 和△ABC 中，E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ADE ≌△ABC ．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB ． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 46x +-≤2x .………………………………………………… 2分移项，合并，得 x -≤2． 系数化1，得 x ≥-2． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式的负整数解为21--，． …………………………………………5分 20．解： 3)1()3(22+---x x x2226x 2x 13x x =--+-+ ……………………………………………………2分24x 2x =-+． ………………………………………………………………………3分∵ 0142=--x x ， ∴ 241x x -=，∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）∵ 点()1A m -，，()3B n -，在反比例函数6y x=-的图象上， ∴ m =6,n =2.∴ ()16A -，，()23B -， ……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数y kx b =+的图象过()16A -，，()23B -，两点， ∴ 632.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，…………………………………………………………………… 2分解方程组，得3,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式为y =-3x +3. ……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y =-3x +3与y 轴交点C (0，3), 且B (2，-3)∴ BOC △面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ P 是x 轴上一点，且BOP △的面积是BOC △面积的2倍， ∴ 设P (a ,0), ∴1362a ⨯=，解得，4a =±. ∴ 点P 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x 千米． ……………………………… 1分依题意，得 13 2.3(3)82(3)0.8x x x +-=+-+． ………………………………………… 3分 解这个方程，得 8.2x =． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE 交BD 于点F ． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ， ∴ BD 垂直平分CE ．∵ 矩形ABCD ，AB =3，BC =6，∴ ︒=∠=∠90BCD BED ， 3 6.DE DC AB EB BC =====，DOCB AEF∴ 53362222=+=+=DE BE BD ． ………………………………………………………… 3分∴ 52321==BD OD . ∵ BDDEDE DF EDB ==∠cos ， ∴5333=DF ． ∴ 553=DF ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴5109=-=DF OD OF ． ∵BD 垂直平分CE ，O 为AC 中点， ∴AE =2OF =559． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1） 补全条形统计图，如图所示．…………………………………………………… 2分（2）100． ……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×30100=360人．答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ………………………………… 1分 ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠， ∴BFD CAB ∠=∠．∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分 ∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ， ∴DF OD ⊥．∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8， ∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEO Rt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分 ∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆．∴DF AE OD OE =． ∴DF453=． ∴320=DF ． ………………………………………………… 5分26．解：10103xCD =． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ， ∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ………………………………………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，∴ 01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ …………………………………………………………………… 1分解得 1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m +=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1）B………………………………………… 1分（2）B证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． ……………………………………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………………………………………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． …………………………… 5分∴ OG =OH ． ………………………………………………………………… 6分（3）717． ……………………………………………………………………………… 7分 29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a 值和相同的m 值即可（每空各1分）…… 2分（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分∵ ()()2211y x x x x =-=-+-， ……………………………………………………… 4分()()223211y x x x x =-+=---， …………………………………………………… 5分∴ 二次函数2y x x =-与232y x x =-+的图象是兄弟抛物线．此时 1a =，1m =． …………………………………………………………………… 6分 （3） 132()()22y x x =--，352()()22y x x =-- ； ………………………………… 7分 或 352()()22y x x =--，572()()22y x x =--． ………………………………………… 8分。