2020年高考数学第一轮复习课时作业(十四) 第14讲 第4课时 导数与方程

课时作业(十四)第4课时导数与方程时间/ 45分钟分值/ 72分基础热身1.(12分)[2017·河北沧州一中月考]已知函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)证明:方程f(x)=g(x)在区间(1,2)内有且只有一个实根.2.(12分)[2017·唐山摸底]已知函数f(x)=ln x+.(1)求f(x)的最小值;(2)若方程f(x)=a有两个根x1,x2(x1<x2),证明:x1+x2>2.能力提升3.(12分)[2017·四川资阳一诊]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=(x+2)e-x-2(其中e是自然对数的底数,e=2.718 28…).(1) 当x>0时,求f(x)的解析式;(2) 若x∈[0,2]时,方程f(x)=m有实数根,求实数m的取值范围.4.(12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.5.(12分)[2017·南昌摸底]已知函数f(x)=ln x-ax.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2),求证:<a<.难点突破6.(12分)已知函数f(x)=x ln x.(1)试求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2)若x>1,试判断方程f(x)-(x-1)(ax-a+1)=0的解的个数.第4课时导数与方程1.解:(1)f'(x)=ln x++1,由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,即f'(1)=2, 所以a+1=2,得a=1.(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,x∈(1,2),则h(1)=-<0,h(2)=3ln 2->0,所以h(1)h(2)<0,所以函数h(x)在区间(1,2)内一定有零点.因为h'(x)=ln x+-=ln x++1->1->0,所以h(x)在区间(1,2)内单调递增,所以函数h(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点,即方程f(x)=g(x)在区间(1,2)内有且只有一个实根.2.解:(1)f'(x)=-=(x>0),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以x=1是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,所以函数f(x)的最小值为f(1)=1.(2)证明:若方程f(x)=a有两个根x1,x2(x1<x2),则ln x1+=ln x2+,即=ln>0,要证x1+x2>2,只需证(x1+x2)>2ln,即证->2ln.设t=(t>1),则->2ln等价于t->2ln t.令g(t)=t--2ln t,则g'(t)=1+-=>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,则g(t)>g(1)=0,即t--2ln t>0,即t->2ln t,故x1+x2>2.3.解:(1)当x≤0时,f(x)=(x+2)e-x-2,则当x>0时,-x<0,此时f(-x)=(-x+2)e x-2,由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[(-x+2)e x-2]=(x-2)e x+2,故当x>0时,f(x)=(x-2)e x+2.(2) 当x=0时,f(0)=0.当0<x≤2时,f(x)=(x-2)e x+2,f'(x)=(x-1)e x.令f'(x)=0,得x=1.则当0<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)>0.则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.则f(x)在x=1处取得极小值为f(1)=2-e,又f(0)=0,f(2)=2,故当0≤x≤2时,f(x)∈[2-e,2].所以实数m的取值范围是[2-e,2].4.解:(1)f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得0=-2a+2,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知1-k>0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,且g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(0,2)时,h'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.则h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.综上所述,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.5.解:(1)当a=1时f(x)=ln x-x,所以f'(x)=(x>0),令f'(x)>0得0<x<1,令f'(x)<0得x>1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2),等价于直线y=ax与函数y=ln x的图像有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),依题意,a==.要证<a<,只需证<<.因为x2-x1>0,所以只需证<ln<.令t=(t>1),即证1-<ln t<t-1(t>1).设h(t)=ln t+-1(t>1),则h'(t)=-=>0,所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,即ln t>1-.同理可证ln t<t-1.综上可知1-<ln t<t-1(t>1),即<a<.6.解:(1)因为f'(x)=ln x+x·=1+ln x,所以f'(e)=2.又f(e)=e,所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.(2)方程f(x)-(x-1)(ax-a+1)=0(x>1)的解即为方程ln x-=0(x>1)的解.设h(x)=ln x-,x>1.则h'(x)=-=-,x>1.①当a=0时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)上为增函数,所以h(x)>h(1)=0,方程无解.②当a≠0时,令h'(x)=0得x1=1,x2=.(i)若a<0,则x2=<-1,因为x>1,所以h'(x)>0,则h(x)在(1,+∞)上为增函数,所以h(x)>h(1)=0,方程无解.(ii)若0<a<,则>1.当x∈时,h'(x)>0,h(x)为增函数;当x∈时,h'(x)<0,h(x)为减函数.当x→+∞时,h(x)=ln x-ax++2a-1<0,h(1)=0,所以方程有一个解.(iii)若a≥,则≤1.因为x>1,所以h'(x)<0,则h(x)在(1,+∞)上为减函数,而h(x)<h(1)=0,方程无解.综上所述,当a∈(-∞,0]∪时,原方程无解;当a∈时,原方程有一个解.。

