苏教版数学高一《函数的单调性》 名师教学设计

函数的单调性教学设计一、教材分析本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。

函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。

函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力二、教学目标1、知识与技能目标（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2、过程与方法目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。

三、教学重点函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法四、教学难点函数单调性的判断与证明。

五、教学策略在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

六、教学准备利用多媒体教学七、教学过程：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。

《函数的单调性》教学设计[合集5篇]第一篇：《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．二、教学目标（1）知识与技能目标：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法目标：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．三、教法学法分析教法分析：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．学法分析：1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．四、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．（一）创设情境，提出问题（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．（二）探究发现建构概念[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答． [教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，f(t1）=1，t2=10时，f(t2)=4”对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢? [学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．（三）自我尝试运用概念1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？[教师活动]问题6：证明f(x)=1在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．x[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断．[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．（四）回顾反思深化概念 [教师活动]给出一组题：1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么函数f(x)是R 上的单调增函数还是单调减函数？2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a)<f(3-a)，你能确定实数的取值范围吗？[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：（1）阅读课本P29例1、2（2）书面作业：必做：教材作业选做：二次函数y=x2+bx+c在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数b的值唯一吗？探究：函数y=x在定义域内是增函数，函数y=1有两个单调减区间，由这两个基本函x数构成的函数y=x+1的单调性如何？请证明你得到的结论．x[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．五、教学评价学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．第二篇：函数单调性教学设计函数单调性教学设计关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。

“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。

问题3：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ；
若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．
问题4：判断下列说法是否正确：
（1）单调函数一定有最大值和最小值；
（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．
四．数学运用
1．例题
例1．（教材P ．36．例3）如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、
最小值及单调区间．
说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出． 例2．（教材P ．36例4．）求下列函数的最小值：
（1）22y x x =-； （2）1()f x x
=，[]1,3x ∈． 变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；
变题2：求下列函数的值域：
（1）22y x x =-，[]0,4x ∈； （2）2
()2f x x x =-，[0,4)x ∈． 变题3：求2
()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．
解：22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线． ①若0a ≤，则()f x 在[0,4)上是增函数，∴[]min ()(0)0f x f ==；
②若04a <<，则[]2
min ()()f x f a a ==-； ③若4a ≥，则()f x 在[0,4)上是减函数，∴()f x 的最小值不存在．。

《函数的单调性》教学设计一:教材依据江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节二:设计思路课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。

首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。

在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数xy 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。

教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.三:教学目标１．知识与技能：理解函数单调性的概念；２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.四：教学重点函数单调性的概念与判断五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性六：教学过程（一）.问题情境：１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.３．很多函数也具有类似性质.如：（x>0）y=３x+２y=1x老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）（二）.学生活动:问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？y=x２y=x３学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？（板书：图形、符号）（三）．建构数学：问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第6课时 函数的单调性（1）教学目标：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性．教学重点、难点：函数单调性的概念与判断．教学过程一．问题情境1．情境：2.1.1节开头的第3个问题中的气温变化图，()f t θ=．2．问题：说出气温在哪些时段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征．二．学生活动问题1：观察下列函数的图象，并指出图象变化的趋势．观察得到：随着x 值的增大，图（1）中函数图象呈逐渐上升的趋势；图（3）中函数图象呈逐渐下降的趋势；图（2）、（4）中函数图象在有的区间内呈逐渐上升的趋势，在有的区间内呈逐渐下降的趋势．问题2： 在某一区间内，“图象呈逐渐上升趋势”、“图象呈逐渐下降的趋势”分别说明函数值y 随着自变量x 的增大如何变化？讨论得到：在某一区间内：图象呈逐渐上升趋势⇔当x 增大时，函数值y 也增大；图象呈逐渐下降趋势⇔当x 增大时，函数值y 反而减小．函数的这种性质称为函数的单调性．三．建构数学问题3：如何用数学语言来准确地表达函数的单调性呢？21- 1)+∞ /t h /o C θ[](),0,24f t t θ=∈通过讨论，结合图（5）给出()f x 在区间I 上是单调增函数的定义．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．练习：指出图（1）（2）（4）中函数的单调增区间．问题4：如何定义单调减函数呢？（学生结合图（6），仿照增函数定义叙述）．注意：“任意”、“都有”等关键词．说明：单调性、单调区间．练习：指出图（2）（3）（4）中函数的单调减区间．四．数学运用1．例题例1．（教材P ．34例1．）画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+； （2）1y x =； （3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩． 问：函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 引导学生从图象观察或取特殊值代入验证否定结论．说明：1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

