山东省青岛市城阳区2019-2020九年级(上)数学期中考试模拟试卷

青岛城阳实验中学 2019—2020年期中质量检测九年级数学试题（考试时间：120分钟；满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．一元二次方程x x 22=的解是（ ） A ．0=xB ．2=xC ．2,021==x xD ．2-,021==x x2．下列说法中，错误的是（ ） A ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C ．对角线相等的平行四边形是矩形 D ．有一组邻边相等的菱形是正方形3．一元二次方程522=-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根4．如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可以配成紫色的概率是（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．43第4题第5题5．如图，矩形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，︒=∠15CAE ，则AOE ∠的度数为（ ）A ．︒120B ．︒135C ．︒145D ．︒1506．根据表格中的数据，估计一元二次方程62=++c bx ax （c b a ,,为常数，0≠a ）一个解x 的范围为（ ）A ．0.5<x <1B ．1<x <1.5C ．1.5<x <2D ．2<x <37．如图，在ABC ∆中，点E 在边BC 上，连接AE ，点D 在线段AE 上，AB GD //，且交BC 于点G ，BC DF //，且AC 交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ） A ．BEBGDE AD = B ．CEDFDE AD = C ．AFCFAB DG = D ．BEBGAC AF =第7题第8题8．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是边BC 上一点，1=BE ，将ADF ABE ∆∆,分别沿折痕AF AE ,向内折叠，点D B ,在点E 处重合，过点E 作AE EH ⊥，交AF 的延长线于H ，则下列结论正确的有（ ）①ADF ∆∽ECF ∆； ②AEH ∆为等腰直角三角形； ③点F 是CD 的中点； ④25=EF . A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．已知32=y x ，则=-x y x 2 ．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个红球和若干个白球，再往该口袋中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为43，则口袋中原来有 个白球．11．某校去年对实验器材的投资为20万元，预计今明两年的投资总额为75万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均年增长率是x ，则根据题意可列方程为 ． 12．有大小相同的正方形纸片20张,小亮用其中2张拼成如图所示的长方形,小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形,则她至少要用 张正方形纸片(不得把每个正方形纸片剪开)．第12题第13题13．如图，在菱形ABCD 中，,60,2︒=∠=DAB AB 对角线BD AC ,相交于点O ，过点C 作BD CE //交AB 的延长线与点E ，连接OE ，则OE 长为 ．14．我们知道，一元二次方程2x =-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i ”，使其满足2i =-1（即方程2x =-1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有1)1()(,)1(,1,22242321=-==-=•-=•=-==i i i i i i i i i i ，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i i i i i in n n =•=•=+)(4414，同理可得1,,143424=-=-=++n n n i i i i ，那么三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。

青岛版2020九年级数学上册期中模拟能力达标测试题（附答案详解）1．如图，直线l 与以线段AB 为直径的圆相切于点C ，6AB =，3AC =，点P 是直线l 上一个动点．当APB ∠的度数最大时，线段BP 的长度为（ ）A ．6B ．63C ．9D ．332．如图，正方形ABCD 中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则以EF 为直径的圆的面积为( )A ．12πB ．35πC ．34πD ．π 3．如图，是上的四个点，是的中点，是半径上任意一点，若，则的度数不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．15．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为（ ）6．如图，是的直径，分别与相交于点，连接，现给出两个命题： ①若，则； ②若，记的面积为，四边形的面积为，则，那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①是假命题，②是假命题D ．①是真命题，②是真命题7．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm ，已知臂长60cm ，则电线杆的高度为（ ）A ．2.4mB ．24mC ．0.6mD ．6m8．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =60°，则∠BOC 等于（ ）A ．30°B ．100°C ．110°D ．120°9．在 Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（ ） A ．sinA=AC AB B ．cosA=AD AC C ．tanA=CD BD D ．cotA=CD AD10．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A ．123B 32：1C ．3：2：1D ．1：2：311．如图,已知在△ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，3cos 5A =，将△ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为A '、B '，A B ''与边AB 相交于点E ．如果A B ''⊥AC ，那么线段B E'的长为__．12．如图，在直角坐标系中，点A(2，0)，点B (0，1)，过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180︒，使点C落在点D处，若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为___________________________．13．如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C．已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长度为cm．14．如图AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA 的度数是_____．15．如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB=， EF=3，则BC的值为________．16．如图，E是□ABCD边AD的中点，对角线AC与BE交于点F，若△ABF的面积为2，则□ABCD的面积为______.17．如图，将△ABC沿直线AD翻折，使点B与AC边上的点E重合，若AB=AD=5，AC=9，则DC=_________.18．如图：AB、CD相交于O，且∠A=∠C，若OA=3，OD=4，OB=2，则OC=________．19．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为．20．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）21．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2≈1.414，CF结果精确到米）22．四边形ABCD中，AB∥ DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长.23．如图，是⊙的直径，点在⊙上，平分，是⊙的切线，与相交于点.（1）求证：；（2）若，求的长.24．如图，表示某引水工程的一段设计路线，从点到点的走向为北偏西，在点的北偏西方向上有一点，以点为圆心，以米为半径的圆形区域为居民区，取上另一点，测得的方向为北偏西.已知米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由.（参考数据：）25．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？26．如图，已知在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：=.AC BD27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边BC上，BD＝5CD，DE⊥AB，垂足为E．（1）求BE的长；（2）求∠BCE的正切值．参考答案1．D【解析】试题解析：连接BC ，∵直线l 与以线段AB 为直径的圆相切于点C ，∴∠ACB=90°，当∠APB 的度数最大时，则P 和C 重合，∴∠APB=90°，∵AB=6，AC=3，由勾股定理得：22633=3 .故选D ．2．A【解析】如图，延长DF 交AE 于点M ，∵正方形ABCD 中，AD=AB=DC=5，AE=FC=4，BE=DF=3，∴△ABE ≌△CDF （SSS ），AB 2=AE 2+BE 2，CD 2=FC 2+DF 2，∴∠AEB=∠CFD=90°，∠BAE=∠DCF ，∴∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠DAM=90°，∠DCF+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ABE=∠DAM ，∠ADF=∠DCF=∠BAE ，又∵AB=AD ，∴△ABE ≌△DAM （ASA ），∴AM=BE=3，DM=AE=4，∠AMD=∠BEA=90°，∴ME=AE-AM=4-3-1，MF=DM-DF=4-3=1，∠DME=90°，∴EF=222MF ME +=，∴以EF 为直径的圆的面积为：2221()()22EF πππ⋅=⋅=. 故选A.3．D【解析】试题解析：∵B 是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M 是OD 上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D ．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．4．A【解析】试题分析：设AP=x ，PD=4﹣x ．∵∠EAP=∠EAP ，∠AEP=∠ADC ；∴△AEP ∽△ADC ，故=①；同理可得△DFP ∽△DAB ，故=②．①+②得=， ∴PE+PF=．故选A ． 考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．5．A【解析】45252,BD BD tan BCD CD CD =∠==∴=， ,故选A. 6．D 【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B ，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE ，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．∵AC=AB ，∴∠C=∠B ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B=∠CDE ，∴∠C=∠CDE ，∴DE=CE ；①正确；连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEC=90°，又∠C=45°，∴AC=CE ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B=∠CDE ，∠CAB=∠CED ，∴△CDE ∽△CBA ，∴，∴S 1=S 2，②正确，故选D ．考点：命题与定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定和性质. 7．D【解析】试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BC AM EF AN＝，∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，∴EF=•0.12300.6BC ANAM⨯==6m．故选D．8．D【解析】∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠BOC，∴∠BOC=2∠A，∵∠A=60°，∴∠BCO=2×60°=120°，故选D．【点睛】本题考查了对圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠BOC=2∠A．9．B【解析】试题分析：因为sinA=BC CDAB AC=，cosA=AC ADAB AC=，tanA=CD BCAD AC=，cotA=AD ACCD CB=，故选B．考点：锐角三角函数的定义．10．B【解析】【分析】设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．【详解】设圆的半径为R，如图(一)，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB⋅cos30°，故R；如图(二)，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=2R，故R；如图(三)，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA⋅cos60°=12R，AB=2AG=R，:1.【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．11．24 5【解析】【分析】设A′B′交AC于F．在Rt△ABC中，求出AC、BC，在Rt△A′CB′中，求出AF、A′F，利用EF∥CB，推出EF AFBC AC=，求出EF即可解决问题．【详解】设A′B′交AC于F．∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosA=35，∴AC=6，BC=8，∵CF⊥A′B′，∴CF=6824=105⨯，AF=6-245=65，2218=5A C CF'-，∵EF∥CB，∴EF AF BC AC=，∴6586EF ， ∴EF=85， ∴B′E=10-185-85=245． 故答案为245． 12．5314,40,4,122--（，）或（）或（）或（） 【解析】∵点A (2，0)，点B (0，1)，∴OA =2,OB =1,OC ==∵l ⊥AB ,∴∠PAC ＋OAB =90°.∵∠OBA +∠OAB =90°,∴∠OBA =∠PAC .∵∠AOB =∠ACP ,∴△ABO ∽△PAC ,12AC OB PC OA ∴== .设AC =m ,PC =2m ,AP = .当点P 在x 轴的上方时，由AD PDAB AP= 得, =, 12m ∴= , 12AC ∴= ,PC =1, 15222OC ∴=+= , 5,12P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭由AD PD AP AB = 得, 55m =, ∴m＝2, ∴AC =2,PC =4,∴OC ＝2+2=4,∴P （4,4）.当点P 在x 轴的下方时，由AD PD AB AP = 得, 5m 5=, 12m ∴= , 12AC ∴= ,PC =1, 13222OC ∴=-= , 3,12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭由AD PD AP AB= 得, 55m =, ∴m＝2, ∴AC =2,PC =4,∴OC ＝2-2=0,∴P （0,4）.所以P 点坐标为5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或（4,4）或3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或（0,4） 【点睛】本题考察了相似三角形的判定，相似三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标及分类讨论的思想.在利用相似三角形的性质列比例式时，要找好对应边，如果对应边不确定，要分类讨论.因点P 在x 轴上方和下方得到的结果也不一样，所以要分两种情况求解.请在此填写本题解析!13．46【解析】试题分析：连接OA 、OC ；∵AB 切小圆于C ，∴OC ⊥AB ；∴∠OCA=90°，AC=BC=21AB ； Rt △OCA 中，OA=5cm ，OC=1cm ；由勾股定理，得：AC=22OC OA －=26cm ； ∴AB=2AC=46cm ．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．14．67.5°【解析】∵PD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD=∠OCP=90°，∵CO=CD ，OA=OC ，∴∠COD=∠CDO=45°，∠A=∠OCA ，又∵∠COD=∠A+∠OCA ，∴∠A=∠OCA=12∠COD=22.5°，∴∠PCA=∠OCP-∠OCA=90°-22.5°=67.5°. 15．9【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AE:AB=EF:BC，∵12 AEEB=，∴AE:AB=1:3，∵EF=3，∴1:3=3:BC，∴BC=9，答：BC的长是9，故答案为：9.16．12【解析】如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G. ∵点E是边AD的中点，又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，∴1122AE AD BC==，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴12 AF AECF CB==.∵BG⊥AC，∴△ABF的面积为12AF BG⋅，△ABC的面积为12AC BG⋅，∴△ABF与△ABC的面积之比为1212AF BG AFAC AC BG⋅=⋅.∵12 AFCF=∴AC=AF+CF=AF+2AF=3AF，∴△ABF与△ABC的面积之比为133AF AFAC AF==，即△ABC的面积是△ABF的面积的3倍，∵△ABF的面积为2，∴△ABC的面积为326⨯=，∵△ABC的面积是平行四边形ABCD面积的一半，∴平行四边形ABCD面积为6212⨯=.故本题应填写：12.17．6【解析】设∠B=x，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=x，∠BAD=1802x-.∵△AED是由△ABD沿AD翻折得到的，∴∠DAC=∠BAD=1802x-，∠ADE=∠ADB=x，AE=AB=5，∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=1802x-，EC=AC-AE=9-5=4，∴∠EDC=∠DAC，又∵∠C=∠C，∴△EDC∽△DAC，∴DC EC AC DC=，∴DC2=AC·EC=36，∴DC=6.18．1.5【解析】∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△COB；∴OA ODOC OB=,即OC=OA OBOD⋅，又∵OA=3，OD=4，OB=2，∴OC=1.5.19．（4，4）或（5，2）.【解析】【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB 的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．【详解】根据题意得：OA=2，OB=1，∴当AB与AC对应时，有AB OAAC AB=或者AB OBAC AB=，∴AC=52或AC=5，∵C在格点上，∴AC=52（不合题意），则AC=5，∴C点坐标为（5，2），同理当AB与BC对应时，可求得BC=52或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4），∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．故答案为（4，4）或（5，2）．20．8 3π【解析】试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交BC于点E，连接OC，则点E是BEC的中点，由折叠的性质可得点O为BOC的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=12R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=26048 3603ππ⨯=．考点：扇形面积的计算．21．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=BH AB，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=CE BC，∴2∴CF=CE+EF=（2+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.22．224a b【解析】试题分析：根据点B、C、D到点A的距离相等，则以A为圆心，以a为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE，根据平行线的性质得出BC=DE=b，根据Rt△EDB的勾股定理得出BD的长度．试题解析：解：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等，故以A为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE，∵AB∥CD，∴弧BC=弧DE，∴BC=DE=b，∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°，在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为．23．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以tanα=，从而可求出AB=，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．试题解析：（1）设∠BAD=α，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=α，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2α，∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，∴∠D=∠BED，∴BD=BE（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD=，∴tanα=，∴AB=.在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，∴解得：x=﹣或x=，∴CE=；考点：切线的性质；勾股定理；解直角三角形.24．不会穿过居民区【解析】试题分析：高速公路是否会穿过居民区即是比较点A到MN的距离与半径的大小，于是作AC ⊥MN于点C，求AC的长．解直角三角形ACM和ACB．试题解析：作AC⊥MN于点C∵∠AMC=60°-30°=30°，∠ABC=75°-30°=45°设AC为x m，则AC=BC=x在Rt△ACM中，MC=400+x∴tan∠AMC= ，即解之，得x=200+200≈546.372＞500．∴如果不改变方向，高速公路不会穿过居民区．【点睛】怎么理解是否穿过居民区是关键，与最近距离比较便知应作垂线，构造Rt△求解．25．渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险.理由见解析.【解析】试题分析：过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．试题解析：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD=AD=6海里，由勾股定理得：AC=≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．考点：勾股定理的应用,解直角三角形.26．证明见解析.【解析】试题分析：连接OC、OD，先证明Rt△OMC≌Rt△OND，则可得∠MOC＝∠NOD，利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”可得.解：连接OC、OD，则OC＝OD=OA=OB.∵M、N分别是半径OA、OB的中点，∴OM＝ON.∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，OM=ON，OC=OD，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．∴∠MOC＝∠NOD.∴AC=BC.27．（1）32；（2）47 【解析】（1）根据BD 及∠B 的余弦即可求出BE 的长；（2）过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，构造直角三角形BEF ，根据∠B 的正弦和余弦可求出EF 和BF ，进而求出CF ，即可得出∠BCE 的正切值．解：（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3∴2222435AB AC BC =+=+=∵DE ⊥AB ，∴35BE BC cosB BD AB === ∵BD ＝5CD ，BD ＋CD ＝BC ＝3，∴52BD =∴3352BE BD == （2）过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F则35BF cosB BE ==， 45EF AC sinB BE AB === ∴39510BF BE ==， 4655EF BE == ∴2110CF BC BF =-= ∴47EF tan BCE CF ∠==，即∠BCE 的正切值为47。