课时作业14 导数与函数单调性一、选择题1．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析：y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈(3π2，5π2)时，恒有x cos x >0.故选C.答案：C2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．答案：C3．∀x 1，x 2∈(0，π2)，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝sin x ′·x －sin x ·x′x2＝x cos x －sin xx2，因为在(0，π2)上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在(0，π2)上单调递减，所以y 1>y 2.答案：B4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值X 围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在x ∈(1，＋∞)上恒成立．又当x ∈(1，＋∞)时，0<1x<1，故k ≥1.故选D.答案：D6．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln xx2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 答案：A 二、填空题7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－49．若函数f (x )＝ex1＋ax 2(a >0)为R 上的单调函数，则a 的取值X 围为________．解析：若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax1＋ax22与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.答案：(0,1] 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k ex.又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 3(3，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3.1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f xx＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．答案：D2．已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则以下判断正确的是( )A ．f (2 013)>e 2 013f (0) B ．f (2 013)<e2 013f (0) C ．f (2 013)＝e2 013f (0)D ．f (2 013)与e2 013f (0)大小无法确定 解析：令函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex.∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在R 上递减，∴g (2 013)<g (0)，∴f 2 013e2 013<f 0e，∴f (2 013)<e 2013f (0)．答案：B3．已知f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，x 1≠x 2，f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝a ＋sin x .依题意可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上为减函数， 所以f ′(x )≤0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立，可得a ≤－sin x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立． 设g (x )＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.易知g (x )为减函数， 故g (x )min ＝－32，所以a ≤－32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 4．(2014·某某卷)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 此时f ′(x )＝2x ＋12.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2x ＋12＝ax 2＋2a ＋2x ＋ax x ＋12. 当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)． ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12x －12x x ＋12≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a.由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋1＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1＋2a ＋1a ，－a ＋1－2a ＋1a 上单调递增．。

课时作业(十四) 第14讲 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例时间：35分钟 分值：80分基础热身1．函数y ＝ln xx的最大值为( )A.1e B ．e C ．e 2D.1032．已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为( ) A ．36 B ．18 C ．25 D ．423．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( ) A ．6时 B ．7时 C ．8时 D ．9时4．设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.4V B ．23V C.34V D.12V能力提升5．已知函数f (x )＝1－xx ＋ln x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值之和是( )A ．0B ．1－ln2C ．ln2－1D ．1＋ln26．2011·哈三中三模 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax(x >0)在－2,2上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫ln22，＋∞B.⎣⎡⎦⎤0，ln22 C ．(－∞，0 D.⎝⎛⎦⎤－∞，ln227．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，此轮船的航行速度为( )A ．20公里小时B ．25公里小时C ．19公里小时D ．18公里小时图K14－18．2011·江苏四市联考 今有一块边长为a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为( )A ．a B.2a 3 C.a 2 D.a69．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x t 与每吨产品的价格p (元t)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x t 的成本为R ＝50 000＋200x (元)．则该厂每月生产________ t 产品才能使利润达到最大．(利润＝收入─成本)10．2011·潮州模拟 在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大． 11．2011·宁化模拟 如图K14－2，用半径为R 的圆铁皮，剪一个圆心角为a 的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a 取________时，漏斗的容积最大．12．(13分)已知曲线C 1：y ＝ax 2＋b 和曲线C 2：y ＝2b ln x (a ，b ∈R )均与直线l ：y ＝2x 相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)设直线x ＝t (t >0)与曲线C 1，C 2及直线l 分别相交于点M ，N ，P ，记f (t )＝|MP |－|NP |，求f (t )在区间(0，e(e 为自然对数的底数)上的最大值．难点突破13．