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机械振动测验一、填空题1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值和③极小值而往复变化。
2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。
3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。
4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环境预测5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。
6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。
7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能，阻尼元件③耗散振动能量。
8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。
9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。
10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。
二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。
1ln nx xn δ=三、 求图示振动系统的固有频率和振型。
已知12m m m ==，123k k k k ===。
北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题自己去查双（二）自由度振动J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。
质量惯性矩o求其固有频率。
五、物块M质量为m1。
滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均为r的匀质圆盘。
斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。
又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。
试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。
六、在下图所示系统中，已知m和k。
计算系统的基频。
振动噪声课后习题答案振动噪声课后习题答案在学习振动噪声的课程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固所学知识，提高解决问题的能力。
下面是一些振动噪声课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 什么是振动噪声？振动噪声是指由于机械系统的振动引起的噪声。
当机械系统发生振动时，会产生声音，这种声音就是振动噪声。
振动噪声可以对人体健康和环境造成不良影响。
2. 振动噪声的主要来源有哪些？振动噪声的主要来源包括机械设备、交通工具、建筑物、电器设备等。
机械设备的运转会产生振动，交通工具在行驶过程中也会产生振动，建筑物和电器设备的使用也会引起振动噪声。
3. 如何评价振动噪声的强度？振动噪声的强度可以通过声级来评价。
声级是一种用于表示声音强度的单位，通常用分贝（dB）来表示。
振动噪声的强度越大，声级也就越高。
4. 振动噪声对人体健康有哪些影响？振动噪声对人体健康有很多不良影响。
长期暴露在高强度的振动噪声下会导致听力受损、心理压力增加、睡眠质量下降等问题。
此外，振动噪声还会引起头痛、胃痛、消化不良等身体不适。
5. 如何减少振动噪声的传播？减少振动噪声的传播可以采取多种措施。
首先，可以通过减少振动源的振动来降低振动噪声的产生。
其次，可以在振动源和传播路径之间设置隔振措施，如橡胶垫、减震器等。
此外，还可以通过改善建筑结构、增加隔音材料等方式来减少振动噪声的传播。
6. 如何评价振动噪声的影响？评价振动噪声的影响可以从两个方面来考虑。
一方面是对人体健康的影响，如对听力、心理状态、睡眠等的影响。
另一方面是对环境的影响，如对动植物的生长、生活质量等的影响。
7. 如何进行振动噪声的监测和控制？振动噪声的监测可以通过安装振动传感器等设备来实现。
控制振动噪声可以采取技术措施和管理措施相结合的方式。
技术措施包括减振、隔振等方法，管理措施包括制定噪声限制标准、加强监督检查等。
8. 振动噪声的治理需要政府和企业共同努力。
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x ，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩ 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+故等效刚度为：12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为：1122P x c Px c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