2019~2020学年⼭东⻘岛初三上学期期中数学试卷（局⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）2. A.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】如图，在平⾏四边形，添加下列条件不能判定四边形是菱形的只有（ ）．C根据对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，可知不能判定其为菱形，故正确；∵⼜∵A.，【答案】【解析】⽅程的解是（ ）．D ，移项得提公因式得解得，故选．∴，∴，根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误．故选 C .3. A.B.C.D.【答案】【解析】随着居⺠经济收⼊的不断提⾼以及汽⻋业的快速发展，家⽤汽⻋已越来越多地进⼊普通家庭，抽样调查显⽰，截⽌年底某市汽⻋拥有量为万辆．⼰知年底该市汽⻋拥有量为万辆，设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意列⽅程得（）．A 设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意，可列⽅程：．4. A.B.C.D.【答案】【解析】在数字，，，中任选两个组成⼀个两位数，这个两位数能被整除的概率为（ ）．A从个数中任意抽取两个组成两位数的所有可能有、、、、、、、、、、、共种，其中能被整除的数分别为、、、共种，所以根据概率的计算公式，可得．故选．事件可能出现的次数所有可能出现的次数5. A.B. C. D.【答案】如图，在中，，，，则的⻓是（ ）．A【解析】∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．故选．6. A. B. C. D.【答案】【解析】如图，把沿着的⽅向平移到的位置，它们重叠部分的⾯积是⾯积的⼀半，若，则移动的距离是（ ）．D ∵沿边平移到的位置，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．7. A.B.C.D.【答案】⼀个菱形的边⻓为，⾯积为，则该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为（ ）．C【解析】如图所⽰：∵四边形是菱形，∴，，，∵⾯积为，∴①，∵菱形的边⻓为，∴②，由①②两式可得：．∴，∴，即该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为．故选．8. A.B. C. D.【答案】【解析】如图，点为正⽅形的中⼼，，平分交于点，延⻓到点，使，连结交的延⻓线于点，连结交于点，连结．则以下四个结论中，①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ）．D①∵，，，∴≌，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴≌，∴，∵，∴是的中位线，∴，故①正确；②③∵点为正⽅形的中⼼，，，∴．由三⾓形中位线定理知，，，∴，故②错误，③正确；④∵四边形是正⽅形，是的平分线，∴，，，∵，∴≌，∴，∴，∵是的中位线，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴⑤正确．∴①③④⑤正确．故选．⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）9.【答案】【解析】若⼀元⼆次⽅程 ．∵⼀元⼆次⽅程，∴把，∴故答案为：10.【答案】【解析】∵，是⼀个直⾓三⾓形两条直⾓边的⻓，设斜边为∴即∵∴解得则直⾓三⾓形的斜边⻓为 故答案为：11.【答案】【解析】若点是线段的⻩⾦分割点（ ．∵点是线段∴∴设∴∴∴∴∴12.【答案】【解析】⼀个不透明的⼝袋⾥装有除颜⾊外都相同的个⽩球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，⼩亮为估计⼝袋中红球的个数，采⽤了如下的⽅法：先把⼝袋中的球摇勻，再从⼝袋⾥随机摸出⼀球，记下颜⾊，然后把它放回⼝袋中，不断重复上述过程，⼩亮共摸了次，其中有次摸到⽩球，因此⼩亮估计⼝袋中的红球⼤约为 ．∵⼩亮共摸了次，其中次摸到⽩球，则有次摸到红球，∴⽩球与红球的数量之⽐为，∵⽩球有个，∴红球有（个）．13.【答案】【解析】经过三边都不相等的三⾓形的⼀个顶点的线段把三⾓形分成两个⼩三⾓形，如果其中⼀个是等腰三⾓形，另外⼀个三⾓形和原三⾓形相似，那么把这条线段定义为原三⾓形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三⾓形，和相似，，则的度数为 ．或∵，∴，∵是等腰三⾓形，∵，∴，即，①当时，，∴，②当时，，∴．14.如图，为了测量⼀棵树的⾼度，测量者在处⽴了⼀根⾼为的标杆，观测者从处可以看到杆顶，树顶在同⼀条直线上，若测得，，，则树⾼为．【答案】【解析】如图，过点作交于，交于，则，∴，∵，，∴，∵、都与底⾯垂直，∴．∴，∴，即，解得：，所以⼤树⾼：．15.如图，将⼀张⻓⽅形纸板的四个⾓上分别剪掉个⼩正⽅形和个⼩⻓⽅形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成⼀个有盖的⻓⽅体盒⼦（纸板的厚度忽略不计）．若⻓⽅形纸板边⻓分别为和，且折成的⻓⽅体盒⼦表⾯积是，此时⻓⽅体盒⼦的体积为 ．【答案】【解析】设剪掉的⼩正⽅形的边⻓为，根据题意得：，整理得：，解这个⽅程得：，（不合题意，应舍去），当时，⻓⽅体盒⼦的体积为：．故此时⻓⽅体盒⼦的体积．16.【答案】【解析】如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴上，且，．在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形，以此类推，得到的矩形的对⾓线交点的坐标为 ．xyO∵在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，∵，．∵点的坐标为，∴点的坐标为，∵将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形…，∴，∴，∵矩形的对⾓线交点，即．三、作图题（本⼤题共1⼩题，共4分）17.【答案】【解析】⽤圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段和．求作：菱形，使菱形的边⻓为，其中⼀个内⾓等于．画图⻅解析．四、解答题（本⼤题共8⼩题，共68分）18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】⽤指定⽅法解⽅程：（配⽅法解）．（公式法解）．，．，．（2）或，．．∵，∴⽅程有两个不相等的实根，∴，．即，．19.【答案】【解析】第⼀盒中有个⽩球、个红球，第⼆盒中有个⽩球、个红球，这些球除颜⾊外⽆其他差别．分别从每个盒中随机取出个球，求取出的个球中有个⽩球、个红球的概率．请通过列表格或画树状图说明理由．，画图⻅解析．列表法①②⽩⽩红⽩⽩⽩⽩⽩⽩红红红⽩红⽩红红红红⽩红⽩红红∴取出个⽩球，个红球概率为．20.如图，梯形中．．且，，分别是，的中点．与相交于点．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：．若，求．证明⻅解析．．∵点、分别是、的中点且，∴．∵，∴四边形是平⾏四边形．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．21.（1）（2）（1）（2）【答案】⽅法⼀：（1）【解析】已知关于的⼀元⼆次⽅程有实数根．求的取值范围．如果⽅程的两个实数根为，，且，求的取值范围．．．根据题意得，解得．⽅法⼆：⽅法⼀：⽅法⼆：（2）根据题意得，，，．根据题意得，，⽽，所以，解得，⽽，所以的范围为．根据题意，，，，，，，，⼜∵，∴．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】如图，四边形是正⽅形，点是边上⼀点，延⻓⾄使，连接．求证：．过点作，过点作，问四边形是什么特殊的四边形，并证明．证明⻅解析．四边形是正⽅形；证明⻅解析．∵四边形是正⽅形，（2）∴，，∴，在与中，∴≌∴．四边形是正⽅形，理由：∵，，∴四边形是平⾏四边形，∵≌，∴，∴四边形是菱形，∵，∴，∴四边形是正⽅形．23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某商店经销⼀种销售成本为每千克元的⽔产品，据市场分析，若每千克元销售，⼀个⽉能售出，销售单价每涨元，⽉销售量就减少，针对这种⽔产品情况，请解答以下问题：当销售单价定为每千克元时，计算销售量和⽉销售利润．商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为多少.千克，元．元．当销售单价定为每千克元时，⽉销量为（千克），所以⽉销售利润为：元．由于⽔产品不超过，定价为元，则，解得：，，当时，进货，符合题意，当时，进货，舍去．答：商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为元．24.（1）（2）【阅读资料】同学们，我们学过⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程，也可⽤配⽅法求代数式的最值．（）求的最⼩值．解：，因⼤于等于，所以⼤于等于，即的最⼩值是，此时．（）求的最⼤值．解：，因⼤于等于，所以⼩于等于，所以⼩于等于，即的最⼤值是，此时，．【探索发现】如图①，是⼀张直⾓三⾓形纸⽚，，，，⼩明想从中剪出⼀个以为内⾓且⾯积最⼤的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的⾯积最⼤．下⾯给出了未写完的证明，请你阅读下⾯的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值．图解：在上任取点，作，，得到矩形．设，易证，则，，，，请你写出剩余部分．【拓展应⽤】矩形（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）【解析】如图②，在中，，边上的⾼，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形⾯积的最⼤值为 ．（⽤含，的代数式表⽰）图【灵活应⽤】如图③，有⼀块“缺⾓矩形”，，，，，⼩明从中剪出了⼀个⾯积最⼤的矩形（为所剪出矩形的内⾓），该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图【实际应⽤】如图④，现有⼀块四边形的⽊块余料，经测量，，，且，⽊匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且⾯积最⼤的矩形，该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图证明⻅解析；矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为．【探索发现】，矩形（2）（3）∵，∴，∴矩形的⾯积的最⼤值为．∵原三⾓形⾯积，故矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为：．【拓展应⽤】设，∵，∴，∴，∵，边上的⾼，∴，，∴，∴的最⼤值为：．则矩形⾯积的最⼤值为．故答案为：．【灵活应⽤】如图③，延⻓、交于点，延⻓、交于点，延⻓、交于点，取中点，的中点，图由题意知四边形是矩形，∵，，，，∴，，∴，，在和中，矩形（4）∵，∴≌，∴，同理≌，∴，∴，∵，∴中位线的两端点在线段和上，过点作于点．由【探索发现】知矩形的最⼤⾯积为．故答案为：．【实际应⽤】如图④，延⻓、交于点，过点作于点．图∵，∴，∵，∴，∵，设，则，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴的中点在线段上，∵，∴的中点在线段上，∴中位线的两端点在线段、上，由【拓展应⽤】知，矩形的最⼤⾯积为，故答案为：．25.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）【解析】如图，在矩形中，，，为对⾓线．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒个单位⻓度，当点运动到时，两点都停⽌．设运动时间为秒．（备⽤图）是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．设四边形的⾯积为，求与之间的函数关系式．是否存在某⼀时刻，使得？若存在．求出的值；若不存在，则说明理由．是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．存在，．．存在，．存在，．，．∵，∴∴．．，，四边形矩形四边形。

