2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

2022－2023学年第一学期期中教学质量检测高二年级 数学试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知 =（1,0,1），(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π2．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A ．2 B．3 CD3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）A ．{},,a b b c c a +++B ．{},,a b b c c a --- C ．{},,a b c a b c +++ D ．{},,3a b c a b c a b c -++--+ 4．与直线y =切于点A，且经过点B 的圆的方程为（ ）A．22(3)(24x y ++= B．22((1)16x y ++= aC ．22(3)(1)16x y ++-=D ．22(23)(2)4x y -+-=5．已知椭圆22:14x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是（ ） A 5 B ．125C ．123D 525 6．如图所示，在棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -中，点P 是1AA 的中点，点M ，N是矩形11BB D D 内（包括边界）的任意两点，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e ，设月球的半径为R ，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r ，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）A ．(1)11e r eR e e ++-- B ．(1)211e r eR e e ++-- C ．(1)11e r eR e e -+++ D ．(1)211e r eR e e -+++ 8．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论错误的是（ ）A ．当04x =时，||PF 的值为6B ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. {x |x <0}∩{x |x 2<9}=（ ）A.{x |x <−3}B.{x |−3<x <0}C.{x |x <3}D.{x |0<x <3}2. →AB −→CB =( )A.ˆ0B.→AC C.→CA D.2→AC3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的6条开河鱼的重量（单位：千克）分别为1.58，1.43，1.63，1.85，1.71，1.67.则这组数据的中位数是________.A.1.63B.1.67C.1.64D.1.654. "x =2" 是" x 2−3x +2=0 ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{x|x <0}∩{x|<9}=x 2{x|x <−3}{x|−3<x <0}{x|x <3}{x|0<x <3}−=(AB −→−CB −→−)0ˆAC−→−CA−→−2AC −→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x =2−3x +2=0x 25. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是（ ）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰好有一个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是红球6. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BB 1、AC 的中点，设→AB =→a ，→AC =→b ，→AA 1=→c ，则→NM 等于（ ）A.→a +12(→c −→b)B.12(→a +→b −→c)C.12(→a +→c)D.12(→a +→b +→c)7. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，f(x +2)也是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=2x −x 2，则f(−1)，f (π2)，f(π)的大小关系是( )A.f (π2)<f(−1)<f(π)B.f (π2)<f(π)<f(−1)C.f(−1)<f(π)<f (π2)D.f(−1)<f (π2)<f(π)8. 以A(1,3)和B(−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是（ ）A.3x −y +8=0B.x −3y +8=0C.3x +y +8=0D.3x +y +4=0二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）2221ABC −A 1B 1C 1M N BB 1AC =AB −→−a →=AC −→−b →=AA 1−→−c →NM−→−+(−)a →12c →b →(+−)12a →b →c →(+)12a →c →(++)12a →b →c →f (x)R f (x +2)x ∈(0,2)f (x)=2x−x 2f (−1)f ()π2f (π)f ()<f (−1)<f (π)π2f ()<f (π)<f (−1)π2f (−1)<f (π)<f ()π2f (−1)<f ()<f (π)π2A(1,3)B(−5,1)AB3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )A.目标恰好被命中一次的概率为12+13B.目标恰好被命中两次的概率为12×13C.目标被命中的概率为12×23+12×13D.目标被命中的概率为1−12×23 10. 若函数f(x)={−x 3−x +2m,x <1,x +1−lnx,x ≥1的值域为[2,+∞)，则( )A.f(3)>f(2)B.m ≥2C.f (m 22)<f (1e )D.log m (m +1)>log m+1(m +2)11. 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点在圆O:x 2+y 2=13上，圆O:x 2+y 2=13与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E(0,a)满足→EO +→EM +→EN =→0（其中O 为坐标原点），则( )A.双曲线C 的一条渐近线方程为3x −2y =0B.双曲线C 的离心率为√132C.|→OE |=1D.△OMN 的面积为612. 已知曲线C 上的点P(x,y)满足方程x |x −1|+y |y −1|=0，则下列结论中正确的是（ ）A.当x ∈[−1,2]时，曲线C 的长度为2√2+√2π2B.当x ∈[−1,2]时，y −1x +2的最大值为1，最小值为−12C.曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为π4−12D.若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是(2,32+√22)卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f (x)={−−x +2m,x <1,x 3x +1−ln x,x ≥1[2,+∞)f (3)>f (2)m ≥2f ()<f ()m 221e(m +1)>(m +2)log m log m+1C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2O :+=13x 2y 2O :+=13x 2y 2C M N E (0,a)++=EO −→−EM −→−EN −→−0→O C 3x −2y =0C 13−−√2||=1OE −→−△OMN 6C P (x,y)x|x −1|+y|y −1|=0x ∈[−1,2]C 2+2–√π2–√2x ∈[−1,2]y −1x +21−12C x y −π412x C A B C x 1x 2x 3++x 1x 2x 3(2,+)322–√213. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为60∘的菱形组成的图形中，→AB ⋅→CD =________．14. 已知直线l 1:ax +y −4=0与l 2:x +(a −2)y +a −1=0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a =________；此时直线l 1 的倾斜角为________．15. 已知x ，y ，z 满足(x −3)2+(y −4)2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是________．16. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知两直线l 1:6x −8y −3=0与l 2:3x −4y +6=0，求l 1与l 2间的距离． 18. 一次考试中，每位考生要在8道试题中随机依次抽出2道题回答，答对其中1题为及格．已知某位考生会答8道题中的5道题．(1)这位考生第一次抽到的题是他会答的题的概率？(2)这位考生及格的概率有多大？ 19. 已知向量 →m =(√3sinx,sinx)⋅→n =(cosx,sinx) ，函数 f(x)=→m ⋅→n −12(x ∈R).(1)求函数f(x) 的最大值和最小正周期；(2)在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足 b 2=ac ，且f(B)=12，求1tanA +1tanC 的值. 20. 