几何量复习题

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

第一章空间向量与立体几何 复习参考题复习巩固1. 如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A.121232a b c -+ B. 211322a b c -++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解． 【详解】由题意1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,2. 如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，1AA c =，P 、M 、N 分别是CA '、CD '、C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '=．用空间的一个基底{},,a b c 表示下列向量：（1）AP ； （2）AM ； （3）AN ； （4）AQ ．【答案】（1）111222AP a b c =++ （2）1122AM a b c =++（3）12AN a b c =++（4）114555AQ a b c =++【分析】（1）利用空间向量的加法法则可得出AP 在基底{},,a b c 下的表达式；（2）利用空间向量的加法法则可得出AM 在基底{},,a b c 下的表达式； （3）利用空间向量的加法法则可得出AN 在基底{},,a b c 下的表达式； （4）利用空间向量的加法法则可得出AQ 在基底{},,a b c 下的表达式.【小问1详解】解：A C A A AB BC a b c ''=++=+-， 则()1111122222AP AA A P AA A C c a b c a b c ''''=+=+=++-=++； 【小问2详解】解：CD CC CD c a ''=+=-，AD AD AA b c ''=+=+，所以，()11112222AM AD D M AD CD b c c a a b c ''''=+=-=+--=++；【小问3详解】解：1122AN AD D N AD D C a b c '''''=+=+=++. 【小问4详解】解：()1111455555AQ AA A Q AA A C c a b c a b c ''''=+=+=++-=++.3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1CB =，2CA =，1AA =M 是1CC 的中点.求证：1AM BA ⊥.【分析】以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明10BA AM ⋅=即可. 【详解】由题可以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,0),1,0,,2B A M A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,3,6),(1,2BA AM ==-， 10330BA AM ⋅=-+=∴，∴1AM BA ⊥.4. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a .（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A ，B ，1A ，1C 的坐标； （2）求1AC 与侧面11ABB A 所成的角. 【答案】（1）答案见解析；（2）6π【分析】取BC 的中点为O ,11B C 的中点为1O ,连结1OO ,连结OA ，以O 为原点，1,,OA OB OO 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，取BC 的中点为O , 取11B C 的中点为1O ,连结1OO ,则1OO ⊥面ABC .连结OA ，则OA ⊥BC . 以O 为原点，1,,OA OB OO 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为a ，侧，则()1110,0,0,,0,0,0,,0,0,,0,,0,,0,,222222a a a a O A a B C A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以点A ，B ，1A ，1C 的坐标为：11,0,0,0,,0,,0,22a a A B A C ⎫⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）由（1）知：()1133=,,2=,,0=0,0,222a a AC a a AB a AA ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.设(),,n x y z =为面11ABB A 的一个法向量，则1·=0·=0n AA n AB ⎧⎨⎩，即1·=00·=002n AA z an AB x y ⎧++⋅⎪⎛⎫⎨-⋅+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 不妨设x =1,则()1,3,0n =.设1AC 与侧面11ABB A 所成的角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则1111sin =cos ,2AC n AC n AC nθ ⎝===⨯⎛， 所以=6πθ，即1AC 与侧面11ABB A 所成的角为6π.5. 已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -． （1）求以AB ，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且3a =，求向量a 的坐标． 【答案】（1）（2）(3,3,a =或(3,a =-【分析】（1）先求出,AB AC ，然后利用向量的夹角公式求出cos BAC ∠，从而可求出sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式可求得答案，（2）设(,,)a x y z =，然后利用向量a 分别与AB ，AC 垂直，且3a =，列方程组可求得答案【小问1详解】因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以(2,1,3),(1,3,2)AB AC =--=-， 所以71cos 1424AB AC BAC AB AC⋅∠====，因为0180BAC ︒≤∠≤︒，所以60BAC ∠=︒， 所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为sin 60142AB AC BAC ∠=︒=⨯= 【小问2详解】 设(,,)a x y z =，因为向量a 分别与AB ，AC 垂直，所以230320a AB x y z a AC x y z ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，因为3a =，所以2229x y z ++=，解得x y z ===x y z ===，所以(3,3,a =或(3,a =-6. 设空间两个单位向量(),,0OA m n =，()0,,OB n p =与向量()1,1,1OC =的夹角都等于4π，求cos AOB ∠的值.【答案】cos AOB ∠=cos AOB ∠=.【分析】根据已知可得||||cos4OC OA OC OA π⋅=⋅⋅1m n ===+，2221OA m n =+=，由此可以求出2n ，再根据2cos ||||OA OBAOB n OA OB ⋅∠==⋅，即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0)OA m n =，(0,,)OB n p =与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于4π， 4AOC BOC π∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==，||||cos4OC OA OC OA π∴⋅=⋅⋅1==OC OA m n ⋅=+， 2221OA m n =+=，2221m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩解得22m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2OA OB n ⋅=，2cos ||||OA OBAOB nOA OB ⋅∴∠==⋅，cos AOB ∴∠=cos AOB ∠=7. 正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点.在直线1CC 上求一点N ，使1⊥MN AB . 【答案】满足18CN =. 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系，设(0,1,),02N t t 剟，通过10MN AB ⋅=求解.【详解】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则131,0,(0,0,0),,242M A B ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,1,),02N t t 剟， 则13131,,,,,242MN t AB⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1MN AB ⊥，1112042MN AB t ⋅=-+⨯+∴=，解得18t =，。

