2016年美赛A题-浴缸系统
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首先考虑在简单情况下浴缸系统,本文有如下假设: 1.浴缸为矩体;
2.浴缸外部空间足够大,以保证空气温度在系统运行过程中恒温;
3.热量进入浴缸中能立刻均分。
要使浴缸系统保持或尽可能接近初始温度,需要满足系统输入热量等于输出热量。 首先是输入热量,输入来源只有通过添加热水的方式,所以我们有:
)(01T T CM Q W -=
其中,1Q 为输入热量,C 为比热容,M 为一定时间内加入浴缸中水的总质量,W T 为加入浴缸中水的温度,0T 为浴缸中水的温度。
考虑热量输入的速率:
dt
dV T T C dt dQ w W )(01
-=ρ
这里,ρ是水的密度,W V 是输入浴缸水的总体积,所以令dt
dV a w
=为输入水流速度。 现在,我们考虑输出热量,建立直角坐标系,如图:
根据热传学有如下公式(这里引用了群里发的(传热学杨世铭 第四版)参考文献里写上):
x
t
-∂∂=ΦA λ
这里Φ为单位时间内通过单位截面积所传导的热量,λ为传热系数,
x
t
∂∂为沿x 方向温度变化率,A 为垂直x 方向热传导的横截面。
所以,输出温度分为两部分,一个是水与空气接触面的热量散失,另一个是水与浴缸壁的热量散失。
先讨论水与空气接触面的热量散失:
Z
T A
Q ∂∂=12-λ
这里2Q 表示水与空气接触面的散失热量,1λ为水的传热系数,A 为浴缸底面面积,Z
T ∂∂是温度沿Z 轴的温度变化率。
再讨论水与浴缸壁接触面的热量散失:
Z
T
C B A Q ∂∂++=)(22-2
3λ
这里3Q 表示水与浴缸壁接触面的散失热量,1λ为浴缸壁材料的传热系数,B,C 为浴缸不同两个侧面面积,
Z
T
∂∂是温度沿Z 轴的温度变化率。 这里要说明的是,因为我们的假设,空气温度和浴缸中水温始终不变,浴缸内沿各个方向的温度变化率相等(故上式都用
Z
T
∂∂表示),且不随时间变化,同时有:
RC
y t y t t Z T 0
-)()(y =∂∂=∂∂
这里)(t y 是浴缸中水温,0y 是浴缸外空气的温度,R 是热阻,C 是比热容。 所以,我们有
2
20211010)
22()(C R T T D B A C R T T A T T a C a
a W -+++-=-λλρ
这里1R 是水与空气接触面的热阻,可以用接触面面积除以水与空气的对流系数得到,
1C 是水的比热容,2R 是浴缸材料的热阻,2C 是浴缸材料的比热容。
故对于不同性状的浴缸,都有
2
20211010)
()(C R T T S A C R T T A T T a C a
a W -++-=-λλρ
这里S 是浴缸侧面的总面积。
根据以上等式,变量为水的流速a 和加入浴缸的水温0T ,加上一定的约束条件,就可以通过线性规划得到想要的解,约束条件有
C T T W
1000≤≤
0a >
我们对模型根据实际情况进行验证,取:
16
.220450
.14200
a 01======A T T C C ρ 850
105.000278.0728
.1152.1221=====C R R C B
19
.06
.021==λλ
用LINGO 11.0求解结果如下:
所以,最省水的方案为以0.1318892E -04s /m 3
速度加入100C
的水。
αa
考虑泡泡浴的情况下,导热系数λ与热阻R 呈比例关系,所以及时二者有变化等式右边不变,但考虑到泡泡浴是溶液密度ρ会变化,同时我们猜想泡泡会形成一层保温层,因此会模型也会相应的改变。
接下来探讨人在浴缸中运动的模型,我们的构想是这样的,如图:
我们把人的无序运动归结为促进水局部的敞开式水冷循环系统,其中我们将浴缸中的水分成A,B,C...多个温度层,假设同一个温度层能任何一点温度都是一样的,而越靠近浴缸中心层温度越高,而P 层为空气层或浴缸壁层,我们认为,各相邻层之间热量交换和上述水与空气热量交换模型是一样的,人的运动使得水局部变成多个这样的系统。我们不妨在进行假设,浴缸外部添加的热水加入的热量只对中心层有影响,而其他层输入的热量仅仅来源于温度比其高的相邻层,仅仅输出保持下一层温度不变的热量,所以我们有如下等式:
C
R T T S
T T C 11
k k 1k 1-k )(+-=-λρα
这里k 为1,2,3,4的自然数,k 越小说明该层温度越高, 取决于人运动的快慢。 而最内层有:
C
R T T S
T T a C 11
010w )(-=-λρ
这里
为水龙头加入的流速
1
0T T -a
α
最外层有:
2
2k 1k 1-k )(C R T T S
T T C a
-=-λρα
而将各层的等式加权:
2
2021101110)
()()(C R T T S A C R T T A T T C T T a C a
a W -++-=-+-λλραρ当分层足够细时, 充分小故 与 偏差对模型影响不大,等式接近原来模型等式,故该模型对人的运动依赖程度不大。