二次函数必背知识点_ _冲刺中考
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1. 定义：一般地，如果y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数
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2. 二次函数y ax的性质
（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.
①当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.
3•二次函数y ax bxc
的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线
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4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y
b , 4a
c b2
2a，4a
a相等，抛物线的开口大小、形状相同
②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同2
a x h k的形式，其中
5•二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2
y ax ；② y ax k :③
2 2 2
y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bx c.
6•抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下;
7.顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数, 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y ax2bx c
2
b
2a
4ac b2
4a
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y a x h k 的形式，得到
顶点为（h , k ）,对称轴是直线x h .
（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连
线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失
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9•抛物线y ax bx c 中，a,b,c 的作用
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（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 •由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线
x
—，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②一0 （即a 、b 同号）时，对称轴
2a a
b
在y 轴左侧；③一 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧•
a
2
（3） c 的大小决定抛物线 y ax bx c 与y 轴交点的位置•
2
当x 0时，y c ，二抛物线y ax bx c 与y 轴有且只有一个交点（0, c ）: ①c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与y 轴交于负半
顶点是（ ―,
4ac b
），对称轴是直线x
2a 4a
b 2a
以上三点中，当结论和条件互换时, 仍成立.如抛物线的对称轴在
K
y 轴右侧，则一 a
0.
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y ax2 bx c•已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：y ax h? k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x i、X2，通常选用交点式：
y ax x1x x2.
12. 直线与抛物线的交点
2
（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为（0, c）.
2
（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点
2
（h, ah bh c）.
（3 ）抛物线与x轴的交点
二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元
2
二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一
元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0 抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；
③没有交点0 抛物线与x轴相离.
（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根•
（5）—次函数 y kx n k 0的图像I 与二次函数 y ax bx c a 0的图像G
y kx n
的交点，由方程组厂
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的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解
y ax bx c
时 I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时 I 与G 只有一个交点；③方程组
无解时 I 与G 没有交点.
2
A X i,0，
B X 2,0，由于X i 、X 2是方程ax bx c 0的两个根，故
b
c x 1 x 2 ,x 1 x 2 a
a
考点一、二次函数的概念和图像
（3~8分）
1、二次函数的概念
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一般地，如果y ax bx c （a, b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数。
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y ax bx c （a, b,c 是常数，a 0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 X ——对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点
M ，并用虚线
（6 ）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线
2 （
y ax bx c 与x 轴两交点为
AB
x i
x 2
X i X 2 2
x 1 x 2 2
4x 1x 2
4c
b 2 4ac
忖