九上期末复习专题汇编——几何综合一．旋转类（共10小题）1．如图，在Rt ABC=，点D为线段BC上一动点（不与点B，∠=︒，AC BC∆中，90ACBC重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90︒，得到射线AD'、AB'，过点B作BC的垂线，分别交射线AD'、AB'于点E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：AB AF=；（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．2．如图，矩形ABCD中，AD AB>，DE平分ADC∠交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90︒得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．（1）①补全图形；②设EAB∠的度数为α，直接写出AOE∠的度数（用含α的代数式表示）．（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 是射线CA 上一点，连接BD ，以点B 为中心，将线段BD 顺时针旋转60︒，得到线段BE ，连接AE ．（1）如图1，当点D 在线段CA 上时，连接DE ，若DE AB ⊥，则线段AE ，BE 的数量关系是 ；（2）当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2． ①探究线段AE ，BE 的数量关系，并证明； ②直接写出线段CD ，AB ，AE 之间的数量关系．4．已知正方形ABCD ，点E 是CB 延长线上一点，位置如图所示，连接AE ，过点C 作CF AE ⊥于点F ，连接BF ．（1）求证：FAB BCF ∠=∠；（2）作点B 关于直线AE 的对称点M ，连接BM ，FM ． ①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF ，AF ，BM 之间的数量关系，并证明．5．在等腰直角ABC∠=︒，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上A=，90∆中，AB AC的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90︒交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：BDP PCB∠=∠；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．6．如图，在ABC∠=︒，D是线段AC延长线上一点，连接BD，∆中，AC BCACB=，90过点A作AE BD⊥于E．（1）求证：CAE CBD∠=∠．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F，连接CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF，CE，BE之间的数量关系，并证明．7．在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是线段BC 上的动点()BD CD >，作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ． （1）依题意补全图形，直接写出AFE ∠的度数；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．8．已知：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边中点．点M 为线段BC 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90︒，得到线段ME ，连接EC ．（1）如图1，若点M 在线段BD 上． ①依据题意补全图1； ②求MCE ∠的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系．9．在ABC∆中，AB=CD AB⊥于点D，CD=．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE AC∠的数=，此时CE与CB的数量关系是，BCE∠与A量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画BCE∠（点E与点D在直线BC的异侧），使2=，连接AE．∠=∠，CE CBBCE A①按要求补全图形；②求AE的长．10．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若BAPα∠的大小（用含α的式子表示）；∠=，直接写出ADF（2）求证：BF DF⊥；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．二．对称类（共9小题）11．如图，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=︒，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A作AE BD⊥的延长线于E．（1）①在图中作出ABC∆的外接圆O，并用文字描述圆心O的位置；②连接OE，求证：点E在O上；（2）①延长线段BD至点F，使EF AE=，连接CF，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明．12．如图，60MON∠=︒，OF平分MON∠，点A在射线OM上，P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ OA=，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APkOQ=，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．13．已知ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，在ABC ∆外侧作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，连接CE ，CE 交射线AD 与点F ． （1）依题意补全图1．（2）设BAD α∠=，若045α︒<<︒，求AEC ∠的大小（用含α的代数式表示）． （3）如图2，045BAD ︒<∠<︒，用等式表示线段EC ，FC 与EB 之间的数量关系．14．已知120MON ∠=︒，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA OB =，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA ．将射线CA 绕点C 逆时针旋转120︒得到射线CA '，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150︒与射线CA '交于点D ．（1）根据题意补全图1； （2）求证： ①OAC DCB ∠=∠；②CD CA =（提示：可以在OA 上截取OE OC =，连接)CE ；（3）点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有2DCH DAH ∠=∠，写出你的猜想并证明．15．已知在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，直线l 经过点A （不经过点B 或点)C ，点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上． ②直接写出BDC ∠的度数（用含α的式子表示）为 ．（2）如图2，当60α=︒时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE BD =； （3）如图3，当90α=︒时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．16．如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE AD =．连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G ． （1）依题意补全图形；（2）若AF AB =，解答下列问题： ①判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由；②连接AG ，用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明．17．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60︒，得到线段BE，连接AE，CE．（1）求BAE∠的度数；（2）连接BD，延长AE交BD于点F．①求证：DF EF=；②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．18．在菱形ABCD中，120∠=︒，DECADC∠=︒，点E是对角线AC上一点，连接DE，50将线段BC绕点B逆时针旋转50︒并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG BC=；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．19．在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，ABC ∆的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB =”是否正确： （填“是”或“否” )；（2）点P 是ABC ∆所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB =． ①如图2，点P 在ABC ∆内，30ABP ∠=︒，求PAB ∠的大小；②如图3，点P 在ABC ∆外，连接PC ，设APC α∠=，BPC β∠=，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．三．中点类（共8小题）20．已知45MAN ∠=︒，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A 重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD CB =，过点D 作DE AM ⊥于点E ．（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是 ； （2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC AE DE =+； （3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．21．如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且90BMN ∠=︒，2MN MB =．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF PM=，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF BM=；（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．22．ABC∆是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转(0180)n n︒<<得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC AC=，画出当//BQ AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有12MP AP=，并说明理由．23．在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，30ABC∠=︒，BC=．将ABC∆绕点B顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ；（2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明；②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．24．已知等边ABC ∆，点D 为BC 上一点，连接AD ．（1）若点E 是AC 上一点，且CE BD =，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE ∠的大小；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转120︒，得到AF ，连接BF 交AC 于点Q ，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ 和CD 的数量关系，并证明．25．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当2BD =时，AN = ，NM 与AB 的位置关系是 ；（2）当48BD <<时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（4）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．26．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 为AB 边上的中线．在Rt AEF ∆中，90AEF ∠=︒，AE EF =，AF AC <．连接BF ，M ，N 分别为线段AF ，BF 的中点，连接MN ．（1）如图1，点F 在ABC ∆内，求证：CD MN =；（2）如图2，点F 在ABC ∆外，依题意补全图2，连接CN ，EN ，判断CN 与EN 的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的AEF ∆绕点A 旋转，若AC a =，()AF b b a =<，直接写出EN 的最大值与最小值．27．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得30∠=︒时，猜想此时线段CF，AE，OE之OEF间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．四．三垂直类（共3小题）28．已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB BC=，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN PM⊥交射线CB于点N．（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．①依题意补全图1；②写出线段PM与PN的数量关系并证明．（2）如图2，若OMBα∠=，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN 的数量关系．29．如图，MO NO∠=︒，当OAB∆绕点O旋∆为等腰直角三角形，90⊥于点O，OABOAB转时，记(090)MOA αα∠=︒︒，5OA =．（1）过点B 作BC ON ⊥交射线ON 于点C ，作射线CA 交射线OM 于点D ． ①依题意补全图形，求ODC ∠的度数；②当4sin 5α=时，求OD 的长． （2）若ON 上存在一点P ，且10OP =，作射线PB 交射线OM 于点Q ，直接写出QP 长度的最大值．30．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，记ABC α∠=，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当ABD ∆为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ 的长为 ；（2）如图2，当45α=︒，且43BD =时，求证：PD PQ =； （3）设BC t =，当PD PQ =时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示）。

