《鲁棒控制》-5-mu分析与综合方法

{
1
}
称之为 M 关于有结构复值不确定性 Δ 的的最大的结构奇异值。 如果不存在 Δ ( s ) ∈ Δ ，使得 det ( I − M ( s ) Δ ) = 0 ，则令 μΔ ( M ( s ) ) = 0 。
●由定义可证
μΔ ( M ) = max ρ ( M Δ )
Δ∈BΔ
其中 ρ ( A ) 表示 A 的谱半径。
μΔ ( M 22 ) < 1 。
2
Δ1 ( s )
Fl ( M , Δ2 )
● 主回路定理：
μΔ ( M ) < 1 iff μΔ ( M 22 ) < 1 且 max μΔ ( Fl ( M , Δ2 ) ) < 1
2
μΔ ( M ) ≤ 1 iff μΔ ( M 22 ) ≤ 1 且 max μΔ ( Fl ( M , Δ2 ) ) ≤ 1
Δ=⎢
⎡ Δ1 ⎣0
⎡ I − M 11Δ1 det ( I − M Δ ) = det ⎢ ⎣ − M 21Δ1
= det ( I − M 22 Δ2 ) det I − M 11Δ1 − M 12 Δ2 ( I − M 22 Δ2 ) M 21Δ1
−1
(
− M 12 Δ2 ⎤ I − M 22 Δ2 ⎥ ⎦
Δ = diag δ1 I r1 ,δ 2 I r2 ," ,δ s I rs ; Δ1 , Δ2 ," , ΔF
{
δ i ∈ C, Δ j ∈ C
m j ×m j
}
∑ r +∑ m
i =1 i j =1
s
F
j
=n
称 Δ 为结构集合。 令 B Δ = {Δ
B D Δ = {Δ
Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) ≤ 1} Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) < 1}
证明： det ( I - M Δ ) = det ( I - MD −1 DΔ )
= det ( I - MD −1Δ D ) = det ( I - DMD −1Δ )
det ( I - M Δ ) = det ( I - MUU ∗ Δ )
= det I - ( MU ) (U ∗ Δ )
(
)
D∈D
因此关于 μΔ ( M ) 的界可收紧为
U ∈U
max ρ (UM ) ≤ μΔ ( M ) ≤ inf σ ( DMD −1 )
●下界为等式，即
μΔ ( M ) = max ρ (UM )
U ∈U
●当 2 S + F ≤ 3 时，上界为等式，即
μΔ ( M ) = inf σ ( DMD −1 )
第五章
5.1 有结构不确定性
μ 分析与综合方法
考虑下图所示反馈控制系统。
Δ2
W2
Δ1
W1
P
K
上图所示系统等价于下图所示系统：
Δ (s)
Δ1
0
0
Δ2
W2 P
W1
K
M (s)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Δ (s)
M (s)
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其中的模型摄动 Δ ( s ) 具有对角块结构。
有结构摄动
Δ (s) = Δ
{
1
}
即 M 的最大奇异值的倒数是导致闭环系统不稳定的（最大奇异值）最小无结构 Δ 的一个度量。 当考虑 Δ 的结构时，即对于 Δ ( s ) ∈ Δ ，定义
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μΔ ( M ( s ) ) =
min σ ( Δ ) det ( I − M ( s ) Δ ) = 0, Δ ∈ Δ为有结构的
易知，对于 Δ ∈ Δ ， U ∈ U ， D ∈ D ，成立
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U ∗ ∈ U , U Δ ∈ Δ , ΔU ∈ Δ
σ (U ∗Δ ) = σ ( ΔU ) = σ ( Δ )
DΔ = Δ D
● 对于任意 U ∈ U 和任意 D ∈ D ，成立
μΔ ( MU ) = μΔ (UM ) = μΔ ( M ) = μΔ ( DMD −1 )
∞
β
适定的且内稳定， iff sup μΔ ( G ( jω ) ) ≤ β
ω∈R
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证明：由 μΔ ( G ) 的定义可容易证的。 例：考虑下图示系统的鲁棒稳定性。
z1
e
δ1
H (s)
w1 w2
+
δ2
z2
Wu
+
1 8 1 5
+
d
n
y
−1
K (s)
u
其中
