基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)
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基本不等式专题
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+(2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时
取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时
取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
） 若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
4.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 5.若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋
1
2x 2
（2）y ＝x ＋1
x
解：(1)y ＝3x 2＋
1
2x 2
≥23x 2·
1
2x 2
＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1
x ≥2
x ·1
x
＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，
此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将
(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离 技巧四：换元
例：求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时,4
259y t t
≥⨯+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a
f x x x
=+的单
调性。 例：求函数22
4
y x =
+的值域。
24(2)x t t +=≥，则2
24
y x =+221
4(2)4
x t t t x =
+=+≥+
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。 错解．．：
0,0x y >>，且
191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在
1992
x y xy
+≥1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。