如图：在二面角α−l −β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，p ∈β，PA ⊥α，且PA =AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点，（1）求证：MN ⊥AB （2）求异面直线PA 和MN 所成角的大小．（1）求二面角α−l −β的大小 21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒5160∘⋅=AB →CD →:ax +y −4=0l 1:x +(a −2)y +a −1=0l 2P ⊥l 1l 2a =l 1x y z (x −3+(y −4+=2)2)2z ++x 2y 2z 223–√25–√:6x −8y −3=0l 1:3x −4y +6=0l 2l 1l 282185(1)(2)=(sin x,sin x)⋅=(cos x,sin x)m →3–√n →f(x)=⋅−(x ∈R)m →n →12(1)f(x)(2)△ABC A B C a b c =ac b 2f(B)=12+1tan A 1tan Cα−l −βA B ∈αC D ∈l ABCD p ∈βPA ⊥αPA =AD M N AB PC MN ⊥ABPA MNα−l −β预防知识竞答．竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为45，答对每道选答题的概率为25.(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为12，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列． 22. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，AB =1，点M 是PD 的中点．(1)求证： PD ⊥BM ．(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．524525(1)4(2)52012X P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD PA =AD =2AB =1M PD(1)PD ⊥BM(2)CD ACM。

2022-2023学年安徽省合肥市高二上册期中数学质量检测试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线50x +-=的倾斜角为()A.30︒-B.60︒C.120︒D.150︒2.圆22(1)1x y ++=的圆心到直线y =的距离是()A.B.1C.32D. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是()A.B. C. D.4.已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,M N 两点，若的周长为8，则椭圆方程为()A.22143x y += B.22143y x += C.2211615x y += D.2211615y x +=5.已知双曲线22=1259x y -上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是()A.8B.28C.12D.8或286.若点(2,1)a a +在圆22+(1)=5x y -的内部，则a 的取值范围是()A.(1,1)- B.(0,1)C.1(1,5- D.1(,1)5-7.9k >是方程22+=194x y k k --表示双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件8.P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||||12PF PF ⋅=，则12F PF ∠的大小为()A.60︒B.30︒C.120︒D.150︒9.若点(2,3)A --，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是()A. B.C. D.10.已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交11.以下四个命题表述错误的的是()A.圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=的距离都等于22B.曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C.已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则||PA 的最小值为2D.已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点1(1,)212.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线l ：2y x=与椭圆C 相交于M ，N 两点．若点A 到直线l 的距离是1，且，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.以点(2,3)P -为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是__________.14.设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________.15.已知直线过点(2,3)，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为__________.16.在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__________.17.直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________.18.设圆2242110x y x y +-+-=的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__________.19.已知F 为双曲线:C 22x a -22y b1(0,0)a b =>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为__________.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2228x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，使得190F PQ ︒∠=，则1F PQ 的内切圆的半径为__________.三、解答题（本大题共4小题，共50.分。

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.2. 若，，则 A.B.C.D.3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高．甲、乙两位同学分别随机抽取位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为，，，，，，，，，，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为，则这位市民幸福感指数的平均数为( )A.B. C.D.4. 设，则“”是“”的( )A.充分不必要条件A ={x|−5x +4≤0},B ={x|x =2k +1,k ∈Z}x 2A ∩B ={2,4}{1,3}{2,3}{1,2,3,4}=(1,2)a →=(−3,4)b →[2(2−8)−4(4+2)]=(112a →b →a →b →)(5,0)(5,−10)(4,−2)(−4,2)[0,10]101056677778898206.577.58x ∈R x >1>1x 2B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.恰有个红球与恰有个红球B.至少有个黑球与都是黑球C.至少有个黑球与至少有个红球D.至多有个黑球与都是红球6. 已知空间三点坐标分别为点在平面内，则实数的值为( )A.B.C.D.7. 己知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是332121111A (1,1,1),B (0,3,0),C (−2,−1,4),P(−3,x,3)ABC x 1−20−1f(x)(−∞,0]f(2x +1)<f(3)x (−1,2)(−2,1)(−1,1)(−2,2)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=01213()11A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数以下结论正确的是 A.在区间上是增函数B.C.若函数在上有个零点，则D.若方程恰有个实根，则11. 下列四个命题中正确的是( )A.已知向量 ，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间的一组基底；B.在正方体 中，若点在 内，且 ，则的值为；C.圆 上到直线 的距离等于的点有个；D.方程 表示的曲线是一条直线12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II （非选择题）+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−3x,x <0,x 2f(x −3),x ≥0,()f (x)[4,6]f (−2)+f (2020)=4y =f (x)−b (−∞,6)6(i =1,2,3,4,5,6)x i =9∑i=16x i f (x)=kx +13k ∈(−1,−)∪{1}13a →b →c →+a →b →−a →b →c →ABCD −A 1B 1C 1D 1G △BD A 1=x +y +z AG −→−AD −→−AB −→−CC 1−→−x +y +z 1(x −3+(y −3=9)2)23x +4y −11=012(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√P C :−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x3–√3P P C |P |F 1|PF 2|214三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 重要结论为的________；为的________．