小升初数学图形与几何知识点分类复习《常见单位的换算及测量》一、选择题1．光明小学操场的面积是3000（）。

A．平方分米B．平方米C．公顷2．用手势表示1分米的长度，最有可能的是（）。

A．B．C．D．3．下面的面积单位按从小到大的顺序排列正确的是（）。

①平方米①平方千米①公顷①平方分米A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①4．四平英雄广场占地面积是12000（）。

A．平方千米B．公顷C．平方米5．一个游泳池的宽约是10（）。

A．米B．厘米C．分米6．北京的故宫是世界上最大的宫殿，它的占地面积约是72（）。

A．平方分米B．平方米C．公顷D．平方千米7．下图中这枚钉子的长度是（）。

A．40mm B．42mm C．43mm D．4cm8．新区体育场的面积大约是10000平方米，估计新区广场的场地面积大约是（）。

A．4平方米B．9公顷C．30000平方米D．300公顷9．课桌的宽大约是（）分米．A．4B．40C．40010．下列说法中，正确的有（）句。

①350平方米＝3.5公顷。

①实验小学的足球场占地约10平方千米。

①面积相等的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。

①两个梯形的上、下底之和与高分别相等，说明这两个梯形面积相等。

A．1B．2C．3D．都不正确11．下面说法正确的是（）。

A．一本《新华字典》的厚度大约是4厘米。

B．一支牙刷的长度大约是10毫米。

C．杨叔叔跑完马拉松比赛全程大约用了2分钟。

D．1吨铁比1000千克的棉花重。

12．下面图形中，面积是1平方千米的是（）。

A．B．C．13．下面哪个公园的占地面积最大？（）。

A．宝安公园占地面积72.5公顷B．灵芝公园占地面积120000平方米。

C．洪浪公园占地面积26000平方米D．深圳湾公园占地面积128.74公顷。

14．洪泽湖是我国第四大淡水湖，它的面积大约是2069（）。

A．平方米B．公顷C．平方千米D．公里15．一本字典厚44（）。

A．分米B．厘米C．毫米16．下列各题正确的是（）。

一、 填空题：（每小题2分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=v 中，____________________是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v______________________。