山东省青岛市四区联考2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一元二次方程(x+3)(x−7)=0的两个根是()A. x1=3,x2=−7B. x1=3,x2=7C. x1=−3,x2=7D. x1=−3,x2=−72.在▱ABCD中，BD、AC是对角线，下列结论不正确的是()A. 当AB=BC时，▱ABCD是菱形B. 当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形C. 当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形D. 当AC=BD时，▱ABCD是正方形3.关于x的一元二次方程x2−3x+2−m2=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定4.在配紫色游戏中，转盘被平均分成“红”、“黄”、“蓝”、“白”四部分，转动转盘两次，配成紫色(红蓝配成紫色)的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 185.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO=75°，那么∠AOD的度数是()A. 30°B. 55°C. 60°D. 75°6.根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是()x 3.33 3.34 3.35 3.36 ax2+bx+c−0.05−0.010.020.07A. 3.35﹤x﹤3.36B. 3.34﹤x﹤3.35C. 3.33﹤x﹤3.34D. 3﹤x﹤3.337.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE//BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是()A. DFBF =EFFCB. DFFC=AEECC. ADDB=DEBCD. ADAB=AEAC8.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=()A. √52B. 32C. 3√52D. 72二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若2a=3b，则ab=．10.在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球(袋中所有球除颜色外完全相同)摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为25，那么此袋中原有绿球______ 个．11.某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为______．12.如图若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积是______．13.如图，菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于点F.则EF的长为．14.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）15.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．(1)求证：△CDE∽△CBF；(2)若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．四、解答题（本大题共9小题，共70.0分）16.如图，AE//BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．(1)求证：AB=BC；(2)尺规作图：在AE上找一点D，使得四边形ABCD为菱形(不写作法，保留作图痕迹)17.解方程：(1)2x2=x(2)x2+4x−1=0(用配方法解)18.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点E是BD上任意一点，点O是AC的中点，AF//EC交EO的延长线于点F，连接AE，CF．(1)判断四边形AECF是什么四边形，并证明；(2)若点E是BD的中点，四边形AECF又是什么四边形？说明理由．19.在不透明的口袋中，装有3个分别标有数字1、2、3的小球，它们除标示的数字外完全相同，小红、小明和小亮用这些道具做摸球游戏．游戏规则如下：由小红随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字放回摇匀再由小明随机从口袋中摸出一个小球，记录下数字，放回摇匀．如果两人摸到的小球上数字相同，那么小亮获胜；如果两人摸到的小球上数字不同，那么小球上数字大的一方获胜．(1)请用树状图或列表的方法表示一次游戏中所有可能出现的结果；(2)这个游戏规则对三人公平吗？请说明理由．20.如图要建一个面积为130m2的仓库，仓库一边靠墙(墙长16m)并与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，求仓库的长和宽．21.如图，E是矩形ABCD的边AD上的一点，且BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G，PF、PG、AB之间有什么关系？并证明你的结论．22.某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．(1)当销售单价为12元，每天可售出多少件？(2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？23.观察下列式子及图形，完成下列问题：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；______；…(1)在横线上填上合适的式子；(2)根据你发现的规律写出第n个式子．24.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)．(1)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2；(3)当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵(x+3)(x−7)=0，∴x+3=0或x−7=0，∴x1=−3，x2=7，故选C．根据因式分解法直接求解即可．本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键．2.答案：D解析：解：A、当AB=BC时，▱ABCD是菱形，利用邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，不合题意；B、当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形，利用一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项正确，不合题意；C、当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项正确，不合题意；，D、当AC=BD时，▱ABCD是矩形，故此选项错误，符合题意．故选：D．分别利用矩形、菱形、正方形的判定方法判断得出即可．此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，正确掌握判定定理是解题关键．3.答案：A解析：本题考查了一元二次方程根的判别式，属于基础题．依题意，计算Δ的值，然后判断其与0的大小关系即可求解．解：∵a=1，b=−3，c=2−m2，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(2−m2)=4m2+1，∵4m2≥0，∴Δ>0.所以方程有两个不相等的实数根．故选A．4.答案：D解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单．注意做到不重不漏．直接利用树状图法解答即可．解：根据题意，画树状图得：∵一共有16种情况，能配成紫色的有2种，∴配成紫色的概率为：216=18．故选D．5.答案：A解析：解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADO=75°，∴∠DAB=90°，DB=AC，OD=OB，OA=OC，∴∠DBA=15°，OA=OB，∴∠OAB=∠DBA=15°，∴∠AOD=∠OAB+∠DBA=30°，故选：A．只要证明OA=OB，根据三角形的外角的性质即可解决问题；本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.答案：B解析：本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解。

2019-2020学年度第一学期九年级数学期中模拟一、选择题（共10题，每小题3分，共24分）1．方程x2=3x的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=1，x2=32.（）A、B、C、D、??方程：①，②x2﹣??xy y2??，③??x2??，④A．①和②B．②和③C．③和④D．①和③A．B．C．D．A．矩形B．平行四边形C．正三角形D．等腰梯形A．??Ph a l g u n B．March C．??Phalguna D．March7．若，则下列四个选项中一定正确的是（）A、B、C、D、8．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（1）（2）C．（4）（3）（2）（1）D．（2）（3）（4）（1）二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）9．若，则。

10．方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，化成一般形式是_________，其二次项的系数和一次项系数的和是_________．11．如图：将∆ABC沿BC方向平移得到∆DEF，∆ABC与∆DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是∆ABC的面积的一半。

已知BC=2，则∆ABC平移的距离是12．如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根是1，那么k=_________，另一个根x=_________．13．在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=210°，则∠A=_________，∠B=_________．14．（3分）已知菱形一条对角线为长8cm，周长是24cm，则这个菱形的面积是_________．15．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分。

当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为。

16．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

2019-2020学年山东省青岛市九年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共15小题，满分30分，每小题2分）1．方程x2﹣2x=0的解是（）A．0B．2C．0或﹣2D．0或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x 1=0，x2=2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．关于x的一元二次方程 kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．下列说法正确的是（）A．邻边相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的矩形是正方形C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论A不正确；B、由一组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论B正确；C、由选项C的论述结合菱形的判定定理，可得出结论C不正确；D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论D不正确．此题得解．【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴结论A不正确；B、∵一组邻边相等的矩形是正方形，∴结论B正确；C、∵由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，∴结论C不正确；D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴结论D不正确．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键．4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．24【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED 的周长为（）A．4B．8C．10D．12【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．6．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．方程（x+1）（x﹣3）=0的根是（）A．x=﹣1B．x=3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=3【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=0，x+1=0，x﹣3=0，x 1=﹣1，x2=3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，根据题意得： x （x ﹣1）=55， 整理，得：x 2﹣x ﹣110=0，解得：x 1=11，x 2=﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE 的长为（ ）A ．10B ．C ．15D ．【分析】先证明△AEB ∽△AFD ，根据相似三角形的性质可得==，设BE=5x ，得到DF=6x ，AB=7+6x ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∴△AEB ∽△AFD ，∴==，设BE=5x ，则DF=6x ，AB=7+6x ，在△ABE 中，（7+6x ）2=（5x ）2+202， 11x 2+84x ﹣351=0，解得x 1=3，x 2=﹣（舍去），∴BE=5x=15． 故选：C ．【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到BC ：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可．10．用配方法方程x 2+6x ﹣5=0时，变形正确的方程为（ ） A ．（x+3）2=14B ．（x ﹣3）2=14C ．（x+6）2=4D ．（x ﹣6）2=4【分析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程移项得：x 2+6x=5， 配方得：x 2+6x+9=14，即（x+3）2=14， 故选：A ．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A ．19%B ．20%C ．21%D ．22%【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1﹣x ），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x ﹣1）（x ﹣1），即100（x ﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（x ﹣1）2元，根据题意，得100（x ﹣1）2=64 即（x ﹣1）2=0.64解之，得x 1=1.8，x 2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2． 即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故选：B ．【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍． 12．如图，点A （1，1），B （3，1），C （3，﹣1），D （1，﹣1）构成正方形ABCD ，以AB 为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）A．15°和（2，1+）B．75°和（2，﹣1）C．15°和（2，1+）或75°和（2，﹣1）D．15°和（2，1+）或75°和（2，1﹣）【分析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．【解答】解：分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM=，∵A（1，1），∴E的坐标是（2，1+），∵等边△ABE和正方形ABCD，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣90°﹣60°）=15°；②同理当△ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，﹣+1），∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）=75°；∴∠ADE和点E的坐标分别为15°，（2，1+）或75°，D（2，﹣+1），故选：D．【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论啊．13．一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（）A．B．C．D．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6B．5C．2D．3【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB==2，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．15．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正确的结论个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“S AS”证明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性质解答即可；②先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：D A=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本选项正确；②∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项错误；③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：C．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为2．【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC 的长，即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO==，∴AC=2，=AC•BD=2，则S菱形ABCD故答案为：2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．17．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 4 ．【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，设黄球有x个，根据题意得出：∴=，解得：x=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．18．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则（α+1）（β+1）的值为 2 ．【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣1；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．【解答】解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根， ∴α+β=2，αβ=﹣1， 则原式=αβ+α+β+1 =2﹣1+1 =2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．19．（3分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x ，列出求该两位数的方程式为 10（x+2）+x=3x 2 ． 【分析】设个位数字为x ，则这个数为3x 2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．【解答】解：设个位数字为x ，则这个数为3x 2，十位数字为x+2， 由题意得，10（x+2）+x=3x 2． 故答案为：10（x+2）+x=3x 2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 20．（3分）根据如下表格对应值：的范围是 0＜x ＜0.5或1.5＜x ＜2 ． 【分析】利用表中数据得到x=1.5和x=2时，代数式ax 2+bx+c 的值一个小于1.5，一个大于1.5，从而可判断当0＜x ＜0.5或1.5＜x ＜2时，代数式ax 2+bx+c ﹣1.5的值为0．【解答】解：当x=0.5和1.5时，ax 2+bx+c=， 当x=0和2时，ax 2+bx+c=2，所以方程的解的范围为0＜x ＜0.5或1.5＜x ＜2． 故答案为：0＜x ＜0.5或1.5＜x ＜2．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．21．（3分）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于5的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：则P==．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（3分）如图大矩形的长10cm，宽8cm，阴影部分的宽2cm，则空白部分的面积是48 cm2．【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解．【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10﹣2=8cm，宽为8﹣2=6cm，所以，空白部分的面积是：8×6=48cm2．故答案为：48．【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便．23．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠EFD=15°，则∠CDF的度数为30°．【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，进而求出∠CFD=60°，因为三角形DCF是直角三角形，所以可以求出∠CDF的度数为30°．【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∵∠EFD=15°，∴∠CFD=60°，∴∠CDF=90°﹣60°=30°故答案为：30°．【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三．解答题（共7小题，满分66分）24．（12分）解下列方程（1）4x2﹣1=0（2）x2﹣4x+3=0（配方法）（3）2x2+x﹣1=0（公式法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x 2=，开方得：x=±；（2）方程整理得：x 2﹣4x=﹣3， 配方得：x 2﹣4x+4=1，即（x ﹣2）2=1， 开方得：x ﹣2=1或x ﹣2=﹣1， 解得：x 1=3，x 2=1；（3）这里a=2，b=1，c=﹣1， ∵△=1+8=9，∴x=，解得：x 1=，x 2=﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．25．（8分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）原来1天的获利情况=1件的利润×卖出的件数；（2）关系式为：实际1件的利润×卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（100﹣80）×100=2000元； （2）设每件商品应降价x 元． （20﹣x ）（100+10x ）=2160， （x ﹣2）（x ﹣8）=0， 解得x 1=2，x 2=8．答：每件商品应降价2元或8元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点．26．（8分）已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB ⊥AC ，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD 的面积S □ABCD ； （2）求对角线BD 的长．【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可．（2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC==2，=AB×AC=2．则S□ABCD（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=O C，BO=OD，∴AO=1，在Rt△ABO中，BO==，∴BD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．27．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD 于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】解：BE=CF．理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC，∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法．28．（8分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．29．（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE．【解答】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．30．（12分）如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP=4，求△ABP的周长．（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= 5 ．（请直接写出答案）【分析】（1）先在Rt△ABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算△APB的周长；（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB≌△EPC，即可得出结论；（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥BC，∴∠ABP=90°，∴AP2=AB2+BP2，∴AP===，∴AP+AB+BP=+1+4=+5∴△APB的周长为+5；（2）PB=PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．在△DPA和△DPE中，，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA=PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB=PC；（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°，∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB=45°，∵点B关于AP的对称点为点B′，∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，∴B'F=4，DF=4﹣1=3，∴Rt△B'FD中，B'D==5，故答案为：5．【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．。