(12分)2011·长沙模拟 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x 万美元，可获得的加工费近似地为12ln(2x ＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 万美元(其中m 为该时段美元的贬值指数，m ∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f (x )＝12ln(2x ＋1)－mx (万美元)．(1)若某时期美元贬值指数m ＝1200，为确保企业实际所得加工费随x 的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x 应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为120x 万美元，己知该企业加工生产能力为x ∈10,20(其中x 为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．课时作业(十四)【基础热身】 1．A 解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0，得x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，故y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.2．A 解析 令f (x )＝x 2y ＝x 2⎝⎛⎭⎫3－x3，x ∈0,9，令f ′(x )＝6x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝6，可以验证x ＝6时f (x )有最大值36.3．C 解析 y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8，当6≤t <8时，y ′>0，当8<t <9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．4．C 解析 设底面边长为x ，则高为h ＝4V3x2， ∴S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2， ∴S ′表＝－43Vx2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V .经检验知，当x ＝34V 时S 表取得最小值． 【能力提升】5．B 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝x －1x2.(1)若x ∈⎣⎡⎭⎫12，1，则f ′(x )<0；(2)若x ∈(1,2，则f ′(x )>0，故x ＝1是函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故f (x )min ＝f (1)＝0；又f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2，所以f ⎝⎛⎭⎫12－f (2)＝32－2ln2＝lne 3－ln162，因为e 3>2.73＝19.683>16，所以f ⎝⎛⎭⎫12－f (2)>0，即f ⎝⎛⎭⎫12>f (2)，即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上最大值是f ⎝⎛⎭⎫12.综上知函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值之和是1－ln2.6．D 解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f (x )＝2，故只要在(0,2上e ax ≤2即可，即ax ≤ln2在(0,2上恒成立，即a ≤ln2x 在(0,2上恒成立，故a ≤ln22.7．A 解析 设船速度为x (x >0)时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3，由6＝k ×103可得k ＝3500，∴Q ＝3500x 3，∴总费用y ＝⎝⎛⎭⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x ，y ′＝6500x －96x 2，令y ′＝0得x ＝20，当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里小时的速度行驶每公里的费用总和最小．8．D 解析 折成盒子后底面正三角形的边长为a －2x ⎝⎛⎭⎫0<x <a 2，高为h ＝x ·tan30°＝33x ，设容积为V ，则V ＝Sh ＝12(a －2x )2sin60°·33x ， ＝x 3－ax 2＋a 24x ，V ′＝3x 2－2ax ＋a 24，令V ′＝0得x ＝a6或x ＝a 2(舍去)，当0<x <a 6时，V ′>0；当a 6<x <a2时，V ′<0.∴x ＝a 6时，V 最大＝a 3216－a 336＋a 324＝4a 3216＝a 354.9．200 解析 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝24200－15x 2x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0得x 1＝200，x 2＝－200，舍去负值．f (x )在0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．10.32R 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x ，高为h ，那么h ＝R ＋R 2－x 2，解得x 2＝h (2R －h )，于是内接三角形的面积为S ＝x ·h ＝(2Rh －h 2)·h ＝2Rh 3－h 4，从而S ′＝12(2Rh 3－h 4)－12(2Rh 3－h 4)′＝12(2Rh 3－h 4)－12(6Rh 2－4h 3)＝h 2(3R －2h )(2R －h )h3， 令S ′＝0，解得h ＝32R ，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R )上列表如下：由此表可知，当x ＝2R 时，等腰三角形面积最大．11.263π 解析 解法一：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么由r 2＋h 2＝R 2，Ra ＝2πr ，代入V ＝13πr 2h ，得V ＝13π·⎝⎛⎭⎫Ra 2π2·R 2－⎝⎛⎭⎫Ra 2π2＝R312π·a 4－a 64π2，再令T (a )＝a 4－a 64π2，求它的导数得T ′(a )＝4a 3－3a52π2，令T ′(a )＝0.即4a 3－3a 52π2＝0，求得a ＝263π，检验，当0<a <236π时，T ′(a )>0；当263π<a <2π时，T ′(a )<0，所以当a ＝263π时，T (a )取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T (a )取得最大值时，V 也就取得最大值，所以当a ＝263π时，漏斗的容积最大．解法二：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2＋h 2＝R 2，因此V (r )＝13πr 2h ＝13πr 2·R 2－r2＝13πR 2r 4－r 6(0<r <R )．令T (r )＝R 2r 4－r 6，求它的导数T ′(r )＝4R 2r 3－6r 5.再令T ′(r )＝0，即4R 2r 3－6r 5＝0，求得r ＝63R ，可以检验当r ＝63R 时，T (r )取得最大值，也就是当r ＝63R 时，V (r )取得最大值．再把r ＝63R 代入Ra ＝2πr 得a ＝263π.所以当a ＝263π时，漏斗的容积最大． 12．解答 (1)设曲线C 1，C 2与直线l 相切的切点分别是(t 1，at 21＋b )，(t 2,2b ln t 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2at 1＝2，2bt 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1a ，t 2＝b ，所以切线分别是：y －1a－b ＝2⎝⎛⎭⎫x －1a ，y －2b ln b ＝2(x －b )，两切线都过原点，则－1a －b ＝－2a ，－2b ln b ＝－2b ，所以a ＝1e，b ＝e.