14. 经过两点 的直线的倾斜角等于________．15. 已知，，满足，那么的最小值是________．16. 已知等边三角形的三个顶点都在以点为球心、为半径的球面上．若三棱锥的高为，则三棱锥的体积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 设直线过点，且与直线平行，若点到直线的距离为，试求的值．18. 年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过元的名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：分组编号年龄分组购物人数（1）从这名购物者中随机抽取人，求该购物者的年龄不低于岁的概率；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人进一步做调查问卷，再从这人中随机抽取人中奖求中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．19. 已知函数的最小正周期为．求以及函数的对称中心；已知，，求的值．20. 如图：在二面角中，、，、，为矩形，，，且，、依次是、的中点，（1）求证：（2）求异面直线和所成角的大小．=(++)⇔G PG −→−13PA −→−PB −→−PC −→−△ABC ++=0⇔P PA −→−PB −→−PC −→−△ABC (2,0)，(1,1)x y z (x −3+(y −4+=2)2)2z 2++x 2y 2z 2ABC O 2O −ABC 1O −ABC l (2,3)x −2y +1=0P(a,2)(a >0)l 5–√5a 20201000200001[20,30)55002[30,40)45003[40,50)3a 4[50,60)30005[60,70]4a20000150[50,70]7722[50,60)[60,70]f (x)=2sin ωx cos ωx +2ωx (ω>0)3–√cos 2π(1)ωf (x)(2)f ()=x 0115∈[,]x 0π6π3cos 2x 0α−l −βA B ∈αC D ∈l ABCD p ∈βPA ⊥αPA =AD M N AB PC MN ⊥ABPA MN α−l −β（1）求二面角的大小 21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列．22. 如图，在边长为的菱形中，对角线与交于点，，把沿折起得到，记点在底面的投影为点，点是的中点.求证：；试分析点能否为的重心？若能，求出此时与平面所成角的正弦值；若不能，说明理由．α−l −β524525(1)4(2)52012X 5ABCD AC BD O AC =8△ABC AC △PAC P ACD G E PD (1)AC ⊥PD (2)G △ACD AE PCD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：易知，又为全体奇数集，所以．故选．2.【答案】B【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的加法、减法、数乘、坐标运算，我们应该先对的表达式进行化简，然后再代入，，求出最后的结果．【解答】解：A ={x|1≤x ≤4}B A ∩B ={1,3}B [2(2−8)−4(4+2)]112a →b →a →b →=(1,2)a →=(−3,4)b →[2(2−8)−4(4+2)]112a →b →a →b →=[(4−16)−(16+8)]112a →b →a →b →=(−12−24)112a →b →=−−2a →b→=−(1,2)−2(−3,4)=(5,−10)故选3.【答案】C【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】利用平均数的计算公式求解即可.【解答】解：这为市民的幸福指数为：.故选.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由不等式的解集，进行充分、必要性进行判断即可.【解答】解：即或，所以由可以得出，充分性成立，由，不一定得出，必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选.5.【答案】A【考点】互斥事件与对立事件=(5,−10)B 20(5+2×6+4×7+2×8+9+10×8)=7.5120C >1x 2>1x 2x >1x <−1x >1>1x 2>1x 2x >1x >1>1x 2A【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于：事件：“恰有一个红球”与事件：“恰有两个红球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至多有一个黑球”与“都是红球”能同时发生，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确故选．6.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用点在平面内，得到，利用向量的坐标运算和空间向量基本定理求解即可.【解答】解：点在平面内，则，即，所以，解得，故选：.7.【答案】B【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】A AB BC CD D A P （−3，x ，3）ABC =m +n AP −→−AB −→−AC −→−P （−3，x ，3）ABC =m +n AP −→−AB −→−AC −→−（−4，x −1，2）=m （−1,2，−1）+n （−3，−2,3）−4=−m −3n ，x −1=2m −2n ，2=−m +3n m =1，n =1，x =1A根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数在区间上单调递减，满足，∴不等式等价为，即，则，解得.故选.8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；f(x)(−∞,0]f(2x +1)<f(3)f(2x +1)<f(3)f(|2x +1|)<f(3)|2x +1|<3−3<2x +1<3−2<x <1B AB AB AB AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：作出的图象如图所示，，由图知，函数在区间上不单调，故错误；，∵由题意可知，当时，是以为周期的函数，∴，故正确；，若函数在上有个零点，即函数的图象与函数的图象在上有个交点，交点横坐标从左到右依次记作，，，，，，A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD f(x)={−−3x,x <0,x 2f(x −3),x ≥0A f (x)[4,6]AB x ≥−3f(x)3f (−2)+f (2020)=f (−2)+f (674×3−2)=f (−2)+f (−2)=2f (−2)=4BC y =f(x)−b (−∞,6)6y =b f(x)(−∞,6)6x 1x 2x 3x 4x 5x 6则，，，则，故正确；，经过定点，若直线经过点，则，若直线与相切，则，令，解得：或，当时，；当时，(舍去)，由对称性可得，直线与函数在上的图象相切时，，方程恰有个实根，即直线与函数的图象有个交点，此时，故正确.故选.11.【答案】A,B,D【考点】向量的加法及其几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知向量 ，，是空间的一组基底，即向量 ，，不共面，则向量，，也不共面，，，也是空间的一组基底，正确；易知，设，∵，∴，∵，∴，正确；+=−3x 1x 2+=3x 3x 4+=9x 5x 6=9∑i=16x i C D y =kx +1(0,1)y =kx +1(3,0)k =−13y =kx +1y =−−3x(x <0)x 2+(3+k)x +1=0x 2Δ=(3+k −4=0)2k =−1k =−5k =−1x =−1k =−5x =1y =kx +1f(x)(0,3)k =1f(x)=kx +13y =kx +1f(x)3k ∈(−1,−)∪{1}13D BCD a →b →c →a →b →c →+a →b →−a →b →c →+a →b →−a →b →c →A 2=+AO −→−AB −→−AD −→−=m OG −→−OA 1−→−=+OA 1−→−OA −→−AA 1−→−=+=+m =+m(+)AG −→−AO −→−OG −→−AO −→−OA 1−→−AO −→−OA −→−AA 1−→−=(1−m)+m =++m AO −→−AA 1−→−1−m 2AB −→−1−m 2AD −→−CC 1−→−=x +y +z AG −→−AD −→−AB −→−CC 1−→−x +y +z =++m =11−m 21−m2B由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，∴圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；由题意可化为或，∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线，正确.