必修3-2-9 回归方程

编号032 §9.1.2 线性回归方程目标要求1、结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义．2、结合具体实例，了解模型参数的统计意义．3、结合具体实例，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．4、结合具体实例，会使用相关的统计软件．5、针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．学科素养目标本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．重点难点重点：一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 难点：用一元线性回归模型进行预测．教学过程基础知识点 1．线性回归模型我们将y ＝___________称为线性回归模型． 2．线性回归方程与最小二乘法(1)线性回归方程：直线＝__________称为线性回归方程．其中__称为回归截距，__称为回归系数，__称为回归值． (2)，的计算公式＝∑i ＝1n（x i －x）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2＝________________ ，＝______________.【课前小题演练】题1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，响应变量在y 轴 C ．回归模型中一定存在随机误差 D ．散点图能明确反映变量间的关系题2．根据如下样本数据：x2 3 4 5 6Y 4 2.5 －0.5 －2 －3得到的经验回归方程为＝x＋，则( )A．＞0，＞0 B．＞0，＜0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0题3．已知变量x，Y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为( )A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2题4．若某地财政收入x与支出Y满足经验回归方程＝x＋＋e i(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中＝0.8，＝2，|e i|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元题5．若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的经验回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.题6．某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元 2 4 5 6 8Y/百万元30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)求经验回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？【当堂巩固训练】题7．已知x，y的取值如表所示：x234 5y 2.2 3.8 5.5m若y与x线性相关，且回归直线方程为＝1.46x－0.61，则表格中实数m的值为( )A．7.69 B．7.5 C．6.69 D．6.5题8．某药厂为了了解某新药的销售情况，将2019年2至6月份的销售额整理如下：月份 2 3 4 5 6 销售额(万元)1925353742根据2至6月份的数据可求得每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程＝x ＋为( )(参考公式及数据：＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n （x ）2，＝y －x ，∑i ＝15x i y i ＝690，∑i ＝15x 2i ＝90)A ．＝5.8x ＋8.4B ．＝8.4x ＋5.8C ．＝6x －9D ．＝4x ＋31.6题9．登山族为了了解某山高y (km )与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 山高y (km )24343864由表中数据，得到线性回归方程＝－2x ＋()∈R ，由此请估计出山高为72(km )处气温的度数为( )A ．－10B ．－8C ．－4D ．－6题10．根据如下的样本数据：x 1 2 3 y2.133.9得到的回归方程为＝bx ＋a ，则直线ax ＋by －3＝0经过定点( ) A ．(－1，－2) B ．(－1，2) C ．(1，－2)D ．(1，2)题11．某同学在研究学习中，收集到某制药厂今年5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如表所示：x (月份) 1 2 3 4 5 y (万盒)55668若x ，y 线性相关，线性回归方程为＝0.7x ＋，则以下为真命题的是( ) A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加0.7个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，则y 必减少0.7个单位长度C．当x＝6时，y的预测值为8.1万盒D．线性回归直线＝0.7x ＋经过点(2，6)题12．下列说法：①设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；②线性回归方程＝x＋必过()x，y；③设某地女儿身高y对母亲身高x的一个回归直线方程是＝34.92＋0.78x，则方程中的＝34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3题13．(多选题．．．)两个相关变量x，y的5组对应数据如表：x8.3 8.6 9.9 11.1 12.1y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8根据表格，可得回归直线方程＝x＋，求得＝0.78.据此估计，以下结论正确的是( )A．x＝10 B．y＝9C．＝0.2 D．当x＝15时，＝11.95题14．(多选题．．．)