【教学目标】1. 理解函数单调性的概念；2. 掌握判断函数单调性的方法；3. 能够在相关问题中应用函数单调性解决问题。

【教学重点】1. 函数单调性的定义；2. 判断函数单调性的方法；3. 应用函数单调性解决问题的方法。

【教学难点】如何理解导数法判断函数单调性。

【教学过程】【Step 1】课前导学1. 让学生思考：“什么是单调递增？什么是单调递减？”2. 引导学生回忆导数公式。

【Step 2】新知讲解1. 函数单调性的概念：函数$f(x)$在区间$I$上单调递增，就是说对于任意$a,b\in I(a<b)$都有$f(a)<f(b)$；函数$f(x)$在区间$I$上单调递减，就是说对于任意$a,b\in I(a<b)$都有$f(a)>f(b)$。

2. 导数法判断函数单调性：若在区间$I$上$f'(x)>0$，则$f(x)$在$I$上单调递增；若在区间$I$上$f'(x)<0$，则$f(x)$在$I$上单调递减。

【Step 3】教学示范1. 演示用导数法判断函数单调性的例题，让学生掌握方法；2. 演示应用函数单调性解决问题的例题，让学生理解函数单调性在实际问题中的应用。

【Step 4】练习1. 让学生自主完成教材上的练习题，加深对函数单调性的掌握；2. 班内竞赛，出题人在黑板上公布一类函数，学生独立判断其单调性。

【Step 5】课堂小结强化本节课程的核心内容，概括函数单调性的定义、导数法判断函数单调性的方法及函数单调性在实际问题中的应用。

【Step 6】课后作业布置教材上的相关题目，注重运用函数单调性解决问题。

【教学反思】本节课程旨在向学生介绍函数单调性的概念、判断方法以及在实际问题中的应用。

通过严谨且简明的语言，让学生掌握函数单调性的基本知识和方法。

在教学过程中，我们尽可能地使用工具和图形获取学生的理解，同时引导他们多次练习，巩固所学内容，在提高能力的同时也保证了教学质量。

5.学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。

体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．（2）判断并证明函数的单调性．探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．请你运用所学的数学知识解释这一现象．设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增；（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的；（3）反比例函数的单调递减区间是．设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．例题：判断并证明函数的单调性．。

教案设计函数的单调性教案（第一课时）江苏省南通中学唐仁霞江苏教育出版社（必修1）教学目标：1.知识技能目标：（1）通过生活实例感受函数单调性的意义；（2）理解函数单调性及其几何意义；（3）能判别或证明一些简单函数的单调性；（4）掌握数形结合的数学思想方法。

2.过程性目标：通过生活实例感受数学，培养识图能力与数形语言转换的能力，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

3.情感体验目标：养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯。

教学重点：（1）函数单调性及其几何意义的理解；（2）从“形”和“数”两个方面理解单调性教学难点：（1）函数单调性定义的理解；（2）证明一些简单函数的单调性教学方法：引导、探究、交流教学手段：多媒体辅助教学教学过程：回顾1：书P21/问题（3）某市一天24小时的气温变化图。

说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？回顾2：一次函数、二次函数、反比例函数的图像说出图像在哪些区间内是逐渐升高的或下降的？若图像在某个区间上从左到右是上升的（下降）的，即y随x的增大而增大（减小），则具有这样性质的函数就具有单调性。

这就是我们今天所要研究的课题。

2 如：函数在上为增函数；函数在上是(,),,，,(,0],,yx2,，y3x2,，减函数，在上是增函数。

[0,)，,2[2,)，,问：函数在上是增函数吗？ yx2,，1y,, 函数在其定义域内是增函数吗？ x通过以上两个问题，讲解定义的关键词：定义域、区间、任意、都有。