故选.12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正A (3,3)3(3,3)3x +4y −11=0d ==2|3×3+4×3−11|53x +4y −11=013C (+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√=0x −3−−−−−√+−2=0(x −3≥0)x 2y 2+−2=0(x −3≥0)x 2y 2x −3=0(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√D ABD C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】(1)重心(2)重心【考点】向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 27−102–√【考点】空间两点间的距离公式【解析】利用球心与坐标原点的距离减去半径即可求出表达式的最小值．【解答】解：由题意可得，在以为球心，为半径的球面上，表示原点与点的距离的平方，显然当，，共线且在，之间时，最小，此时，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】由题意画出图形，求解三角形可得正三棱锥的底面边长，再由棱锥体积公式求解．【解答】设正三角形的中心为，连接，，，则为的外接圆半径，平面，∵球的半径为＝，又∵球心到平面的距离为，即＝．在中，＝＝，；在中，由正弦定理可得，则＝．∴，四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：直线过点，且与直线平行的斜率为：，所求直线方程为：，即直线方程为：，P(x,y,z)M(3,4,0)2–√++x 2y 2z 2P O P M P O M |OP ||OP |=|OM |−=−=52–√+3242−−−−−−√2–√2–√|OP =27−10|22–√27−102–√33–√4O −ABC ABC G OG OC GC GC △ABC OG ⊥ABC O R 2O ABC 1OG 1Rt △OCG OC R 2GC ==O −O C 2G 2−−−−−−−−−−√3–√△ABC 2GC =ABsin ∠ACBAB 3=⋅OG =⋅AB ⋅AC ⋅(sin ∠ACB)⋅OG =V O−ABC 13S △ABC 131233–√4l (2,3)x −2y +1=012y −3=(x −2)12x −2y +4=0–√|a −2×2+4|–√点到直线的距离为，可得：∵，∴（舍去）．【考点】两条平行直线间的距离【解析】求出平行线方程，代入点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线过点，且与直线平行的斜率为：，所求直线方程为：，即直线方程为：，点到直线的距离为，可得：∵，∴（舍去）．18.【答案】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】P(a,2)(a >0)l 5–√5=|a −2×2+4|+(−212)2−−−−−−−−−√5–√5a >0a =1a =−1l (2,3)x −2y +1=012y −3=(x −2)12x −2y +4=0P(a,2)(a >0)l 5–√5=|a −2×2+4|+(−212)2−−−−−−−−−√5–√5a >0a =1a =−1200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P（1）先求出＝，由此能求出从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率．（2）这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖，利用列举法能求出中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．【解答】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．19.【答案】解：因为，又因为函数的最小正周期为，所以，解得，由，得，因此，函数的对称中心为 ．因为，且，，所以，所以，又因为，所以，所以，因此a 1000200015020000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 722[50,60)[60,70]200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P (1)f (x)=2sin ωx cos ωx +2ωx3–√cos 2=sin 2ωx +cos 2ωx +13–√=2sin(2ωx +)+1π6f (x)π=π2π2ωω=12x +=kπ(k ∈Z)π6x =−+(k ∈Z)π12kπ2f (x)(−+,1)(k ∈Z)π12kπ2(2)f (x)=2sin(2x +)+1π6f ()=x 0115∈[,]x 0π6π32sin(2+)+1=x 0π6115sin(2+)=x 0π635∈[,]x 0π6π3≤2+≤π2x 0π65π6cos(2+)=−=−x 0π61−(2+)sin 2x 0π6−−−−−−−−−−−−−−√45cos(2)=cos[(2+)−]x 0x 0π6π6cos(2+)cos +sin(2+)sinππππ．【考点】正弦函数的对称性二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式正弦函数的周期性两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系两角和与差的余弦公式余弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，又因为函数的最小正周期为，所以，解得，由，得，因此，函数的对称中心为 ．因为，且，，所以，所以，又因为，所以，所以，因此66=cos(2+)cos +sin(2+)sinx 0π6π6x 0π6π6=−×+×453–√23512=3−43–√10(1)f (x)=2sin ωx cos ωx +2ωx3–√cos 2=sin 2ωx +cos 2ωx +13–√=2sin(2ωx +)+1π6f (x)π=π2π2ωω=12x +=kπ(k ∈Z)π6x =−+(k ∈Z)π12kπ2f (x)(−+,1)(k ∈Z)π12kπ2(2)f (x)=2sin(2x +)+1π6f ()=x 0115∈[,]x 0π6π32sin(2+)+1=x 0π6115sin(2+)=x 0π635∈[,]x 0π6π3≤2+≤π2x 0π65π6cos(2+)=−=−x 0π61−(2+)sin 2x 0π6−−−−−−−−−−−−−−√45cos(2)=cos[(2+)−]x 0x 0π6π6cos(2+)cos +sin(2+)sinππππ．20.【答案】（1）证明：设为中点，连接，则，．由面面平行的判定定理得：平面平面．∵平面∴平面∴平面．∴．（2）解：设为中点．连接，则．．∴为平行四边形则异面直线与的夹角为（等腰直角三角形上直角的一半）．（3）解：连接，∵．．∴（三垂线定理）．为二面角的平面角．∴为等腰直角三角形．∴二面角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】（1）设为中点，连接，易由平面平面．，由线面垂直的第二判定定理，结合平面，得到平面．进而．（2）设为中点．连接，，可证得为平行四边形，故异面直线与的夹角为，结合为等腰直角三角形，易求出的大小．（3）连接，结合已知中为矩形，，我们可由三垂线定理得为二面角的平面角，由，且，可判断为等腰直角三角形，进而得到二面角的大小【解答】=cos(2+)cos +sin(2+)sinx 0π6π6x 0π6π6=−×+×453–√23512=3−43–√10E DC NE NE //PD ME //AD MEN //APD AB //CDCD ⊥APD AB ⊥APD AB ⊥MEN AB ⊥MN F DP AG GNFN =DC =AM 12FN //DC //AM FNMA PA MN ∠FAP∠FAP =∠PAD =1245∘DAP PD PA ⊥α∠ADC =90∘∠PDC =90∘∠ADP α−l −β△PAD α−l −β45∘E DC NE MEN //APD AB //CD CD ⊥APD AB ⊥MEN AB ⊥MN F DP AG GN FNMA PA MN ∠FAP △PAD ∠FAP PD ABCD PA ⊥α∠ADP α−l −βPA ⊥αPA =AD △PAD α−l −βDC（1）证明：设为中点，连接，则，．由面面平行的判定定理得：平面平面．∵平面∴平面∴平面．∴．（2）解：设为中点．连接，则．．∴为平行四边形则异面直线与的夹角为（等腰直角三角形上直角的一半）．（3）解：连接，∵．．∴（三垂线定理）．为二面角的平面角．∴为等腰直角三角形．∴二面角为． 21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列E DC NE NE //PD ME //AD MEN //APD AB //CDCD ⊥APD AB ⊥APD AB ⊥MEN AB ⊥MN F DP AG GNFN =DC =AM 12FN //DC //AM FNMA PA MN ∠FAP∠FAP =∠PAD =1245∘DAP PD PA ⊥α∠ADC =90∘∠PDC =90∘∠ADP α−l −β△PAD α−l −β45∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵四边形为菱形，∴，∴，.又，∴平面.∵平面，∴.解：连接，∵平面，∴.又∵，∴，∴，(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)ABCD AC ⊥BD AC ⊥PO AC ⊥DO PO ∩DO =O AC ⊥POD PD ⊂POD AC ⊥PD (2)GA PG ⊥ACD PG ⊥GA ，PG ⊥GC PA =PC ，PG =PG △PGA ≅△PGC GA =GC GAC∴点在线段的垂直平分线上．∵，∴为等腰三角形，∴线段的垂直平分线即为直线，∴点在直线上，即点可以为 的重心.∵，，∴，又点为的重心，∴，.以为原点，以所在直线为轴，过作平行于的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.，，，设平面的法向量为，则得取，得，，∴.设与平面所成角为，则.