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一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告一、引言数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行数值计算和模拟的学科。
在实际应用中，数值分析广泛应用于工程、物理、金融等领域。
本实验旨在通过实际操作，探索数值分析方法在实际问题中的应用，并通过实验结果对比和分析，验证数值分析方法的有效性和可靠性。
二、实验目的本实验的主要目的是通过数值分析方法，解决一个实际问题，并对比不同方法的结果，评估其准确性和效率。
具体来说，我们将使用牛顿插值法和拉格朗日插值法对一组给定的数据进行插值，并对比两种方法的结果。
三、实验步骤1. 收集实验数据：我们首先需要收集一组实验数据，这些数据可以来自实验测量、调查问卷等方式。
在本实验中，我们假设已经获得了一组数据，包括自变量x和因变量y。
2. 牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
我们可以通过给定的数据点，构造一个插值多项式，并利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤可以参考数值分析教材。
3. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是另一种常用的插值方法。
它通过构造一个满足给定数据点的多项式，利用该多项式对其他点进行插值计算。
具体的计算步骤也可以参考数值分析教材。
4. 结果比较与分析：在完成牛顿插值法和拉格朗日插值法的计算后，我们将比较两种方法的结果，并进行分析。
主要考虑的因素包括插值误差、计算效率等。
四、实验结果在本实验中，我们选取了一组数据进行插值计算，并得到了牛顿插值法和拉格朗日插值法的结果。
经过比较和分析，我们得出以下结论：1. 插值误差：通过计算插值点与实际数据点之间的差值，我们可以评估插值方法的准确性。
在本实验中，我们发现牛顿插值法和拉格朗日插值法的插值误差都较小，但是拉格朗日插值法的误差稍大一些。
2. 计算效率：计算效率是衡量数值分析方法的重要指标之一。
在本实验中，我们发现牛顿插值法的计算速度较快，而拉格朗日插值法的计算速度稍慢。
五、实验结论通过本实验，我们对数值分析方法在实际问题中的应用有了更深入的了解。
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
一、实验目的1. 理解数值分析的基本概念和常用算法；2. 掌握数值方法在求解实际问题中的应用；3. 培养编程能力，提高对数值分析软件的使用熟练度。
二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 拉格朗日插值法；2. 牛顿插值法；3. 线性方程组的求解方法；4. 方程求根的数值方法；5. 最小二乘法曲线拟合。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。
（2）计算拉格朗日插值多项式L(x)。
（3）利用L(x)计算待求点x0的函数值y0。
2. 牛顿插值法（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。
（2）计算牛顿插值多项式N(x)。
（3）利用N(x)计算待求点x0的函数值y0。
3. 线性方程组的求解方法（1）输入数据：给定线性方程组的系数矩阵A和常数向量b。
（2）采用高斯消元法求解线性方程组Ax=b。
4. 方程求根的数值方法（1）输入数据：给定函数f(x)和初始值x0。
（2）采用二分法求解方程f(x)=0的根。
5. 最小二乘法曲线拟合（1）输入数据：给定一组数据点（x1, y1）、（x2, y2）、...、（xn, yn）。
（2）建立线性最小二乘模型y=F(x)。
（3）利用最小二乘法求解模型参数。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较通过实验，我们发现牛顿插值法的精度高于拉格朗日插值法。
这是因为牛顿插值法在计算过程中考虑了前一项的导数信息，从而提高了插值多项式的平滑性。
2. 线性方程组的求解方法高斯消元法在求解线性方程组时，计算过程较为繁琐，但稳定性较好。
在实际应用中，可根据具体问题选择合适的方法。
3. 方程求根的数值方法二分法在求解方程时，收敛速度较慢，但具有较好的稳定性。
对于初始值的选择，应尽量接近真实根。
4. 最小二乘法曲线拟合最小二乘法在拟合曲线时，误差较小，适用于数据点较多的情况。
一、实验目的通过本次实验，掌握数值分析的基本原理和方法，了解数值分析在科学和工程领域的应用，培养动手能力和分析问题的能力。
二、实验内容1. 二分法求方程根（1）原理：二分法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于连续函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(a)f(b)<0，则存在一个根在区间(a, b)内。