已知x与y之间的几组数据如表：x 1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 4假设根据表格数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据()1，0和()2，2求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )参考公式：＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n（x）2，＝y－b x .A．a′＝－2 B．b′＝2 C．>b′ D．>a′【综合突破拔高】题15．对于指数曲线y＝ae bx，令U＝ln y，c＝ln a，经过非线性回归分析后，可转化的形式为( ) A．U＝c＋bx B．U＝b＋cxC．y＝c＋bx D．y＝b＋cx题16．若一函数模型为y ＝sin 2α＋2sinα＋1，为将y 转化为t 的经验回归方程，则需作变换t 等于( ) A ．sin 2αB ．(sinα＋1)2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋12 2D ．以上都不对题17．在生物学上，有隔代遗传的现象．已知某数学老师的体重为62 kg ，他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58 kg 、64 kg 、58 kg 、60 kg .如果体重是隔代遗传，且呈线性相关，根据以上数据可得解释变量x 与预报变量的回归方程为＝x ＋，其中＝0.5，据此模型预测他的孙子的体重约为( ) A ．58 kgB ．61 kgC ．65 kgD ．68 kg题18．(多选题．．．)月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据．人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y (简称“月出时间”，单位：小时)与天数x (x 为阴历日数，x ∈N *，且0≤x ≤30)的有关数据，如表，并且根据表中数据，求得y 关于x 的线性回归方程为＝0.8x ＋．x 2 4 7 10 15 22 y8.19.41214.418.524其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日0：00)才升起．则( ) A ．样本点的中心为()10，14.4 B ．＝6.8C ．预报月出时间为16时的那天是阴历13日D ．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00题19．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润Y 的统计分析知x ，Y 具备线性相关关系，经验回归方程为＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为______年．题20．以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出非经验回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到经验回归方程＝0.3x ＋4，则c ＝________.题21．为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x (单位：ppm )与当天私家车路上行驶的时间y (单位：小时)之间的关系，从某主干路随机抽取10辆私家车，已知x 与y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为＝0.3x －0.4，若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6(单位：ppm )，据此估计该私家车行驶的时间为________小时．题22．某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日温差 11 13 12 8 发芽数(颗)26322617根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程＝x ＋中的＝－8，则求得的＝________；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数，再求与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程________(填“可靠”或“不可靠”).题23．如表为收集到的一组数据：x 21 23 25 27 29 32 35 Y711212466115325试建立Y 与x 之间的回归方程．题24．宿州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字路口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员“不礼让行人”行为统计数据：月份x 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数y1151101009085(1)若x 与y 之间具有很强的线性相关关系，请利用所给数据求违章驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程＝x ＋；(2)预测该路段8月份的“不礼让行人”违章驾驶员的人数．参考公式：＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n （x）2，＝y －x ，参考数据：∑i ＝15x i y i ＝1 420.编号032 §9.1.2 线性回归方程目标要求1、结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义．2、结合具体实例，了解模型参数的统计意义．3、结合具体实例，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．4、结合具体实例，会使用相关的统计软件．5、针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．学科素养目标本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．重点难点重点：一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 难点：用一元线性回归模型进行预测．教学过程基础知识点 1．线性回归模型我们将y ＝a ＋bx ＋ε称为线性回归模型． 2．