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵四边形为菱形，∴，∴，.G AC DA =DC △ACD AC OD G OD G △ACD PA =PC =5AO =OC =4PO =OD =3G △ACD OG =OD =113PG ==2P −O O 2G 2−−−−−−−−−−√2–√G GO x G AC y GP z G(0,0,0)，A(1,−4,0)，C(1,4,0)P(0,0,2)2–√D (−2,0,0)，E (−1,0,)2–√=(−2,4,)AE −→−2–√=(−1,−4,2)CP −→−2–√=(−3,−4,0)CD −→−PCD =(x,y,z)m → ⋅=0，m →CP −→−⋅=0，m →CD −→−{−x −4y +2z =0，2–√−3x −4y =0，x =−4y =3z =22–√=(−4,3,2)m →2–√AE PCD θsin θ==⋅AE −→−m →||⋅||AE −→−m →24⋅(−2++()2422–√)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−4++(2)2322–√)2−−−−−−−−−−−−−−−−√==24×22−−√33−−√46–√11(1)ABCD AC ⊥BD AC ⊥PO AC ⊥DO PO ∩DO =O又，∴平面.∵平面，∴.解：连接，∵平面，∴.又∵，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上．∵，∴为等腰三角形，∴线段的垂直平分线即为直线，∴点在直线上，即点可以为 的重心.∵，，∴，又点为的重心，∴，.以为原点，以所在直线为轴，过作平行于的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.，，，设平面的法向量为，则得取，得，，∴.设与平面所成角为，则.PO ∩DO =O AC ⊥POD PD ⊂POD AC ⊥PD (2)GA PG ⊥ACD PG ⊥GA ，PG ⊥GC PA =PC ，PG =PG △PGA ≅△PGC GA =GC G AC DA =DC △ACD AC OD G OD G △ACD PA =PC =5AO =OC =4PO =OD =3G △ACD OG =OD =113PG ==2P −O O 2G 2−−−−−−−−−−√2–√G GO x G AC y GP z G(0,0,0)，A(1,−4,0)，C(1,4,0)P(0,0,2)2–√D (−2,0,0)，E (−1,0,)2–√=(−2,4,)AE −→−2–√=(−1,−4,2)CP −→−2–√=(−3,−4,0)CD −→−PCD =(x,y,z)m → ⋅=0，m →CP −→−⋅=0，m →CD −→−{−x −4y +2z =0，2–√−3x −4y =0，x =−4y =3z =22–√=(−4,3,2)m →2–√AE PCD θsin θ==⋅AE −→−m →||⋅||AE −→−m →24⋅(−2++()2422–√)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−4++(2)2322–√)2−−−−−−−−−−−−−−−−√==24×22−−√33−−√46–√11。

天津市河东区2022高二数学上学期期中质量检测试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是 ( )．A. ,,成等比数列B. ,,成等比数列C. ,,成等比数列D. ,,成等比数列2.在等差数列{a n}中，a2+a3+a4+a5=34，a2•a5=52，且a4＞a2，则a5=（）A. 11B. 12C. 13D. 143.若a＞b＞c，则以下不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值5.已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是表示椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.设的首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则A. 2B.C.D.7.椭圆9x2+y2=36的短轴长为（）A. 2B. 4C. 6D. 128.方程=10化简结果是（）A. B. C. D.9.下列命题中为真命题的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,二、填空题（本大题共6小题）10.在数列2，8，20，38，62，…中，第6项是______．11.不等式8x2-6x+1＜0的解集为______．12.3+33+35+…+32n+1=______．13.在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，若三角形PF1F2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是______．14.若命题“∃x0∈R，”是假命题，则实数a的取值范围是______．15.已知a＞0，若关于x的不等式（x-1）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知椭圆对称轴为坐标轴，离心率e=且经过点（4，2），求该椭圆的标准方程．17.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．18.已知不等式ax2-5x-6＞0的解集为{x|x＜-1或x＞b}（b＞-1）．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc≤0（c∈R）．19.若数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n=2n+m（1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n20.已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且=-5．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l交椭圆于C，D，且CD为底边的等腰三解形的顶点为P（-3，2），求•的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A选项说法错误，B选项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B选项说法错误，C选项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C选项说法错误，D选项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D选项说法正确，故选：D．利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．2.【答案】C【解析】解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a5=a3+a4=×34=17，a2•a5=52，且a4＞a2，∴a2，a5是方程x2-17x+52=0，且a2＜a5．解得a2=4，a5=13．故选：C．由等差数列{a n}的性质可得：a2+a5=a3+a4=17，a2•a5=52，且a4＞a2，可得a2，a5是方程x2-17x+52=0，且a2＜a5．即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：由a＞b＞c，ab＞bc，a2＞b2，ab2＞cb2不一定成立，根据函数f（x）=x3在R上单调递增，可得a3＞c3．可得不等式一定成立的是C．故选：C．利用不等式的基本性质即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥16-2=16-2，有最小值，故选：A．根据基本不等式的性质判断即可．本题考察了基本不等式的性质，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：当a＞0＞b时，不一定表示椭圆，可能是圆．当表示椭圆时，a＞0＞b成立，故“a＞0＞b”是表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B．估计椭圆定义和充分条件必要条件定义进行判断本题考查椭圆定义，考查充分条件必要条件的判断推理方法6.【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．【解答】解：∵{a n}是首项为a1，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1-1，S4=4a1-6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．7.【答案】B【解析】解：椭圆9x2+y2=36的标准方程是+=1，它是焦点在y轴上的椭圆，且a=6，b=2；∴它的短轴长为2b=4．故选：B．把椭圆的方程化为标准方程，求出它的短轴长即可．本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题目．8.【答案】B【解析】解：方程=10表示动点M（x，y）到两个定点（±2，0）的距离之和为定值10=2a，且10＞2+2，由题意的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2=a2-c2=52-22=21．可得椭圆的方程为：．故选：B．利用椭圆的定义即可得出．本题考查了椭圆的定义，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，全称特称量词命题判断即可．是基础题．利用命题的真假对每个选项判断，全称特称量词命题定义判断即可．【解答】解：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，常见的存在量词还有：“有些”，“有一个”，“对某个”，“有”表示存在量词，用符号的“彐”表示，特称命题的定义．A、∃x0∈R，x02+2x0+2＜0，△=4-8=-4＜0，错误．B、∃x0∈R，x02+x0=-1，x02+x0+1=0，△=1-4=-3＜0，错误．C、∀x∈R，x2-x+＞0，x=时x2-x+=0，错误．D、∀x∈R，-x2-1＜0，x2+1＞0，正确．