11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。

12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是 。

综合复习题一、填空题1. __只有大小的量______________________________________ 叫做数量 ;2. __既有大小又有方向的量______________________________________ 叫做矢量 ;3. __模等于1的矢量___________________________________ 叫做单位矢量 ;4. 平行于同一直线的一组矢量叫做 _共线_______________ 矢量 ;5. 平行于同一平面的一组矢量叫做 __共面_______________ 矢量 ;6. 两矢量共线的充要条件是它们线性 ___相关________________ ;7. 三矢量不共面的充要条件是它们线性 ______无关___________ ;8. __________方向角的余弦__________________________ 叫做方向余弦 ;9. 两矢量a⊥b充要条件是 ____a_*b＝0____________________ ;10. 三矢a,b,c量共面的充要条件是 ______(a×b)*c=0_______________ ;11. 两矢量a∥b的充要条件是 _a×b=0,或对应分量成比例 ;12. 矢量与坐标轴所成的角叫做 _方向角;13. 把平面上的一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成____单位圆 ;14. 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点,则它们的终点构成单位球面__ ;15. 方程叫做空间曲线的 ______________ 方程 ;16. 坐标平面yOz的方程是 _____________________________ ;17. 坐标平面xOz的方程是 ______________________________ ;18. 坐标平面xOy的方程是 _____________________________ ;19. 方程叫做曲面的 ______________________ 方程 ;20. 空间直线的标准方程为______________________________ ;21. 两平面A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1, 2)相互垂直的充要条件是___________________ ;22. 点M0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D＝0的距离是 _______ ;23. 平面的一般方程是 _________________________ ;24. 直线的方向余弦cosα, cosβ, cosγ满足的关系式为_________ ;25. 给定直线l：＝＝和平面π：Ax+By+Cz+D＝0, 则l与π相交的充要条件是 ________________________ ;26. 直线l与平面π平行的充要条件是 _____________________ ;27. 直线l在平面π上的充要条件是_______________________;28. 给定l i：＝＝ (i＝1, 2), 则l1与l2异面的充要条件是___________________________ ;29. 直线l1与l2相交的充要条件是 ________________________ ;30. 直线l1与l2平行的充要条件是 _________________________ ;31. 直线l1与l2重合的充要条件是 _________________________ ;32. 空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做 ____________ ;33. 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做 __________ ;34. 在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做____________________;35. 在空间, 过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做___________ ;36. 在空间, 一曲线绕定直线旋转一周所产生的曲面叫做 __________________ ;37. 在直角坐标系下, 椭球面的标准方程是 ________________________ ;38. 在直角坐标系下, 单叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;39. 在直角坐标系下, 双叶双曲面的标准方程是 ____________________ ;40. 在直角坐标系下, 椭圆抛物面的标准方程是 ____________________ ;41. 在直角坐标系下, 双曲抛物面的标准方程是 ____________________ ;42. 柱面、锥面、椭球面、单叶（双叶）双曲面、椭圆（双曲）抛物面中是直纹曲面的有 ___________ _____________________;43. 单叶双曲面过一定点的直母线有 ___________ 条;44. 满足条件Φ (X, Y)≠0的方向叫做二次曲线的 ___________ ;45. 没有实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;46. 有两个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;47. 只有一个实渐近方向的二次曲线叫做 __________________ 型曲线;48. 有唯一 __________________ 的二次曲线叫做中心二次曲线;49. 没有中心的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;50. 有一条中心直线的二次曲线叫做 __________________ 二次曲线;51. 二次曲线F (x, y)＝0的奇点(x0, y0)满足的条件是 ________________ ;52. 二次曲线一族平行弦中点的轨迹叫做二次曲线的 _______________ ;53. ___________ 二次曲线的直径都过二次曲线的中心;54. 无心二次曲线的直径都 ___________ 二次曲线的渐近方向;55. 线心二次曲线的直径只有一条,即二次曲线的 ___________ ;56. 二次曲线垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的 ______________ ;57. 二次曲线的特征根都是 ____________________________ ;58. 二次曲线特征根不能 ____________________________ ;59. 中心二次曲线至少有 ________________________ 条主直径;60. 