相似三角形难题精选
模块一：相似三角形中的动点问题
如图，在Ｒt△ＡBC中，∠ＡCB=90°，AC=３,BC=４,过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AＣ方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点Ｃ沿射线AＣ方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作ＤH⊥ＡＢ于Ｈ,过点E作ＥF⊥AC交射线ＢB1于F,G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为ｔ秒. (1）当t为何值时，ＡD=AＢ，并求出此时ＤE的长
度;
(2)当△DEG与△ＡCB相似时，求t的值．
如图,在△ABＣ中,ABC＝90°,AB=6ｍ，ＢC=8m,动点P以2ｍ／s的速度从A点出发,沿AC向点Ｃ移动．同时,动点Q以１ｍ/s的速度从C点出发，沿CB向点Ｂ移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=２．５s时，求△CＰQ的面积;
②求△CＰQ的面积S（平方米)关于时间ｔ（秒)的函数解析式;
（2）在P，Q移动的过程中，当△ＣＰQ为等腰三角形时,
求出t的值．
如图１，在Rt△ABC中，ＡＣB=９0°,AC=6，BC＝8,点D在边AＢ上运动，DE 平分CＤB交边BC于点E,EＭ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD＝CD时，求证：ＤE∥AＣ;
（2）探究:AD为何值时,△ＢME与△CNE相似？
如图所示,在△ＡBＣ中，BＡ＝BＣ=20cｍ，ＡC＝3０cｍ,点Ｐ从Ａ点出发，沿着AＢ以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Ｑ从C点出发,沿ＣA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时，Ｑ点随之停止运动.设运动的时间为x．(1)当ｘ为何值时，PＱ∥BC？
（2）△AＰQ与△CQB能否相似？若能,求出AP的长;若不能,请说明理由．
如图,在矩形ＡBＣD中,AB=１２cm,ＢC=6ｃｍ,点P沿AB边从A开始向点Ｂ以
2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点Ａ以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s）表示移动的时间(0<ｔ<6)。
（1)当ｔ为何值时，△QＡP为等腰直角三角形?
（２)当t为何值时，以点Q、Ａ、P为顶点的三角形与△ABC相似？
模块二:构造辅助线——双垂直模型
在平面直角坐标系xOｙ中,点A的坐标为(2,1）,正比例函数y＝kx的图象与线段OＡ的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式
在△ABC中，AＢ=2，ＡC＝4,BC=2，以ＡB为边在Ｃ点的异侧作△ABD，使△AＢD为等腰直角三角形,求线段CD的长．
在△ＡBＣ中,AC=BC,∠ACB=９0°，点Ｍ是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证:ＭC：NＣ=AP:PB.
如图,在直角坐标系中,矩形AＢCO的边OA在x轴上,边ＯC在y轴上,点Ｂ的坐标为（１，３），将矩形沿对角线AC翻折B点落在Ｄ点的位置,且ＡD交y轴于点E．那么Ｄ点的坐标为（)
已知,如图，直线y=﹣2x＋２与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为１﹕2。求C、Ｄ两点的坐标。
模块三：构造辅助线——A型与X型
如图:△AＢＣ中,D是AＢ上一点,AD=AＣ，ＢC边上的中线AE交CD于F。求证:=
四边形ABＣＤ中,ＡC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DＡB. 求
证:
在梯形ABCD中，ＡB∥CD，AB＝b，ＣD＝a，E为ＡD边上的任意一点，EＦ∥AB，且EF交ＢC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实:
(1)当=1时，EＦ＝；
（2)当=２时,ＥF＝;
(3)当=3时,EF=.
当=k时,参照上述研究结论，请你猜想用a、ｂ和k表示EＦ的一般结论，并给出证明
已知：如图,在△ABC中,M是ＡC的中点,Ｅ、F是BＣ上两点,且BＥ＝ＥF＝ＦＣ. 求BN:ＮＱ:QM.
证明：（1)重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.(注：
重心是三角形三条中线的交点)
（2）角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.
模块四:相似中的定值问题
如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.求证.
已知:如图，梯形AＢＣＤ中,A交于O，过O作ＥF//AB 分别交AＤ、ＢC于E、F。求证：.
如图，在△ＡBC中,已知CD为边AB上的高，正方形ＥFGH的四个顶点分别在△ＡBC上。求证:
已知,在△AＢＣ中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证：．
模块五:相似中的共线线段成比例问题
(1)如图1,点P在平行四边形ABCＤ的对角线BＤ上，一直线过点P分别交BA, BＣ的延长线于点Q,S,交ＡD，ＣD于Ｒ，T. 求证：PQ·PR=PS·PT.
(2)如图2，图3，当点P在平行四边形ＡＢＣＤ的对角线BD或DB的延长线上时,PQ·PR＝PS·PT是否仍然成立？若成立,试给出证明;若不成立，试说明理由
（要求仅以图2为例进行证明或说明)；
已知：如图,△ABC中,AB=AC,ＡD是中线,P是AD上一点,过Ｃ作CＦ∥AB,延长B Ｐ交AC于E,交CF于F．求证：BP²＝ＰE·PＦ．
如图，已知△AＢC中,AＤ，BＦ分别为BC，AＣ边上的高，过D作ＡB的垂线交AＢ于E,交BＦ于G,交AC延长线于H。求证： DE²=EG•EH.
已知如图，Ｐ为平行四边形ＡBＣD的对角线ＡC上一点,过P的直线与ＡD、ＢC、ＣD的延长线、AＢ的延长线分别相交于点E、Ｆ、G、Ｈ. 求证：
已知，如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D，H为垂心(三角形三条高线的交点）；在AD上有一点Ｐ，且∠BPC为直角.求证：PD²＝ＡD·DH