故选：D．10.【答案】92【解析】解：根据题意，数列2，8，20，38，62，…中，a2-a1=8-2=6，a3-a2=20-8=12，a4-a3=38-20=18，a5-a4=62-38=24，据此类推，a6-a5=30，则a6=30+62=92，故答案为：92．根据题意，求出a2-a1、a3-a2……的值，分析其变化的规律，据此分析可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题．11.【答案】{x|＜x＜}【解析】解：不等式8x2-6x+1＜0可化为（2x-1）（4x-1）＜0，解得＜x＜，所以不等式的解集为{x|＜x＜}．故答案为：{x|＜x＜}．不等式化为（2x-1）（4x-1）＜0，求出解集即可．本题考查了求一元二次不等式的解集问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：由等比数列的求和公式可得，3+33+35+…+32n+1==．故答案为：．结合等比数列的求和公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．13.【答案】-1【解析】解：设F2（c，0），把x=c代入椭圆方程可得y=±，∵PF2⊥F1F2，∴PF2=，∵三角形PF1F2为等腰直角三角形，PF2⊥F1F2，∴=2c，即a2-c2-2ac=0，∴e2+2e-1=0，解得：e=-1或e=-1-（舍）．故答案为：-1．计算PF2，根据PF2=F1F2列方程得出a，b，c的关系，从而得出椭圆的离心率．本题考查了椭圆的简单性质，离心率的计算，属于中档题．14.【答案】[]【解析】解：命题“∃x0∈R，”的否定为“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”，∵命题“∃x0∈R，”是假命题，∴“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”为真命题，则△=4a2-12≤0，解得-．∴实数a的取值范围是：[]．故答案为：[]．写出原命题的否定，再由判别式法列式求解．本题考查命题的否定与真假判断，考查数学转化思想方法，是基础题．15.【答案】（，）【解析】解：由题意，不等式可转化为（a2-1）x2+2x-1＜0．①当a2-1=0，即a=1时，不等式解集为{x|x＜}，很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意；②当a2-1＜0，即0＜a＜1时，此时△=4+4（a2-1）=4a2．∵0＜a＜1，∴△＞0，不等式可转化为[（a+1）x-1]•[（a-1）x+1]＜0，此时解集为{x|x＜，或x＞-}，很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意；③当a2-1＞0，即a＞1时，此时△=4+4（a2-1）=4a2．∵a＞1，∴△＞0，不等式可转化为[（a+1）x-1]•[（a-1）x+1]＜0，此时解集为{x|-＜x＜}．由∵当a＞1时，0＜＜，-＜0．要满足整数解恰有3个，只有-3＜-＜-2，解得＜a＜．综上所述，可得实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．本题可将不等式化为同解不等式，然后根据a=1，0＜a＜1，a＞1三种情况来分类讨论，再根据题意分别讨论找到a的取值范围．本题主要考查含参一元二次不等式的求解能力，分类讨论思想的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．16.【答案】解：由e==可得b=a，因此设椭圆方程为（1）+=1或（2）+=1，将点（4，2）的坐标代入可得（1）b2=16，（2）b2=19，∴所求方程是：+=1或+=1．【解析】由椭圆的离心率e==可得b=a，从而可设出椭圆的两种形式的标准方程，再将点（4，2）的坐标代入可得求得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查待定系数法，准确设出椭圆的两种标准方程是关键，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=-7，S3=-15，∴a1=-7，3a1+3d=-15，解得a1=-7，d=2，∴a n=-7+2（n-1）=2n-9；（2）∵a1=-7，d=2，a n=2n-9，∴S n===n2-8n=（n-4）2-16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为-16．【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于基础题．（1）根据a1=-7，S3=-15，可得a1=-7，3a1+3d=-15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1=-7，d=2，a n=2n-9，得S n===n2-8n=（n-4）2-16，由此可求出S n以及S n的最小值．18.【答案】解：（1）由题意可知：不等式ax2-5x-6＞0的解集为{x|x＜-1或x＞b}．则方程ax2-5x-6=0的两个根为-1和b，则有，解可得a=1，b=6；（2）不等式ax2-（ac+b）x+bc≤0，即x2-（c+6）x+6c≤0，所以（x-6）（x-c）≤0，当c＜6时，不等式的解集为[c，6]，当c=6时，不等式的解集为{6}，当c＞6，不等式的解集为[6，c]．【解析】（1）由题意可得ax2-5x-6=0的两个根为-1和b，由韦达定理，可得a，b的值；（2）可得x2-（c+6）x+6c≤0，即（x-6）（x-c）≤0，讨论c与6的大小，结合二次不等式的解法，可得所求解集．本题考查二次不等式的解法，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．19.【答案】解：（1）S n=n2+n，可得a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n，上式对n=1也成立，则a n=2n，n∈N*；等比数列{b n}的前n项和T n，且T n=2n+m，可得b1=T1=2+m，n≥2时，b n=T n-T n-1=2n+m-2n-1-m=2n-1，由等比数列{b n}，可得2+m=1，即m=-1，则b n=2n-1，n∈N*；（2）设c n=a n•b n=n•2n，前n项和Q n=1•2+2•4+3•8+…+n•2n，2Q n=1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，两式相减可得-Q n=2+4+8+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1，化简可得Q n=2+（n-1）•2n+1．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，化简可得a n，在意等比数列的定义和通项公式可得b n；（2）求得c n=a n•b n=n•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵右焦点为F（2，0），∴c=2，∵A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且=-5．设B（x0，y0）∴（2，-b）=-5（2-x0，-y0），∴x0=，y0=．代入椭圆方程=1（a＞b＞0），得a2=12，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l方程y=x+m，，得4x2+6mx+3m2-12=0∴x1+x2=-，x1x2=y1+y2=（x1+x2）+2m=y1y2=（x1+m）（x2+m）=又∵CD为底边的等腰三解形的顶点为P（-3，2），∴设CD中点为M，则M（，），即（-，）．∴k MP•k CD=-1，∴，得m=2，=（x1+3，y1-2）（x2+3，y2-2）=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2-2（y1+y2）+4=0．【解析】（Ⅰ）因为右焦点为F（2，0），所以c=2，设B（x0，y0），用坐标表示=-5．得∴x0=，y0=，代入椭圆方程，即可求出a，b，进而得出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l方程，联立椭圆方程，由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=，y1+y2=（x1+x2）+2m=，y1y2=（x1+m）（x2+m）=，又因为CD为底边的等腰三解形的顶点为P（-3，2），CD中点为M，k MP•k CD=-1，得m=2，最后算出．本题考查椭圆方程，直线和椭圆相交，向量，等腰三角形，是中档题．。

