《微积分（下）》课程期末复习题（1）
一、
计算下列积分(每小题5分,共15分)
1. 22
arctan 1x x
dx x ++⎰
2.
4
0⎰
3. 1ln e
e
xdx ⎰
二、 求由曲线3 , 02
()4 , 2
x x f x x x ⎧≤≤=⎨->⎩和x 轴所围平面图形的面积，并求此图
形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积（9分）
三、
求下列函数的偏导数或全微分（18分）
1. ()cos sin ,x z e y xy =+，求,z z x x
∂∂∂∂
2. 设()y
x y x z 2354+-=,求
z
x
∂∂及z y ∂∂.
3. 若(),z z x y =由方程()2sin 2323x y z x y z +-=+- 确定，计算.z z x y
∂∂+∂∂
四、
某厂生产两种型号的产品. 已知生产A 产品x 单位. B 产品y 单位时的总
成本函数为()1003070,++=y x y x C . 两种产品的需求函数分别为
3
30 . 550B A p
y p x -=-
=（B A p p , 分别为两种产品的价格），若限制总产量为20 ， 试求 y x , 使总利润最大。（9分）
五、重积分（15）
1.已知
sin
()
x
y
f x dy
y
π
=⎰，计算0()
f x dx
π
⎰。
2.计算二重积分
D xydxdy
⎰⎰，其中D是由抛物线2
y x
=及直线2
y x
=+所围成的闭区域。
六、 选择题 (每小题2分,共10分)
1. 设⎰=+=+)( cos )1(x f c x dx x f 则( )
A .)1sin(-x
B .)1sin(--x
C .)1sin(+x
D .)1sin(+-x
2. 设平面区域D 由(),(),,y f x y g x x a x b ====围成，其中a b <，(),()
f x
g x 均连续且()()0f x g x ≤≤，则平面区域D 绕x 轴旋转所成旋转体体积为（ ）
A .()2
()()b
a
f x
g x dx π-⎰
B .()22()()b
a g x f x dx π-⎰
C . ()22()()b a
f x
g x dx π-⎰
D . ()()b
a
f x
g x dx π-⎰
3. 已知00(,)3f x y =，00(,)2x f x y '=，00(,)4y f x y '=，[]00ln (,)x f x y '=( )
A .
13 B . 23 C . 4
3
D . 0 4. 设二元函数(,)z f x y =在()00,x y 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
00(,)2xx
A f x y ''==00(,)0xy
B f x y ''==00(,)2yy
C f x y ''==，则点()00,x y （ ） A . 不是极大值点 B . 不是极小值点 C . 是极大值
D . 是极小值
5. 设{}22(,)14 D x y x y =≤+≤，则D
dxdy =⎰⎰（ ）
A . π
B . 2π
C . 3π
D . 4π
七、
填空题(每小题2分,共20分)
1. 若2()f x dx x C =+⎰，则211
()f dx x x =⎰______________
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()b
a d f x dx dx =⎰
3. 设)(x f 的一个原函数是cos x ，则 ='⎰dx x f x )(
4.
1
1
cos )x x dx -=⎰
5. 1
001lim (1sin 2)x
u x u du x →+⎰=
6. 函数)
1ln(42
2
2y x y x z ---=
的定义域为
7. 设(2)x z e f x y -=--，且当0y =时，2z x =，则
z
x
∂∂=
8. 已知21x
x y
y
x dz e dx e dy y y
=-, 则
2z x y ∂=∂∂ . 9. 函数333z x y xy =+-的极值点是___________________.
10. 设(,)(,)D
f x y x f x y dxdy =+⎰⎰, 其中D 是由(0,0),(1,0),(1,1)
A B C 围成的三角形闭区域，则(,)D
f x y dxdy ⎰⎰=___________________.
八、
证明：
1
1
(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰
⎰（4分）
