[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.1
4＜m ＜1 B ．m ＜1
4或m ＞1
C ．m ＜1
4
D ．m ＞1
解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜1
4
或m ＞1.
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.
3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
D ．x 2＋(y －3)2＝1
解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3
＝1. 答案：1
5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．
解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴
|2|
1＋1
＝a ，∴a ＝2， ∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝2
1.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
圆的方程的求法
典题导入
[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )
A.⎝⎛⎭
⎫x ±3
32＋y 2＝43
B.⎝⎛⎭
⎫x ±3
32＋y 2＝13
C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43
D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝13
(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．
[自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π
3，设圆心
(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23
，|b |＝33，即b ＝±3
3.
故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3
32＝43.
(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
D ＝－4，F ＝－6.
圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0
由题悟法
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
以题试法
1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )
A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1
B ．x 2＋(y －2)2＝4
C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.
与圆有关的最值问题
典题导入
[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0 (2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．
