(完整版)八年级数学培优——平行四边形(可编辑修改word版)

第20 讲平行四边形

考点•方法•破译

⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.

⒉理解三角形中位线定理并会应用.

⒊了解平行四边形是中心对称图形.

经典•考题•赏析

【例1】已知:如图在□ABCD 中,过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线AB、DC、BC 的延长线于点E、M、N、F．

⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；

⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变

换得到？

【变式题组】

01.如图，在□ABCD 中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD 为边向外作△BCE 和△DCF，

使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB 交边EC 于点上，点H 在E、C 两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；

⑵当AE⊥AF 时，求∠EBH 的度数．

02.如图，已知在□ABCD 中，E、F 是对角线BD 上的两点，BE＝DF，点G、H 分别在BA

和DC 的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．

求证：四边形GEHF 是平行四边形．

03.如图，在△ABC 中，AB＝AC，延长BC 至D，使CD＝BC．点E 在边AC 上，以CD、CE

为邻边作□CDFE．过点C 作CG∥AB 交EF 于点G，连接BG、DE．

⑴∠ACB 与∠DCG 有怎样的数量关系？请说明理由；

⑵求证：△BCG≌△DCE．

【例2】如图，□ABCD 的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，

BE＝2，BF＝3.则□ABCD 的面积为．

【变式题组】

01.如图，□ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC 的长．

02.在□ABCD 中，M 是AD 的中点,N 是DC 的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°

求BC 的长．

03.平行四边形ABCD 中,AD＝a,CD＝b,过点B 分别作AD 边上的高H a和CD 边上的高H b,

已知H a≥a, H b≥b,对角线AC＝20 厘米,求平行四边形ABCD 的面积.

【例3】

如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C

（1,0）

三点.

⑴若点D 与A、B、C 三点构成平行四边形，请写出所

有符合条件的点D 的坐标；

⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD 的解析式．

【变式题组】

01.如图，直线l :y＝－3

x ＋3 与y 轴交于点A，与直线l 交于x 轴上同一点B，直线l

1 2 2 2

交y 轴于点C，且点C 与点A 关于x 轴对称．

⑴求直线l2的解析式；

⑵设D（0，－1），平行于y 轴的直线x＝t 分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t 的

值，使得以A、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若

不存在，请说明理由．

1

02.如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P 是y 轴上一动点，在直线y＝x 上

2 是否存在点Q，使A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

k

03.若一次函数y＝2x－1 和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．

2x

⑴求反比例函数的解析式；

⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；

⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．

【例4】如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD 的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1 中，连接BD,取BD 的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．) 问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O,AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF,分别交DC、AB 于M、N，判断∆OMN 的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在∆ABC 中，AC>AB,D 点在AC 上，AB＝CD,E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD 的形状并证明.

【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．

【变式题组】

01.如图，已知四边形ABCD 中，R、P 分别是BC、CD 上的点，

A

E

F R E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不

动时，那么下列结论 成立的是 （ )

A 、线段 EF 的长逐渐增大

B 、线段 EF 的长逐渐减小

C 、线段 EF 的长不变

D 、线段 EF 的长与点 P 的位置有关

D

P

B

C

02. 如图，在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AD 是∠A 的平分线， BD ⊥AD 于 D ,AB ＝12,AC ＝22,

则 MD 的长为（ ）.

A .3

B .4

C .5

D .6

【例 5】如图 1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点 M 在 BC 上，且 BM ＝AC ,点 N 在 AC 上， 且 AN ＝MC ,AM 与 BN 相交于点 P ,求证：∠BPM ＝45°.

【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．

【变式题组】

01．如图，在等腰△ABC 中， AB ＝AC ,延长边 AB 到点 D ,延长 CA 到点 E ,连接 DE ，若 AD ＝ BC

＝CE ＝DE ,求∠BAC 的度数．

演练巩固 反馈提高