青岛版2020九年级数学上册期中模拟能力达标测试题（附答案详解）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，25ABC ∠=，则CAD ∠的度数是（ ）A ．25°B ．60°C ．65°D ．75°2．如图，半径为5的⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，AB ＝8，F 是BD 上一点，连接AF ，DF ，则tan ∠F 的值为（ ）A ．58B ．45C ．55D ．23．如图，点A 、B 、C 在O 上，AB CO ，25B ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．30C ．50︒D ．60︒4．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角120°的弧AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A （A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P 的纵坐标为（ ）．A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．15．如图甲，在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠C =90°动点P 从点C 出发沿线段CD 向点D 运动．到达点D 即停止，若E 、F 分别是AP 、BP 的中点，设CP =x ，△PEF 的面积为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图乙所示，则线段AB 长为( )A ．22B ．23C ．25D ．26 6．已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为8cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内含 C ．外离 D ．外切7．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠A ＝∠C ＝35°，则∠B 的度数等于（ ）A ．65°B ．70°C ．55°D ．60° 8．如图，O 的弦CD 与直径AB 的延长线相交于点E ，2AB DE =，12E ∠=，则BAC ∠=（ ）A ．60°B ．72°C ．75°D ．78°9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，将BCE 沿CE 折叠，使点B 落在点M 处，AM 的延长线与CD 边交于点F .下列四个结论:①CMF DAF ∠=∠;②CF DF =;③23AM MF =;④320CMF S =S 正方形ABCD ，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =1，AB =3，则下列结论正确的是（ ）A ．2sin 4B =； B ．2cos 4B =；C ．2tan 4B =；D ．2cot 4=B ． 11．一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，此时小球下降的垂直高度为_____米．12．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是10米，已知网高是0.9米，要使球恰好能打过网，且落在离网5米的位置，则拍击球的高度h 为_____米．13．如图，AB//CD ，90B ∠=︒，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥．若3AB =，4BE =，6DC =，则DE 的长为____________．14．在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 均为格点，则∠BAC -∠DAE =___________°．15．用一块弧长为6cm π 的扇形纸片，围成一个高为 4cm 圆锥的侧面，则此扇形纸片的圆心角为________．16．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB ∽△ADE ．17．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 上的一动点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ．以CE 为直径作⊙O ，当点P 从点A 移动到点D 时，18．如图，AB 是O 的直径，CP 切O 于点C ，交AB 的延长线于点P ，若20P ∠=︒，则A ∠=_____︒．19．如图，CD 是大半圆O 的直径，点1O 在CD 上，大半圆的弦AB 与小半圆1O 相切于点F ，且//AB CD ，6AB =，则阴影部分的面积为__________．20．若扇形的圆心角为72°，半径为5cm ，则扇形的面积是________2cm ．21．如图，AB 为O 直径，C 、D 是O 上点，连结CB 并延长与AD 所在直线交于点F ，EF AB ⊥，垂足为点E ，连结CE ，且CE EF =．（1）证明：CE 与O 相切；（2）若8AE =，1tan 2BCE ∠=，求AD 的长度．22．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边AB 上一点，将CBE ∆沿直线CE 对折，得到CFE ∆.连接DF .（1）当D 、E 、F 三点共线时，证明：DE CD =；（2）当1BE =时，求CDF ∆的面积；（3）若射线DF 交线段AB 于点P ，求BP 的最大值.23．（1）计算0214(2019)()2tan 303π-︒--+-+ （2）解方程3211x x =-+ 24．如图，AB 是⊙O 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．（1）连接AD ，求OAD ∠；（2）点F 在BC 上，45CDF ，DF 交AB 于点N ．若3DE =，求FN 的长．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．26．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O 距离地面的高度OO′=2米．当吊臂顶端由A 点抬升至 A′点(吊臂长度不变)时，地面B 处的重物(大小忽略不计)被吊至B′处，紧绷着的吊绳A′B′=AB ．AB 垂直地面 O′B 于点B ，A′B′垂直地面O′B 于点C ，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA 35=，sinA′12=．求此重物在水平方向移动的距离BC ．27．如图，平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点M 为BC 上一点，连接AM ，且 ,AB AM AE =为ABM ∆边BM 的中线，, AF AB EG GD ⊥⊥，延长FO 交AB 于点N ．（1）若4, 6, 10BM MC AC ===，求AM 的长度；（2）若45ACB ︒∠=，求证： 2AN AF FG +=．28．（探索发现）如图①，四边形ABCD 是矩形，BD 是其对角线，点O 是BD 的中点，过点O 作直线EF BD ⊥，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，DF 得到四边形BFDE ．小亮在探索四边形BFDE 的形状时发现四边形BFDE 是菱形． 小亮是这样想的：（1）请参考小亮的思路写出证明过程；（2）若BE 平分ABD ∠，6BE =，则线段EF 的长为______．（理解运用）（3）如图②，将图①中菱形BFDE 分离出来，点G 、J 分别在BF 、DE 边上，且DJ FG =，连接FJ ，H 为FJ 的中点，点I 是边BE 上一点，且BI BG =，连接IG ，IJ ，IH ，IF ，若60B ∠=︒，3IH =，求IJ 的长；（拓展迁移）如图③，当矩形ABCD 满足AB AD =时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF DE ⊥，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．（4）判断线段AG ，CE ，EG 三者之间的数量关系，并说明理由．29．ABC 中，2(3tan 3)|2cos 3|0A B ⋅-+-=．（1）判断ABC 的形状；（2）若10AB =，求BC 、AC 的长．30．如图，已知四边形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，8AB BC ==，10CD =.（1）求四边形ABCD 的面积S ；（2）动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B A D C →→→方向，向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿C D A →→方向，向点A 运动，过点Q 作QE BC ⊥于点E .若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t s .问：①当点P 在B A →上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将四边形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．C【解析】【分析】根据圆周角定理的推论可得∠ACD=90°，∠D=∠B，然后根据直角三角形的性质即可求出结果．【详解】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=25°，∴∠CAD=90°－∠D=65°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论和直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．2．D【解析】【分析】连接OB、BD，如图，根据垂径定理得到AE=BE=4，则利用勾股定理可计算出OE=3，接着在Rt△BDE中根据正切的定义得到tan∠DBE=2，然后根据圆周角定理即可得到tan∠F 的值．【详解】连接OB、BD，如图，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AE＝BE＝12AB＝4，在Rt△OBE中，OE3，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝DEBE＝354+＝2，∵∠F＝∠ABD，∴tan∠F＝2．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．3．C【解析】【分析】根据平行线的性质及圆周角定理即可求解.【详解】∵25B ∠=︒，∴50O ∠=︒，∵//AB CO ，∴50O A ∠=∠=︒，故选：C.【点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键. 4．C【解析】【分析】先计算点P 走一个AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2020÷4=505，得出在第2020秒时点P 的纵坐标为是0． 【详解】解：点运动一个AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与AB 交于点E ．在Rt ACD ∆中，∵90ADC ︒∠=，1602ACD ACB ︒∠=∠=， ∴30︒∠=CAD ， ∴112122CD AC ==⨯=， ∴211DE CE CD =-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1； 第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为﹣1； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；…，∴点P 的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环， ∵20204505÷=，∴第2020秒时点P 的纵坐标为是0． 故选：C ．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，也考查了垂径定理．解题的关键是找出点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环． 5．C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵E 、F 分别为AP 、BP 的中点，∴EF ∥AB ，EF =12AB ，∴S △PEF =14S △ABP ， 根据图像可以看出x 的最大值为4，∴CD =4．∵当P 在D 点时，△PEF 的面积为2，∴S △ABP =2×4=8，即S △ABD =8，∴AD =24ABDS=284⨯=4，当点P 在C 点时，S △PEF =3，∴S △ABP =3×4=12，即S △ABC =12，∴BC =24ABCS=2124⨯=6，过点A作AG⊥BC于点G，∴∠AGC=90°．∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°．∵∠BCD=90°，∴∠ADC=180°-90°=90°，∴四边形AGCD是矩形，∴CG=AD=4，AG=CD=4，∴BG=BC-CG=6-4=2，∴AB22542故选C．6．C【解析】【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外离．【详解】∵⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为8cm，4+3＝7，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外离．故选：C．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，外离：P＞R＋r；外切：P＝R＋r；相交：R−r＜P＜R＋r；内切：P＝R−r；内含：P＜R−r．7．B【解析】【分析】由∠A＝∠C可证明OA∥BC，从而∠B=∠AOB，再根据同弧的圆周角与圆心角的关系求解即可.【详解】∵∠A＝∠C＝35°，∴OA∥BC，∴∠B=∠AOB，∵∠C＝35°，∴∠AOB=2∠C＝70°，∴∠B=70°，故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理以及平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．8．B【解析】【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．【详解】解：∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD=12°，在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=24°，∵OC=OD，∴∠DCO=∠ODC=24°．∴∠AOC=∠E+∠ECO=12°+24°=36°，∵OA=OC，∴∠BAC=18036=722，故选择：B.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角和定理，熟练掌握三角形外角定理是关键．9．D【解析】 【分析】根据折叠的性质，正方形的性质，等边对等角，同角的余角相等即可判断①； 根据题意先证明四边形AECF 为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判断②； 过点E 作EN AM ⊥，根据三线合一及折叠的性质即可得出EAM BEC ∠=∠，再根据同角的余切值相等得出比值，AE a =，用a 表示AM,MF 的值，即可得出比值，判断③； 设AE a =，用a 表示3ABCD S 正方形及20CMFS 的值，即可判断④.【详解】 E 是AB 的中点∴AE=BEBCE 沿CE 折叠∴BE=EM,90B EMC ∠=∠=︒ ∴,90AE EM CMF EMA =∠+∠=︒∴EAM EMA ∠=∠90DAF EAM ∠+∠=︒∴CMF DAF ∠=∠故①正确；四边形ABCD 为正方形∴,//AB CD AB CD =BCE 沿CE 折叠∴MEC EMA ∠=∠MEC BEC EAM EMA ∠+∠=∠+∠ MEC BEC EAM EMA ∴∠=∠=∠=∠∴//AF EC∴四边形AECF 为平行四边形 ∴AE CF =又E 是AB 的中点∴CF DF =故②正确；过点E 作EN AM ⊥ 由①知，AE EM =AN MN ∴=由②知，EAM BEC ∠=∠ E 是AB 的中点12AN BE EN BC ∴== 设AE a = 则5,,25AN DF a AD a === 255,5AF a AM a ∴==2535555aMF AF AM a a ∴=-=-=2525335aAM MF a ∴== 故③正确； 设AE a = 则2AB a =，25EN =，35a MF = ()224ABCD S AB a ∴==正方形，2113525322555CMFa a SMF EN a === ()22312ABCD S AB a ∴==正方形，2232020125CMFS a a =⨯= 320CMFABCD S S∴=正方形320CMFABCDSS∴=正方形 故④正确. 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，角的余切值，综合性比较强，添加合适的辅助线是解题的关键. 10．C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC 的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可. 【详解】如图所示：∵Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =1，AB =3， ∴22223122BC AB AC =-=-=∴1sin 3AC B AB == 22cos BC B AB ==2tan 422AC B BC ===22cot 221BC B AC === 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练锐角三角函数的定义是解题的关键.11．10【解析】【分析】根据已知条件坡度为1:3，设BC=x米，AB=3x米，因△ABC是直角三角形，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】解：小球沿着坡面向下前进了10m假设到A处，过C作CB⊥AB，∵i＝1：3，∴tan A＝13 BCAB，设BC＝xcm，AB＝3xcm，x2+（3x）2＝102，解得：x＝10或x＝﹣10（不合题意，舍去），故答案为：10．【点睛】本题主要考查的是坡比以及勾股定理，坡比主要指的是坡度的正切值，掌握坡比和勾股定理是解此题的关键.12．2.7【解析】【分析】因为人和球网是平行的，所以题中将有一组相似三角形，根据对应边成比例，列方程即可解答．【详解】解：如图：∵AB∥CD，∴△ABE ∽△CDE ， ∴CE ：AE ＝CD ：AB ∴5：15＝0.9：AB ∴h ＝AB ＝2.7米． 故答案为：2.7． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出球拍击球的高度h ，体现了转化的思想． 13．152【解析】 【分析】先根据同角的余角相等可得：∠AEB=∠EDC ，利用两角相等证明三角形相似；根据△ABE ∽△ECD ，列比例式可得结论,利用勾股定理求解即可. 【详解】∵AB//CD ，90B ∠=︒， ∴∠C=90° ∠BAE+∠AEB=90° ∵AE ED ⊥∴∠DEC+∠AEB=90° ∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE ∽△ECD ∴34692AB BEEC CD EC EC ===∴在Rt △ECD 中22229622254152DE EC DC=+⎛⎫=+⎪⎝⎭==【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握知识是解答此题的关键.14．45【解析】【分析】在正方形网格中，连接正方形的顶点，作出Rt EFD∆和Rt EGD∆，设正方形网格的边长为1，则有22112EG，1FG =，2AG=，可知EG FGAG EG，可证EGF AGE∽，可得EFG AEG，则可证出45EFG EAG，根据作图可知CBA FDE，得BAC DEF∠=∠，可以求出45BAC DAE．【详解】解：如图示，在正方形网格中，连接正方形的顶点，得到Rt EFD∆和Rt EGD∆，设正方形网格的边长为1，则有22112EG，1FG=，2AG=，∴2EGAG，22FGEG，∴EG FGAG EGEGF AGE，EGF AGE∽，EFG AEG，45EFG EAG AEG EAG EGD，45EFG EAG又∵根据作图可知CBA FDE ，∴BAC DEF ∠=∠ ∴909045BACDEFEFDEAG即有：45BAC DAE，故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，求得EGF AGE ∽是解题的关键． 15．216︒ 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，再利用弧长公式=2180π⋅nl r 即可解题. 【详解】解：∵扇形的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r ， 则：26r ππ=，故圆锥底面半径为3； 沿着圆锥的高剖开，其截面为一个直角三角形，，由圆锥的侧面展开图是一个扇形，且其弧长等于圆锥底面周长知： 故有：6=25180ππ⋅⋅n，其中n 是圆心角， 解得：=216n . 故答案为：216. 【点睛】本题考查了扇形弧长的计算公式，需要理解的是：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；根据扇形的弧长公式进行计算即可.16．∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=【解析】【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AEAC AB＝时，△ADE∽△ACB．【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C．②补充∠AED=∠B，理由是：∵A是公共角，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB．③补充AD AEAC AB=，理由是：∵∠A是公共角，AD AE AC AB=，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．17．98．【解析】【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．【详解】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，∵PE⊥CP∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°∵△APE∽△DCP∴AP AE DC DP，即x（3﹣x）＝2y，∴y＝12x（3﹣x）＝﹣12x2+32x＝﹣GXdjs4436236（x﹣32）2+98，∴当x＝32时，y的最大值为98，∴AE的最大值＝98，∵AK＝KC，EO＝OC，∴OK＝12AE＝916，∴OK的最大值为916，由题意点O的运动路径的长为2OK＝98，故答案为：98．【点睛】考查了轨迹、矩形的性质、三角形的中位线定理和二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．18．35°【解析】【分析】连接OC ，利用切线的性质和三角形内角和得出∠COP 的度数，进而利用等腰三角形的性质得出∠A 的度数即可．【详解】连接OC ，∵CP 切⊙O 于点C ，∠P=20°，∴∠OCP=90°，∴∠COP=70°，∵OA=OC ，∴∠OCA=∠A=12×70°＝35°， 故答案为：35°【点睛】此题考查切线的性质，解题关键是利用切线的性质和三角形内角和得出∠COP 的度数． 19．92π【解析】【分析】作OE AB ⊥于E ，连接O 1F ，OA ，则OA 是大圆半径，由垂径定理可得出AE 的长，根据勾股定理可得2229OA EO AE -==，最后由阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积即可求解．【详解】解：作OE AB ⊥于E ，连接O 1F ，OA ，则OA 是大圆半径，∵AB 与小半圆1O 相切于点F ，∴O 1F ⊥AB ， //AB CD ，∴EO =O 1F ，由垂径定理知，点E 是AB 的中点，∴AE =12AB =3． 在Rt △AOE 中，由勾股定理知，2229OA EO AE -==，∴阴影部分的面积()222211119ππππ2222OA O F OA EO =-=-=． 故答案为：9π2．【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 20．5π．【解析】【分析】利用扇形面积公式求解即可．【详解】解：扇形的圆心角为72︒，半径为5cm ， 227255360S cm 扇形故答案为：5π．【点睛】本题看出来扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）1255． 【解析】【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质，对顶角的性质以及垂直的定义可得出∠BCE+∠ABC=90°，再根据∠OCB=∠OBC ，得出∠OCB+∠BCE=90°，从而可得出结果； （2）设O 的半径为r ，则OA=OB=OC=r ，则BE=8-2r ，OE=8-r ，根据1tan BCE 2∠==tan ∠BFE ，可得出EF=2BE=CE ，在Rt △OCE 中，利用勾股定理列方程可求出r 的值．连接BD ，又∠ACF=∠AEF=90°，则点A ，C ，E ，F 都在以AF 为圆心的圆上，从而得出∠FAE=∠FCE ，则tan ∠BAD=12，结合勾股定理可求出AD 的长． 【详解】（1）证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠EBF，又EF⊥AB，∴∠EFB+∠EBF=90°，∴∠OCB+∠EFB=90°，∵CE=EF，∴∠ECB=∠EFB，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°，∴CE与O相切；（2）解：连接BD，设O的半径为r，则OA=OB=OC=r，∴BE=AE-AB=8-2r，OE=AE-OA=8-r，又1tan BCE2∠==tan∠BFE，∴在Rt△BEF中，12 BEEF=，∴EF=2BE=16-4r=CE，在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2，∴r2+(16-4r)2=(8-r)2，解得r=3或r=4，当r=4时，16-4r=0，不符合题意，∴r=3，∴AB=6．∵AB是O的直径，∴∠ACF=∠AEF=90°，则点A，C，E，F都在以AF为直径的圆上，∴∠FAE=∠FCE ， 又1tan 2FCE ∠=，∴tan ∠FAE=12，即tan ∠DAB=12， ∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°， ∴1BD=AD 2， 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2，∴AD 2+21AD 4=36，∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理的推论，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线并综合运用相关性质进行推理是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）245CDF S ∆=；（3）BP 的最大值为4【解析】【分析】（1）要证明DE DC =，只需证明DCE DEC ∠=∠，由折叠性质易得FEC BEC ∠=∠，再根据矩形对边平行，从而可证；（2）要求CDF ∆的面积，先延长EF 交CD 于点Q ，由折叠性质及矩形对边平行，得CQ QE =，在直角三角形CFQ 中，利用勾股定理，求出FQ 的长，易求CQF S ∆，由CDF ∆与CQF ∆为同高不同底的三角形，根据CQ 、CD 的比值，求出CDF S ∆；（3）要求BP 的最大值，关键在于发现BP 最大时，即为D 、F 、E 三点共线时，从而结合勾股定理求解.【详解】（1）证明：如解图①，由折叠性质可得：BEC FEC ∆∆≌，∴BEC FEC ∠=∠.∵四边形ABCD 为矩形，∴//AB CD .∴CEB DCE ∠=∠.∴FEC DCE ∠=∠.∴DE CD =； （2）解：如解图②，延长EF 交CD 的延长线于点Q ，∵矩形ABCD 中，//AB CD ，∴QCE CEB ∠=∠.又∵CBE CFE ∆∆≌，∴CEB CEF ∠=∠，1EF BE ==.∴QCE CEF ∠=∠.∴CQ EQ =.设FQ x =，则1CQ EQ x ==+，∵90CFQ ∠=︒，∴在Rt CFQ ∆中，222CQ CF FQ =+.即222(1)3x x +=+.解得4x =.∴4FQ =，5CQ EQ ==.∵4CD =，5CQ =，∴441412434552525CDF CQF S S CF FQ ∆∆==⨯⋅=⨯⨯⨯=；（3）解：如解图③，过点C 作CH DP ⊥于点H ，∵矩形ABCD 中，//AB CD ，∴HDC APD ∠=∠，又∵90CHD DAP ∠=∠=︒，∴CHD DAP ∆∆∽.∴CH DA HD AP=. ∵3CH CF ≤=，4CD =，∴可以看到点F 是在以C 为圆心，3为半径的圆上运动.∴当射线DF 与圆相切时，BP 最大，此时D 、F 、E 三点共线（即P 与E 重合）. 由（1）问可知，D 、E 、F 三点共线时，DE CD =，设BE a =，则4AE a =-，∵DE CD =，∴4DE CD ==.在Rt ADE ∆中，222AD AE DE +=，∴2223(4)4a +-=.∴4a =-4a =+（舍）.∴4BE =-，即BP 的最大值为4【点睛】本题主要考查了图形几何的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.错因分析：第（1）问，不能通过折叠的性质发现角的等量关系，不能利用矩形性质倒出角的等量关系；第（2）问，①不能正确作出辅助线；②不能通过三角形全等、平行线性质、勾股定理计算长度；第（3）问，不能理解什么情况下 的值最大．23．(1) 102) 5x =- 【解析】【分析】（1）原式利用算术平方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式219210=-++=+； （2）分式方程去分母得：()()3121x x +=-，解得：5x=-，经检验，5x=-是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程以及实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（1）60︒；（2）2．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据M是OA的中点及圆的性质，得出△OAD 是等边三角形即可；（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．【详解】解：（1）如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，CD AB⊥于点M∴AB垂直平分CD，∵M是OA的中点，∴1122 OM OA OD ==∴1 cos2OMDOMOD∠==∴∠DOM=60°，又∵OA=OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°．（2）如图，连接CF，CN，∵OA⊥CD于点M，∴点M是CD的中点，∴AB垂直平分CD∴NC=ND∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°，∴∠CND=90°，∴∠CNF=90°，由（1）可知，∠AOD=60°，∴∠ACD=30°，又∵DE CA⊥交CA的延长线于点E，∴∠E=90°，在Rt△CDE中，∠ACD=30°，3DE=，∴CD23=在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，CD23=，∴2452362CN CDsin=︒=⨯=由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠F=180°-120°=60°，∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，6CN=，∴62tan603CNFN===︒【点睛】本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算．25．（1）见解析；（2）AE ＝12532；（3）BD 的长为11或394或252． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明//DF AB ，根据平行线的性质得到AE AC ＝BD BC ，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ， ∴AB CD ＝BD CE，即AB •CE ＝BD •CD ； （2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴//DF AB ， ∴AE AC ＝BD BC， ∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA∽△BAC，∴BDBA＝BABC，即BD10＝1016解得，BD＝254，∴AE10＝25416，解得，AE＝125 32；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝12BC＝8，由勾股定理得，AH6，∴tan B＝AHBH＝34，∴tan∠ADF＝AFAD＝34，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF5x，∵△BAD∽△CDE，∴ADDE＝ABCD，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴10CD＝42xx，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴10CD＝42.5xx，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝394；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10CD＝475xx，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝25 2；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴10CD＝48xx，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．26．3【解析】【分析】作OD⊥AB于D，交A′C于E，根据余弦的定义求出AD，根据勾股定理求出OD，根据正弦的定义求出OE，结合图形计算得到答案．【详解】如图，过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E．根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC，∴∠A′EO=∠ADO＝90°．在Rt△AOD中，∵cosA35ADOA==，OA=10，∴AD =6，∴228 OD OA AD-=．在Rt△A′OE中，∵1sin2'=='OEAOA，OA′=10．∴OE=5．∴BC=3．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确作出辅助性是解题的关键．27．（1）10（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AE⊥BM，BE=EM=2，计算出EC，在Rt△ACE中，勾股定理得出AE，在Rt△AEM中，勾股定理即可求出AM；（2）如图，连接EF，作EH⊥AF于H．根据对角互补得出A，E，C，F四点共圆，进而得到∠EFA＝∠EFG＝45°，根据角平分线的性质得到EH＝EG，证明Rt△EHA≌Rt△EGC （HL），得到AH＝CG，证明Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），得到FH＝FG，再证明△AON≌△COF（ASA），得到AN＝CF，从而证明AN＋AF＝FC＋AF＝FG−CG＋FH＋AH ＝2FG即可．【详解】解：（1）∵AB=AM，AE为ABM∆边BM的中线，∴AE⊥BM，BE=EM=2，∵MC=6，∴EC=MC+EM=8在Rt△ACE中，AC=10，CE=8，∴AE=226-=，AC CE在Rt△AEM中，AE=6，EM=2，∴AM=22210+=，AE EM（2）如图，连接EF，作EH⊥AF于H．∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EFA＝∠EFG＝45°，∵EH⊥FA，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB ∥CD ，∴∠OAN ＝∠OCF ，∵点O 是对角线AC 的中点∴OA ＝OC ，∵∠AON ＝∠COF ，∴△AON ≌△COF （ASA ），∴AN ＝CF ，∴AN ＋AF ＝FC ＋AF ＝FG−CG ＋FH ＋AH ＝2FG ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．28．（1）证明见解析；（2）6；（3）2；（4）222EG AG EC =+，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ，从而得出EDO FBO ∠=∠，利用ASA 即可证出DOE BOF ∆≅∆，从而得出EO OF =，然后根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据菱形的性质和各角之间的关系即可求出BE BF =、60EBF ∠=︒，从而证出BEF∆是等边三角形，即可求出EF ；（3）延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ，先证出MEJ ∆是等边三角形，然后利用SAS 证出BIF MJI ∆≅∆，从而证出IJ IF =，BFI MIJ ∠=∠，然后证出30JIH ∠=︒，利用锐角三角函数即可求出IJ 的长；（4）将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到CDM ∆，连接EM ，先证出A 、F 、E 、D 四点共圆从而得出45EDF EAF ∠=∠=︒，然后利用SAS 证出DEG DEM ∆≅∆，GE EM =，然后证出△ECM 为直角三角形即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴EDO FBO ∠=∠，∵点O 是BC 的中点，∴OB OD =，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()DOE BOF ASA ∆≅∆，∴EO OF =，∵OB OD =，∴四边形BFDE 是平行四边形，∵EF BD ⊥，∴四边形BFDE 是菱形；（2）解：∵BE 平分ABD ∠，∴ABE EBD ∠=∠，∵EB ED =，∴EBD EDB ∠=∠，∴2ABD ADB ∠=∠，∵90ABD ADB ∠+∠=︒，∴30ADB ∠=︒，60ABD ∠=︒，∴30ABE EBO OBF ∠=∠=∠=︒，∴60EBF ∠=︒，又∵BE BF =，∴BEF ∆是等边三角形，∴6EF BE ==．故答案为：6；（3）解：如下图，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．∵四边形BFDE 是菱形，∴//DE BF ，DE BF =，∵60MEJ B ∠=∠=︒，∴MEJ ∆是等边三角形，∴MJ EM EJ ==，60M B ∠=∠=︒，∵DE BF =，DJ FG =，∴EJ BG EM ==，∵BI BG =，∴BI MJ EM ==，∴IM BF =．在BIF ∆和MJI ∆中，BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BIF MJI SAS ∆≅∆，∴IJ IF =，BFI MIJ ∠=∠，∵HJ HF =，∴IH JF ⊥，∵120BFI BIF ∠+∠=︒，∴120MIJ BIF ∠+∠=︒，∴60JIF ∠=︒，∴30JIH ∠=︒，在Rt HIJ ∆中，2cos HI IJ HJI==∠； （4）解：222EG AG EC =+．理由如下：如下图，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到CDM ∆，连接EM ，∵180FAD DEF ∠+∠=︒，∴A 、F 、E 、D 四点共圆，∴45EDF EAF ∠=∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴45ADF EDC ∠+∠=︒，∵ADF CDM ∠=∠，∴45CDM CDE EDM ∠+∠=︒=∠，在DEG ∆和DEM ∆中，DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEG DEM ∆≅∆，∴GE EM =，∵45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，∴90ECM ∠=︒，∴222EC CM EM +=，∵EG EM =，AG CM =，∴222EG AG EC =+．【点睛】此题考查的是四边形的综合题、全等三角形的判定及性质、四点共圆、圆周角定理的推论、勾股定理和锐角三角函数，掌握各个四边形的性质、全等三角形的判定及性质、四点共圆的判定、同弧所对的圆周角相等和利用锐角三家函数和勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．29．（1）△ABC 是直角三角形；（2）53BC =5AC =【解析】【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）解直角三角形即可．【详解】（1）∵2tan 3)|2cos 0A B -+-=，tan 30A -=，2cos 0B =，即tan A =cos B =， ∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，∴△ABC 是直角三角形；（2）∵cos B =，AB=10，∴2BC AB =，∴1022BC AB ===∵tan A =∴BC AC=∴5AC ===． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和解直角三角形，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 30．（1）40；（2）①当3t s =时，PQ 将四边形ABCD 的周长平分.②163t s =或132t s =时，以P 、A 、D 为顶点的三角形与CQE ∆相似.【解析】【分析】（1）作//DH AB 交BC 于点H ，利用勾股定理的逆定理证得四边形ABCD 是直角梯形，然后根据直角梯形的面积公式即可求得；（2）①利用周长平分，列出方程即可求解；②当点P 在AB 上时，分PAD QEC ∆∆和PAD CEQ ∆∆两种情况，根据等角的正切函数构建方程即可求解；当点P 在AD 和DC 上时，不可能构成与CQE ∆相似的三角形.【详解】（1）过点D 作//DH AB 交BC 于点H ，∵//AD BH ，∴四边形ABHD 是平行四边形.∴8DH AB ==；2BH AD ==.∴826CH BC BH =-=-=.∵10CD =，∴222DH CH CD +=，∴90DHC ∠=︒.∴90B DHC ∠=∠=︒.∴四边形ABCD 是直角梯形.()()112884022ABCD AD BC AB S =+=⨯+⨯=.（2）①当点P 在B A →上运动时，BP CQ t ==，∴8AP t =-，10DQ t =-，∵AP AD DQ PB BC CQ +==++，∴82108t t t t -++-=++.∴38t =<.∴当3t s =时，PQ 将四边形ABCD 的周长平分.②∵821020AB AD DC ++=++=，21012DC AD +=+=，1220<，∴点Q 运动到A 时运动停止，∴12t s ≤.第一种情况：08t <<，若PADQEC ∆∆，则ADP C ∠=∠. ∴84tan tan 63DH ADP C CH ∠=∠===. ∴8423t -=，∴163t =. 若PADCEQ ∆∆，则APD C ∠=∠， ∴4tan tan 3APD C ∠=∠=， ∴2483t =-，∴132t =. 第二种情况：810t ≤≤，P 、A 、D 三点不能组成三角形；第三种情况：1012t <≤，ADP ∆为钝角三角形与Rt CQE ∆不相似； ∴163t s =或132t s =时，以P 、A 、D 为顶点的三角形与CQE ∆相似. 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质、直角梯形的性质及面积公式，锐角三角函数定义，分类思想的应用．。