线性回归方程与最小二乘法(1)线性回归方程：直线＝＋x 称为线性回归方程．其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．(2)，的计算公式＝∑i ＝1n（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2＝___∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n （x）2___ ，＝__y －x __.【课前小题演练】题1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，响应变量在y 轴 C ．回归模型中一定存在随机误差 D ．散点图能明确反映变量间的关系【解析】选D .用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 题2．根据如下样本数据：x 2 3 4 5 6Y 4 2.5 －0.5 －2 －3得到的经验回归方程为＝x＋，则( )A．＞0，＞0 B．＞0，＜0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0【解析】选B.由题干表中的数据可得，变量Y随着x的增大而减小，则＜0，又回归方程为＝x＋经过(2，4)，(3，2.5)，可得＞0.题3．已知变量x，Y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为( )A．＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2【解析】选B.设经验回归方程为＝x＋，由题干中散点图可知变量x，Y之间负相关，经验回归直线在Y轴上的截距为正数，所以<0，>0，因此方程可能为＝－1.5x＋2.题4．若某地财政收入x与支出Y满足经验回归方程＝x＋＋e i(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中＝0.8，＝2，|e i|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元【解析】选C.＝0.8×10＋2＋e i＝10＋e i，因为|e i|<0.5，所以9.5＜<10.5.题5．若施肥量x(kg)与水稻产量Y(kg)的经验回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.【解析】把x＝80代入经验回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg).答案：650题6．某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元 2 4 5 6 8Y/百万元30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)求经验回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？【解析】(1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 4 5 6 8 25 y i 30 40 60 50 70 250 x i y i 60 160 300 300 560 1 380 x 2i416253664145所以x ＝255 ＝5，y ＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380.于是可得＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－52×5＝6.5，＝y －x ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的经验回归方程为＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的经验回归方程，当广告费用支出为 10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元． 【当堂巩固训练】题7．已知x ，y 的取值如表所示：x 2 3 4 5 y2.23.85.5m若y 与x 线性相关，且回归直线方程为＝1.46x －0.61，则表格中实数m 的值为( ) A ．7.69 B ．7.5 C ．6.69 D ．6.5 【解析】选D .因为x ＝2＋3＋4＋54 ＝72， y ＝2.2＋3.8＋5.5＋m 4 ＝11.5＋m 4，所以11.5＋m 4 ＝1.46×72－0.61，解得m ＝6.5.题8．某药厂为了了解某新药的销售情况，将2019年2至6月份的销售额整理如下：月份 2 3 4 5 6 销售额(万元)1925353742根据2至6月份的数据可求得每月的销售额y 关于月份x 的线性回归方程＝x ＋为( )(参考公式及数据：＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1n x 2i －n （x ）2，＝y －x ，∑i ＝15x i y i ＝690，∑i ＝15x 2i ＝90)A ．＝5.8x ＋8.4B ．＝8.4x ＋5.8C ．＝6x －9D ．＝4x ＋31.6【解析】选A .由表格中的数据得x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝19＋25＋35＋37＋425＝31.6，所以＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5（x）2＝690－5×4×31.690－5×42＝5.8， ＝31.6－5.8×4＝8.4，因此，y 关于x 的线性回归方程为＝5.8x ＋8.4.题9．登山族为了了解某山高y (km )与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x (℃) 18 13 10 －1 山高y (km )24343864由表中数据，得到线性回归方程＝－2x ＋()∈R ，由此请估计出山高为72(km )处气温的度数为( )A ．－10B ．－8C ．－4D ．－6【解析】选D .由题意可得x ＝10，y ＝40，所以＝y ＋2x ＝40＋2×10＝60.所以＝－2x ＋60，当＝72时，有－2x ＋60＝72，解得x ＝－6. 题10．根据如下的样本数据：x 1 2 3 y2.133.9得到的回归方程为＝bx ＋a ，则直线ax ＋by －3＝0经过定点( ) A ．(－1，－2)B ．