二次函数系数的意义讲义

二次函数系数的意义讲义

一．【知识点拨】

(1)a,b,,c 符号判别

二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：

①a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；

②c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；

③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号；

（2）抛物线与x 轴交点个数

①Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。这两点间的距离：

()

()a a ac b a

c a b x x x x x x x x AB ∆

=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442

2

212

212

2121

②Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 顶点在x 轴上。 ③Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 （3）二次函数图像的特殊情况：

①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b 2-4ac=0；

②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则c=0； (4)平移、平移步骤：

①将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； 教师寄语：

钉子有两个长处：一个是“挤”劲，一个是“钻”劲。我们在学习上，也要提倡这种“钉子”精神，善于挤和钻。

②左加右减，上加下减

（5）用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：c bx ax y ++=2

。已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 ②顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：

()()21x x x x a y --=。

(6)应注意的特殊值：x=1 ☞ y=a+b+c; x=-1 ☞ y=a-b+c. X=2 ☞ y=4a+2b+c; x=-2 ☞ y=4a-2b+c X=3 ☞ y=9a+3b+c; x=-3 ☞ y=9a-3b+c

二【知识点分类精练】

考点1：通过抛物线的位置判断∆,,,c b a 的符号．

（1）a 决定抛物线的开口方向：⇔>0a ； ⇔<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ⇔抛物线交y 轴于 ；

0

（3）ab 决定抛物线对称轴的位置，

当b a ,同号时⇔对称轴在y 轴 ；0=b ⇔对称轴为 ；b a ,异号⇔对称轴在y 轴 ，简称为 ．

（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042

>-ac b 时，抛物线与x 轴有

交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042

<-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点． 例1.看图填空

（1）a ＋b ＋c_______0 （2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0

（4）4a＋2b＋c_______0

例2．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号

y

【熟能生巧】：

1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、a＞0

B、b＜0

C、

B、c＜0 D、a+b+c＞0

2、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

4、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）

A、ac＞0

B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3

C 、2a-b=0

D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小

5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中

正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

考点2：通过∆,,,c b a 的符号判断抛物线的位置：

例1．若0,0,0<>

例2．若0,0,0,0>∆>>>c b a ，那么抛物线c bx ax y ++=2

经过 象限． 例3.已知二次函数c bx ax y ++=2且0,0>+-

【课堂练习】

1．若抛物线c bx ax y ++=2

开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限． 2．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A 、0,0,0<>

<-ac b C 、0<++c b a D 、0>+-c b a

3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点⎪⎭

⎫

⎝⎛-+b ac ac b b a ,42

在．（ ） O y x

A

O

y

x

B

O y x

O y

x

D

O

x

y