二分法的基本思想是将区间[a, b]不断二分，缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化区间[a, b]和中间点c=a+(b-a)/2；③ 判断f(c)与f(a)的符号，若符号相同，则将区间缩小为[a, c]，否则缩小为[c,b]；④ 重复步骤②和③，直到满足精度要求；⑤ 输出根的近似值。
2. 牛顿法求方程根（1）原理：牛顿法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于可导函数f(x)，如果在点x0附近，f(x0)f'(x0)≠0，则存在一个根在点x0附近。
牛顿法的基本思想是通过泰勒展开近似函数，然后求解近似方程的根。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化迭代次数n=0，近似根x0；③ 计算导数f'(x0)；④ 求解近似方程x1=x0-f(x0)/f'(x0)；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1，n=n+1，返回步骤③。
3. 雅可比迭代法解线性方程组（1）原理：雅可比迭代法是一种解线性方程组的迭代算法。
对于线性方程组Ax=b，雅可比迭代法的基本思想是利用矩阵A的对角线元素将方程组分解为多个一元线性方程，然后逐个求解。
（2）实验步骤：① 输入系数矩阵A和常数向量b；② 初始化迭代次数n=0，近似解向量x0；③ 计算对角线元素d1, d2, ..., dn；④ 更新近似解向量x1=x0-A/d1, x2=x0-A/d2, ..., xn=x0-A/dn；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1, x2, ..., xn，n=n+1，返回步骤③。
《数值分析》实验报告2019年5月一、问题的提出由于计算机的实质计算是在一个有限的浮点数集合上进行的，在大量运算中的误差积累会使得计算过程出现不稳定，通过实验深入了解高斯消元法从理论算法到数值算法，能稳定的关键是选主元。
二、实验名称运用MATLAB编程实现高斯消去法和高斯列主元消去法。
三、实验目的1、熟悉了解高斯消去法和高斯列主元消去法的算法。
2、学习MATLAB软件的功能。
四、基本原理五、实验环境操作环境：Windows实验平台：Matlab软件六、实验设计1 高斯顺序消去法（1）算例：课本p10例1（2）程序清单高斯消去法的MATLAB函数文件gauss.m如下：clcclear allA=[1,1,1;0,4,-1;2,-2,1];r=[6;5;1];[row,col]=size(A);n=row;%-------------------------------------------------------------------B=A;b=r;C=B;c=b;for i=1:n[maxi,row]=max(abs(C(:,i)));if C(row,i)<0maxi=-maxi;endB(i,:)=C(row,:);B(row,:)=C(i,:);b(i)=c(row);b(row)=c(i);B(i,:)=B(i,:)/maxi;b(i)=b(i)/maxi;C=B;for j=i+1:nB(j,:)=B(j,:)-C(j,i)*B(i,:);b(j)=b(j)-C(j,i)*b(i);endC=B;C(i,:)=0;C(:,i)=0;c=b;end%-------------------------------------------------------------------x(n)=b(n);for i=n-1:-1:1sum=0;for j=i+1:nsum=sum+B(i,j)*x(j);endx(i)=(1/B(i,i))*(b(i)-sum);end%-------------------------------------------------------------------% Input% Ax=rdisp(' 输入 Ax=r') disp('输入矩阵 A =')disp(A)disp(' r =')disp(r)% Output% Bx=bdisp(' 输出 Bx=b')disp(' 上三角矩阵 B =') disp(B)disp(' b=')disp(b)disp(' 求得方程组的解 :') x=x'（3）实验结果及分析：Ax=r输入矩阵 A =1 1 10 4 -12 -2 1r =651输出 Bx=b上三角矩阵 B =1.0000 -1.0000 0.5000 0 1.0000 -0.2500 0 0 1.0000b=0.50001.25003.0000求得方程组的解 :x =232 列主元消去法（1）算例：课本p10页例1（2）程序清单高斯列主元消去法的MATLAB函数文件gauss_lie.m如下：function x=gauss_lie(A,b)%采用高斯列主元法求解方程组Ax=bn=length(b);p=1:n;lu=A;y=[];for