(－1，2)C ．(1，－2)D ．(1，2)【解析】选D .由所给数据得x ＝2，y ＝3，3i 1=∑(x i －x )(y i －y )＝1.8，3i 1=∑(x i －x )2＝2，所以b ＝0.9，a ＝3－0.9×2＝1.2，所以直线ax ＋by －3＝0方程为1.2x ＋0.9y －3＝0，过点(1，2). 题11．某同学在研究学习中，收集到某制药厂今年5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如表所示：x (月份) 1 2 3 4 5 y (万盒)55668若x ，y 线性相关，线性回归方程为＝0.7x ＋，则以下为真命题的是( ) A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加0.7个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，则y 必减少0.7个单位长度 C ．当x ＝6时，y 的预测值为8.1万盒 D ．线性回归直线＝0.7x ＋经过点(2，6)【解析】选C .由＝0.7x ＋，得x 每增(减)一个单位长度，y 不一定增加(减少)0.7，而是大约增加(减少)0.7个单位长度，故选项A ，B 错误；由已知表中的数据，可知x ＝1＋2＋3＋4＝55 ＝3，y ＝5＋5＋6＋6＋85＝6，则回归直线必过点(3，6)，故D 错误；将(3，6)代入回归直线＝0.7x ＋，解得＝3.9，即＝0.7x ＋3.9，令x ＝6，解得＝0.7×6＋3.9＝8.1万盒． 题12．下列说法：①设有一个回归方程＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②线性回归方程＝x ＋必过()x ，y ；③设某地女儿身高y 对母亲身高x 的一个回归直线方程是＝34.92＋0.78x ，则方程中的＝34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分． 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C .设有一个回归方程＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，故①错；线性回归方程＝x ＋必过样本中心点()x ，y ，故②正确；设某地女儿身高y 对母亲身高x 的一个回归直线方程是＝34.92＋0.78x ，当x ＝0时，＝34.92， 方程中的＝34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分，故③正确． 题13．(多选题．．．)两个相关变量x ，y 的5组对应数据如表：x 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 y5.97.88.18.49.8根据表格，可得回归直线方程＝x ＋，求得＝0.78.据此估计，以下结论正确的是( )A ．x ＝10B ．y ＝9C ．＝0.2D ．当x ＝15时，＝11.95【解析】选AC .易求得x ＝10，y ＝8⇒＝y －x ＝8－0.78×10＝0.2，所以＝0.78x ＋0.2. x ＝15⇒＝0.78×15＋0.2＝11.90.题14．(多选题．．．)已知x 与y 之间的几组数据如表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据表格数据所得线性回归直线方程为＝x ＋，若某同学根据上表中的前两组数据()1，0 和()2，2 求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是()参考公式：＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n （x）2，＝y －b x . A ．a ′＝－2 B ．b ′＝2 C ．>b ′ D ．>a ′【解析】选ABD .因为某同学根据前两组数据()1，0 和()2，2 求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，所以b ′＝2，a ′＝－2，根据题意得：x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，所以＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6（x）2＝57 ，＝y －x ＝136 －57 ×72 ＝－13 ，所以<b ′，>a ′. 【综合突破拔高】题15．对于指数曲线y ＝ae bx ，令U ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性回归分析后，可转化的形式为( ) A ．U ＝c ＋bx B ．U ＝b ＋cx C ．y ＝c ＋bxD ．y ＝b ＋cx【解析】选A .由y ＝ae bx 得ln y ＝ln (ae bx )， 所以ln y ＝ln a ＋ln e bx ，所以ln y ＝ln a ＋bx ，所以U ＝c ＋bx .题16．若一函数模型为y ＝sin 2α＋2sinα＋1，为将y 转化为t 的经验回归方程，则需作变换t 等于( ) A ．sin 2αB ．(sinα＋1)2C ．⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋12 2D ．以上都不对 【解析】选B .因为y 是关于t 的经验回归方程，实际上就是y 是关于t 的一次函数，又因为y ＝(sin α＋1)2，若令t ＝(sin α＋1)2，则可得y 与t 的函数关系式为y ＝t ，此时变量y 与变量t 是线性相关关系． 题17．在生物学上，有隔代遗传的现象．已知某数学老师的体重为62 kg ，他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58 kg 、64 kg 、58 kg 、60 kg .如果体重是隔代遗传，且呈线性相关，根据以上数据可得解释变量x 与预报变量的回归方程为＝x ＋，其中＝0.5，据此模型预测他的孙子的体重约为( ) A ．58 kgB ．61 kgC ．65 kgD ．68 kg【解析】选B .由于体重是隔代遗传，且呈线性相关， 则取数据(58，58)，(64，62)，(58，60)，得x ＝58＋64＋583 ＝60，y ＝58＋62＋603 ＝60，即样本点的中心为(60，60)，代入＝x ＋， 得＝60－0.5×60＝30，则＝0.5x ＋30， 取x ＝62，可得＝0.5×62＋30＝61 kg . 