非中心二次曲线中只有 ______________________ 条主直径;61. ___________ 二次曲线可分类为椭圆、虚椭圆、双曲线、点、二条相交直线;62. ____________________________ 二次曲线的图像是抛物线;63. ___________ 二次曲线可分类为两平行直线、两平行共轭虚直线、两重合直线;二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1. 若, 共线，, 共线，则, 也共线; （）2. 若, , 共面，, , 共面，则, , 共面;（）3. , , 中，若, 共线, 则, , 共面; （）4.平行于同一方向的两矢量相等；（）5. 位移、力、速度和加速度都是数量; （）6. 所有零矢量都相等; （）7. 自由矢量就是方向和模任意的矢量; （）8. 零矢量的方向一定; （）9.在自由矢量的意义下, 平行于同一平面的一组矢量不能在同一平面上；（）10. 彼此平行且有共同始点的一组矢量一定在同一条直线上; （）11. 若≠，则表示与同方向的单位矢量; （）12. 若⊥，则 |+|＝|－|; （）13. 若, 同向，则 |+|＝||+||; （）14. 若, 反向，则 |－|＝||+||; （）15. 若, 反向, 且||≥||，则 |＋|＝||－||; （）16. 若, 同向, 且||≥||，则 |－|＝||－||; （）17. 第I卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, ―, ―); （）18. 第II卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (+, +, ―)；（）19. 第III卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, +, ―); （）20. 第IV卦限内点 (x, y, z) 的符号为 (－, ― ,+); （）21. 射影矢量＝(射影) ；（）22. 射影＝|| cos∠(, )；（）23. 射影(＋)＝射影+射影；（）24. 射影(λ)＝λ射影；（）25. 在{O;,,,}下, ＝X＋Y＋Z, 则射影＝Y; （）26. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x+y=0; （）27. 两坐标面xOy与yOz所成二面角的平分面方程是x－z＝0; （）28. 两坐标同xOy与xOz所成二面角的平分面方程是x＋z＝0; （）29. 两坐标面xOy与xOz所成二面角的平分面方程是y－z＝0; ( )30. 两坐标面xOz与yOz所成二面角的平分面方程是x－y＝0; ( )31. (＋)⋅＝⋅＋⋅; （）32. (λ)⋅＝⋅(λ)；（）33. ⋅＝2；（）34. －(×)＝×；（）35. ×＋×＝(＋)×；（）36. 平面的矢量式参数方程为＝+u+v；（）37. 平面的坐标式参数方程为（）38. 平面的一般方程为Ax+By+Cz+D＝0；（）39. 平面的法式方程为x cosα+y cosβ+zcosγ+p＝0；（）40. 平面的截距式方程为＋＋＝0；（）41. 空间直线与平面的位置关系有相交和平行两种；（）42. 空间两直线的位置关系有平行、重合、相交三种；（）43. 两平面的位置关系有平行、相交、重合三种；（）44. 点到平面的离差等于点到平面的距离；（）45. 平面Ax+By+Cz+D＝0通过原点的充要条件是D=0; （）46. 将椭圆绕x轴所得旋转曲面方程为：++＝1；（）47. 将椭圆绕y轴所得旋转曲面方程为：++＝1; （）48. 将双曲线绕z轴所得旋转曲面方程为：+－＝1；（）49. 将双曲线绕y轴所得旋转曲面方程为：－－＝1；（）50. 将抛物线绕z轴所得旋转曲面方程为：x2+y2＝2pz；（）51. 二次曲线的中心就是它的奇点；（）52. 若M是二次曲线的奇点, 则该二次曲线过M的切线是唯一的; （）53. 二次曲线的一族平行弦中点的轨迹是一条直线；（）54. 经过移轴变换可以消去二次曲线方程中的xy 项；（）55. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足；（）56. F(x, y)＝xF1(x, y)+yF2(x, y) +F3(x, y)；（）57. F(x, y)＝Φ(x, y)+2a13x+2a23y+a33；（）58. 在直线方程Ax+By+C＝0中, 若A, B, C与三个实数成比例，则该直线为虚直线；（）59. 二次曲线的奇点满足F1 (x, y)＝F2 (x, y)＝F3 (x, y)＝0；（）60. Φ (x, y)＝x (a11x＋a12y)＋y (a12x＋a22y)；（）三、选择题（从四个备选答案中选出唯一正确的一个）1. 两个矢量是否相等，由它们的（）决定.A. 始点;B. 模;C. 方向;D. 模和方向.2. 若, , 共面，, , 共面，则, , （）共面.A. 不一定;B. 一定; B. 一定不; D. 共线.3. 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点，则它们的终点构成（）A. 一点;B. 线段;C. 直线;D. 射线.4. 下列等式中不成立的是（）A.+＝＋；B. ⋅＝⋅;C. ×＝×;D. λ (μ)＝μ (λ).5. 关于零矢量的描述不正确的是（）A. 模不定;B.方向不定;C. 模为0;D.模定方向不定.6. 非零矢量与的下列关系中不正确的是（）A. ＝;B. ＝;C. ||＝;D. ||＝1.7. 第VIII卦限的点 (x, y, z) 的符号是（）A. (＋, ＋, ＋);B. (―, ―, ―)C. (＋, ―, ―)D. (－, ＋, ＋).8. 下列等式中错误的是（）A. ⋅＝||||cos∠(, );B. ⋅＝||射影;C. ⋅＝||射影;D. ⋅＝||⋅||9. 下列等式错误的是（）A. ⋅＝||2;B. 2＝||2;C. ||＝;D. ＝.10. ×＋×+×＝（）A. 0;B. 3;C. 1;D. .11. ⋅＋⋅＋⋅＝（）A. 0;B. 3;C. ;D. 1.12. 若, , 两两相互垂直，且模均为1，则++的模为（）A.; B.3; C.0; D. 1.13. 下列运算不满足交换律的是（）A. 矢性积;B. 数性积;C. 矢量加法;D. 数量乘法.14. 方程在空间表示（）A. yOz面;B. xOy面;C. z轴;D. x轴.15. 在空间，y轴的方程不能写成（）A. B. ; C. y＝0; D. ＝＝.16. 平面的矢量式参数方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D.＝＋u+v.17. 平面的法式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.18. 平面的截距式方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.19. 平面的一般方程是（）A. ++＝1;B. Ax+By+Cz+D＝0;C. x cosα+y cosβ+z cosγ－p＝0;D. ＝+u+v.20. 平面的法式方程中的常数项必满足（）A. ≤0;B. ≥0;C. <0;D.>0.21. 将平面方程Ax+By+Cz＝0化为法式方程时，法式化因子的符号（）A. 