微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结

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不定积分之第一换元法

第二类换元积分法分部积分法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x

《微积分》第二节不定积分的第一类换元积分法

(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1

微积分不定积分__换元积分法(第一类)

例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结常用简化技巧常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C

不定积分的第一类换元积分法

31-9
例 6 求不定积分 sin x cos xdx ．
1 2
解法一 sin x cos xdx sin xd(sin x) sin x C ．
2
1 2
解法二 sin x cos xdx cos xd( cos x) cos xd(cos x) cos x C ．
关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分
法，又称为凑微分法．
31-4
第一类换元法(凑微分法)
定理
设函数 f (u ) 在区间 D 上有一个原函数 F (u ) ，u ( x) 在
1 x3 3
解：原式 e dx
3
u x3
1 u
= e du
3
1 u
e C
3
1 x3
e C
3
解：
ln x
例 3 求
dx ．
x
1 2
解：原式 lnxdlnx ln x C
2
eex
解
dx
x
1 e
1
x

d(1
区间 I 上（内）可导，且有 { (x)|x I } D ，则
f ( ( x)) (x)dx f ( ( x))d (x)
u ( x )

f (u)du F (u) C F ( ( x)) C ．
31-5
熟记常用微分形式
例1

2 x3
求 x e dx ．
1
[ln|a+x| ln|a-x|] C

不定积分的第一换元积分法

1
x2
dx

1 2

1
x2
(1
x2
)dx

1 2

u11x2
dx(21,
x2)Fra bibliotek1 2

1 x2 (2x)dx
u 2x.
x
1
x2
dx

1 2

1
x2
(1
x2)dx

1 2

1 x2 d(1 x2)
2
(1
x2
)dx

1 2

1 x2 d(1 x2)
1 (1 1 )9dx x2 x
u 1 1 , x
u

1 x2
.
(1 1 )9d(1 1 ) 1 (1 1)10 C.
x
x 10 x
（4）
e3
x
dx
x
2 e3 x (3 x)dx 3
2 3
e3 x d(3
x)
2 e3 x C. 3
u 3 x, u 3 .
a
a
解例例6.6. aa2 12 1x2xd2 xdxa1a212 11(1x(1x)2)d2xdx1a1a 11(1x(1)x2)d2 daxax
aa
aa
a2
1
x2
dx
1 a2

1
1 (x
)2
dx
1 a

1
1 (x
)2
d
x a
a
a

1 a
arctan
f(
x)

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

3.2不定积分的第一换元法

N (t) ?
N (t) e0.01t
复合结构
N (t) e0.01tdt
二、第一类换元积分法 ——凑微分法
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) 凑微分
u?
形式一致
f (u)du
换元 u (x)
F (u) C
F ((x)) C
①. 步骤：先凑微分，微分号里外形式一致后再换元 ②. 常见函数的导数均可凑微分，使用该法时常伴随着凑微分形式
sin xdx d (cos x)
cos xdx d(sin x)
sec2 xdx d (tan x)
sec x tan xdx d (sec x) csc2 xdx d (cot x)
csc x cot xdx d(csc x)
xdx 1 d (x2 )
1
dx
2 d
(ln
x)
x
1 dx d (1 )
x
exdx d (ex )
1 1 x2 dx d (arctan x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
常见凑微分形式
adx d (ax b)
sin xdx d (cos x)
cos xdx d(sin x)
sec2 xdx d (tan x)
sec x tan xdx d (sec x) csc2 xdx d (cot x)
x
exdx d (ex )
1 1 x2 dx d (arctan x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
法四
技巧9：加项减项拆分
技巧10：当一次凑微分不能达到理想状态时可考虑二次
构造