噪声与振动复习题及参考答案（40题）参考资料1、杜功焕等，声学基础，第一版（1981），上海科学技术出版社。
2、环境监测技术规范（噪声部分），1986年，国家环境保护局。
3、马大猷等，声学手册，第一版（1984），科学技术出版社。
4、噪声监测与控制原理（1990），中国环境科学出版社。
一、填空题1．在常温空气中，频率为500Hz的声音其波长为。
答：0.68米（波长=声速/频率）2．测量噪声时，要求风力。
答：小于5.5米/秒（或小于4级）3．从物理学观点噪声是由；从环境保护的观点，噪声是指。
答：频率上和统计上完全无规的振动人们所不需要的声音4．噪声污染属于污染，污染特点是其具有、、。
答：能量可感受性瞬时性局部性5．环境噪声是指，城市环境噪声按来源可分为、、、、。
答：户外各种噪声的总称交通噪声工业噪声施工噪声社会生活噪声其它噪声6．声压级常用公式Lp= 表示，单位。
答：Lp=20 LgP/P°dB（分贝）7．声级计按其精度可分为四种类型：O型声级计，是；Ⅰ型声级计为；Ⅱ型声级计为；Ⅲ型声级计为，一般用于环境噪声监测。
答：作为实验室用的标准声级计精密声级计普通声级计调查声级计不得8．用A声级与C声级一起对照，可以粗略判别噪声信号的频谱特性：若A声级比C声级小得多时，噪声呈性；若A声级与C声级接近，噪声呈性；如果A声级比C声级还高出1-2分贝，则说明该噪声信号在Hz 范围内必定有峰值。
答：低频性高频性2000-50009．倍频程的每个频带的上限频率与下限频率之比为。
1/3倍频程的每个频带的上限频率与下限频率之比为；工程频谱测量常用的八个倍频程段是Hz。
答：2 2-1/3 63，125，250，500，1K，2K，4K，8K10．由于噪声的存在，通常会降低人耳对其它声音的，并使听阈，这种现象称为掩蔽。
答：听觉灵敏度推移11．声级计校准方式分为校准和校准两种；当两种校准方式校准结果不吻合时，以校准结果为准。
一、填空题1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。
2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。
3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。
4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。
5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。
6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。
2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能 )，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。
4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。
5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。
6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。
7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。
1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。
（本小题2分）2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。
（本小题2分）。
3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度=k∑=ni ik111；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘性阻尼系数=eC∑=ni ic111。
（本小题3分）（a）（b）题一 3 题图4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cmx51=和cmx102=时的速度分别为scmx201=&和scmx82=&，则其振动周期=T 2.97s；振幅=A10.69cm。
（本小题4分）5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角2ϕ描述系统运动的单自由度系统后，则系统的等效转动惯量=eqI221Ii I+，等效扭转刚度=teqk221ttkik+。
机械振动课后习题答案机械振动是力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力作用后的振动特性。
在学习机械振动的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将为大家提供一些机械振动课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识。
