小学奥数立体图形

第11 讲立体图形

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用. 较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动）

1 ．用棱长是1 厘米的立方块拼成如图11-1 所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米

【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3X3=9个小正方形的面积，

朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7 个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7 个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于（9+7+7）X 2=46 个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l 平方厘米，所以该图形表面积是46 平方厘米．

2 ．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几

【分析与解】原来正方体的表面积为 5 X 5 X 6= 1 50．现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为（3 X 2）X 2=12, 12十150==8%.

即表面积减少了百分之八．

3 .如图11-3 ,一个正方体形状的木块,棱长l 米,沿水平方向将它锯成3片,每片又锯成4长条, 每条又锯成

5小块,共得到大大小小的长方体60块.那么,这60块长方体表面积的和是多少平方米

【分析与解】我们知道每切一刀,多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 刀,而原正方体一个面的面积1X l= 1（平方米）,所以表面积增

加了9X 2X仁18（平方米）.

原来正方体的表面积为6X仁6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）.

4.图11-4 中是一个边长为4厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米

的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米

【分析与解】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米）.

每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形, 同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看,每一个面都增加了4个边长是 1 厘米的正方形.

从而,它的表面积是96+4X6=120 平方厘米.

5 .图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方

1

体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,

2

边长为1厘米•那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米

4

【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面.

所以，最后得到的立体图形的表面积是：

11 11

2X 2X 6+1 x I X 4+X X — X 4+ X X 4=（平方厘米）.

2 2 4 4

6.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在

中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米•

【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3X 3X：立方米；

放在小水池里的碎石的体积为2X 2X =立方米；

则两堆碎石的体积和为+=立方米，现在放到底面积为6X 6=36平方米的大水池中，则使大水池的水

面升高十36=Z 米=700厘米=1^厘米

360 360 18

7 •如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后,

沿虚线折叠成长方体容器•这个容器的体积是多少立方厘米

【分析与解】容器的底面积是（13-4） X（9-4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器得体积为:

45 X 2=90（立方厘米）.

8 .今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大

的切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米

【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21: 15: 12=7 : 5: 4，为了叙述方便, 我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第

三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.

于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体

的棱长为12厘米、9厘米、6厘米.

所以剩下的体积应为：

3 3 3

21 X 15X 12-（12 9 6 ）=1107（立方厘米）.

9 .如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少

1 2 16 2

【分析与解】 圆锥的体积是 22 4

，，圆柱的体积是42

8 128

3 3

所以，圆锥体积与圆柱体积的比是

16 :128 1: 24.

3

2）（艺 1） 4.5.

4

因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的倍.

5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径

为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中•求这时容器的水深是多少厘米

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在 水中体积之和，因而水深为：

它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中.

此时容器与铁圆柱组成一个类似于下

图的立体图形.

2 2 2

底面积为5 2 21 ，水的体积保持不变为 5 15 315 .

所以有水深为176（厘米），小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出 21

7

于是176厘米即为所求的水深.

7

12 •如图11-8 ，用高都是1米，底面半径分别为米、1米和米的3个圆柱组成一个物体•问这个物 体的表面积是多少平方米（取3.14）

【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即

2 1.52 2 1.5 1 2 1 1 2 0.5 1

10 .张大爷去年用长 2米、宽 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤.

1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤•今年改用长 今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍

3米宽2

问: 【分析与解】底面周长是3，半径是

3 32 32

（厂）2

4-所以今年粮囤底面积是厂高是

2

同理, 去年粮囤底面积是 —,

4

高是

11 •一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为

52

2

15 2 18

17.72 （厘米）；