合肥市2020届高三第二次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}2230A x x x =--≤，{}
22x B x =≥，则A B =
A.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， C.13 2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦， D.[]2 3，
2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =
2
323.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，
，
，则2z x y =-的最小值是 A.-5 B.-4 C.7 D.16
4.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数)，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是
A.y ex e =-+
B.y ex e =+
C.y ex e =-
D.1122y e x e e e ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭
5.若cos803tan101m +=，则m =
A.4
B.2
C.-2
D.-4
6.已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点( 06
π
，)成中心对称，且与直线
y a =的两个相邻交点间的距离为2
π
，则下列叙述正确的是
A.函数()f x 的最小正周期为π
B.函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，()k Z ∈
C.函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6
π
得到
D.函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭，()k Z ∈
7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是
①由图1和图2面积相等得ab
d a b
=+；
②由AE AF ≥可得22+22
a b a b
+≥
；
③由AD AE ≥可得22+2
112a b a b
≥
+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，三个扶贫项目的意向如下表：
扶贫项目 A B C 选择意向贫困户
甲、乙、丙、丁
甲、乙、丙
丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有
A.24种
B.16种
C.10种
D.8种
9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于
A.24π
B.()1833π+
C.21π
D.()
1842π+
10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3，0)的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=，则FA FB ⋅=
A.-9
B.-11
C.-12
D.23
11.若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是
A.(]2ln 3 2ln 2--，
B.() 2ln 2-∞-，
C.(] 2ln 3-∞-，
D.() 2ln 3-∞-， 12.在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3
π，345AB AC BC =∶∶∶∶，
设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则PO
OQ
= A.14
B.2
C.3
D.4
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.
13.若向量a 和b 满足22a a b =-=，1a b -=，则a b ⋅= .
14.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于 . 15.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲
线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为 .
16.已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，
()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：(1)C = ；(2)tan tan A
B
= .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足22
1232
n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.