(2)f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 2e ＋e －2t －(2t －2eln t )＝t2e －4t ＋2eln t ＋e ，f ′(t )＝2e t －4＋2et≥0，所以f (t )在t ∈(0，e 上单调递增， 所以f (t )max ＝f (e)＝0.【难点突破】13．解答 (1)由已知m ＝1200， f (x )＝12ln(2x ＋1)－x200，其中x >0， ∴f ′(x )＝12x ＋1－1200＝199－2x200(2x ＋1).由f ′(x )>0，即199－2x >0，解得0<x <99.5，即加工产品订单金额x ∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x 的增加不断增长．(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x ∈10,20时，都有12ln(2x ＋1)－mx ≥120x ，由12ln(2x ＋1)－mx ≥120x ，得120＋m ≤ln(2x ＋1)2x. 令g (x )＝ln(2x ＋1)2x ，x ∈10,20，则g ′(x )＝22x ＋1·x －ln(2x ＋1)2x2＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)2x 2(2x ＋1). 令h (x )＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)，则h ′(x )＝2－⎣⎡⎦⎤2ln(2x ＋1)＋(2x ＋1)22x ＋1＝－2ln(2x ＋1)<0，可知h (x )在10,20上单调递减． 从而h (20)≤h (x )≤h (10)，又h (10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0. 故可知g (x )在10,20上单调递减，因此g (x )min ＝ln4140，即m ≤ln4140－120.故当美元的贬值指数m ∈⎝⎛⎦⎤0，ln41－240时，该企业加工生产不会亏损．。

第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2、几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3、物理意义函数()s s t =在点0t 处的导数0()s t '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即0()v s t '=；()v v t =在点0t 的导数0()v t '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即0()a v t '=．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c =（c 为常数）()0f x '=()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠，()ln x f x a a'=()log (01)a f x x a a =>≠，1()ln f x x a'=()xf x e =()xf x e '=()ln f x x =1()f x x'=()sin f x x =()cos f x x '=()cos f x x=()sin f x x'=-2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=．3、复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2、过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．必考题型全归纳题型一：导数的定义【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，函数()y f x =的导数为()y f x '=，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(2)(3)(2)(3)f f f f <-'<'D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】由()f x 图象可知()()()()''323221f f f f -<<-，即()()()()''3322f f f f <-<.故选：D【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm ，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为3213h t t =+，当t t =0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s ，则当01t t =+时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A ．5cm/sB ．6cm/sC ．8cm/sD ．10cm/s【答案】C【解析】由3213h t t =+，求导得：22h t t '=+.当t t =0时，20023h t t '=+=，解得01t =（03t =-舍去）.故当012t t =+=时，液体上升高度的瞬时变化率为22228cm/s +⨯=.故选：C【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()f x 的导函数是()f x '，若()02f x '=，则0001()()2lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()02f x '=所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122lim lim ()11Δ22Δ2x x f x x f x f x x f x f x x x→→'+-+-===故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A ．【对点训练4】（2024·高三课时练习）若()f x 在0x 处可导，则()0f x '可以等于（）．A ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】A【解析】由导数定义()()()0000=lim x f x x f x x xf ∆→+∆-∆'，对于A ，()()()()()()00000000=lim limx x f x f x x f x f x x f x x x x x∆→∆→--∆-=--∆'-∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()()()00000000lim lim2=x x f x x f x x f x x f x x x x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()00001=lim2x f f x x f x x x x∆→+∆--∆∆'，B 不满足；对于C ，()()()()()()()0000000022lim =l =im23x x f x x f x x f x x f x x x x x x xf x ∆→∆→-+∆-∆+∆--∆+'∆--∆∆，()()()000021lim3=x f x x f x f x x x∆→+--∆'∆∆，C 不满足；对于D ，()()()()()()()0000000022lim lim23=x x f x x f x x f x x f x xx x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()0000132=limx f x x f x x x f x∆→+∆--∆'∆，D 不满足.故选：A.