故预测他的孙子的体重约为61 kg .题18．(多选题．．．)月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据．人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y (简称“月出时间”，单位：小时)与天数x (x 为阴历日数，x ∈N *，且0≤x ≤30)的有关数据，如表，并且根据表中数据，求得y 关于x 的线性回归方程为＝0.8x ＋．x 2 4 710 15 22 y8.19.41214.418.524其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日0：00)才升起．则( ) A ．样本点的中心为()10，14.4 B ．＝6.8C ．预报月出时间为16时的那天是阴历13日D ．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 【解析】选AD .x ＝2＋4＋7＋10＋15＋226＝10，y ＝8.1＋9.4＋12＋14.4＋18.5＋246＝14.4，故样本点的中心为()10，14.4 ，选项A 正确；将样本点的中心()10，14.4 代入＝0.8x ＋得＝6.4，故选项B 错误；因为＝0.8x ＋6.4，当y ＝16时，求得x ＝12，月出时间为阴历12日，选项C 错误；因为阴历27日时，即x ＝27，代入＝0.8×27＋6.4＝28，日出时间应该为28日早上4：00，选项D 正确． 题19．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润Y 的统计分析知x ，Y 具备线性相关关系，经验回归方程为＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为______年． 【解析】当年利润小于或等于零时应该报废该机器， 当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8， 故估计该台机器最为划算的使用年限为8年． 答案：8题20．以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出非经验回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到经验回归方程＝0.3x ＋4，则c ＝________. 【解析】由题意，得ln (ce kx )＝0.3x ＋4，所以ln c ＋kx ＝0.3x ＋4，所以ln c ＝4，所以c ＝e 4. 答案：e 4题21．为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x (单位：ppm )与当天私家车路上行驶的时间y (单位：小时)之间的关系，从某主干路随机抽取10辆私家车，已知x 与y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为＝0.3x －0.4，若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6(单位：ppm )，据此估计该私家车行驶的时间为________小时．【解析】由＝0.3x －0.4，令x ＝6，代入可得＝0.3×6－0.4＝1.4.所以估计该私家车行驶的时间为1.4小时． 答案：1.4题22．某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期 12月1日 12月2日12月3日12月4日温差 11 13 12 8 发芽数(颗)26322617根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程＝x ＋中的＝－8，则求得的＝________；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数，再求与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程________(填“可靠”或“不可靠”).【解析】由题得x ＝11＋13＋123 ＝12，y ＝26＋32＋263 ＝28，所以样本中心点为(12，28)，所以28＝×12－8，所以＝3；因为＝3x －8，所以12月4日的估计值为＝3×8－8＝16，又|17－16|＝1，没有超过2，所以求得的线性回归方程可靠． 答案：3 可靠题23．如表为收集到的一组数据：x 21 23 25 27 29 32 35 Y711212466115325试建立Y 与x【解析】作出散点图，如图．从散点图中可以看出x 与Y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围．令Z ＝ln Y ，则变换后的样本点分布在直线＝x ＋的周围，这样就可以利用线性经验回归模型来建立非线性经验回归方程了，数据可以转化为：x 21 232527 29 32 35 Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得经验回归方程为＝0.272x －3.849， 所以＝e0.272x －3.849.题24．宿州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字路口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员“不礼让行人”行为统计数据：月份x 1 2 3 45 违章驾驶员人数y1151101009085(1)若x 与y 之间具有很强的线性相关关系，请利用所给数据求违章驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程＝x ＋；(2)预测该路段8月份的“不礼让行人”违章驾驶员的人数．参考公式：＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n （x）2，＝y －x ，参考数据：∑i ＝15x i y i ＝1 420.【解析】(1)由表中数据得：x ＝15()1＋2＋3＋4＋5 ＝3，y ＝15()115＋110＋100＋90＋85 ＝100，＝∑i ＝15x i y i－5x·y∑i＝15x2i－5（x）2＝1 420－5×3×10055－45＝－8，＝y－x＝100＋8×3＝124.所以y与x之间的回归直线方程为＝－8x＋124；(2)由(1)得，＝－8x＋124，令x＝8，得＝－8×8＋124＝60，预测该路段8月份的“不礼让行人”违章驾驶员人数为60人．。