H ( s ) = CH ( sI − AH ) BH + DH 1 ⎤ ⎞ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ 6. 4 0 ⎤ ⎛ ⎡ 0 =⎢ ⎜ sI − ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ 16 0 ⎦ ⎝ ⎣ −16 −0.16 ⎦ ⎠ ⎣1 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎡ 6. 4 ⎤ 1 = 2 ⎥ [1 1] s + 0.16s + 16 ⎢ ⎣ 16 ⎦ 7 s + 8.5 Wu ( s ) = s + 43 −12.56 s 2 + 17.32s + 67.28 K (s) = 3 s + 20.37 s 2 + 136.74 s + 179.46
D∈D
inf σ ( DMD
D∈D D∈D
对于一般情形， μΔ ( M ) 不等于 inf σ ( DMD −1 ) ，但对于多数情形， μΔ ( M ) 与
−1
) 近似等于。
−1
D∈D
● 计算 inf σ DMD
(
) 是一凸优化问题，但求 max ρ (UM ) 不是凸优化问题。
U ∈U
5.3 结构奇异值 μ 与常数线性分式变换
Δ = diag δ1 I r1 ," ,δ s I rs ; Δ1 ," , ΔF
定义
{
δ i ∈ C, Δ j ∈ C
m j ×m j
}
M ( Δ ) = {Δ ( • ) ∈ RH ∞
Δ ( so ) ∈ Δ ,∀so ∈ C+ } Δ
< 1
，则有结构摄动反馈系统是
●定理： 假设 G ( s ) ∈ RH ∞ ，Δ ( • ) ∈ M ( Δ ) 且
Δ2 ∈BΔ2
0 ≠ det ( I − M Δ ) = det ( I − M 22 Δ2 ) det ( I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 )
max μΔ1 ( Fl ( M , Δ2 ) ) < 1
5.4 有结构摄动系统鲁棒稳定性
w1 e1
+
Δ (s)
G (s)
e2
+ w2
对于分块结构集合
设 M 为一复数矩阵，将其分块为 M 12 ⎤ ⎡M M = ⎢ 11 ⎥ ⎣ M 21 M 22 ⎦ 定义维数分别与 M 11 和 M 22 相匹配的结构集合 Δ1 和 Δ 2 ，并定义结构集合：
⎧⎡Δ ⎪ Δ = ⎨⎢ 1 ⎪ ⎩⎣ 0
⎫ 0⎤ ⎪ Δ1 ∈ Δ1 , Δ2 ∈ Δ 2 ⎬ ⎥ Δ2 ⎦ ⎪ ⎭
ρ ( M ) 和 σ ( M ) 的值。
定义 Cn×n 中的两个集合： U = {U ∈ Δ UU ∗ = I n }
⎧ ⎫ ⎪diag ⎡ ⎣ D1 ," ,Ds ,d1 I m1 ," ,d F −1 I mF −1 ,I mF ⎤ ⎦ ⎪ D=⎨ ⎬ ri × ri ∗ ∈ = > ∈ R > 0 0 D C ,D D ,d ,d ⎪ ⎪ i i i j j ⎩ ⎭
−1
● 定理：
（1）对于任意 Δ2 ∈ BΔ 2 ， Fl ( M , Δ2 ) 为适定的 iff
μΔ ( M 22 ) < 1
（2）对于任意 Δ2 ∈ BDΔ 2 ， Fl ( M , Δ2 ) 为适定的 iff
2
μΔ ( M 22 ) ≤ 1
证：如果 μΔ2 ( M 22 ) = max ρ ( M 22 Δ2 ) < 1 ，则显然，对于任意 Δ2 ∈ BΔ 2 ， I − M 22 Δ2
●当 Δ = {δ I n ,δ ∈ C} 时，则 μΔ ( M ) = ●当 Δ =
n×n
ρ ( M ) = M 的谱半径。
Δ
{Δ ∈ C } （即无结构）时，则 μ ( M ) = σ ( M ) 。
ρ ( M ) ≤ μΔ ( M ) ≤ σ ( M )
因为 {δ I n ,δ ∈ C} ⊂ Δ ⊂ Cn×n ，所以，对于一般情形，
Δ∈BΔ
“only if”部分：由 μΔ ( M ) 的定义易知
1 2
μΔ ( M ) ≥ max {μΔ ( M 11 ) , μΔ ( M 22 )}
2
μΔ ( M ) < 1 意味着 μΔ ( M 22 ) < 1 ，因此 I − M 22 Δ2 可逆，且成立
故对任意 Δi ∈ BΔi ， I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 非奇异，即
示。
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δ2 δ1
z1 z2 e w1
M (s)
w2
d n
欲分析上述系统的鲁棒稳定性，只需对下图所示系统进行分析。
Δ (s)
M 11 ( s )