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=(4)()f x =【解析】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '=【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)y (3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【解析】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x-=+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x '⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3xxy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e xx x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x ''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列{}n a 中，32a =，函数()()()()12512f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=__________．【答案】16-【解析】因为()()()()()()()1251251122f x x x a x a x a x x a x a x a '⎛⎫''=---+---⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭L L ()()()()()()1251251122x a x a x a x x a x a x a '=-⋅--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L ，所以()125102f a a a '=-L ．因为数列{}n a 为等比数列，所以2152434a a a a a ===，于是()21042162f '=-⨯⨯=-．故答案为：16-【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数()f x ，()g x 定义域均为R ，对任意x 满足()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()11f =，求()112f g ⎛⎫''+= ⎪⎝⎭__________.【答案】3【解析】由题意可知，令1x =，则()211211112f g ⎛⎫+⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，解得()111222f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()()()221122122f x x g x x g x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫'''++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2114122f x xg x x g x ⎛⎫⎛⎫''++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，得()211141111122f g g ⎛⎫⎛⎫''+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1114122f g g ⎛⎫⎛⎫''++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得()111114143222f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3.【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()212f x x f x '=++，则()1f '=______．【答案】1-【解析】因为()()212f x x f x '=++，则()()211f x xf ''=+，故()()1211f f ''=+，故()11f '=-．故答案为：1-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.【答案】-2【解析】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-.故答案为：-2【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P 处切线【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为__________．【答案】650x y --=【解析】函数()321y x =-的导函数为()2621y x '=-，所以函数()321y x =-在1x =处的导数值16x y ='=，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线斜率为6，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为()161y x -=-，即650x y --=，故答案为：650x y --=.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线3()ln(2)2f x x =++在点()()0,0f 处的切线方程为______．【答案】22ln 230x y -++=【解析】因为3()ln(2)2f x x =++，所以1()2f x x '=+，则()102f '=，又3(0)ln 22f =+，所以曲线在点()()0,0f 处的切线方程为31ln 222y x --=，即22ln 230x y -++=．故答案为：22ln 230x y -++=.【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数321()cos 32f x x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，()f x '为()f x 的导函数.若()f x '的图象关于直线x ＝1对称，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为______【答案】73y =-【解析】2ππ()2sin 22f x x bx x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，令2()2g x x bx =+，ππ()sin 22h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()()f x g x h x '=+，令πππ22x k =+，Z k ∈，解得x ＝2k ＋1，Z k ∈，当k ＝0时，x ＝1，所以直线x ＝1为()h x 的一条对称轴，故()g x 的图象也关于直线x ＝1对称，则有212b-=，解得b ＝－1，则321π()cos 32f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ()2sin 22f x x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，7(2)3f =-，()20f '=，故切线方程为73y =-.故答案为；73y =-.【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，则曲线()y f x =在点()(),f λλ处的切线方程为______．【答案】24320x y --=【解析】因为()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，所以()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即()()()3232222220x x x x x λλλλλ-+-++-=-=对x ∀∈R 恒成立，所以2λ=，则()32f x x =，故()26f x x '=，所以()()3222216,26224f f '=⨯==⨯=，所以曲线()y f x =在点()216,处的切线方程为()16242y x -=-，化简得24320x y --=.