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的倾斜角满足： ，且过点 ，则的方程为( )A.B.C.D.2. 已知椭圆 的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作 轴垂线，该垂线与直线交点为，若 ，且 的面积为 ，则的标准方程为( )A.B.C.D.3. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为( )A.B.C.D.l αtan α=2l (1,0)l y =2x −1y =2x −2x +2y −2=0x −2y −2=0C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F B A F x AB M =3AM −→−BM −→−△AFM 93–√2C +=1x 28y 26+=1x 24y 23+=1x 22y 2+=1x 24y 22P +=4(x −3)2(y +1)2Q 3x −4y +12=0|PQ|12344. 圆与圆的公共弦长为（ ）A.B.C.D.5. 规定：若双曲线与双曲线 的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线 与双曲线 为”等渐双曲线”，且双曲线 的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.6. 已知圆＝，直线＝，点在直线上．若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 设椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )A. +=8x 2y 2++4x −16=0x 2y 28421C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260O :+x 2y 22l :x +2y −40P(,)x 0y 0l C Q ∠OPQ 45∘O x 0[0,1][0,]85[−,1]12[−,]1285+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−c ，0)，(c ，0)，F 1F 2N(c ，)a 2M |M |+|MN|<||F 132F 1F 2e (0，)2–√2，1)–√B. C. D.8. 在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法正确的是 A.“”是“点到直线的距离为”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围为）C.直线与直线平行，且与圆相切D.离心率为的双曲线的渐近线方程为10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论中成立的有( )A.抛物线的准线方程为B.线段长度的最小值为C.D.11. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为(，1)2–√2(，)2–√256(，1)562ABCD −A 1B 1C 1D 1E F C 1D 1B 1C 1P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P 12–√222–√()c =5(2,1)3x +4y +c =03x sin α−y +1=0[0,]∪[,ππ43π4y =−2x +52x +y +1=0+=5x 2y 23–√y =±x2–√C :=2px (p >0)y 2F 2F P,Q O C y =−1PQ 4≥2S △OPQ ⋅=−3OP −→−OQ −→−P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=222ax +by =2C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是12. 如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则（ ）A.B.C.向量与向量的夹角是D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知直线：过抛物线：的焦点，交抛物线于、两点，若，则直线的斜率为________．14. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）中，所有棱长都为，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．15. 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线＝所得弦的长为，则圆的方程为________．16. 直三棱柱中，若，则点到平面的距离为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6)ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC C A 1⋅(−)=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−(++=6B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2CD−→−2B A 1−→−AD 1−→−60∘EF DD 145∘l x =my +1C =2px y 2F C A B =2AF −→−FB −→−l P −ABCD 2M PA N PC BN MD x 5–√y x +2y 02ABC −A 1B 1C 1∠BAC =，AB =AC =，A =290∘2–√A 1A B A 1C 117. 求过直线与的交点，且与直线平行的直线方程． 18. 如图，四面体中，、分别、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；（3）求点到平面的距离．19. 已知：圆与轴交于，两点（为坐标原点），圆经过，两点，且与直线相切．求圆的方程；若点，点为圆上异于点，的动点，直线与圆交于另一点（不同于点），证明： . 20. 已知直三棱柱的底面为正三角形，，分别是，上的点，且满足，．（1）求证：平面平面；（2）设直三棱柱的棱长均相等，求二面角的余弦值．21. 已知动点与点的距离比它到直线的距离小．求动点的轨迹的方程；设为直线上任一点，过点作曲线的切线，，切点分别为，，直线，与轴分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求证：与的乘积为定值．22. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2x −y +1=0x −y +5=02x +y −5=0ABCD O E BD BC AB =AD =2CA =CB =CD =BD =22–√AO ⊥BCD AD BC D ABC :+=5C 1(x +1)2(y −2)2y O A O C 2O A OC 1(1)C 2(2)P (3,4)M C 1A O MO C 2N O PM =PN ABC −A 1B 1C 1E F A 1C 1B 1C 1E =E A 1C 1F =3F B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1ABC −A 1B 1C 1−AE −B C 1P F (1,0)l :x +2=01(1)P C (2)P x =−1P C PA PB A B PA PB y M N M N m n m n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线的方程为，，即，将点 代入得，.故选.2.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，且，则，所以，；l (y −)=k(x −)y0x 0tan α=2k =2(1,0)y =2(x −1)=2x −2B =3AM −→−BM −→−OB//FM==aa +cb ||FM −→−23||=b FM −→−32a =2c =−222又因为，所以，则.根据的面积为，从而求得，则，，所以椭圆的标准方程为：.故选.3.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出圆心到直线的距离，利用的最小值为进行求解.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离为，∴的最小值为.故选.4.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析=−b 2a 2c 2b =c 3–√||=c FM −→−33–√2△AFM 93–√2c =2–√a =22–√b =6–√C +=1x 28y 26A (3,−1)3x −4y +12=0d |PQ|d −r =5−2=3+=4(x −3)2(y +1)2(3,−1)r =2(3,−1)3x −4y +12=0d ==5|3×3−4×(−1)+12|+3242−−−−−−√|PQ|d −r =5−2=3C【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知， ，由分析知，点坐标为 或 ，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线 的标准方程是 .故选6.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据条件若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），等价即可，求出不等式的解集即可得到的范围【解答】=,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.C Q ∠OPQ 45∘O PO ≤2x 0O Q ∠OPQ PQ圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值．如果变长，那么可以获得的最大值将变小．可以得知，当＝，且与圆相切时，＝，而当时，在圆上任意移动，恒成立．因此满足，就能保证一定存在点，使得＝，否则，这样的点是不存在的；∵点在直线＝上，∴＝，即∵＝＝，∴，解得，，∴的取值范围是7.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在椭圆的外部，则，解得，∴，即，由椭圆性质可得：.在中，，∵恒成立，∴.解得即.所以椭圆离心的取值范围是.故选.8.【答案】B O P Q ∠OPQ PQ OP ∠OPQ ∠OPQ 45∘PQ PO 2PO >2Q ∠OPQ <45∘PO ≤2Q ∠OPQ 45∘Q P(,)x 0y 0x +2y −40+2−4x 0y 00=y 04−x 02|OP |2+x 20y 20+(=−2+4≤4x 204−x 02)254x 20x 0−2≤054x 20x 00≤≤x 085x 0[0,]85N(c ，)a 2>a 2b 2a >2a 2b 2>c a 2–√2e >2–√2|M |+|MN|=2a −|M |+|MN|F 1F 2△MNF 2|MN|−|M |≤N =F 2F 2a 2|M |+|MN|<||F 132F 1F 22a +<⋅2c a 232>，c a 56e >56(，1)56D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：如图所示，分别取棱，的中点，，连接，，∵，，，为所在棱的中点，∴，．