问：我们如何用符号语言来刻画y随x的增大而增大（减小）的特征？通过图形语言转化为文字语言，再进一步转化为符号语言，由此引出函数单调性的定义。

, 一般的，设函数 y=f(x) 的定义域为A,区间IA，x,xf(x)f(x), 如果对于区间I内的任意两个值,当时，都有，那xx,121212么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数。

x,xf(x)f(x), 如果对于区间I内的任意两个值,当时，都有，那xx,121212么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数。

2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案一、教学目标1.理解函数的单调性概念。

2.掌握函数单调性的判定方法。

3.能够应用函数单调性解决实际问题。

二、教学重点1.函数单调性的定义和判定方法。

2.函数单调性在实际问题中的应用。

三、教学难点1.函数单调性在实际问题中的应用。

2.判定复合函数的单调性。

四、教学准备1.教师准备教案和课件。

2.学生准备笔记和教材。

五、教学过程5.1. 函数单调性概念的引入请学生回顾前面的知识，回答以下问题：•什么是函数的定义域？•什么是函数的值域？•什么是函数的图像？回答以上问题后，引出函数的单调性概念，说明单调性是描述函数变化的一种性质。

5.2. 函数单调性的定义介绍单调递增和单调递减的定义。

并通过图像和表格的形式进行演示。

5.3. 函数单调性的判定方法介绍用导数和数列来判定函数单调性的方法。

并通过例题讲解。

5.4. 函数单调性在实际问题中的应用通过实例讲解函数单调性在实际问题中的应用，如销售收益、消费选择等。

5.5. 判定复合函数的单调性在前面教学的基础上，介绍复合函数单调性的判定方法，并举例说明。

六、课堂练习对前面的知识进行巩固和拓展，设计练习题，帮助学生深入理解函数单调性的概念和判定方法。

七、作业留下一定数量的练习题，以检测学生是否掌握了函数单调性的概念和判定方法。

八、教学后记总结本课中教学的难点、重点和易错点，为下次课的教学做好准备。

同时，了解学生的学习状况，及时做好反馈和调整。

函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。

2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。

2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。

2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。

3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。

2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。

3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。

4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。

5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。

7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。

2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。

3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。

七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。

2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。

3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。

八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。

2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。

课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。

【教学目标】1. 理解函数单调性的概念；2. 熟悉判断函数单调性的方法；3. 能够在相关问题中运用函数单调性解决问题。

【教学重点】1. 函数单调性的概念；2. 判断函数单调性的方法；3. 应用函数单调性解决问题的方法。

【教学难点】如何正确理解“导数大于0”或“导数小于0”与函数单调性之间的关系。

【教学过程】【Step 1】引入通过具体的例子引出“函数单调性”的概念，并强调其中的重要性。

【Step 2】单调性的定义引入“单调递增”和“单调递减”的概念；对单调性进行严格的定义；列举几个函数来让学生明白单调性的含义。

【Step 3】判断单调性的方法正确理解“导数大于0“导数小于0”与函数单调性之间的关系；介绍导数法判断函数单调性的基本方法，针对不同类型的函数给出处理方法；通过实例演示如何利用导数法判断一个函数的单调性。

【Step 4】应用引导学生根据题目提供的函数，通过判断函数单调性来解决实际问题；结合相关的例题，让学生掌握函数单调性应用的方法。

【Step 5】小结总结单调性的定义；归纳判断函数单调性的方法；强化函数单调性的应用。

【Step 6】课堂练习1. 求函数$f(x)=\frac{1}{x}-2x$在区间$(0,+\infty)$上的单调性；2. 确定函数$f(x)=x^3-5x^2+9x-7$的极值和单调区间；3. 函数$f(x)=x^2e^{-x}$在$x\ge0$上的单调性。

【Step 7】作业布置】完成教材上的相关习题；自选2道函数单调性的应用题目进行练习。

【教学反思】本节课程主要介绍了函数单调性的概念、判断方法和应用技巧。

在教学中，我们注重对理论知识的讲解，使学生能够充分理解单调性的定义和判断方法，并通过多种例题来加深学生对函数单调性的认识。

同时，在应用部分，我们引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

最后，我们通过许多习题来巩固学生的学习成果，并鼓励学生在实际问题中多加思考，灵活应用函数单调性解决问题。