1. 一个质量为m的弹簧振子在无阻尼情况下振动，其振动方程为mx'' + kx = 0，其中x为振子的位移，k为弹簧的劲度系数。
试求振动的周期。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是简谐振动，其周期T与振子的质量m和弹簧的劲度系数k有关。
根据简谐振动的周期公式T = 2π√(m/k)，可得振动的周期为T = 2π√(m/k)。
2. 一个质量为m的弹簧振子在受到外力F(t)的作用下振动，其振动方程为mx''+ kx = F(t)，其中F(t) = F0cos(ωt)。
试求振动的解析解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受迫振动，其解析解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
将特解xp(t)代入非齐次方程，求解得到A和φ的值。
最后，振动的解析解为x(t) = xh(t) + xp(t)。
3. 一个质量为m的弹簧振子在受到阻尼力和外力的作用下振动，其振动方程为mx'' + bx' + kx = F(t)，其中b为阻尼系数。
试求振动的稳定解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受到阻尼力和外力的作用，其稳定解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + bx' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力和阻尼作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
第三节噪声1．下列关于乐音和噪声的叙述，其中不正确的是( A )A．乐音是乐器发出的声音，噪声是机械发出的声音B．乐音悦耳动听，使人心情舒畅，噪声使人烦躁不安，有害人体健康C．从环境保护的角度看，一切干扰人们学习、休息和工作的声音都叫噪声D．乐音的振动遵循一定规律，噪声的振动杂乱无章，无规律可循2．在中考期间，为减小噪声对考生的影响采取了下列措施，其中属于从声源处减弱噪声的是( B )A．将教室的窗户玻璃更换为隔音玻璃B．停止校园周边工地的施工C．在教室内安装噪声监测仪D．在校园绿化带多植树3．深夜时，正在播放的电视屏幕上常会出现“夜深了，请你把电视的音量开小点”的字样，从环境保护的角度来分析，这是要__减弱噪声__，从乐音的角度来分析，这是要__减小响度__。
4．中考期间，为了不影响考生答卷，考场附近禁止汽车鸣笛，这是在__声源处__减弱噪声。
从物理学角度，噪声是由物体无规则__振动__产生的，我们能分辨出汽车的鸣笛声和铃声，是不同的发声体发出声音的__振动__不同。
5．下列交通标志牌，表示防止噪音产生的是( C )6.为了减少环境噪声对教室内学生的干扰，以下方法不合理的是( A )A．每个学生都戴一个防噪声耳罩B．在教室周围植树C．上课时关闭门窗D．学校路段禁止鸣笛7.下列事例中，属于从噪声的产生环节进行防治的是( C )A．道路两旁植树B．高架道路两旁建隔音墙C．上课时把手机关机或调成静音状态D．在飞机旁工作的人员佩戴有耳罩的头盔8.如图所示，“辽宁号”航母上起飞引导员佩戴有耳罩的头盔，目的是( C )A．减弱飞机发动机噪声的传播B．防止次声波对人耳的伤害C．在人耳处减弱噪声D．减弱飞机发动机噪声的产生9.下列措施中从声源处消除噪声的是( B )A．在道路两旁植树B．开会时把手机关机或调成静音状态C．电影院采用隔音墙D．强噪声环境下的工作人员佩戴耳罩10.镇江大市口广场装了一个噪声监测仪，如图所示，在监测仪上看到显示的数字，请你替它补上单位：54.4__分贝(_dB)__。
机械振动与噪声学答案1. 机械振动的基本概念及分类机械振动是指机械运动中出现的周期性变化，通常包括以下几个方面：•振幅：振动系统的最大偏移量，是振动的主要特征之一。
•周期：振动系统经过一个完整的振动过程所需的时间。
•频率：振动系统在单位时间内所完成的振动次数。
•相位：用来描述振动状态的相对时间位置，是一种相对概念，通常用弧度来表示。
•谐振：振动系统的固有频率与外界激励频率相等时产生的现象，通常会引起振幅的急剧增加。
•非谐振：振动系统的固有频率与外界激励频率不等时产生的现象，随着激励频率的不同，振幅和相位也会不同。
根据机械振动的性质和机械结构的不同，可以将机械振动分为以下几类：•自由振动：振动系统在没有外界干扰的情况下，按照固有频率自行振动的过程。
•强迫振动：振动系统受到外界周期性的激励，按照外界激励的频率发生振动，通常比自由振动更为复杂。
•阻尼振动：振动系统因为受到摩擦力的作用而逐渐减弱的振动过程。
•维持振动：振动系统受到外界持续的激励时能够保持稳定的振动状态。
2. 声波的基本概念及特性噪声是指那些会引起人类不适的声音，它的特点是声强大、频率广泛，通常会对人的身体产生负面影响。
声波是一种在空气、水、固体等介质中传播的机械波，声波的基本概念包括以下几个方面：•音量：声音的强度，是声波与人耳之间的相对力度比较。
它通常用分贝(dB)来表示。
•频率：声波的频率表示了声音的音高，是声波波形中的周期性变化。
•色调：不同频率的声波会产生不同的音色，通常用人耳可以感知的不同声音来描述。
•声速：声波在介质中传播的速度，通常用米/秒来表示。
•声源：产生声波的物体或者振动体。
•声波强度：单位时间内声波传播时单位面积上的能量。