九年级数学青岛版期中试卷（时间120分钟，满分120分）一．选择题（共15小题）1．（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：2．（2014•安徽名校一模）如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对（2）（3）（4）（5）3．（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC 相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1B．2C．3D．44．（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m 5．（2014•武汉）已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．2，﹣1）或（﹣2，1）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）6．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）2-1-c-n-j-yA．B．C．D．（6）（8）（9）（10）7．（2014•天津）cos60°的值等于（）A．B．C．D．8．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米9．（2014•兰州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．A E=BE B．=C．O E=DE D．∠DBC=90°10．（2014•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°11．（2014•高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．（11）（13）（14）（17）12．（2014•白银）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断13．（2013•保定）如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．60°14．（2014•泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C．1cm2D．cm2 15．（2014•天津）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．2二．填空题（共8小题）16．（2014•阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF 的周长是_________．17．（2014•黔南州）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为_________．2·1·c·n·j·y18．（2014•海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= _________．(18) (20) (21) (23) 19．（2014•太原二模）如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，0），（4，﹣6），△A′B′O△ABO是以原点O为位似中心的位似图形，且△A′B′O与△ABO 的位似比为1：2，则B′的坐标为_________．20．（2014•攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C= _________．21．（2014•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________．22．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_________．23．（2014•成都）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= _________度．三．解答题（共5小题）24．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．25．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．26．（2014•天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．27．（2014•内江）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）28．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．参考答案一．选择题（共15小题）1．D．2．C．3．B．4．B．5．C．6．D．7．A．8．D．9．C．10．C．11．B．12．A．13．C．14．A．15．B．二．填空题（共8小题）16．12 ．17．．18．5．19．（2，﹣3）或（﹣2，3）．20．75°．21．3+．22．10或8 ．23．40三．解答题（共5小题）24．证明：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AD•AC．25．证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE=∠CAD，∵∠B=∠D，∴△ABE∽△ADC；（2）∵∠BAD=∠CAD，∴=，∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB=BD，OC=CD，∵OB=OC，∴OB=BD=CD=OC，∴四边形OBDC是菱形．26．解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN•tan∠AMN=30．在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．∴AB=AN+BN=（30+30）米；（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速．27．解：∵∠BCF=90°，∠CBF=45°，∴BC=CF，∵∠CAF=30°，∴tan30°====，解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）．答：竖直高度CF约为1080米．28．（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．。