回归方程编号:必修3-2-9 内容: P 87～89学习目标：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系,了解最小二乘法思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程,体会利用线性回归方程解决实际问题的过程以及对所得结论的正确理解.学习重点：根据系数公式计算线性回归方程.导学过程:一.复习巩固: 1.相关关系: P 84从总的变化趋势来看,两个变量之间存在着某种关系,但是这种关系又不能精确表达出来,两个变量之间的这种不确定的关系叫做相关关系.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 2.线性相关关系、回归直线、回归方程: P 87如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附近,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回归直线的方程称为回归方程. 3.回归思想、回归方法: P 87由一个变量的变化去推测(估计)另一个变量的变化的思想方法叫做回归方法(回归思想). 二.自主学习: P 87-90三.了解学习: 1.最小二乘法: P 89 (见ppt 或教材)使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 问题为:当a ,b 取什么值时,总体偏差Q 最小. 四.重点学习: P 87-90线性回归方程 2.线性回归方程: P 89 注意:(1)线性回归方程a yˆˆˆ+=过样本 中心点(x ,y ); (2)回归直线的斜率为bˆ, 在y 轴上的截距为aˆ, 当0ˆ>b 时,变量x 与y 之间正相关;当0ˆ<b时,负相关. 3.线性回归方程的系数公式: P 89五.理解学习: 4.求线性回归方程的五个步骤:(如何代公式一? 如何代公式二?) 思考:下列符号是什么意思? ， ， ， .六.掌握学习: P 90-91 例例.有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表:(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.答案见ppt 或教材，(4)当x =2时,七.掌握学习: P 90-91 例(思考)a xb y ˆˆˆ+=∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iix n xy x n yx x xy yx x b1221121)())((ˆx b y aˆˆ-=∑=41i i i y x ∑=--41))((i i i y y x x ∑=412i i x ∑=-412)(i i x x 063.143ˆ=y思考: 气温为2℃时,小卖部一定卖出143杯左右热饮吗?为什么? P 91 气温为2℃时,热饮料可能卖出143杯,即卖出143杯的可能性(概率)最大. 八.合作学习: 例2例2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的能耗y (吨标准煤)的几组数据:(1)画出散点图; (2)求出线性回归方程a x b yˆˆˆ+=; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)问求出的线性回归方程预测(估计)生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 解:(1)散点图如图:(见解:(2) , , =(-1.5)×(-1)+(-0.5)×+1.5×1=3.5故 所求的线性回归方程为 .解:(3)由(2)可预测:生产100吨甲产品的能耗为 (吨标准煤) ∴ 90-70.35=19.65(吨标准煤)答:生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤. 九.巩固练习: P 921、2, P 94A3十.小结:1.回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性.2.对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 十一.课堂作业:某个体服装店在某周内获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据:(1)求平均数x 与y ; (2)纯利y (元)与每天销售服装件数x 之间的回归方程; (3)估计每天销售10件这种服装时纯利润为多少元?提示:十二.学后反思：1.本节课的主要内容是什么?2.通过本节课的探究学习,有什么体会? 十三.巩固作业:1.课堂作业:2.家庭作业:5.446543==+++x ∑=--41)(i i i y y x x ∑=-412)(i i x x 7.0ˆ55.3==∴b .05.3ˆˆ-=-=∴x b y a35.07.0ˆ+=x y 35.7035.01007.0ˆ=+⨯=y 280712=∑=i i x 45309712=∑=i i y 348771=∑=i i i y x。