任选;B. 与B异号;C. 与A异号;D.与C异号.22. 点M0与平面π间的离差δ＝－2, 则M0到π的距离d为（）A. －2;B. 2;C.－1;D. 1.23. 直线的坐标式参数方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.24. 直线的标准方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.25. 直线的两点式方程是（）A. ＝＝;B.C. D.＝＝.26. 直线的一般方程是（）A. ＝＝;B.C. ;D.＝＝.27. 直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D1, D2满足（）A. D1＝D2＝0;B. D1＝0, D2≠0;C. D1≠0, D2＝0;D. D1≠0, D2≠0.28. 直线的方向角α, β, γ不满足关系式（）A. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;B. sin2α+sin2β+sin2γ＝1;C. sin2α+sin2β+sin2γ＝2;D. cos2(π－α)+cos2(π－β)+cos2(π－γ)＝1.29. 两平面2x+3y+6z+1＝0与4x＋6y＋12z＋1＝0之间的距离是（）A. 0;B.C.D..30. 设直线与此同时三坐标面的夹角为λ, μ, v, 则下列式子中不成立的是（）A. sin2λ+sin2μ+sin2ν＝1;B. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝2;C. cos2λ+cos2μ+cos2ν＝1;D. sin2(π－λ)+sin2(π－μ)+sin2(π－ν)＝1.31. 关于x－x0, y－y0, z－z0的二次齐次方程表示（）A. 柱面;B. 顶点在(x0, y0, z0)的锥面;C. 旋转曲面;D.平面.32. 将曲线Γ: 绕y轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F＝0;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.33. 将曲线Γ：绕x轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.34. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. F;B. F＝0;C. F＝0;D. F＝0.35. 将曲线Γ：绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为（）A. x2+y2＝2z;B. x2+z2＝2y;C. y2+z2＝2x;D. y2＝.36. 下列方程中表示单叶双曲面的是（）A. ++＝1;B. +－＝1;C. +－＝－1;D. －－＝1.37. 椭球面++＝1与xOy坐标面的交线方程为（）A. +＝1;B.;C. z＝0;D. .38. 下列方程中表示双叶双曲面的是（）A. －－＝－1;B. －+＝1;C. －－＋＝1;D. +－＝1.39. 下列方程中表示双曲抛物面的是（）A. x2+y2＝2z;B. 3x2－2y2＝z；C. x2－y2＝z2;D. x2+y2＝z2.40. 二次曲线方程通过移轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.41. 二次曲线方程通过转轴变换后不变的是（）A. 二次项系数;B. 一次项系数;C. 常数项;D. 都不变.42. 下列曲面中是直纹曲面的是（）A. 椭球面;B. 柱面;C. 球面;D. 双叶双曲面.43.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I2＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.44.已知二次曲线方程中Φ(x,y)＝x2+2x y+y2,则I1＝（）A. 1;B. 0;C. －1;D. 2.45. 中心二次曲线至少有（）条主直径.A. 1;B. 2;C. 3;D. 4.46. 二次曲线的奇点（）是它的中心.A. 不一定;B. 一定不;C. 一定;D. 以上都不对.47. 有奇点的二次曲线一定是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D.圆.48. 二次曲线的特征根（）A不全为0; B. 全不为0; C.全为0; D. ≥0.49. 二次曲线的特征根（）A. 都是虚数;B. 都是实数;C. 一实一虚;D. 全为0.50. 椭圆+＝1的一对共轭直径的斜率k与k'满足（）A. kk'＝;B. kk'＝－;C. kk'＝－;D. kk'＝.51. 二次曲线在直角坐标变换下的半不变量为（）A. I1;B. I2;C. I3;D. K1.52. 简化方程为I1 y2+＝0的二次曲线是（）A. 中心曲线;B. 无心曲线;C. 线心曲线;D. 圆.53. 二次曲线表示两条直线（实的或虚的,不同的或重合的）的充要条件是（）A. I1＝0;B. I2＝0;C.I3＝0;D. K1＝0.四、计算题1. 求通过点P (1, 1, 1)且与直线l1：＝＝, l2: ＝＝都相交的直线方程.2. 求异面直线l1：＝＝与l2: ＝＝的公垂线方程.3. 求通过直线且与平面x－4y－8z＋12＝0垂直的平面方程.4. 求通过点A (－3, 0, 1)和B (2, －5, 1)的直线方程.5. 求平行于平面3x+2y+z=0且在x轴上截距等于－2的平面.6. 已知一平面过M0(x0, y0, z0) (z0≠0), 且在x轴、y轴上的截距分别为a, b(ab≠0), 求其方程.7. 求二次曲线x2－2xy＋y2－1＝0 的渐近方向,并指出其类型.8. 求二次曲线2x2＋xy－y2－x＋y－1＝0的渐近线.9. 如图,求直角△ABC的斜边AC绕直角边AB旋转所得圆锥面的方程(∠BAC＝α).10. 求二次曲线F (x, y) ≡x2－2xy＋y2－4x＝0 的主方向与主直径.11. 求椭圆＋＝1 的主方向与主直径.12. 求双曲线－＝1的主方向与主直径.13. 在双曲抛物面－＝z上求平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.14. 求二次曲面F(x, y, z)≡2xy+2xz+2yz+9＝0 的主方向与主径面.15. 求二次曲面F(x, y, z)≡5x2+2y2+2z2－2xy＋2xz－4yz－4y－4z＋4＝0的奇向.16. 求以直线＝＝为轴, 半径为r的圆柱面方程.17. 求二次曲面－＋＝1 与三坐标面的交线方程,并指出其名称.18. 已知各锥面的顶点在原点,准线为,求锥面的方程.19. 求二次曲线x2－xy－y2－x－y＝0 与x2+2xy+y2－x＋y＝0的公共直径.五、证明题1. ⊥的充要条件是⋅＝0.2. //的充要条件是×＝.3. (⋅)2+(×)2＝22.4. 若×+×+×＝, 则, , 共面.5. 若二次曲线的I1＝0, 则I2<0.6. 二次曲线的特征根不全为0.7. 二次曲线的特征根全是实数.8. 由二次曲线的特征根λ≠0确定的主方向X:Y是二次曲线的非渐近方向.9. 