1 / 2ABCDEF（第14题图）（第16题图）ABCDB ’C ’D ’ODC A B第10题图A B C 2019-2020学年度第一学期九年级数学期末模拟试卷总分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题3分，共24分）1、方程5x ²- 6x=8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5, 6, 8 B. 5，－6，－8 C. 5，－6, 8 D. 6,5，－82、某几何体的三种视图如右图所示，则该几何体可能是（ ） A ．圆锥体 B ．球体 C ．长方体 D ．圆柱体3、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形4、菱形的两条对角线分别为2和3，则菱形的高为（ ） A.524 B. 548C. 2.4D. 不确定 5、三角形两边长分别为3和4，第三边的长是一元二次方程x ²-8x+15=0的实数根， 则该三角形的面积是（ ）A. 15B. 7.5C. 20D. 256、用配方法解方程x ²-2x-1=0配方后得到的方程为（ ） A. (x-2)²=5 B. (x-1)²=1 C. (x-1)²=2 D. (x-2)²=27、在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2)，F （-2，-2），以原点 O 为位似中心，相似比为21，把△EFO 缩小，则点E 的对应点 E ’的坐标是（ ）A （-2,1）B （-8,4）C （-8,4）或（8，-4）D （-2,1）或（2.-1） 8、正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为 正方形，设△AFC 的面积为S ，则（ ）A. S=2B.S=2.4C. S=4D. S 与BE 的长度有关一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题（每小题3分，共24分）9、方程x(x-1)=0的根为 。

