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高中数学直线与圆的方程知识点总结高中数学直线与圆的方程知识点总结高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180°。
2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范围：斜率k∈R。
3、斜率与坐标：ktany1y2y2y1x1x2x2x1①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）特例----垂直时：l1x轴，即k1不存在，则k20；斜率都存在时：k1k21。
②平行：斜率都存在时：k1k2,b1b2；斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。
③重合：斜率都存在时：k1k2,b1b2；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：yy0k(xx0)将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可；②斜截式：ykxb将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；③两点式：带入即可；yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接y2y1x2x1xy1将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可；ab④截距式：⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：(x1x2)(y1y2)①两点间距离：P1P2②点到直线距离：d22Ax0By0CAB22③平行直线间距离：dC1C2AB224、中点、三分点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)x1x2y1y2,)222xx22y1y2,)靠近A的三分点坐标②A B三分点(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,)靠近B的三分点坐标(133①AB中点(x0,y0)：(中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高中数学知识点：直线和圆的方程一、证一、概述在知识点圆的方程中介绍了圆的概念，以及直线与圆的位置关系。
在初一数学中就有学习过直线方程的知识点，应该清楚，一元一次方程与直线方程的关系。
二、直线方程1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是[0,180）注：①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.三、圆的方程1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解；反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C 上的充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立从假设出发，经推理论证得到矛盾矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.。
对应学生书P 233一、选择题1．(2020·全国Ⅰ)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：作出可行域如图所示．作直线l 0：x －2y ＝0.当把l 0平移到l 1的位置时，此时过点A (1，－1)，z 的值最大，且z max ＝1－2×(－1)＝3.答案B2．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1解析：区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由可行域存在，可知a ＞－2，因此a ＝1，故选D. 答案：D3．(2020·安徽)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73 B.37 C.43D.34解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图所示，这里直线y ＝kx ＋43只需要经过线段AB 的中点D 即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入即可解得k 的值为73. 答案：A4．(2020·银川模拟)已知实系数方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1，x 2＞1，则nm的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D ．(－2，－1)解析：令f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，由函数的两个零点为0＜x 1＜1，x 2＞1，可知需满足：⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0，f 1＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1＞0，2m ＋n ＋3＜0，如图确定满足不等式组的点(m ，n )的可行域，则nm表示可行域内的点与原点连线的斜率，结合图形可知过原点的直线与点A (－2,1)连线的斜率最大，与直线L 平行时斜率最小，由于两者均为临界状态最值不能取到，故取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. 答案：A5．(2020·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：如图，作出可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m .平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9.解得m ＝1.答案：C6．(2020·福建)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4C.125D ．2解析：如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.答案：B7．(2020·北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)．对y ＝a x的图像，当0＜a ＜1时，没有点在区域D 上．当a ＞1，y ＝a x恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1＜a ≤3.答案：A8．(2020·沈阳二中期末)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是( )A ．[2，52]B ．[52，103]C ．[2，103]D ．[14，4]解析：可行域如图，k OA ＝13，k OB ＝2，u ＝y x ＋x y ，设y x ＝t ，则t ∈[13，2]，函数u ＝t ＋1t在t ∈[13，1]上为减函数，且在[1,2]上为增函数．∴t ＝1时，u min ＝2，t ＝13时，u max ＝103，故选C.答案：C 二、填空题9．(2020·衡水市质量监测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，2x －y ≤1，则目标函数z＝x －2yx ＋y的最大值为______．解析：作出可行域，如图所示阴影部分．z ＝x －2y x ＋y ＝x ＋y －3y x ＋y＝1－3y x ＋y ＝1－3xy＋1. 又y x ＝y －0x －0表示可行域内的点到原点连线的斜率，且其最小值为点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13与原点连线的斜率12，故x y 的最大值为2，xy＋1的最大值为3，从而z 的最大值为0.答案：010．(2020·安徽)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝abx ＋y (a＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为__________．解析：如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4. 答案：411．(2020·陕西)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab /万吨c /百万元A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产22万吨，则购买铁矿石的最少费用为__________(百万元)．解析：设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意，可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域，如下图所示．由图可知目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：1512．(2020·山东日照一模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12＞0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ∈R)，q ：x 2＋y 2＞r 2(x 、y ∈R ，r ＞0)，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则r 的取值范围是__________．