1 输入数据 rsexamp; % creates data minfo(M) 2 计算频率相应，选取上面两个通道以分析鲁棒稳定性 omega = logspace(-2,2,200); M_g = frsp(M,omega); M11_g = sel(M_g,1:2,1:2); 3 定义不确定结构描述矩阵(1个实参数，1个未建模动态) deltaset = [-1 0;1 1]; 4 计算 μΔ ( M 11 ( jω ) ) [mubnds,dvec,sens,pvec,gvec] = mu(M11_g,deltaset); 5 绘图 vplot('liv,m',mubnds) pkvnorm(sel(mubnds,1,1)) [pklow,omegapklow] = pkvnorm(sel(mubnds,1,2))
5.2 结构奇异值 μ 及其性质
假设 Δ ( s ) 和 M ( s ) 均是稳定的，则当 σ ( Δ ) 充 分小时，闭环系统是稳定的。 若存在 s ∈ C+ ，使得 det ⎡ ⎣ I − M ( s ) Δ ( s )⎤ ⎦=0 则闭环系统不稳定。 显然，当
Δ (s)
M (s)
Δ
时，即
∞
M
∞
<1
2
Δ2 ∈BΔ 2
1
Δ2 ∈BD Δ2
1
证明：仅证第一个结论，可类似证明第二个结论。 “if”部分：给定 Δi ∈ Δi ，满足 σ ( Δi ) ≤ 1 ， i = 1, 2 ，定义
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0⎤ ∈Δ Δ2 ⎥ ⎦ 由 μΔ2 ( M 22 ) < 1 知 I − M 22 Δ2 可逆，所以有
−1
则
Fu ( H ,δ1 ) = 16 s + 0.16 s + 16 (1 − 0.4δ1 )
2
（若 δ1 ≤ 1 ，意味着存在 40%的参数不确定性） 定义
⎡δ1 Δ=⎢ ⎣0 0 ⎤ δ 2 ( s )⎥ ⎦
对 M 分块：
M 12 ⎤ ⎡M M = ⎢ 11 ⎥ ⎣ M 21 M 22 ⎦ 其为中 M 11 和 M 22 分别为 2 × 2 和 1× 2 矩阵。 则上图所示系统的等价描述如下图所
M
∞
<
1
Δ
∞
时，闭环系统是稳定的。 由定义 M ∞ : = sup σ ( M ( s ) ) = sup σ ( M ( jω ) ) 对于给定的 s ∈ C ， σ ( M ( s ) ) 可写成
s∈C+ +
ω∈R
σ ( M ( s )) =
min σ ( Δ ) det ( I − M ( s ) Δ ) = 0 , Δ为无结构的
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Δ (s)
M (s)
Δ1 ( s )
M (s)
Δ2 ( s )
● 当 I − M 22 Δ2 非（恒）奇异，即可逆时，线性分式变换(LFT) Fl ( M , Δ2 ) 有定义
（为适定的） 。 （注意
Fl ( M , Δ2 ) = M 11 − M 12 Δ2 ( I − M 22 Δ2 ) M 21 ）
上述对于结构奇异值的界是保守的：假设 ⎡δ 0 ⎤ Δ=⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 δ2 ⎦ ⎡0 β ⎤ 当M = ⎢ ⎥ 时， ρ ( M ) = 0 = μ ( M ) ,σ ( M ) = β 。 ⎣0 0 ⎦ ⎡ 1 1⎤ ⎢− 2 2 ⎥ 当M = ⎢ ⎥ 时， ρ ( M ) = 0 , μ ( M ) = σ ( M ) = 1 。 ⎢− 1 1 ⎥ ⎢ ⎣ 2 2⎥ ⎦ δ −δ (注意： det ( I − M Δ ) = 1 + 1 2 ) 2 为了减小此保守性，考虑对 M 作变换，其不影响 μ ( M ) 的值，但会改变
Δ2 ∈BΔ 2
2
非奇异。 如果 max ρ ( M 22 Δ2 ) ≥ 1 ，则存在 Δa ∈ BΔ 2 ， λ 和 ξ ，成立 M 22 Δaξ = λξ ，其
Δ2 ∈BΔ 2
中 λ ≥ 1 。令 Δb = Δa / λ ，则 Δb ∈ BΔ 2 ，且 M 22 Δbξ = ξ ，因此 I − M 22 Δb 奇异。故 如 果 对 任 意 Δ2 ∈ BΔ 2 ， I − M 22 Δ2 非 奇 异 ， 即 Fl ( M , Δ2 ) 为 适 定 的 ， 则 必 有
)
I −MΔ 由 max μΔ1 ( Fl ( M , Δ2 ) ) < 1 以及 Δi ∈ BΔi ， 知 I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 非奇异， 因此，
Δ2 ∈BΔ2
= det ( I − M 22 Δ2 ) det ( I − Fl ( M , Δ2 ) Δ1 )
非奇异，故有
μΔ ( M ) = max ρ ( M Δ ) < 1