九年级数学第一学期期中模拟卷一、选择题1. 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a --+-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1或-1.B.-1 C 1 D.122.（枣庄）如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A 、C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E 、F ，AE=3，则四边形AECF 的周长为（ ） A.22 B.18 C.14 D.113、如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )4.（枣庄）x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2=15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是（ ） A. x 1小于﹣1，x 2大于3 B . x 1小于﹣2，x 2大于3 C. x 1，x 2在﹣1和3之间 D. x 1，x 2都小于35．已知正方形ABCD 的边长是10cm ，APQ ∆是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，则BP 的边长是（ ） A 、55cm B 、3320cm C 、)31020(-cm D 、)31020(+cm 6．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A. 1m <-B. 1m <C. 1m >-D. 1m > 7、下列说法中正确的是( )A. 位似图形可以通过平移而相互得到B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竟猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三翻牌获奖的概率是( ) Ａ.14Ｂ.15 Ｃ.16 Ｄ.320A9.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A.19% B.20% C.21% D.22%10.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD ，则P E+PF 的值为( ) A.513 B.25 C.2 D.512 11、如左下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）A. ∠APB ＝∠EPCB. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC ＝2︰312.如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ） A . B . C . D .二、填空题13．（枣庄）有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为 ．14.如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD ·BC ＝ .15.设m 、n 是一元二次方程x 2+3x -7＝0的两个根，则m 2+4m +n = .16．（枣庄）如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处．若AE=BE ，则长AD 与宽AB 的比值是 ．17．已知矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE △向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD = .18. 如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆， 已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 . .三、解答题 19.解下列方程（1）、()08122=-+x （ 2）、0132=--x x (配方法)（3）、()()22336524+=-x x （4）、01532=+-x x （公式法）20．（枣庄）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OD=AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．21.在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．22、（宁夏中考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．23某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1 250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？24、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒）表示移动的时间（06t ≤≤），那么： （1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

九年级上学期数学期中模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共120分．考试时间120分钟．注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上.2. 第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案，不能答在试卷上.3. 第II 卷（非选择题），请用黑色中性笔直接答在试卷上。

第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：（每小题3分，共36分。

每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项序号填在右边的括号内。

）1. 用配方法解关于x 的一元二次方程2230x x --=，配方后的方程可以是（ ）A ．()214x -= B ．()214x +=C ．()2116x -= D ．()2116x +=2.下列四个命题：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等（2）经过三个点一定可以作圆，（3）相等的圆周角所对的弧相等，（4）三角形的内心到三角形各定点的距离相等。

真命题有（） A.4个B.3个C.2个D.1个3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB=,6则⊙O 的半径为（ ） A.2 B.22 C.22 D.264. Rt △ABC 中，∠C=90°，a=2，cosB=31，则b 的长为（） A.3102 B.102 C.24 D.2345. 以3、4为两边的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ）A.15或12B.12C.15D.以上都不对6. 如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙0上，顶点C 在⊙0的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，，则∠ADC 的度数是( ) A.44° B ．54° C ．72° D ．53°7. 关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 8. 等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） A. 600 B. 900 C. 1200. D. 15009. 在Rt △ABC 中，90,3,5,C AC AB ∠=︒==则它的内切圆和外接圆的半径分别是（ ）A.1.5,2.5B.2,5C.1,2.5D.2,2.5 10. 在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝( )A ．1010B ．32C ．43D ．1010311. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则n m +的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-212. 如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（本题共6小题，要求将每小题的最后结果填写在横线上. 每小题3分，满分18分）13. 如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α=．14. 方程20x mx n --=的两根分别为1、2，那么二次三项式2x mx n -++可以分解为________________________.15. 一水库的迎水坡AB 的坡度1:3i =，则该坡的坡角α=.16. 已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为。