故答案为：24320x y --=方向2、过点P 的切线【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线ln y x =相切，则该直线的方程是______．【答案】1ey x=【解析】由题意可得()1f x x'=，设该切线方程y kx =，且与ln y x =相切于点()00,x y ，()000000ln 1y kx y x k f x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨'⎪⎪==⎪⎩，整理得0ln 1x =，∴0e x =，可得1e k =，∴1ey x =.故答案为：1ey x =.【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+，过点()2,0P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是___________.【答案】19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由2()3f x x a '=-，设切点为(,)m n ，则切线斜率为2()3f m m a '=-，所以，过()2,0P 的切线方程为2(3)(2)y m a x =--，综上，23(3)(2)1n m a m n m am ⎧=--⎨=-+⎩，即23(3)(2)1m a m m am --=-+，所以322261a m m =-++有三个不同m 值使方程成立，即2y a =与32()261g m m m =-++有三个不同交点，而2()612g m m m '=-+，故(,0)-∞、(2,)+∞上()0g m '<，()g m 递减，(0,2)上()0g m '>，()g m 递增；所以()g m 极小值为(0)1g =，极大值为(2)9g =，故129a <<时两函数有三个交点，综上，a 的取值范围是19,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：19,22⎛⎫⎪⎝⎭【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线，写出一条切线方程：__________.【答案】0y =或32y x =+（写出一条即可）【解析】由3y x =可得23y x '=，设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线的切点为00(,)x y ，则300y x =，则该切线方程为20003()y y x x x -=-，将2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得3200023()3x x x -=--，解得00x =或01x =-，故切点坐标为(0,0)或(1,1)--，故切线方程为0y =或32y x =+，故答案为：0y =或32y x =+【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过x 轴上一点(),0P t 作曲线():3e x C y x =+的切线，若这样的切线不存在，则整数t 的一个可能值为_________．【答案】4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【解析】设切点为()()000,3e x x x +，因为()4e xy x '=+，所以切线方程为()()()000003e 4e x x y x x x x -+=+-．因为切线l 经过点P ，所以()()()000003e 4e x xx x t x -+=+-，由题意关于0x 的方程()2003430x t x t ----=没有实数解，则()2Δ(3)4430t t =-++<，解得73t -<<-．因为t 为整数，所以t 的取值可能是6-，5-，4-.故答案为：4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()2e xy x =+的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】1-1-【解析】由()2e xy x =+可得()3e xy x '=+，设切点坐标为()00,x y ，所以切线斜率00(3)e xk x =+，又因为()0002e x y x =+，则切线方程为()()()000002e 3e x xy x x x x -+=+-，把()0,0代入并整理可得200220x x +-=，解得01x =-或01x =-故答案为：1-+1-【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点()()1,P a a ∈R 有n 条直线与函数()()2e xf x x =-的图象相切，则当n 取最大值时，a 的取值范围为__________.【答案】()3,e --【解析】设过点()1,P a 的直线l 与()f x 的图象的切点为()()000,2e xx x -，因为()()1e xf x x '=-，所以切线l 的斜率为()()0001e xf x x '=-，所以切线l 的方程为()()()000002e 1e x xy x x x x --=--，将()1,P a 代入得()()()000002e 1e 1x xa x x x --=--，即()()()()0002000001e 12e 33e x x x a x x x x x =--+-=-+-，设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()()()2233e 23e e x x xg x x x x x x =-+-+-+=-+'，由()0g x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减；当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()()03,()1e g x g g x g ==-==-极小值极大值，又22333324x x x ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭0，所以()0g x <恒成立，所以()g x 的图象大致如图所示，由图可知，方程()02003e 3x a x x =-+-最多3个解，即过点()()1,P a a ∈R 的切线最多有3条，即n 的最大值为3，此时3e a -<<-.故答案为：()3,e --.【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()321113f x x f x '=++，其导函数为()f x '，则曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为______．【答案】1y =或38y x =-【解析】设切点为()00,M x y ，由()()321113f x x f x '=++，得()()221f x x f x ''=+，∴()()1121f f ''=+，得()11f '=-，∴()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，∴切点M 为320001,13x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()20002f x x x '=-，∴曲线()f x 在点M 处的切线方程为()()322000001123y x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭①，又∵该切线过点()3,1P ，∴()()3220000111233x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，解得00x=或03x =．将00x =代入①得切线方程为1y =；将03x =代入①得切线方程为()133y x -=-，即38y x =-．∴曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为1y =或38y x =-．