《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》教学设计一、 教学内容解析1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。

本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。

本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。

2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。

因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。

3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。

在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。

围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()21n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。

对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。

二、教学目标设置统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。

依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。

线性回归方程导学一、学法指导利用样本数据的情况估计总体数据的情况，这是统计的基本思想．线性回归方程是从样本中各个数据之间的相关关系入手，来分析验证样本中各个数据的特点规律，进而对总体数据的相关关系作出估计．因此学好线性回归方程，要在进一步体会统计的基本思想和方法的基础上，还要回忆我们已学过的两个变量之间存在的函数关系（即确定性关系）．学习本节时，首先要知道变量相互关系有两种：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；其次是如何判断和分析具有相关关系的两个或多个变量，也就是如何寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性．本节的难点问题是建立回归直线方程的思想方法，其关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，这就是“最小二乘法”的思想．另外还要注意，进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关性，再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义． 二、知识点概要 1．相关关系所谓相关关系是自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性． 对相关关系的理解应注意以下几点：（1）相关关系与函数关系不同．因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关系等同于函数关系．（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，它也可能是伴随关系． （3）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断． 2．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性． 3．散点图我们把一组具有相关关系的两个变量的数据()(123)i i x y i n ，，，，，对应的点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图． 利用散点图可以判断变量之间有无相关关系，所以判断两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．画出散点图，可以作出如下判断：（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系；（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系； （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系． 4．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关． 正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小．负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域． 由此，我们得出判断两个变量之间到底是不是具有线性相关关系，可以用“数据”说话，画出散点图更具有说服力．5．回归直线和回归直线方程如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系．这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程． 这里注意，只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性相关关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述这两个变量之间的关系．（1）求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．类似图中的直线可画出不止一条，比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……，但这些能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，却总让人感到可靠性不强．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x 与y 之间的关系呢？实际上求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系．最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征是直线与这n 个点的离差的平方和最小． （2）回归直线方程的求法根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程． 利用计算机求回归方程（Excel 软件）：在Excel 的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线性”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可． 利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG 模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍．一般在输入数据后按相应按键可直接得到a 和b ，这样就可以写出回归方程y bx a =+，非常简便，同学们在使用前一定要看懂计算器的使用说明书．回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并且可根据情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，并进一步体会回归直线的应用价值．（3）相关系数与相关性检验给定()(123)i i x y i n =，，，，，，只要123n x x x x ，，，，不全相等，就能求出一条回归直线，但它有无意义可是一个大问题．由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱． 样本相关系数：()()nii xx y y r --=∑叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量它们之间的线性相关程度．1r ≤，且|r|越接近于1，相关程度越高；r越接近于0，相关程度越低．统计学认为，相关变量的相关系数： [10.75]r ∈--，时，两变量负相关很强； [0.751]r ∈，时，两变量正相关很强；(]0.750.3r ∈--，或[)0.30.75，时，两变量相关性一般；[0.250.25]r ∈-，时，两变量相关程度很弱．三、特别提示1．相关关系的理解．借助实例（如数学成绩与物理成绩之间的关系，粮食产量与施肥量之间的关系，吸烟与健康之间的关系，父母身高与子女身高之间的关系等）明确相关关系与函数关系不同，它是一种非确定性的关系，即一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性．相关关系包括正相关和负相关．2．相关关系的研究方法：散点图法和写出回归直线方程y bx a =+，其中11112222111nn n ni i i i i ii i i i nn nii i i i i n x y x y x ynx yb xnxn x x a y bx =======⎧⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩∑∑∑∑∑∑∑，．3．线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）．当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析又叫线性回归分析，所求的函数关系y bx a =+就是线性回归方程．4．求线性回归直线方程前应对数据进行线性相关分析，其关键是求a b ，，由于计算量大，因此计算过程要注意分层次、按步骤进行．线性回归中的相关系数线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当i x 不全为零，yi 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r ，首先值得注意的是它的符号，当r 为正数时，表示变量x ，y 正相关；当r 为负数时，表示两个变量x ，y 负相关； （2）另外注意r 的大小，如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强；如果[]10.75r ∈--，，那么负相关很强；如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，，那么相关性一般；如果[]0.250.25r ∈-，，那么相关性较弱．下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高． 解：（1）66.8x =，67y =，102144794ii x==∑，102144929.22ii y==∑，4475.6xy =，24462.24x =，24489y =，10144836.4i ii x y==∑，所以10i ix ynx yr -=∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04=≈≈，所以y 与x 之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101102211010i ii i i x yx yb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-，670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=．故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =⨯+=，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．例2 10其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． （1）y 与x 是否具有相关关系；（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得101710ii x==∑，101723ii y==∑，71x =，72.3y =，10151467i ii x y==∑．102150520i i x ==∑，102152541ii y==∑．1010i ix yx yr -=∑0.78≈．由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系． （2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-．所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．方方面面评说回归直线方程一、回归分析对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．（2）对于关系不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行回归分析．（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． 二、回归直线方程一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 组观测值的n 个点(()12)i i x y i n =，，，，，大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线，记此直线方程为y a bx =+ （1）这里在y 的上方加记号“＾”，是为了区分Y 的实际值y ，表示当x 取值(12)i x i n =，，，时，Y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i y a bx =+．（1）式叫做Y 对x 的回归直线方程，a ，b 叫做回归系数． 三、求回归直线方程的思想方法 在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个离差的平方和最小．设所求直线方程为y a bx =+，其中a ，b 是待定系数，则(12)i i y a bx i n =+=，，，． 于是得到各个离差()(12)i i i i y y y bx a i n -=-+=，，，． 显然，离差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个离差的平方和21()ni iiQ y bx a==--∑，采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的a和b．1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，其中11niix xn==∑，11niiy yn==∑．四、求回归直线方程的一般步骤（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出回归直线方程．注：计算a，b时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段（如计算器或计算机），认真细致，谨防计算中产生错误．例在10第几年城市居民收入x（亿元）某商品销售额y（万元）1 32.2 25.02 31.1 30.03 32.9 34.04 35.8 37.05 37.1 39.06 38.0 41.07 39.0 42.08 43.0 44.09 44.6 48.010 46.0 51.0（1）画出散点图；（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求x与y之间的回归直线方程；（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．解题指导：只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．解：（1）散点图如图所示：（2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出下表，利用计算器进行计算．1011022211015202.9379.739.1 1.447379.71014663.671010i ii ii x yx y b xx==--⨯==≈⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑。