青岛版2019--2020学年度第一学期期中考试九年级数学考试时间：100分钟；满分120分一、单选题1．（3分）在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin ∠A=135,则cos ∠A 的值为 A ．1312 B ．138 C ．32 D ． 125 2．（3分）如图，已知∠1=∠2，若添一个条件就能使△ADE ∽△ABC 成立，则条件不能是（ ）A 、AD:AB=DE:BCB 、∠AED =∠CC 、∠D =∠B D 、AD: AB = AE: AC3．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，则sin ∠ACB 的值为（ ）A ．4B ．13C ．10D ．10 4．（3分）如图，⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，BE ＝2，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．25．（3分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，7AB =，2AD =，3BC =，如果AB 上的点P 使PAD PBC ∽，那么这样的点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6．（3分）如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°7．（3分）如图，在ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE 交对角线BD 于F ，BF=2，则FD 等于( )A.2B.3C.4D.68．（3分）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( )A.π ＋1B.π＋2C.π－1D.π－29．（3分）已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为240cm ，那么它们的面积之和为( )A.2108cmB.2104cmC.2100cmD.280cm10．（3分）如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，CD 是⊙O 的切线，交PA 、PB 于C 、D 两点，△PCD 的周长是36，则AP 的长为（ ）A.12B.18C.24D.9二、填空题11．（4分）在Rt ABC 中，90C ∠=，13AB =，12AC =，则cos B =________，tan B =________．12．（4分）如图，在⊙O 中弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为_____.13．（4分）如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1．5米，则这棵槟榔树的高是 米．14．（4分）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则.15．（4分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度比为 ．16．（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC 的内切圆半径r=_____．17．（4分）如图，在矩形ABCD 中，把∠A 沿DF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处， 则sin ∠ADF 的值为___________18．（4分）如图，P A ，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为A 、B ，∠P ＝70°，则∠C ＝_____．三、解答题19．（8分）计算：（每小题4分，共8分） （1）18)21(|322|2+---- （2） 45cos 45sin 130sin 360cos +-20．（8分）如图，△ABC 中，∠A =30°，tan B =，AC =BC 的长.21．（8分）如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ． 求证：OD ：OA=OE ：OB ．22．（8分）如图，点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点，C 在⊙O 上，AC=BC ，AD=CD ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，求△ABC 的面积．23．（8分）如图，⊙O 的直径AB=6，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，AD=2，BC=29．（1）求OD 、OC 的长；（2）求证：△DOC ∽△OBC ；（3）求证：CD 是⊙O 切线．24．（9分）在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E 分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．（1）求证：OD＝OE；（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．（3）若CD＝2CE，求DP的长度．25．（9分）如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE 的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)参考答案1．A.【解析】试题分析：∵sin ∠A=135,∴cos ∠1213== . 故选：A ．考点：三角函数．2．A【解析】试题分析：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，∴∠DAE=∠BAC ， A 、若AD:AB=DE:BC ，但两线段的夹角∠D 和∠B 不知道相等，∴不能说△ADE 和△ABC 相似，故本选项错误，即不正确； B 、∵∠DAE=∠BAC ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确； C 、∵∠DAE=∠BAC ，∠D=∠B ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确； D 、∵AD: AB = AE: AC ，∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，故本选项正确；故选A ．考点：相似三角形的判定.3．C【解析】【分析】构造直角三角形利用正弦函数的定义直接求解即可．【详解】解：如图：，所以sin∠ACB=BDBC .故选：C ．本题考查解直角三角形及勾股定理的知识，解题关键是根据图形构造直角三角形并利用勾股定理求得BC边的长．4．C【解析】【分析】连接OC，∠BAC=30°，由圆周角定理可得∠COB=60°，∠OCE=30°，设半径为r，则OE=r-2，由锐角三角函数得OE=12r，建立等量关系可得答案．【详解】连接OC，设半径为r，则OE=r-2，∵∠BAC=30°，∴∠COB=60°，∴∠OCE=30°，∴OE＝12r，∴12r=r-2，解得：r=4，故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，利用特殊角的三角函数是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长，即可得到满足题意的点P的个数．分两种情况：①如果△P AD ∽△PBC ，则P A :PB =AD :BC =2:3，又P A +PB =AB =7，∴AP =7×2÷5=2.8； ②如果△P AD ∽△CBP ，则P A :BC =AD :BP ，即P A ⋅PB =2×3=6， 又∵P A +PB =AB =7，∴P A 、PB 是一元二次方程x 2−7x +6=0的两根，解得121,6x x ==，∴AP =1或6.综上，可知AP =2.8或1或6.∴满足题意的点P 的个数为3个，故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠23．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2＝16.9 B．10（1+2x）＝16.9C．10（1﹣x）2＝16.9 D．10（1﹣2x）＝16.94．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．328．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝．10．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．11．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝．12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为．13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．14．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为m．15．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为cm3．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n O∁n B n的对角线交点的坐标为．三．解答题（共72分）17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．18．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）19．第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．20．如图梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出50kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求4x2+16x+19的最小值．解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2（2）求﹣m2﹣m+2的最大值解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣+小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x易证△AEF∽△ACB，则，，，…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为．（直接写出答案）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为．（直接写出答案）25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 【分析】利用提公因式法解方程即可．【解答】解：x2＝x，移项得x2﹣x＝0，提公因式得x（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2＝0．故选：D．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．3．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2＝16.9 B．10（1+2x）＝16.9C．10（1﹣x）2＝16.9 D．10（1﹣2x）＝16.9【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2＝2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2＝16.9，故选：A．4．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【分析】先列举出所有满足条件的两位数，然后找出能被3整除的两位数，即可得到能被3整除的概率．【解答】解：可以得到的所有两位数为：12，13，14，23，24，34，43，42，41，32，31，21，共有12个．其中能被3整除的有4个，所以两位数能被3整除的概率是＝，故选：A．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由DE∥BC，可以判断△ADE∽△ABC，根据AD：BD＝1：3即可得出结论．【解答】解：∵BD＝3AD，∴AD：BD＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵BC＝12，∴DE＝3，故选：A．6．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC＝1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴＝（）2＝，∴EC：BC＝1：，∵BC＝，∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝﹣．故选：D．7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，2OD•AO＝28①，进而可利用勾股定理得到OD2+OA2＝36②，结合①②两式化简即可得到OD+OA的值．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．8．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②③根据OH是△BFD的中位线，得出OH＝BF＝BD可得出结论；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可求出结论；⑤证明△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，由HC＝HF，即可得到⑤正确．【解答】解：①∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，∴∠DEH+∠CDF＝90°，∴∠BHD＝∠BHF＝90°，∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，∴△BHD≌△BHF（ASA），∴DH＝HF，∵OD＝OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；②③∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，∴BD＝BF＝．由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝（﹣1），∴OG：GH＝1：（﹣1），故②错误，③正确；④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，∠EBC＝22.5°，∵CE＝CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH＝CH，∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∴∠CHF＝2∠EBC．故④正确；⑤∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝CHB，∴△HEC∽△HCB，∴HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，而HC＝HF，∴HF2＝HC•HB，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共8小题）9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝2019 ．【分析】直接把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0中即可得到a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0得a+b﹣2019，所以a+b＝2019．故答案为2019．10．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【分析】根据勾股定理c2＝a2+b2代入方程求解即可．【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c，∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0即（c2﹣3）（c2+4）＝0，∵c2+4≠0，∴c2﹣3＝0，解得c＝或c＝﹣（舍去）．则直角三角形的斜边长为．故答案为：11．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝4（﹣1）cm．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．列出方程即可求解．【解答】解：设AC的长为xcm，根据黄金分割定义可知：＝即AC2＝AB•BC，x2＝8（8﹣x）x2+8x﹣64＝0，解得x1＝4（﹣1），x2＝﹣4（+1）（不符合题意，舍去）．所以AC的长为4（﹣1）cm．故答案为4（﹣1）cm．12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为40 ．【分析】由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．【解答】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：4，∵白球有10个，∴红球有4×10＝40（个）．故答案为：40．13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC＝AD时，②当DA＝DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．14．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 4.6 m．【分析】作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，易得EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，则AG＝0.9，再证明△EAG∽△EHC，利用相似比计算出CH＝3，然后利用CD ＝CH+DH进行计算．【解答】解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），∵AG∥CH，∴△EAG∽△EHC，∴＝，即＝，解得：CH＝3，∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．故答案为：4.6．15．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为1500 cm3．【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，求出所求即可．【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意，得：2x2+20x×2＝30×40﹣950，x2+20x﹣125＝0，解这个方程得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，应舍去），当x＝5时，长方体盒子的体积为：x（30﹣2x）（20﹣x）＝5×（30﹣2×5）×（20﹣5）＝1500（cm2），答：此时长方体盒子的体积1500cm3故答案为：1500．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n O∁n B n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA＝2，OC＝1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n O∁n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．三．解答题（共9小题）17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．【分析】①作∠MAB＝∠α．②在∠MAN的两边截取AD＝AB＝a，③分别以D、B为圆心a为半径画弧，两弧交于点C．菱形ABCD即为所求．【解答】解：如图菱形ABCD即为所求．18．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣3＝0，∴x2+2x＝，∴（x+1）2＝，∴x+1＝，∴x＝﹣1±（2）∵5x2﹣8x＝﹣2，∴a＝5，b＝﹣8，c＝2，∴△＝64﹣4×5×2＝24，∴x＝＝；19．第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出取出的2个球中有1个白球、1个红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中取出的2个球中有1个白球、1个红球的情况有5种，所以P（取出的2个球中有1个白球、1个红球）＝．20．如图梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．【分析】（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED∥BC，于是得到∠EDB＝∠FBM，又因为∠DME＝∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM；（2）由F为BC的中点，得到BC＝2FB，又由（1）得到的四边形BCDE为平行四边形，可得对边BC＝ED，等量代换可得DE＝2FB，由（1）得到的三角形EDM与三角形FMB相似，可得相似比为2：1，即得到DM：MB＝2：1，设出DM＝2k与MB＝k，根据BD的长列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而得到BM的长．【解答】（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，∴DC＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．∴ED∥BC．∴∠EDB＝∠FBM．又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM．（2）解：由F为BC的中点，得到BC＝2FB，又四边形DCBE为平行四边形，得到DE＝BC，则DE＝2FB，即FB：DE＝1：2，∴△FMB与△EMD的相似比为1：2，即DM：MB＝2：1，又BD＝9，设DM＝2k，MB＝k，所以BD＝BM+MD＝k+2k＝9，解得k＝3，则BM＝3．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．【分析】（1）由正方形的性质得到∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到四边形CEGF是平行四边形，根据全等三角形的性质得到CE＝CF，证得四边形CEGF是菱形，求得∠ECF＝∠BCD＝90°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠B＝∠CDF＝90°，在△BCE与△DCF中，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BCE＝∠DCF；（2）解：四边形CEGF是正方形，理由：∵EG∥CF，FG∥CE，∴四边形CEGF是平行四边形，∵△BCE≌△DCF，∴CE＝CF，∴四边形CEGF是菱形，∵∠BCE＝∠DCF，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是正方形．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出50kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润＝每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．【解答】解：（1）当销售单价定为每千克56时，月销售量为：500﹣（56﹣50）×10＝44（千克），所以月销售利润为：（56﹣40）×4407040；（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝80，x2＝60．当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．24．【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求4x2+16x+19的最小值．解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2（2）求﹣m2﹣m+2的最大值解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣+小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x易证△AEF∽△ACB，则，，，…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为720 ．（直接写出答案）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为1458cm2．（直接写出答案）【分析】【探索发现】利用配方法解决问题即可．【拓展应用】利用相似三角形构建二次三项式，再利用配方法解决问题即可．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，转化为图②中模型解决问题即可．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，转化为图②中模型解决问题即可．【解答】解：【探索发现】＝﹣（x﹣3）2+12，∵﹣（x﹣3）2≤0，∴＝﹣（x﹣3）2+12＝﹣（x﹣3）2+12≤12，∴矩形BDEF的面积的最大值为12．【拓展应用】设PN＝b，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∵BC＝a，BC边上的高AD＝h，∴＝，PQ＝，∴S＝b•PQ＝＝﹣b2+bh＝﹣（x﹣）2+≥∴S的最大值为：；则矩形PQMN面积的最大值为；故答案为：．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20、DH＝16，∴AE＝EH、CD＝DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF＝DH＝16，同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24，∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，故答案为720．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵∠B＝∠C＝60°，∴EB＝EC，∵EH⊥BC，∴BH＝HC，∵＝tan60°＝设CH＝BH＝x，Z则EH＝x，∵BC＝BH+CH＝108＝2x，x＝54，∴BH＝CH＝54，EH＝54，∴EBEC＝2BH＝108，∵AB＝70，∴AE＝38，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD＝76，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝×108×54＝1458cm2，故答案为1458cm2．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．【分析】（1）利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．利用平行线的性质构建方程求出QE，QF 即可解决问题．（3）根据S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20，构建方程解决问题即可．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5，由题意BP＝t，DQ＝t，∵PQ∥AD，∴＝，∴＝，∴t＝，∴满足条件的t的值为．（2）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．∵QE∥AD，∴＝，∴＝，∴QE＝（5﹣t），∵QF∥CD，∴＝，∴＝，∴QF＝（5﹣t），∴S＝S△PBQ+S△BCQ＝•PB•QE+•BC•QF＝•t•（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6．（3）由题意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，解得t＝2或﹣1（舍弃），∴满足条件的t的值为2．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，∴＝，解得t＝，∴满足条件的t的值为．。

2019-2020学年度第一学期 九年级数学期中模拟（考试时间：120分钟；满分：120分）题号一二三 四 合计合计人复核人1718 19 20 21 22 23 25 23 24得分真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．2．本试题共有24道题．其中1—8题为选择题，请将所选答案的标号填写在第8题后面给出表格的相应位置上；9—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15—24题请在试卷给出的本题位置上做答．一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只 有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面的表格内． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A.122=++y x x B.011=-+xx C.222+=+x x x D.322132+=-x x 2．将方程0122=-+x x 配方后，变形为（ ）A 、1)1(2=+x B 、1)1(2-=+x C 、2)1(2=+x D 、2)2(2=+x 3．图中几何体的左视图是（ ）.A ．B ．C ．D ．4．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2－4x ＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）.A ．6B ．8C ．6或8D ．8或95．如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为菱形，则四边形ABCD 应具备的条件是（ ） A ．对角线互相平分 B ． 对角线互相垂直C ．对角线相等D ．一组对边平行而另一组对边不平行得 分 阅卷人 复核人 DHGC BEA F第5题图6．某市2011年绿化面积为200公顷，经过园林部门的努力，到2013年底绿化面积增加到320公顷．若设绿化面积年平均增长率为x ，则由题意，所列方程正确的是（ ）. A ．200(1＋x )＝320 B ．200(1＋2x )＝320 C ．200(1＋x )2＝320 D ．320(1－x )2＝200 7．下列四个命题中，是假命题的是（ ）. A ．四条边都相等的四边形是菱形 B ．有三个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形8．已知135＝ab ，则b a ba ＋－的值是（ ）A. 32B. 23C. 49 D. 949请将1—8各小题所选答案的标号填写在下表中相应的位置上：二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将 9—16各小题的答案填写在第16小题后面的表格内．9、已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______. 已知关于x 一元二次方程()221230m x x m m -+++-=有一根为0，则m 的值为若关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0有一个解是2，则2а+1的值是__________．10．在△ABC 中，已知∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为1:2:3，AB 边上的中线长为4cm ，则△ABC 面积等于__________cm 2．11. 已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号）12．某数学兴趣小组测得小强的影长是1.2m ，同一时刻旗杆的影长是15m ．已知小强的身高为1.8m ，则旗杆的高度为_________m ．13．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BD ＝1，则DC ＝ . 14. 如图,在矩形ABCD 中AB=6,BC=8,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.则AE 的长为CCB AD 第13题图第14题图________.15．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，已知∠EAO ＝15°，那么∠BOE 的度数为 °．16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如上右图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为 .请将9—16各小题的答案填写在下表中相应的位置上：三、作图题（本题满分4分）17、作图题（满分6分） 作一个菱形，使它的两条对角线长分别为a 和b 。

2020年山东省青岛市城阳区九年级中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.−6的相反数是()A. −6B. 6C. −16D. 162.下列图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p(Pa)与它的体积V(m3)成反比例．当V=200m3时，p=50Pa.则当p=25Pa时，V的值为()A. 40m3B. 400m3C. 200m3D. 100m34.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,0)，B(−2,0)，C(−3,1).将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为()A. (−1,1)B. (2,3)C. (4,1)D. (0,2)5.对于一组数据−1、4、−1、2下列结论不正确的是()A. 平均数是1B. 众数是−1C. 中位数是0.5D. 方差是3.56.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为()A. 4√5B. 4√3C. 10D. 87.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则一次函数y=ax−2b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图像大致是()A. B.C. D.8.如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为()A. 12√2 B. 1C. 34√2 D. 32√2二、填空题（本大题共6小题，共18.分）9.计算(12)−1−(−3)2的结果是______．10.广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为______．11.某单向隧道的截面是抛物线型，隧道最高点距离地面134m，且抛物线的表达式为y=−18x2+134，若一辆车高3m，宽4m，则该车_______通过隧道．(填“能”或“不能”)12.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠ACB=45°，AB=4，则图中阴影部分的面积为______．13.如图，四边形ABCD是菱形，AC=16，DB=12，DH⊥AB于H，则DH等于______．14.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0,1)，(0,2)，(1,2)，(1,3)，(0,3)，(−1,3)…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共8分）15.已知关于x的一元二次方程x2+(k+2)x+k2=0有实数根，求k的取值范围．4四、解答题（本大题共9小题，共70分）16.已知：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上。