故答案为：1y =或38y x =-方向3、公切线【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数()4ln 1f x x =+与函数()()2120g x x x a a=->的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由函数()4ln 1f x x =+，可得()4f x x'=，因为0a >，设切点为(),4ln 1t t +，则()4f t t'=，则公切线方程为()44ln 1y t x t t --=-，即44ln 3y x t t =+-，与212y x x a =-联立可得21424ln 30x x t a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，所以()2412434ln 0t t a ⎛⎫∆=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理可得221134ln t a t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，又由00a t >⎧⎨>⎩，可得34ln 0t ->，解得340e t <<，令()22134ln t h t t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，其中340e t <<，可得()()2424ln 1134ln t t t t t h t t +-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭'=-，令()4ln 1t t t ϕ=+-，可得()410t t ϕ'=+>，函数()t ϕ在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10ϕ=，当01t <<时，()0t ϕ<，即()0h t '<，此时函数()h t 单调递减，当341t e <<时，()0t >φ，即()0h t '>，此时函数()h t 单调递增，所以()()min 13h t h ==，且当0t +→时，()h t →+∞，所以函数()h t 的值域为[)3,+∞，所以13a≥且0a >，解得103a <≤，即实数a 的取值范围为1(0,]3.故选：A.【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线1(1)1y k x =+-与曲线e x y =相切，直线21)1(y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为___________.【答案】1【解析】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e xk =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x xy x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1xx =，设()ln g x x =，则1()g x x'=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x=交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x=也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e xx =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线e x y =与圆22()2x a y -+=有三条公切线，则a 的取值范围是____．【答案】()1,+∞【解析】曲线e x y =在点()00,x y 处的切线方程为()000e e x xy x x -=-，由于直线()000e ex x y x x -=-与圆()222x a y -+=*）因为曲线e x y =与圆()222x a y -+=有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，即方程()()0220e122x x a ---=有三个不相等的实数根.令()()()22e12xg x x a =---，则曲线()y g x =与直线2y =有三个不同的交点.显然，()()()22e21xg x x a x a '=---+.当(),1x a ∈-∞-时，()0g x '>，当()1,2x a a ∈-+时，()0g x '<，当()2,x a ∈++∞时，()0g x '>，所以，()g x 在(),1a -∞-上单调递增，在()1,2a a -+上单调递减，在()2,a ++∞上单调递增；且当x →-∞时，()()22120e xx a g x ----=→，当x →+∞时，()()()22e12xg x x a =---→+∞，因此，只需()()1222g a g a ⎧->⎪⎨+<⎪⎩，即()()2122e 1-e2a a -+⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得1a >.故答案为：()1,+∞【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线21:()C f x x a =+和曲线2:()2ln C g x x =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,)-+∞【解析】由题意得2()2,()(0)f x x g x x x''==>，设与曲线2()f x x a =+相切的切点为()211,x x a +，与曲线()2ln g x x =相切的切点为()22,2ln x x ，则切线方程为()21112y x x x x a =-++，即2112y x x x a =-+，()22222ln y x x x x =-+，即2222ln 2y x x x =+-，由于两切线为同一直线，所以1221222,2ln 2x x x a x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，得()21112ln 20a x x x =-->．令2()2ln 2(0)x x x x ϕ=-->，则22(1)(1)()2x x x x x xϕ+-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)单调递减，当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞单调递增．即有1x =处()ϕx 取得极小值，也为最小值，且为(1)1ϕ=-．又两曲线恰好存在两条公切线，即()a x ϕ=有两解，结合当0x →时，2x 趋近于0，ln x 趋于负无穷小，故()ϕx 趋近于正无穷大，当x →+∞时，2x 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于ln x 的增加幅度，故()ϕx 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a 的范围是(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线21:()C f x x =与曲线()12:e (0)x C g x a a +=>有且只有一条公切线，则=a ________．【答案】34e 【解析】设曲线()yf x =在1x x =处的切线与曲线()yg x =相切于2x x =处，()2f x x '=，故曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为21112()y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-.()1e x g x a +'=，故曲线()y g x =在2x x =处的切线方程为()22112e e x x y a a x x ++-=-，整理得()22112ee 1x x y a x a x ++=--.