噪声的基本特性包括以下几个方面：•声压级：噪声的声压级决定了噪声的强度，通常用分贝dB来表示。
•频谱特性：噪声的频率分布情况，不同的噪声具有不同的频率分布特性。
•时间特性：噪声的音量随时间的变化，通常用峰值、持续时间来描述。
初中物理机械运动与声现象12道真题精选（含答案和解析）一、机械运动1.（2021 湖北中考）如图是我国即将建成的空间站基本构型，随着多个国家合作建造的国际空间站2024 年退役后，它将成为地球轨道上唯一的载人空间站。
若以核心舱为参照物，下列物体处于静止状态的是（）。
A. 地球B. 实验舱C. 对接过程中的货运飞船D. 出舱行走的宇航员答案：B。
解析：A. 若以核心舱为参照物，地球相对于核心舱的位置是变化的，因此地球是运动的。
所以A不符合题意。
B. 若以核心舱为参照物，实验舱相对于核心舱的位置是不变的，因此实验舱是静止的。
所以B符合题意。
C. 若以核心舱为参照物，对接过程中货运飞船相对于核心舱的位置是变化的，因此对接过程中货运飞船是运动的。
所以C不符合题意。
D. 若以核心舱为参照物，出舱行走的宇航员相对于核心舱的位置是变化的，因此出舱行走的宇航员是运动的。
所以D不符合题意。
2.（2021 河北模拟）甲车在平直的公路上匀速行驶，某时刻经过乙旁时，甲车座位上的乘客从车窗看到乙车和地面上的树木都向东运动。
由此可判断（）。
A. 甲、乙两车一定向东运动。
B. 甲车一定向东运动，乙车可能向西运动。
C. 甲、乙两车一定向西运动。
D. 甲车一定向西运动，乙车可能向东运动。
答案：D。
解析：甲车座位上的乘客从车窗看到地面上的树木向东运动，说明甲车是向西运动的，所以选项A、B不符合题意。
若乙车向东运动或乙车向西运动且速度小于甲车的速度时，甲车座位上的乘客都会看到乙车向东运动，即乙车可能向东运动，也可能向西运动，故C错误，D正确。
3.（2021 山东中考）甲、乙两物体从同一位置沿同一方向做直线运动，其s－t图象如图所示，其中甲的图线为直线。
下列分析正确的是（）。
A. 甲、乙两物体是从同一地点同时出发的。
B. 以乙物体为参照物，甲物体一直在运动。
C. 第4 s∼第19 s，甲和乙的平均速度相等。
D. 整个过程中，甲的速度总是大于乙的速度。
振动与噪声习题解答（1）
1-4 一简谐振动频率为10Hz ，最大速度为4.57m/s, 求其振幅、周期和最大加速度。
解：简谐振动的一般形式为： x (t )=Asin(ωt +φ) 速度：ẋ(t )=Aωcos(ωt +φ) 其最大速度为Aω=4.57，A =
4.57ω
=0.7273 周期T=1/f=0.1s, ẍ(t )=−Aω2sin(ωt +φ)
ẍ(t )max =4.57ω=287.14 m/s 2
1-6 一台面以一定频率做垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？
解： 台面上的物体受力分析如下
根据牛顿第二定律： mg −F =mẍ(t )=−mAω2sin(ωt +φ) 保持接触，则F ≥0，
ẍ(t )max ≤g →A max =
g ω2
1-7 计算两简谐运动x1=Xcos (ωt ),x2=Xcos(ω+ε)t 之和，其中ε≪ω。
如果发生拍振现象，求其振幅和拍频。
解：设x =x1+x2=X [cos (ωt )+cos (ω+ε)t ]=2Xcos (ε
2)t cos (ω+ε
2)t 上式可以看做是一个余弦函数，由于ε≪ω，频率可近似为ω：
x ≈2Xcos (ε
2
)t cosωt
振幅为可变振幅 2Xcos (ε
2)t ，当t: 0→ π
ε →2π
ε
, 振幅从 2X → 0 →2X , 每隔2π
ε时间重复一次，所以振幅的周期T =
2πε
，拍频为：T =ε
2π 1-11 阐明振动与声的关系和区别
答：声波是有振动引起的，这是声与振动的联系；
声与振动的区别：振动量是时间t 的函数，而声波的波动量则不仅是时间t 的函数，同时还是空间s 的函数，声波波动量存在的空间称为声场。
2-3. 如图2-33所示，质量为m 、半径为r 的圆柱体，可以沿水平面做纯滚动，它的圆心O 用刚度为k 的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
解：采用能量法
1） 建立广义坐标。
取质量元件沿水平方向的位移作为广义坐标。
坐标原点O 设在弹簧平衡位置，方向向左为正。
2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆盘纯滚
动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。
3） 势能： U =1
2
kx 2
动能：（包括质心平动动能和绕质心的转动动能）
V =mẋ2
2+Jθ2
2=mẋ2
2+mr 22x r 22
2=3mẋ24
能量守恒定律：d(U+V)=0，可得振动微分方程为：
(
3m
2
ẍ+kx)ẋ=0 3m
2
ẍ+kx =0
2-5 求图2-35所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程（假设换轮与绳索间无滑动） 解：力法(一)
1） 建立广义坐标。
取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐
标。