解析：可行域如图阴影，由题得p 是q 的充分不必要条件，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线4x ＋3y －12＝0相离．∴d ＞r ，即125＞r .∴0＜r ＜2.4.答案：(0,2.4) 三、解答题13．电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播映时间为20 min ，插播广告时间为1 min ，电视观众为60万，片集乙每集播映时间为10 min ，插播广告时间为1 min ，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6 min 广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86 min 的节目时间．电视台每周应播映两套片集各多少？才能获得最高的收视率．解析：设片集甲播映x 集，片集乙播映y 集，于是就可将问题中的文字语言转换为下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86.其中x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N.要使收视率最高，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．接下来，将上面的不等式组转化为图形，由图可知，当x ＝2，y ＝4时，z ＝60x ＋20y 取得最大值200万．故电视台每周片集甲和片集乙分别播映2集和4集，其收视率最高．14．(2020·黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”航天飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计生产收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品(A 件)产品B(件)研制成本与搭载费用之和(104元/件) 20 30 计划最大资金额300万元 产品质量(kg/件) 10 5 最大搭载质量110 kg预计收益(万元/件)8060多少？解析：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．答：搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．15．已知O 为坐标原点，A (2,1)，P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0.求|OP →|·cos∠AOP的最大值．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)， 由于|OP →|·cos∠AOP ＝|OP →|·|OA →|cos ∠AOP |OA →|＝OP →·OA →|OA →|，而OA →＝(2,1)，OP →＝(x ，y )， 所以|OP →|·cos∠AOP ＝2x ＋y 5.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距．由图形可知当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，得M (5,2)，这时z ＝12.此时|OP →|·cos∠AOP ＝125＝1255.故|OP →|·cos∠AOP 的最大值等于1255.。
对应学生书P 229一、选择题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：斜率k ＝－1a 2＋1≥－1，故k ∈[－1,0)． 由图像知倾斜角α∈[3π4，π)．答案：B2．直线ax ＋y ＋1＝0与连接A (2,3)、B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) C ．[－2,1]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C (0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，应满足－a ≥3＋12，或－a ≤2＋1－3，即a ≤－2，或a ≥1.答案：D3．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：与a 所在直线平行的直线斜率为21＝2，故l 的斜率为－12.∴l ：y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：D4．已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图像如图所示，则有( )A ．ac ＜0B ．a ＜cC ．bd ＜0D ．b ＞d解析：直线方程化为l 1：y ＝－1a x －b a ，l 2：y ＝－1c x －dc.由图像，知－1c ＜－1a ＜0，－b a ＞0＞－dc.∴a ＞c ＞0，b ＜0，d ＞0. 答案：C5．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a.∴1a －1b＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4(当a ＝－b ＝2时取等号)．答案：A6．(2020·四川)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.答案：A7．(2020·安徽)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32.由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0解析：设P (x 0,0)，Q (0，y 0)． ∵M (1，－2)，为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4.∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.答案：B 二、填空题9．过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出直线l 的条数为__________．解析：方法一：由题意，1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.方法二：利用斜率相等，知3－b 1＝31－a⇒(a －1)(b －3)＝3. 以下同方法一. 答案：210．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是__________．解析：易知A (－1,0)，∵|PA |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线，即x ＝2上．∴B (5,0)． ∵PA 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1. ∴l PB ：y －0＝－1(x －5)．∴x ＋y －5＝0. 答案：x ＋y －5＝011．经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有__________条． 解析：①当截距都为0时，直线过原点，则斜率为k ＝21＝2，∴方程为y ＝2x .②当截距相等且不为0时，设方程为x a ＋y a＝1. ∵过A (1,2)，∴a ＝3.∴方程为x ＋y －3＝0. ③当截距互为相反数且不为0时，设方程为x a ＋y－a＝1.∵ 过A (1,2)，∴a ＝－1.∴方程为x －y ＋1＝0. 综上，直线有3条． 答案：312．(2020·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)；点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 为非零常数，设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F .某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b－1c)x ＋(1p －1a )y ＝0.请你完成直线OF 的方程：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：方法一：由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1， 直线CP ：x c ＋y p＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x b ＋y a ＝1，x c ＋y p ＝1，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p －1a 1pb －1ac，y ＝1c －1b 1ac －1pb.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a 1pb －1ac ，1c －1b 1ac －1pb . ∴直线OF 的方程为y ＝－1c －1bx1p －1a.即(1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.方法二：由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，①直线CP ：x c ＋y p＝1.②②－①，得(1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足方程，故为所求直线OF 的方程． 