由二次曲线的特征根λ＝0确定的主方向X:Y是二次曲线的渐近方向.10. 在任意转轴变换下, 二次曲线新旧方程的一次项系数满足.11. 二次曲线x2+2xy+ay2+x+by－4＝0有一条中心直线的充要条件是a＝b＝1.12. 两条二次曲线x2－xy＋y2+2x－4y＝0与 5x2+4xy+2y2－24x－12y＋18＝0 的中心在直线x+2y－4＝0上.13. 两条二次曲线x2－2xy+y2+4x－4y－3＝0 与x2－xy+y2+2x－4y＝0的公共直径为x－y＋2＝0.14. 中心二次曲线ax2+2hxy+ay2＝d 的两条主直径为x2－y2＝0.15. 二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.16. 已知直线l：与π：4x－3y＋7z－7＝0, 试证直线l在平面π上.17. 试证两直线＝＝与＝＝为异面直线.六、化简二次曲线方程,并作出图形.1. x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0.2. 2xy－4x－2y＋3＝0.3. x2－xy＋y2＋2x－4y＝0.4. x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0.5. 5x2+8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0.6. x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0.7.x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.综合复习题答案一、1. 只有大小的量;2. 既有大小、又有方向的量;3. 模等于1的矢量;4. 共线矢量;5. 共面矢量;6. 相关;7. 无关;8. 方向角的余弦;9. ＝0;10. ()=0, 或线性相关;11. ×＝,或对应分量成比例;12. 方向角;13. 单位圆;14. 单位球面;15. 一般;16. x＝0;17. y＝0;18. z＝0;19. 参数;20. ＝＝;21. A1A2+B1B2+C1C2＝0;22. d＝;23.Ax+By+Cz+D＝0 (A, B, C不全为0);24. cos2α+cos2β+cos2γ＝1;25.AX+BY+CZ≠0;26. AX+BY+CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0;27. AX+BY+C＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0;28. ∆＝≠0;29. ∆＝0, X1:Y1:Z1≠X2:Y2:Z2;30. ∆＝0, X1:Y1:Z1＝X2:Y2:Z2 ≠ (x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);31. ∆＝0, X1:Y1:Z1 = X2:Y2:Z2＝(x2－x1):(y2－y1):(z2－z1);32. 有轴平面束;33.平行平面束;34. 柱面;35. 锥面;36. 旋转曲面;37. ++＝1 (a≥b≥c>0);38. +－＝1 (a>0, b>0, c>0);39. +－＝－1 (a>0, b>0, c>0);40. +＝2z (a>0, b>0);41. －＝2z (a>0, b>0);42. 柱面,锥面,单叶双曲面,双曲抛物面;43. 两条;44. 非渐近方向;45. 椭圆;46. 双曲;47. 抛物;48. 中心;49. 无心;50. 线心;51. F1 (x0, y0)＝F2 (x0, y0)＝F3 (x0, y0)＝0;52. 直径;53. 中心;54. 平行于;55. 中心直线;56. 主直径;57. 实数;58. 全为零;59. 两;60. 一;61. 中心;62. 无心;63. 线心;二、1. √;2. ×;3. √;4. ×;5. ×;6. √;7. ×;8. ×;9. ×; 10. √;11. √; 12. √; 13. √; 14. √; 15. √; 16. √; 17. ×; 18. ×; 19. ×; 20. ×;21. √; 22. √; 23. √; 24. √; 25. √; 26. ×; 27. √; 28. ×; 29. √; 30. √;31. √; 32. √; 33. √; 34. √; 35. √; 36. √; 37. √; 38. √; 39. ×; 40. ×;41. ×; 42. ×; 43. √; 44. ×; 45. √; 46. √; 47. √; 48. √; 49. √; 50. √;51. ×; 52. ×; 53. √; 54. ×; 55. √; 56. √; 57. √; 58. ×; 59. √; 60. √.三、1. D;2. A;3. C;4. C;5. A;6. B;7. C;8. D;9. D; 10. D; 11.B; 12. A; 13. A; 14. C; 15. C; 16. D; 17. C; 18. A; 19. B; 20. A;21. A; 22. B; 23. B; 24. A; 25. D; 26. C; 27. A; 28. B; 29. D; 30. C;31. B; 32. D; 33.A; 34. B; 35.A; 36.B; 37.D; 38. C; 39. B; 40. A;41. C; 42. B; 43. B; 44. D; 45. B; 46. C; 47. C; 48. A; 49. B; 50. C;51. D; 52. C; 53. C.四、1. ＝＝;2.(z轴);3. 4x+5y－2z＋12＝0;4. ＝＝;5. 3x+2y+z+6=0;6.设所求平面在z轴上的截距为c≠0,则所求平面方程为++=1, 因平面过M0 (x0, y0, z0),于是++＝1, ＝ (1－－), 故所求平面为++ (1－－)＝1;7. (－1):1, 抛物型;8. 3x+3y－2＝0, 6x－3y－1＝0;9. 提示：取A为原点,AB为z轴, ABC所在平面为yOz面建立坐标系, 设B的坐标为(0, 0,a), 则AC的方程为, 从而得锥面方程为ctg2α (x2+y2)－z2＝0 (0≤z≤a);10. (－1):1(非渐近主方向), 1:1(渐近主方向), x－y－1＝0;11. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;12. 1:0, 0:1, x＝0, y＝0;13. 与；14. 1:1:1及与平面x+y+z＝0平行的一切方向;x+y+z＝0及过中心(0, 0, 0)且垂直于x+y+z ＝0 的一切平面;15. 0:1:1;16. (ny－mz)2+(lz－nx)2+(mx－ly)2＝r2 (l2+m2+n2);17. (双曲线); (椭圆); (双曲线);18. －－＝0;19. 5x+5y+2＝0;20. 2x+3y+z+4＝0.五、略.六、1. 由坐标变换公式得：－＝1(双曲线).2. 由坐标变换公式得：x'2－y'2＝1 (双曲线).3. 由坐标变换公式得：+＝1 (椭圆).4. 由坐标变换公式得：－＝1 (双曲线).5. 由坐标变换公式得：x'2+=1 (椭圆).6. 由坐标变换公式得：y'2＝2 (一对平行直线).7. 由坐标变换公式得：y'2＝－x (抛物线).。