∴，又平面，平面，∴平面，连接，由，，，，可得，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面．又，∴平面平面．又是上底面内一点，且平面，∴点在线段上，又，∴点的轨迹长为 .故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】A 1B 1A 1D 1M N MN B 1D 1M N E F MN//B 1D 1EF//B 1D 1MN//EF MN ⊂BDEF EF ⊂BDEF MN//BDEF NF NF//A 1B 1NF =A 1B 1//AB A 1B 1=AB A 1B 1NF//AB NF =AB ANFB AN//FB AN ⊂BDEF FB ⊂BDEF AN//BDEF AN ∩NM =N AMN//BDEF P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P MN MN =12B 1D 1P 2–√B双曲线的渐近线命题的真假判断与应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：，由题意可得，解得或，故“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故错误；，直线方程可化为，因为，所以该直线倾斜角的取值范围为，故正确；，易知，直线与直线平行，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故正确；，由题意得，且，则，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，故错误.故选.10.【答案】B,C,D【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题【解析】无【解答】解：焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点为，准线方程为，则选项错误；当垂直于轴时长度最小，此时，，所以，则选项正确；A d ==3|3×2+4×1+c|+3242−−−−−−√c =5c =−25c =5(2,1)3x +4y +c =03A B y =sin αx +1−1≤sin α≤1[0,]∪[,π)π43π4B C y =−2x +52x +y +1=0y =−2x +5d ===r |5|+1222−−−−−−√5–√y =−2x +5+=5x 2y 2C D e ==3–√c a +=a 2b 2c 2b =a 2–√x y =±x 2–√y y =±x 2–√2D BC F p =2C (1,0)x =−1A PQ x P (1,2)Q (1,−2)|PQ|=4B P(，)Q(,)PQ设，，直线的方程为，联立消去，可得，消去，可得，所以，，，所以，当时成立，则选项正确；又，，所以，则选项正确.故选．11.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，P(，)x 1y 1Q(,)x 2y 2PQ x =my +1{x =my +1，=2px ，y 2y −(4+2)x +1=0x 2m 2x −4my −4=0y 2+=4+2x 1x 2m 2+=4m y 1y 2=−4y 1y 2=|OF||−|S △OPQ 12y 1y 2=×1×12−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=×≥21216+16m 2−−−−−−−−√m =0C =1x 1x 2=−4y 1y 2⋅=+=−3OP −→−OQ −→−x 1x 2y 1y 2D BCD A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】向量加减混合运算及其几何意义棱柱的结构特征空间向量运算的坐标表示用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b 2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z 2ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z，设正方体棱长为，则，，，，，，，所以，，因此，故正确；，又，，所以，，因此，故正确；，因为，，所以，因此向量与向量的夹角是，故错误；，因为，分别是，的中点，所以，，则，又，所以，又异面直线的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】A 2A (0,0,0)(0,0,2)A 1B (2,0,0)(2,0,2)B 1C (2,2,0)D (0,2,0)(0,2,2)D 1=(2,2,−2)C A 1−→−−==(2,0,2)A 1B 1−→−−A A 1−→−AB 1−→−⋅(−)=⋅=4−4=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−C A 1−→−AB 1−→−A B ++=+B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−A B 1−→−C B 1−→−=(−2,0,−2)+(0,2,−2)=(−2,2,−4)=(−2,0,0)CD −→−(++B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2=4+4+16=246=24CD −→−2=6(++)B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−2CD −→−2B C =(2,0,−2)B A 1−→−=(0,2,2)AD −→−1cos , =B A 1−→−AD 1−→−⋅B A 1−→−AD 1−→−|||B A 1−→−A |D 1−→−−==−−4×4+4−−−−√4+4−−−−√12B A 1−→−AD 1−→−120∘C D E F BC C A 1E (2,1,0)F (1,1,1)=(−1,0,1)EF −→−=(0,0,2)DD 1−→−−cos , =EF −→−DD 1−→−−⋅EF −→−DD 1−→−−||||EF −→−DD 1−→−−==2×21+1−−−−√2–√20∘90∘EF DD 145∘D ABD抛物线的标准方程【解析】【解答】14.【答案】【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】＝【考点】圆的标准方程【解析】根据题意，设圆的圆心的坐标为，则圆的方程为＝，，由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线＝的距离，由此可得＝，解可得的值，将的值代入圆的方程可得答案．【解答】根据题意，设圆的圆心坐标为，则其标准方程为＝，，则圆心到直线＝的距离，又由该圆截直线＝所得弦的长为，则有＝，解可得＝，又由，则＝，故要求圆的方程为＝，16.(x −2+5–√)2y 25(a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 01+(a 5–√5)25a a (a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 0d ==a |a +2×0|1+22−−−−−√5–√5x +2y 021+(a 5–√5)25a ±25–√a >0a 25–√(x −2+5–√)2y 25点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的点斜式方程两条直线的交点坐标【解析】解方程组求得交点坐标，设与直线平行的直线一般式方程为，把交点代入可得的值，从而求得所求的直线方程．【解答】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．18.{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0x +2y −3=0x +2y +λ=0λ{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．20.【答案】(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN B C G GA证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）取的中点，连结，推导出，，从而，由三棱柱是直棱柱，得到，从而平面，由此能证明平面平面．（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE {⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19B 1C 1G G A 1EF //G A 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥EF B 1EF ⊥B C B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z −AE −B C 1B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE ˙由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．21.【答案】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程轨迹方程【解析】【解答】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，{⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1=4x 2故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.22.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2−24，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)。