2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 2018.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集R U =，集合{}
0322>--=x x x A ，则=A C U .
2．在6
1x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中，常数项是 .
3．函数()lg(32)x
x
f x =-的定义域为_____________．
4．已知抛物线2
x ay =的准线方程是1
4
y =-，则a = . 5．若一个球的体积为
323
π
，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．
7．函数()2
sin cos 1()1
1
x x f x +-=
的最小正周期是___________．
8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .
9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向
量()2,2a m n =--r ，向量()1,1b =r
，则向量a b ⊥r r 的概率．．
是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .
11．若函数22
2(1)sin ()1
x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．
12．已知向量,a b r r 的夹角为锐角，且满足||15a =r 、||15
b =r ，若对任意的
{}
(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>r r ，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅r r
的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且AC u u u r ·BD u u u
r ＝0，则四边形ABCD 是--------（ ）
（A ）菱形 （B ）矩形 （C ）直角梯形 （D ）等腰梯形
14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为
1
2
，且a S n n =∞→lim ，
(n ∈*N )，则复数i
a z +=
1
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）
（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限． 15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（ ）
（A ） 充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ） 充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点
,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为
------------------------------------------------------------------( ) （A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
N
M
D 1C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
如图在长方体1111D C B A ABCD -中，
2AB =，4AD =
，
1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．
（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；
（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知
10BD =（公里）
，00
45,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=． （1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？
A
B C
D
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数2
()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]U ，
(1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；
(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
如图，,A B 是椭圆2
2:12
x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线
,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .
(1)求23k k ⋅的值；
(2)若直线MN 过点2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，求证：131
6k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