k=1:n[c,i]=max(abs(lu(k:n,k)));ik=i+k-1;if ik~=km=p(k);p(k)=p(ik);p(ik)=m;ck=lu(k,:);lu(k,:)=lu(ik,:);lu(ik,:)=ck;endif k==nbreak;lu(k+1:n,k)=lu(k+1:n,k)/lu(k,k);lu(k+1:n,k+1:n)=lu(k+1:n,k+1:n)-lu(k+1:n,k)*lu(k,k+1:n);endl=diag(ones(n,1))+tril(lu,-1);u=triu(lu);y(1)=b(p(1));for i=2:ny(i)=b(p(i))-l(i,1:i-1)*y(1:i-1)';endx(n)=y(n)/u(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-u(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/u(i,i);endx=x';（3）实验结果及分析:>> A=[1,1,1;0,4,-1;2,-2,1];>> b=[6;5;1];>> gauss_lie (A,b);ans =13七、结果说明用消去法解方程组的基本思想都是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素，将AX=b化为等价的上三角形方程组，然后再通过回代过程获得方程组的解。
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析实验实验1 方程求根一、实验目的：1．掌握常用的求非线性方程近似根的数值方法，用所学方法求非线性方程满足指定精度要求的数值解，比较各种方法的异同点并进行收敛性分析。
2．通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上机运算，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点。
3．编写割线迭代法的程序，求非线性方程的解，并与牛顿迭代法作比较。
二、实验内容：1.用二分法求方程0104)(23=-+=x x x f 在1.5附近的根。
2．用牛顿迭代法求方程033)(23=--+=x x x x f 在1.5附近的根。
3．用简单迭代法求解非线性方程3sin )1(2=-+x x 的根。
取迭代函数)1sin 3(*5.0)(2x x x --+=ϕ，精度取2101-⨯4．（选做）用牛顿法求下列方程的根： （1）02=-x e x ； （2）01=-x xe ； （3）02lg =-+x x 。
5．（选做）编写一个弦截法程序，求解题目4中的方程。
6．（选做）Matlab 函数fzero 可用于求解非线性方程的根。
例如，fzero(@(x) x^3+4*x^2-10, 1.5)可以求解题目1。
尝试用此方法求解实验中的其他题三、实验要求：1．程序要添加适当的注释，程序的书写要采用缩进格式。
2．程序要具在一定的健壮性，即当输入数据非法时，程序也能适当地做出反应，如插入删除时指定的位置不对等等。
3．程序要做到界面友好，在程序运行时用户可以根据相应的提示信息进行操作。
四、实验步骤1．按照实验内容和实验要求编写代码 2．编译并运行代码 3．检查是否发生错误五、实验源代码与实验结果实验1源代码：运行结果：实验2源代码：运行结果：实验3源代码：运行结果：4（1）的源代码：运行结果：4（2）的源代码：运行结果：4（3）的源代码：运行结果：5（3）的源代码：运行结果：六、实验心得体会通过本次实验我加深了对二分法、简单迭代法、牛顿迭代法和弦截法算法思想的了解，并对各个不同方法的优劣有了更深的理解。
《数值分析》课程实验报告数值分析实验报告《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：20__ 年 _ 月_ 日目录实验一函数插值方法 1 实验二函数逼近与曲线拟合 5 实验三数值积分与数值微分 7 实验四线方程组的直接解法 9 实验五解线性方程组的迭代法 15 实验六非线性方程求根 19 实验七矩阵特征值问题计算 21 实验八常微分方程初值问题数值解法 24 实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
（提示：结果为, ）（2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式，计算的,值。
（提示：结果为, ）二、要求 1、利用Lagrange插值公式编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下：其中：三、目的和意义 1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验步骤（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.951.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