应用高等数学-3.1.2 不定积分的换元积分法

解：(1)设 x 3 t(t 0), 则 x t2 3, 得dx 2tdt.
x dx
x3
t2 3 2tdt t
2 (t2 3)dt
2(1 t3 3t) C 3
2 (x 6) x 3 C 3
例6 求下列各不定积分：
(1)
x dx x3
dx
(2) x 4 x
解：(2)设 4 x t(t 0), 则 x t4, 得 dx 4t3dt.
作相反的换元 x (t)，把 t作为新的积分变量，才能
顺利地求出积分．
f (x)dx f (t) '(t)dt F 1(x) C
其中t 1(x)是 x (t) 的反函数，这种求不定积分的方法叫做第二类换元积分法．
例6 求下列各不定积分：
(1)
x dx x3
dx
(2) x 4 x
sec2 xdx d(tan x) ；
1 dx d(arcsin x) ； 1 x2
1 1 x2
dx
d(arctan
x)
.
例1 求下列各不定积分：
(1) e2xdx;
(2) cos(2x 3)dx.
解：(1)设 u 2x, 则 du 2dx, 即 dx 1 du,
2
e2xdx 1 e2xd(2x) 1 eudu 1 eu C 1 e2x C
6
8
(2)
1
1 sin
x
dx
1 sin x
1 sin x
1
sin x
1 sin2
dx x
cos2 x
dx
cos2 x dx cos2 cos2
x
d
cos
x
tan x 1 C cos x

不定积分第一类换元法

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分的第一换元积分法

第一类换元法的基本定理：
如果F u 是 f u 在区间I上的一个原函数
即:F u f u

u ( x )
f (u ) du F (u ) c
则： f ( ( x )) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
f (u)ddu F (u) C
ax 2 b u
u ax 2 b
1 1 1 2 1 u c ( ax b ) c 1 2 a ( 1) 2 a ( 1) 1 1 ln u c ln ax 2 b c 1 2a 2a
x ln(1 e x ) C .
( x) u ( x ) 1 类型IV : dx du ln u c ( x) u ln ( x) c
例10：计算下列不定积分： (1) tan xdx ( 2 ) cot xdx ( 4 ) csc xdx (3) sec xdx 1 (5) dx ax b
类型 V :
f (arctan x) u arctanx dx f (u )du 2 1 x
x 2 arctan 2 x 例11：计算不定积分： 1 x 2 dx x 2 arctan 2 x （1 x 2） 1 arctan 2 x 解： dx 2 1 x 2 dx 1 x 1 arctan 2 x dx dx dx 2 2 1 x 1 x 2 x arctan x arctan xd (arctan x )
1 ln ax b c a
(a x) (a x) ( a x )( a x ) dx