几何证明练习1、（04河北）用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.2、（06河北）如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3、（07河北|）在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ． （1）在图15-1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC 方向平移到图15-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条 直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于图13—2图13－2图13－3图13－1 A ( E )图15-3图15-1点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图15-3所示的位置（点F 在线段AC 上， 且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）4、（08荆门）将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′5、（武汉07）填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。

第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （ ）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（ ）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（ ） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（ ）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（ ）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（ ） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 （B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （ ）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（ ）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（ ）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（ ）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（ ）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（ ）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（ ）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（ ）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，） ，则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。

[整理]微分⼏何复习（学⽣⽤）微分⼏何复习题⼀、填空题1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定⽅向，则a = 。

2. ⾮零向量()r t 满⾜(),,0r r r '''=的充要条件是。

3. 若向量函数()r t 满⾜()()0r t r t '?=，则()r t 具有固定。

4. 曲线()r r t =的正常点是指满⾜的点.5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为。

6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为。

7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为。

8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平⾯是曲线在P 点的。

9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平⾯⽅程是。

10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平⾯⽅程是。

11. ⼀曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。

12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ= 。

13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线⽅程是。

14. 曲线的主法向量的正向总是指向。

15. 空间曲线为⼀般螺线的充要条件是它的副法向量。

16. 曲线()r r t =的曲率是。

17. 曲线()r r t =的挠率是。

18. ⼀般螺线的曲率和挠率的关系是。

19. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是。

20. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线⽅程为。

21. 设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线⽅程为。