坐标原点O 设在质量元件平衡位置，方向向下左下为正。
2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆盘
纯滚动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。
3） m 受到重力和拉力F ，对质量m 运用牛顿第二定律 mẍ=mg −F
4） 对质量M 运用动量矩定理
Jθ=Fr −k (∆x +x )r
Mr 2ẍ
2r =Fr −k (∆x +x )r Mẍ
2=F −k (∆x +x ) 静平衡时有： mg =k (∆x )
得微分方程：
(
M
2
+m)ẍ+kx =0 能量法(二)
1） 建立广义坐标。
取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐标。
坐标原点O 设在质量元
件平衡位置，方向向下左下为正。
2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆
盘纯滚动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。
3） 势能（设平衡位置时的势能为0）
U =[12k (x +∆)2−mgx]−12k (∆)2=1
2
k (x )2
4） 动能
V =12mẋ2
+12Mr 22
θ2
能量守恒定律：d(U+V)=0，可得振动微分方程为：
(
M
2
+m)ẍ+kx =0
2-11 系统参数如图2-40所示，刚性杆质量可以忽略不计，求系统对于广义坐标x 的等效刚度。
解：对小车施加向左的里F ，产生向左的位移x ，向左为正。
则可利用刚度的定义有 F =k
e x
对小车在x 方向的受力进行分析：
弹簧1的伸长量∆1=xcosα，弹簧力在x 方向的分量为：F 1x =k 1∆1cosα=k 1xcos 2α
弹簧2的伸长量∆2=x
b
a ，弹簧力在x 方向为：k 2x
b
a
弹簧2与支点的上下力矩平衡， 设枝干作用在小车上的向右的力为F 2，则
k 2x
b aa =F 2b F 2=k 2
aax
bb
根据小车在x 方向的平衡条件
F =F 1x +F 2=k 1xcos 2
α+k 2a 2x
b
2
有效刚度为
k e =k 1cos 2
α+k 2a 2
b
2
2-15 用观察法建立图2-44所示的链式系统的振动微分方程。
简要说明必须注意的问题。
解：1）对质量元m
1和m 2建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统平衡时各质量元的位置。
2）根据视察法，系统的振动微分方程具有如下形式
[M ]{ẍ}+[C ]{ẋ}+[K ]{x }={0}
则质量矩阵
[M ]=[m
1
00
m 2
] 阻尼矩阵
[C ]=[c 1
−c 1−c
1
c 1]
刚度矩阵
[K ]=[
k 1+k 2+k 3
−k 3
−k 3
k 3+k 4
]
[m 100
m 2]{ẍ1
ẍ2}+[c 1−c 1−c 1
c 1]{x 1ẋ2}+[k 1+k 2+k 3
−k 3
−k 3
k 3+k 4]{x 1x 2
}={0}
2-18 行车载重小车运动的力学模型如图2-47所示，小车质量m1，受到两根刚度为k 的
弹簧约束，悬挂物品质量为m2, 悬长为L, 摆角很小，求系统的振动微分方程。
解：利用拉格朗日方法求解
1）建立广义坐标x和θ，x为质量单元m1的位移，坐标原点在系统静平衡位置，方向向右为正，θ为单摆的摆杆偏离铅锤位置的转角，逆时针方向为正。
2）对系统做速度分析：质量m1的速度为ẋ，质量m2的牵连速度为ẋ，相对与m1的转动线速度为Lθ，所以m2的合速度为：
√(ẋ+Lθcosθ)2+(Lθsinθ)2
系统的动能V就为
V=1
2
m1ẋ2+
1
2
m2(ẋ2+L2θ2+2ẋLθcosθ)
系统的势能U为：（取平衡位置处势能为0）
U=m2gL(1−cosθ)+kx2拉格朗日函数=V-U=
Lag=V−U=1
2
m1ẋ2+
1
2
m2(ẋ2+L2θ2+2ẋLθcosθ)−m2gL(1−cosθ)−kx2
耗散函数D=0,其他非保守力为0.
3）对广义坐标x利用拉格朗日方程
ðLag
ðẋ
=m1ẋ+m2(ẋ+Lθcosθ)
d dt (
ðLag
ðẋ
)=m1ẍ+m2(ẍ+Lθcosθ−Lθsinθθ)
ðLag
ðx
=−2kx
得到第一个方程：
(m1+m2)ẍ+m2Lθcosθ−m2Lθsinθθ+2kx=0
θ很小，cosθ≈1,sinθ=θ
(m1+m2)ẍ+m2Lθ−m2Lθ2θ+2kx=0
4）对广义坐标θ利用拉格朗日方程
ðLag
ðθ
=m2(L2θ+ẋLcosθ)
d dt (
ðLag
ðθ
)=m2(L2θ+ẍLcosθ−ẋLθsinθ)
ðLag ðθ=
1
2
m2(−2ẋLθsinθ)−m2gL(sinθ)
得到第二个方程：
m2(L2θ+ẍLcosθ−ẋLθsinθ)+m2ẋLθsinθ+m2gLsinθ=0
θ很小，cosθ≈1,sinθ=θ
m2(L2θ+ẍL)+m2gLθ=0
5）线性化，略去高阶小量，得两个线性方程
(m 1+m 2)ẍ+m 2Lθ+2kx =0 m 2L 2θ+m 2ẍL +m 2gLθ=0
写成矩阵形式得
[
m 1+m 2m 2L m 2L
m 2L 2]{ẍθ
}+[2k
0m 2gL ]{x θ
}={0}。