答案：1c －1b三、解答题13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等． 得a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上，可知a 的取值范围是{a |a ≤－1}．14．已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．解析：设点A 关于∠B 平分线的对称点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32－4·y 0－12＋10＝0，y 0＋1x 0－3＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝7.∴A ′(1,7)．设B (4a －10，a )，则AB 中点的坐标为(4a －72，a －12)，且满足6x ＋10y －59＝0，即6·4a －72＋10·a －12－59＝0.∴a ＝5.∴B (10,5)．∵A ′也在直线BC 上，∴BC 所在直线的方程为2x ＋9y －65＝0.15．如果直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S .当S ＝4时，这样的直线l 有多少条？解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，直线经过点P (2,1)，故有2a ＋1b ＝1，b ＝aa －2.当S ＝4时，S ＝12|ab |＝12|a ·aa －2|＝4.有a 2a －2＝±8.即a 2－8a ＋16＝0，或a 2＋8a －16＝0.前一个方程Δ＝0，有一个解，后一个方程Δ＞0，有两个不等的解，所以这样的直线共有三条．。
对应学生书P 229一、选择题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：斜率k ＝－1a 2＋1≥－1，故k ∈[－1,0)． 由图像知倾斜角α∈[3π4，π)．答案：B2．直线ax ＋y ＋1＝0与连接A (2,3)、B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) C ．[－2,1]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C (0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，应满足－a ≥3＋12，或－a ≤2＋1－3，即a ≤－2，或a ≥1.答案：D3．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：与a 所在直线平行的直线斜率为21＝2，故l 的斜率为－12.∴l ：y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：D4．已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图像如图所示，则有( )A ．ac ＜0B ．a ＜cC ．bd ＜0D ．b ＞d解析：直线方程化为l 1：y ＝－1a x －b a ，l 2：y ＝－1c x －dc.由图像，知－1c ＜－1a ＜0，－b a ＞0＞－dc.∴a ＞c ＞0，b ＜0，d ＞0. 答案：C5．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a.∴1a －1b＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4(当a ＝－b ＝2时取等号)．答案：A6．(2008·四川)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.答案：A7．(2009·安徽)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32.由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0解析：设P (x 0,0)，Q (0，y 0)． ∵M (1，－2)，为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4.∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.答案：B 二、填空题9．过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出直线l 的条数为__________．解析：方法一：由题意，1a ＋3b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.有两个解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.方法二：利用斜率相等，知3－b 1＝31－a⇒(a －1)(b －3)＝3. 以下同方法一. 答案：210．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是__________．解析：易知A (－1,0)，∵|PA |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线，即x ＝2上．∴B (5,0)． ∵PA 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1. ∴l PB ：y －0＝－1(x －5)．∴x ＋y －5＝0. 答案：x ＋y －5＝011．经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有__________条． 解析：①当截距都为0时，直线过原点，则斜率为k ＝21＝2，∴方程为y ＝2x .②当截距相等且不为0时，设方程为x a ＋y a＝1. ∵过A (1,2)，∴a ＝3.∴方程为x ＋y －3＝0. ③当截距互为相反数且不为0时，设方程为x a ＋y－a＝1.∵ 过A (1,2)，∴a ＝－1.∴方程为x －y ＋1＝0. 综上，直线有3条． 答案：312．(2008·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)；点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 为非零常数，设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F .某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b－1c)x ＋(1p －1a )y ＝0.请你完成直线OF 的方程：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：方法一：由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1， 直线CP ：x c ＋y p＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x b ＋y a ＝1，x c ＋y p ＝1，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p －1a 1pb －1ac，y ＝1c －1b 1ac －1pb.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a 1pb －1ac ，1c －1b 1ac －1pb . ∴直线OF 的方程为y ＝－1c －1bx1p －1a.即(1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.方法二：由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，①直线CP ：x c ＋y p＝1.②②－①，得(1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足方程，故为所求直线OF 的方程． 答案：1c －1b三、解答题13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等． 得a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上，可知a 的取值范围是{a |a ≤－1}．14．已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．解析：设点A 关于∠B 平分线的对称点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32－4·y 0－12＋10＝0，y 0＋1x 0－3＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝7.∴A ′(1,7)．设B (4a －10，a )，则AB 中点的坐标为(4a －72，a －12)，且满足6x ＋10y －59＝0，即6·4a －72＋10·a －12－59＝0.∴a ＝5.∴B (10,5)．∵A ′也在直线BC 上，∴BC 所在直线的方程为2x ＋9y －65＝0.15．如果直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S .当S ＝4时，这样的直线l 有多少条？解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，直线经过点P (2,1)，故有2a ＋1b ＝1，b ＝aa －2.当S ＝4时，S ＝12|ab |＝12|a ·aa －2|＝4.有a 2a －2＝±8.即a 2－8a ＋16＝0，或a 2＋8a －16＝0.前一个方程Δ＝0，有一个解，后一个方程Δ＞0，有两个不等的解，所以这样的直线共有三条．。