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⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
∫ sin xcos xdx= ∫
2
1-cos2x 1+cos2x dx 2 2
2
· 27 ·
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1 ∫ (x+1) +2
2
2
dx；②中被积函数分母
∫
dx 。 (x-3)(x-2) 解： ① =
2
∫
dx = x2-5x+6
1 (x2-3) 2 +C 3 例4
1 d(x+1)= 1 arctan x+1 +C ∫ (x+1) +2 2 2 x-3 dx dx ②∫ = =ln +C x-2 x -5x+6 ∫ (x-3)(x-2) 类型Ⅱ ∫ x f(x +b)dx= 1 ∫ f(x +b)d(x +b)(α≠0) α 例 3 ∫ x √x -3 dx= 1 ∫ (x -3) d(x -3)= 1 ·2 (x -3) 2 2 3
（2） m,n 都为偶数时，可用倍角公式， sin2x= 1 (1-cos2x), 2 1 2 cos x= (1+cos2x)降低三角函数幂次。 2 例 9 sin2xcos3xdx=
3 2
∫ sin xcos
m
2k+1
xdx=
∫ sin x(1-sin x) d(sinx)= ∫ u (1-u ) du，化成 u
dx =1 √3x-1 3
2
∫
u=φ(x)
∫
例 2①
dx x2-5x+6 分析： ①中被积函数分母 x2+2x+5 的△<0，通过对分母配
dx ②∫ ∫ x +2x+5
∫
(3x-1)
∫ f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)
-1 2
的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。 [sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx ∫ ∫1 2 = 1 [ ∫ sin8xdx+ ∫ sin2xdx] 2 = 1 ∫ sin8xd(8x)+ 1 ∫ sin2xd(2x) 16 4 例 8 sin5xcos3xdx= =- 1 cos8x- 1 cos4x+C 16 4 ⅲ对于形如
2
∫
sec2 1 d( 1 )=-tan 1 +C x x x 1 f(ln|x|)dx= x
例5 =-
d(lnx) = (1+lnx)-2d(1+lnx) (1+lnx)2
∫
∫
f(ln|x|)
(1- 1+cos4x )dx= 1 ∫ (1-cos4x)dx ∫ (1-cos 2x)dx= 1 4 ∫ 2 8 = 1 ∫ dx- 1 ∫ cos4xd(4x)= x - 1 sin4x+C 8 32 8 32 ∫ sec xf(tanx)dx= ∫ f(tanx)d(tanx) 类型Ⅵ ∫ cos xf(cotx)dx=- ∫ f(cotx)d(cotx) =1 4
2 2 2 α-1 α α α 2 2 1 2 2 2 3
1 1 dx= ∫ ∫ x +2x+5 (x+1) +2
2
处理：不妨设 n=2k+1，（1） m,n 中至少有一个为奇数时，
可按如下方法 ∫ sin xcos xdx 的积分(m,n∈N)，
2
dx
的多项式积分，求出后以 u=sinx 代回；
类型Ⅳ exf(ex)dx= 例6 e ∫ 4+e
x 2x
x dex= 1 arcan e +C 2 2 类型Ⅴ关于被积函数中含有 sinx 和 cosx 的不定积分
∫Leabharlann dx=第一类换元积分方法：
=[F(u)+C]u=φ(x)=F[φ(x)]+C 类型Ⅰ f(ax+b)dx= 1 a 例1
∫ f[φ(x)]φ′(x)dx= ∫ f[φ(x)]dφ(x)= [ ∫ f(u)du ] ∫
m 2 k m 2 k
+C=
=
= 1 sin3x- 1 sin5x+C 3 5 例 10
2 2
∫ (sin x-sin x)d(sinx)
2 4 2
∫
∫ sin x(1-sin x)d(sinx)
2 2
d(ln|x|)
∫ 类型Ⅲ ∫ 1 f(lnx)dx= ∫ f(lnx)d(lnx)或 ∫ x
1 sec2 1 dx=x2 x 1 +C 1+lnx dx =∫ ∫ x(1+lnx)
的严密性和严谨性，理论教学在教学环节中处于绝对的主体地位，而实践教学则依附于理论教学过程，在教学活动中始终以 “三段式” 教师、课本、课堂为中心，专业课程体系总能体现本科教师并不注重利用实践教学来激发学结构的痕迹；一般来说，学生总是处于一种被动填鸭状态，缺乏必要生的学习积极性，的学习兴趣和激情。纵观近年来西藏自治区的就业形势，学校办学更应该以就业为导向，以学生工作后利用的知识为基本开发思路，明确学确定目前的学习领域。坚持针对性、生今后的工作方向，应用性更新教学内容，改革教学手段，重组课程结和实践性的原则，专业课程教学应注重针对性、开放性和职业构，优化课程体系。多方面地性，更新实践教学理念，多渠道地拓展实践教学环节，开发实践教学，多元化地开展实践教学，加强对学生职业能力的培养。 2.发挥实践教学在人才培养中的作用培养创新实践教学对引导学生树立科学人生观和价值观，意识、形成创新精神和积累创新能力都有着积极的作用，对于提升综合素质，都能起到课堂理论教发挥学生的个性和潜能、学以及书本学习无法替代的作用。
ⅰ
sinx sinx sinx
1 ∫ 2 +(e )
2
) d(e ) ∫ f(e )d(e )或 ∫ f(e )dx= ∫ f(e e
x x x x x x x 2
d(3x-1)= 2 √3x-1 +C 3
方，做变换
x2-5x+6 的△>0，通过对分母因式分解，做变换
∫
1 dx= x2+2x+5
m n
∫ cosxf(sinx)dx= ∫ f(sinx)d(sinx)和 ∫ sinxf(cosx)dx =- ∫ f(cosc)d(cosx) 例 7 ∫ e cosxdx= ∫ e d(sinx)=e +C ⅱ对于形如 ∫ sinmxcosnxdx， ∫ sinmxsinnxdx和 ∫ cosmxcosnxdx

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应用高等数学-3.1.2 不定积分的换元积分法

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