八年级下期数学培优思维训练勾股定理

八年级下期数学培优思维训练(勾股定理)

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八年级下期数学培优思维训练

二、勾股定理

（一）知识梳理：

（二）方法归纳：

（三）范例精讲：

1.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，CD 2=AD ·BD. 求证：△ABC 是直角三角形.

2.已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，判断△ABC 的形状.

（1）3222230a a b ab ac bc b -+-+-=. （2）222244a c b c a b -=-.

（3）222338102426a b c a b c +++=++.

3.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D.

求证：AD 2 =AC 2 +BD 2.

D C A B D M C B

A

4.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD 的面积.

5.已知：如图，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余. 求BD 2+CD 2 的值.

6.如图，有一块矩形塑料模板ABCD ，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合）并在AD 上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.

A B C D B C E D H A B C D

P F

7.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数.

8.已知：△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD 长为12. 求△ABC 的面积.

9.如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. 若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.

10.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=6 cm ，AB=16cm ，求BF 的长．

B C A P

11.如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？

12.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）如果AC=BC，求证：AE2+BF2=EF2；

（2）如图2，如果AC＜BC，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

13.如图，边长为8和4的矩形OABC的两边分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D. 求：

（1）△ACD的面积；

（2）点B1的坐标.

（四）思维训练：

1.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长.

2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长.

3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长.

4.已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则222

+=．若

a b c

△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22

a b

+与2c的关系，并证明你的结论.

5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． 2(1)12+=，112S =；2(2)13+=，222S =；2(3)14+=，332

S =；…… （1）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA 10的长；

（3）求出S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．

6.已知∠ABC=90°，点P 为射线BC 上任意一点（与点B 不重合），分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ，连接QE 并延长交BP 于点F ．

（1）如图1，若AB=23 ，点A 、E 、P 恰在一条直线上时，求此时EF 的长；

（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=23，设BP=4，求QF 的长．

7.在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°. 求证：2()a b b c =+.

8.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C'处．（1）求∠C'DE 的度数；（2）求△C'DE 的面积．