利用放缩法证明数列型不等式压轴题(最新整理)

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。

关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式

问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列的前项的和，。设，

{}n a n 1412

2333

n n n S a +=-⨯+1,2,3,n = 2n n n T S =，证明：。1,2,3,n = 13

2

n

i i T =<

∑证明：易得，12(21)(21),3n n

n S +=--11

32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----112231

1

131********

()()221212212121212121n

n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =

113113(221212

n +-<--点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可12(21)(21)n n n +--111

2121

n n +-

--达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行(3)n n ≥二次放缩。

例2 已知数列和满足，，数列的{}n a {}n b 112,1(1)n n n a a a a +=-=-1n n b a =-{}n b 前和为，；

n n S 2n n n T S S =-

（I ）求证：；1n n T T +>（II ）求证：当时，。2n ≥2n S 711

12

n +≥

证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n

+-=

+++-++++++++ 11121221n n n =

+-

+++10(21)(22)

n n =>++∴．

1n n T T +>（II ）112211

222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+ 12211

22n n T T T T S --=+++++ 由（I ）可知递增，从而，又，n T 12222n n T T T --≥≥≥ 11217,1,212T S T =

==12211222n n n S T T T T S --∴=+++++ 21171711

(1)(1)112212

n n T T S n +≥-++=-++=

即当时，。

2n ≥2n S 711

12

n +≥点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，递增，将裂成

n T 2n S 的和，从而找到了解题的突破口。

1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+ 2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间

项。用于解决积式问题。

例3 已知数列的首项为点在直线上。

{}n a 13,a =()1,+n n a a )(03*

N n y x ∈=-若证明对任意的 ，不等式

3*3log 2(),n n c a n N =-∈*

n ∈N

恒成立．12111

(1)(1+)(1+)n

c c c +

⋅⋅> 证明： ，32n c n =-331313133131

(1+

)(323231332

n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=----所以3121114731

[(1)(1+)(1+)]311432

n n n c c c n ++

⋅⋅>⋅⋅⋅=+-

。12111

(1)(1+)(1+)n

c c c +

⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更

容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两33131(1+

()32

n n c n -=-项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131

(323231332

n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。31

{

}32

n n +-3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4

已知数列满足，，

证明：{}n x 1111

,,*21n n

x x n N x +=

=∈+。1112

||()65

n n n x x -+-≤⋅证明：当时，，结论成立。1n =1211

||||6n n x x x x +-=-=当时，易知2n ≥11111

01,12,12

n n n n x x x x ---<<+<=

>

+111115

(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=+

+=+≥+1111||11|||

|11(1)(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=

++++211112122212

||()||(||()55565

n n n n n n x x x x x x ----≤

-≤-≤≤-= 点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标

转化。

例5已知数列的各项均为正数，且满足记

{}n a 111

122,

(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-，数列的前项和为，且．2n n n b a a =-{}n b n n x 1

()2

n n f x x =

（I ）数列和的通项公式；{}n b {}n a （II ）求证：

．12231()()()

1()2()()()2

n n f x f x f x n n n N f x f x f x *+-<+++<∈ 略解：（I ） ，，。

2n

n b

=n a =()21n

n f x =-