2017年全国普通高等学校春季招生统一考试
上海卷数学
考生注意:
1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.
2. 本试卷共有23道试题, 满分150分. 考试时间20分钟.
一. 真空题（本大题满分54分）本大题有12题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 第1~6题每题4分, 第7~12题每题5分, 每个空格填对得分, 否则一律得零分. 1. 设集合{1,2,3}A =, 集合{3,4}B =, 则A B =U ________. ; 2. 不等式|1|3x -<的解集为________. ;
3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位）, 则z =________. ;
4. 若1cos 3a =
, 则sin()2
p
a -=________. ; 5. 若关于x 、y 的方程组24
36x y x ay ìï+=ïí
ï+=ïî
无解, 则实数a =________. ; 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25, 则15a a +=________. ;
7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点, 则||PQ 的最大值为________. ; 8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =, 则123lim
n
n n
a a a a a
+++鬃?=________. ;
9. 若2
()n x x
+的二项展开式的各项系数之和为729, 则该展开式中常数项的值为________. ;
10. 设椭圆2
212
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F , 点P 在该椭圆上, 则使得△12F F P 是等腰三角形的点
P 的个数是________. ;
11. 设1a 、2a 、…、6a 为1.2. 3.4. 5.6的一个排列, 则满足1234||||a a a a -+-+56||3a a -=的不同排列的个数为________. ;
12. 设a 、b R Î, 若函数()a
f x x b x
=++在区间(1,2)上有两个不同的零点, 则(1)f 的取 值范围为________. ;
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得5分, 否则一律得零分. 13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（）
A. [0,)+?
B. [1,)+?
C. (,0]-?
D. (,1]-?
14. 设a R Î,“0a >”是“1
0a
>”的（）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中, 不可能的图形是（）
A. 三角形
B. 长方形
C. 对角线不相等的菱形
D. 六边形
16. 如图所示, 正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2, 若P 为该正八边形边上的动点, 则131A A A P ×uuu u r uuu r
的取值范围为（）
A. [0,8+
B. [8-+________.
C. [8-- D . [88--+
三. 解答题（本大题满分76分）本大题共5题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤
17. 如图, 长方体1111A BCD A B C D -中, 2AB BC ==, 13A A =; （1）求四棱锥1A ABCD -的体积; （2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小;
18. 设a R Î, 函数2()21
x x a
f x +=
+; （1）求a 的值, 使得()f x 为奇函数; （2）若2
()2
a f x +<对任意x R Î成立, 求a 的取值范围;
19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计）, 如图所示, 已知A B A C ^,
60AB AC AD ===（单位: 米）, 要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D , 圆2M 与AC 、AD 分
别相切于点C 、D ; （1）若60BA D
°?, 求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元, 如何设计圆1M 、2M 的大小, 使总造价最低?最低总造价是多少?（结果精确到0.1千元）
20. 已知双曲线2
2
2:1y x b
G -=(0)b >, 直线:l y kx m =+(0)km ¹, l 与G 交于P 、
Q 两点, P ¢为P 关于y 轴的对称点, 直线P Q ¢
与y 轴交于点(0,)N n ; （1）若点(2,0)是G 的一个焦点, 求G 的渐近线方程;
（2）若1b =, 点P 的坐标为(1,0)-, 且32
NP P Q =ⅱuuu u r uuur
, 求k 的值;
（3）若2m =, 求n 关于b 的表达式;
21. 已知函数21()log 1x
f x x
+=-;
（1）解方程()1f x =;
（2）设(1,1)x ?, (1,)a ??, 证明:
1(1,1)ax a x -?-, 且11
()()()ax f f x f a x a
--=--; （3）设数列{}n x 中, 1(1
,1)x ?, 1131
(1)3n n n n
x x x ++-=--, *n N Î, 求1x 的取值范围, 使 得3n x x ³对任意*n N Î成立;
