( t 1 0
2 2
2
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
( x + y ) ln(1 + y
1．计算 ⎰⎰D
x 1 - x - y
d x d y = ，其中区域 D 由直线 x + y = 1 与两
坐标轴所围成三角形区域.
⎛ 0 1 ⎫
解 令 x + y = u , x = v ，则 x = v , y = u - v ， d x d y = det ⎝ 1 ⎪ d u d v = d u d v ，
- 1⎭
⎰⎰ D
( x + y ) ln(1 + y
)x 1 - x - y
d x d y = ⎰⎰ D
u ln u - u ln v d u d v
1 - u
1
u ln u
u
u
u
= ⎰0
1 - u ⎰
d v -
1 - u ⎰0 ln v d v )d u
1 u
2 ln u u (u ln u - u ) = - d ⎰0
1 = ⎰0
1 - u
u
2 d u 1 - u u 1 - u （*）
令 t = 1 - u ，则u = 1 - t 2 ，d u = -2t dt ，u 2 = 1 - 2t 2 + t 4 ，u (1 - u ) = t 2 (1 - t )(1 + t ) ，
(*) = -2⎰1
1 (1 - 2t 2
2 + t 4
4
)d t
⎡
2 3 1 5 ⎤ 16 = 2⎰0
(1 - 2t + t )d t = 2⎢⎣ - 3 t
+ 5 t ⎥⎦ =
15
2
2 2．设f ( x ) 是连续函数，且满足 f ( x ) = 3x -
⎰
f ( x )d x - 2 , 则 f ( x ) =
.
2 解 令 A =
⎰
f ( x )d x ，则 f (x ) = 3x
- A - 2 ，
A = ⎰
2
(3x 2 - A - 2)d x = 8 - 2( A + 2) = 4 - 2 A ,
解得 A =
4 。因此 f ( x ) = 3x 2 - 10
3
3．曲面 z = x
3
+ y 2 - 2 平行平面 2x + 2 y - z = 0 的切平面方程是
.
2
解 因平面
2x + 2 y - z = 0 的法向量为
(2,2-, 1) ，而曲面 z
= x + y 2 - 2 在
2
( x 0 , y 0 ) 处 的 法 向 量 为 (z x (x 0 , y 0 ), z y (x 0 , y 0 ),-1) ， 故 (z x (x 0 , y 0 ), z y (x 0 , y 0 ),- 1) 与
(2,2,-1) 平行，因此，由 z x = x ， z y = 2 y 知 2 = z x (x 0 , y 0 ) = x 0 ,2 = z y (x 0 , y 0 ) = 2 y 0 ，
即 x 0 = 2, y 0 =(1，又z ,
x )0
y 0 (
=2 z , 1 ) = 1，于是曲面 2x + 2 y - z = 0 在 (x 0 , y 0 , z (x 0 , y 0 ))
2
处的切平面方程是2(x - 2) + 2( y -1) - (z -1) =0，即曲面z =x+y 2 - 2 平行平面
2
2x +2y-z = 0 的切平面方程是2x +2y-z - 5 = 0 。
4．设函数y =y(x) 由方程xe f ( y)=e y ln 29 确定，其中f 具有二阶导数，且f '≠ 1 ，
d 2 y
则=.
d x 2
解法1 方程xe f ( y)=e y ln 29 的两边对x 求导，得
e f ( y)+xf '(y)y'e f ( y)=e y y'ln 29
即
[1
+f '( y) y']xe f ( y )=y'e y ln 29 x
因e y ln 29 =xe f ( y)≠ 0 ，故1 +f '( y) y'=y'，即y'=
x
1
x(1 -f '( y))
，因此
d 2 y d x 2=y'=-
1
+
x 2 (1 -f '( y))
f '( y) y'
x[1 -f '( y)]2
=
f '( y)
x 2 [1 -f '( y)]3
-
1
=
x 2 (1 -f '( y))
f '( y) -[1 -f '( y)]2
x2 [1 -f '( y)]3
解法2 方程xe f ( y)=e y ln 29 取对数，得f (y) + ln x =y + ln ln 29方程（1）的两边对x 求导，得f '( y) y'+1 =y'
x （1）（2）
即y'= 1
x(1 -f '( y))
（3）
方程（2）的两边对x 求导，得f '( y) y'+f '( y)( y')2 -1
x 2
将（3）代入（4），得
=y' （4）
f '( y) y'+ 将左边的第一项移到右边，得
f '( y)
-
1
x2 (1 -f '( y))2 x 2
=y'
因此
y'= f '( y) - (1 - f'( y)) 2
=y'(1 -f '( y)) x2 (1 -f '( y))2
f '( y) -[1 -f '( y)]2
x 2 [1 -f '( y)]3
二、（5 分）求极限lim(
x→0 e x +e2 x + +e nx
n
e
) x ，其中n 是给定的正整数.
解法1 因
e x +e2 x + +e nx e
lim( ) x= lim(1 + e x +e2 x + +e nx -n e
) x
x→0 n x→0 n