2.4 线性回归方程学习目标：1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1nx i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nx i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ＝y －b x .[基础自测]1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．图2-4-1③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．②[回归直线斜率为80，所以x每增加1，y^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：^＝2.3x 销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为y＋a(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元.【导学号：20132119】15[x＝7，y＝41.6，则a＝y－2.3x＝41.6－2.3×7＝25.5.当y＝6万元＝60千元时，60＝2.3x＋25.5，解得x＝15(千元)．]5．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：(1)(2)从散点图中判断销售额与广告费支出成什么样的关系？[解析]以x值为横坐标，y值为纵坐标得到点(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，在平面直角坐标系中作出这些点，即得散点图，由散点分布规律作出关系判断．[解](1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：(2)从图中可以发现广告费支出与销售额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．[合作探究·攻重难]在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．][规律方法] 1.函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”.[跟踪训练]1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________.【导学号：20132120】③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]关还是负相关？【导学号：20132121】[解析]本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解]把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．[规律方法] 1.判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.,如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系.2.正相关、负相关,线性相关关系又分为正相关和负相关.,正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大.从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域.负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小.从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域.[提醒]画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.[跟踪训练]3．如图2-4-2是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？图2-4-2[解析]观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解]不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：是正相关还是负相关？【导学号：20132122】[解析]描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解]作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关.万元)之间有下表所对应的数据．(1)(2)求出y 对x 的回归直线方程y^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？[解析] 只有当散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．先画图分析，再定量分析．[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，b .于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a＝y－b x＝692－735×52＝－2.故y对x的回归直线方程为y^＝735x－2，其中回归系数b＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加735万元．(3)当x＝9万元时，y^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元．[规律方法] 1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.[提醒](1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误.(2)为了方便，常制表对应算出，以便于求和.(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据.[跟踪训练]5．根据如下样本数据：得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列判断正确的是________.【导学号：20132123】①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.②[作出散点图如图．观察图象可知，回归直线y^＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，y^＝a>0.故a>0，b<0.][当堂达标·固双基]1．在下列各组变量关系中，具有相关性的是________．(填序号)①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间；②学生的身高与学生的学习成绩；③教师的执教水平与学生的学习成绩；④球的表面积与球的半径.【导学号：20132124】①③[①中，炼钢时钢水含碳量和冶炼时间有一定的关系，但是还与炼钢时的原料和所使用的煤炭等有一定的关系．所以，炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间是一种相关关系．②中，学生的身高与学习成绩不具有相关性．③中，一般来说教师的执教水平越高，学生的学习成绩越好，具有相关性．④中，球的半径确定，表面积也就随之确定，所以球的表面积与球的半径之间是函数关系，而不是相关关系．]2．在图2-4-3所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是________．(填序号)图2-4-3②④[由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系．并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号有________．①④[由正负相关性的定义知①④一定不正确．]4．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________.【导学号：20132125】y^＝0.7x＋0.35[∵x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a＝y－b x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]5．2018年元旦前夕，某市统计局统计了该市2017年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)[解析] 按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y^＝0.17x ＋0.81. ∴所求的线性回归方程为y^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)， 可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。