实验九
一.实验目的：数值积分、柯西问题和非线性方程的算法设计及实现。
二.实验要求：
1.分别用矩形法、梯形法和西普森公式三种算法实现；
2.分别euler格式和预估矫正格式对ODE进行数值求解；
3.分别采用一般迭代格式和牛顿迭代格式对非线性方程进行数
值求解；
4.对上述三部分的实例请选用各章节实验题一
实验正文
一．矩形法、梯形法和西普森公式程序:
function y=f(x)
y=log(1+x).*log(1-x);
1. 西普森公式法
function y=simpson(f,a,b,n)
h=(b-a)/(2*n);
y1=0;
y2=0;
for k=1:n
x0=a+h*(2*k-1);
y1=y1+limit(f,x0);
end
for k=1:(n-1)
x0=a+h*k*2;
y2=y2+limit(f,x0);
end
y=h*(limit(f,a)+limit(f,b)+4*y1+2*y2)/3; y=double(y);
运行结果：
>>y=simpson(f,-1,1,100)
y =
-1.1016
2. 梯形法
function y=tx(f,a,b,n)
h=(b-a)/n;
y=0;
for k=1:(n-1)
x0=a+h*k;
y=y+limit(f,x0);
end
y=h*(limit(f,a)+limit(f,b))/2+h*y;
y=double(y);
运行结果：
>>y=tx(f,-1,1,100)
y =
-1.1016
二．ODE的数值求解
Euler算法1：
function y=euler1(a,b,f,y0,h)
n=(b-a)/h;
y=ones(1,n+1);
y(1)=y0;
x=a:h:b;
for i=1:n
y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i)); end
Euler算法2：
function y=euler2(a,b,f,y0,h)
n=(b-a)/h;
y=ones(1,n+1);
y(1)=y0;
x=a:h:b;
for i=1:n
z=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));
y(i+1)=y(i)+h*( feval(f,x(i),y(i)+ feval(f,x(i+1),z))/2; end
运行结果：
1）步长h=0.2；
>> f=inline('y-20','x','y');
y1=euler1(0,10,f,10,0.2);
y2=euler2(0,10,f,10,0.2);
x=0:0.2:10;
y=20+exp(x);
plot(x,y,'k',x,y1,'k:',x,y2,'*');
2）步长h=0.5；
>> f=inline('y-20','x','y');
y1=euler1(0,10,f,10,0.5);
y2=euler2(0,10,f,10,0.5);
x=0:0.5:10;
y=20+exp(x);
plot(x,y,'k',x,y1,'k:',x,y2,'*');
实验结果分析：上述实验所取步长h分别为0.2和0.5，从实验结果可以看出当步长取0.5时所得数值解逼近原微分方程的精确程度更好。
三. 非线性方程进行数值求解
1.一般迭代
编制函数文件
1)function y=g(x)
y=log(x.^3);
2)function y=new(x)
x1=g(x);
n=1;
while (abs(x1-x)>1.0e-6)&(n<=1000) x=x1;n=n+1;
end
x1
n
运行结果：
>> new(0)
Warning: Log of zero.
> In g at 2
In new at 2
x1 =
-Inf
n =
2
>> new(1)
x1 =
n =
2
>> new(2)
x1 =
2.0794
n =
2
2.牛顿迭代
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0；
b=1；
i=1；
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1；
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；b=x(i)-x(i-1)；
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；
return；
end
end
y=x(i)；
i
end
程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：function y=n_df(a,n,x)
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0；
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+１-i)*xˆ(n-i)；
end。
