期权：一般性质
1、 定义
揭示期权的某些基本性质，从更广阔的视角并且利用连续时间考察期权。不过，在离散时间下许多结论仍然成立。 定义
欧式看涨期权是一种合约，它给予其持有者已预先固定的价格（称为施权价）在未来某个指定的时间T （称为施权日或到期日）购买一种资产（称为标的资产）的权利。欧式看涨期权也是一种合约，它给予其持有者以施权价X 在施权日卖出一种资产的权利。 美式看涨期权和美式看跌期权分别给予其持有者以固定的施权价X ，在现在和指定的时间T 之间任意时间买入和卖出标的资产的权利。换言之，美式期权可以在到期日之前包括到期日的任意时间施权。
术语“标的资产”的含义很广，除了普通的资产如股票、商品、外币以外，还包括股票指数、利率，甚至是一个滑雪场的雪的厚度。期权用现金的方式结算。这类似于赌博。例如，施权价为800的标准普尔指数欧式看涨期权的持有者，如果在施权日指数变为815，期权将有收益。期权的买者支付给持有者的金额等于两者之差815—800=15乘以固定的货币额，比如说100美元，如果施权日指数低于800将不必支付。 期权有其回报确定，欧式看着期权的回报为
⎩⎨
⎧-0
)(X T S 其他情况X T S >)( 回报为随机变量，因为在施权日T ，标的资产的价格是未定的（这就解释了为何将期权看作
是未定权益（contingent claims ））。我们用符号
⎩
⎨⎧=+
0x x 其他情况0>x
作为实数X 的正部（）。那么欧式看涨期权的回报可以写为+
-))((X T S ；看跌期权的回报
为+
-))((T S X 。
因为期权的回报是非负的，所以必须支付给期权卖者期权费（）。如果不支付期权费，购买期权的人无论怎么样都不会遭受损失，而且当回报为正时会赚取利润，这与无套利原则矛盾。期权费就是期权的价格。
期权的购买者（卖出者）的收益是由期权支付的（或收到的）的期权费E
C 或E
P 修改
的回报。在时间T ，欧式看涨期权的购买者获得的收益为rT
E e C X T S --+))((,这里货币的
时间价值计入成本。欧式看跌期权的购买者获得的收益为rT
E e P T X --+))((。欧式看涨期
权的卖出者将获得的收益为+
--))((X T S e C rT E ;欧式看跌期权的卖出者获得的收益为
+--))((T S X e P rT E 。注意，对于看涨期权和看跌期权，购买者的损失可以限制在期权费
的支付之内；但期权卖出者的损失可能会很高，在看涨期权的情况下甚至没有上限。 2、 看跌期权——看涨期权平价
在本节中，我们将建立欧式看涨期权和看跌期权的重要关系。
考虑具有相同施权价X 和相同施权日T 的卖出一份看跌期权、买入一份看涨期权构成的资产组合。将看涨期权多头头寸的回报和看跌期权空头头寸的回报相加，我们就得到一个远期价格为X ，交割日为T 的远期合约多头头寸。实际上，如果X T S ≥)(，那么看涨期权的回报为X T S -)(，看跌期权没有价值。如果X T S <)(，那么看涨期权没有任何价值，看跌期权的卖出者要支付)(T S X -。在这两种情况下，资产组合的价值都为X T S -)(，与远期合约多头头寸相同。因此，这个期权资产组合的当前价值应该就是远期合约的价值，即rT
Xe
S --)0(。这样就可以导出如下定理。虽然从直观地论证得出这个定理，但接下来我
们将用尽可能的一般化的观点给出另外的证明。 定理1.1 看跌期权——看涨期权平价
对于不支付红利的股票，如下的欧式看涨期权和看跌期权价格之间的关系式成立：
rT
E E Xe S P C --=-)0( （1.1）
假设这两个期权的施权价都是X ；施权日都是T 。 证明：
假设 rT
E E Xe S P C -->-)0( （1.2）
在这种情况下，可以构造如下的套利策略，在时间0 以价格)0(S 买入1股股票； 以价格E
P 买入1份看涨期权； 以价格E
C 卖出1份看涨期权；
以利率r 在货币市场投资)0(S P C E
E --（如果是负的，为借入）。这些交易的余额为
零，然后在时间T ：
结清货币市场头寸，得到金额rT
E E e S P C ))0((--（如果为负值，为支付）
以价格X 卖出股票，当X T S ≤)(时，行使看跌期权；当X T S >)(时，结清看涨期权空头头寸。
根据（1.2），余额X e S P C rT
E E +--))0((为正值，与无套利原则矛盾。
现在假设
rT E E Xe S P C --<-)0( （1.3）
那么如下的策略将产生套利。在时间0
以价格)0(S 卖空1股股票； 以价格E
P 卖出1份看跌期权； 以价格E
C 买入1份看涨期权；
以利率r 在货币市场投资E
E P C S +-)0(（如果是负的，为借入）。这些交易的余额为
零，然后在时间T ：
结清货币市场头寸，得到金额rT
E E e P C S ))0((+-（如果为负值，为支付）
以价格X 买入股票，当X T S >)(时，行使看涨期权；当X T S ≤)(时，结清看跌期权空头头寸。
根据（1.3），余额X e P C S rT
E E -+-))0((将是正的，也与无套利原则矛盾。
根据定理1.1 ，我们可以得出一个简单但重要的结论：欧式看涨期权和看跌期权的价格以相同的方式依赖于不再看跌期权——看涨期权平价关系式（1.1）中的任意变量。换言之，价差不取决于这些变量。例如，考虑股票的期望收益，如果看涨期权的价格随着期望收益增长，这看起来与直觉一致，因为股票价格越高，意味着看涨期权的回报越高，看跌期权的回报越低。因此我们认为，看跌期权和看涨期权的就价格与股票的期望收益无关。 根据本节开始时的论证，我们可以把看跌期权——看涨期权平价写成如下形式：
)0(X E
E V P C =- （1.4）
式中，)0(X V 为远期合约多头头寸的价值。注意，如果X 等于资产的远期的理论价格
rT e S )0(，那么远期合约价值为零，即0)0(=X V ，于是E E P C =。式（7.4）允许我们推广
看跌期权——看涨期权平价，即如果股票在时间0和时间T 之间支付红利，那么
rT X Xe div S V --=0)0()0(，这里0div 是红利的现值。由此可以得出
rT
E E Xe div S P C ---=-0)0( （1.5）
如果红利是以支付率div r 连续支付，那么rT T
r X Xe e S V div ---=)0()0(
于是rT T
r E
E
Xe e
S P C div ---=-)0( （1.6）
对于美式期权看跌——看涨期权平价仅给出一个估计。而不是包括看跌期权和看涨期权价格的严格等式。
定理1.2（看跌期权——看涨期权平价估计）
具有相同施权价格X 和相同的施权日T 不支付红利的美式股票看跌期权和看涨期权的价格满足X S P C Xe
S A A rT
-≥-≥--)0()0(
