下载文档原格式
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
第十二章 无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→，失效，发散收敛11,1lim1ρρρρnn n u u ；对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=∞→，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ；对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当nn n u u 1lim+∞→存在时，n nn u ∞→lim 也存在，且nn n nn n u u u 1limlim+∞→∞→=，反之不一定成立。
3、任意项级数审敛法∑∞=1n nu为收敛级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu条件收敛；莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞→n n u 则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。
（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1lim+∞→=n nn a a R ，再讨论R x ±=的敛散性；2、⎩⎨⎧直接用比值法或根值法式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。
（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、⎩⎨⎧数，再代值；间接求和：转化成幂级求部分和；直接求和：直接变换，数项级数求和 （四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n ，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
习题课讲义(级数)第九讲：无穷级数一、常数项级数1、概念与性质：（1）数列«Skip Record If...»中的各项用加号连接的形式：«Skip Record If...»称为无穷项数项级数，第«Skip Record If...»项称为一般项（通项）。
数列«Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项之和（部分和），若«Skip Record If...»，则称级数«Skip Record If...»的和为«Skip Record If...»，级数«Skip Record If...»收敛；若«Skip Record If...»不存在，则称级数«Skip Record If...»发散。
若级数«Skip Record If...»收敛，«Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»的余项，«Skip Record If...»。
例1：判定下列级数的敛散性：①«Skip Record If...»：解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»发散；②«Skip Record If...»：解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»收敛；③调和级数：«Skip Record If...»；解：由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故级数«Skip Record If...»发散。
