理论力学第三版(周衍柏)习题答案
第一章 质点力学
第一章习题解答
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:
{
{
S
S
t t 题1.1.1图
设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-+=-=2
21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得
1102
1
at t s v +=
再由此式得
()()
2121122t t t t t t s a +-=
证明完毕.
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.
2.1图.
题1.2.1图
设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎭⎫ ⎝
⎛+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标
()t t x A 15150--=，0=A y
B 船坐标0=B x ，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛+-=t t y B 15211150
则AB 船间距离的平方
()()2
22B A B A y y x x d -+-=
即
()
2
02
1515t t d -=2
01521115⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛++t t
()2
02
002211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++-=t t t t t
2d 对时间t 求导
()
()67590090002
+-=t t dt
d d AB 船相距最近，即()
02=dt
d d ，所以 h t t 4
30=
- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离
2
2
min
231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⨯=s km
1.3 解 ()1如题1.3.2图
x
y
C
a
B
A ψ
ϕ
r
O
a
第1.3题图
•
•A B C r a
ϕ
ψ
ωx
y
O
题1.3.2图
由题分析可知，点C 的坐标为
⎩⎨
⎧=+=ψ
ψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有
ϕ
ψsin 2sin a
r =
（正弦定理）所以
r
y r a 2sin 2sin ==
ψϕ
联立以上各式运用
1cos sin 22=+ϕϕ
由此可得
r
y
a x r a x 2
2cos cos --=
-=ψϕ
得
1242
2
222222=---++r y a x y a x r y 得
22222223y a x r a x y -=-++
化简整理可得
()()
2222222234r a y x y a x -++=-
此即为C 点的轨道方程.
（2）要求C 点的速度，分别求导
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x &&
其中
ϕ
ω&= 又因为
ψϕsin 2sin a r =
对两边分别求导 故有
ψ
ϕωψ
cos 2cos a r =& 所以
2
2
y x V &&+=4cos sin cos 2cos sin 2222
ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
()ψϕψϕϕψ
ω
++=
sin cos sin 4cos cos 22r
1.4 解 如题1.4.1图所示，
A B
O
C
L
x
θd 第1.4题图
OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量
22x d OC v +=⨯=⊥ωω
C 点速度
d
x d d v v v 222
sec sec cos +====⊥⊥ω
θωθθ 又因为ωθ=&所以C
点加速度 θθθω&⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()
2
222222tan sec 2d x d x d +=
=ωθθω
1.5 解 由题可知，变加速度表示为
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=T t c a 2sin
1π 由加速度的微分形式我们可知
dt
dv a =
代入得
dt
T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=2sin 1π 对等式两边同时积分
dt T t c dv t v
⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=00
2sin 1π
可得 ：
D T
t
c T
ct v ++
=2cos
2ππ
（D 为常数）
代入初始条件：0=t 时，0=v ，故
c
T D π
2-
=
即
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos
2T t T t c v ππ 又因为
dt
ds v =
所以
=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 222
12πππ
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