故()()()2211121212e 2e 1x x x a x a x ++⎧=⎪⎨-=--⎪⎩由(1)再结合0a >知1>0x ，将(1)代入(2)，得21122(1)x x x -=--，解得122(1)x x =-且21x >，将122(1)x x =-代入(1)，解得()21241e x x a +-=且21x >，即()22141e x x a +-=且21x >，令21t x =+，则()42e tt a -=，2t >.令()()42ett h t -=，()()43ett h t ='-，则()h t 在区间(2,3)单调递增，在区间(3,)+∞单调递减，且()343e h =，又两曲线有且只有一条公切线，所以()42e tt a -=只有一个根，由图和0a >知34e a =.故答案为：34e .【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线ln y a x =和曲线2y x =有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则l 的方程为________．【答案】2e e 0y --=【解析】设曲线()ln g x a x =和曲线2()f x x =在公共点00(,)x y 处的切线相同，则()()2,af x xg x x''==，由题意知()()()()0000,f x g x f x g x ''==，即002002ln a x x x a x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e ,2e a x ==故切点为(e,e)，切线斜率为()02e k f x '==，所以切线方程为e 2e(e)y x -=，即2e e 0x y --=，故答案为：2e e 0y --=方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【答案】(),e -∞【解析】设切线切点为()00,x y ，因()000ln ln 1ln x x x y x x '⎧=+⎪⎨=⎪⎩，则切线方程为：()()()00000011ln ln ln y x x x x x x x x =+-+=+-.因过()e,a ，则()001ln e -a x x =+，由题函数()()1ln e -f x x x =+图象与直线y a =有两个交点.()1e e --x f x x x'==，得()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减.又()()max e e f x f ==，()0,x f x →→-∞，(),x f x ∞∞→+→-.据此可得()f x 大致图象如下.则由图可得，当(),e a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线.故答案为：(),e -∞【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线y x b =+与曲线e x y ax =-相切，则b 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为()00,x y ，因为e x y ax =-，所以e x y a '=-，故切线的斜率为：0e 1x a -=，0e 1x a =+，则()0ln 1x a =+.又由于切点()00,x y 在切线y x b =+与曲线e x y ax =-上，所以000e xx b ax +=-，所以()()()()01111ln 1b a x a a a ⎡⎤=+-+=+-+⎣⎦.令1a t +=，则()1ln b t t =-，设()()1ln f t t t =-，()1()1ln ln f t t t t t ⎛⎫=-+⋅-=- ⎪⎝⎭'，令()0f t '=得：1t =，所以当()0,1t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数；当()1,t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 是减函数.所以max ()(1)1f t f ==.所以b 的最大值为：1.故选：B.【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y ＝ax －a 与曲线ay x x=+相切，则实数a ＝（）A ．0B ．12C ．45D ．32【答案】C 【解析】由a y x x =+且x 不为0，得21a y x'=-设切点为()00,x y ，则00000201y ax a a y x x a ax ⎧⎪=-⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，即0002201a ax a x x x a x ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以320022200000111x x x x x x x +-+++=，可得042,5x a =-=.故选：C【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数()()2131f x a x bx c d =--+--在点()()1,1f 处的切线方程为10x y ++=，则a bc d-=-（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()2131f x a x bx c d f x -=-++--=，即0b =；由题意可得：()()113111f a b c d c d a a b =--+--=-+⇒-=-=-+，所以1a bc d-=--.故选：A【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知M 是曲线21ln 2y x x ax =++上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞-【答案】B【解析】函数21ln 2y x x ax =++的定义域为()0,∞+，且1y x a x'=++，因为曲线21ln 2y x x ax =++在其上任意一点M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以，1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，则11a x x-≤+，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以，12a -≤，解得1a ≥-.故选：B.【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，0n >，直线11ey x m =++与曲线ln 2y x n =-+相切，则11m n+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【解析】对ln 2y x n =-+求导得1y x'=，由11e y x '==得e x =，则1e 1ln e 2em n ⋅++=-+，即1m n +=，所以()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时取等号．故选：D ．方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m>C ．2log m n<D ．2log n m<【答案】B【解析】作出函数2log y x =的图象，由图象可知点(,)m n 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以2log n m >，故选：B．【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点(),a b 可以且仅可以作曲线ln y x =的一条切线，则下列选项正确的是（）A ．0a ≤B ．ln b a=C ．ln a b=D ．0a ≤或ln b a=【答案】D【解析】设切点()00,ln P x x ．因为ln y x =，所以1y x'=，所以点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为切线经过点(),a b ，所以()0001ln b x a x x -=-，即001ln a b x x +=+.令()ln (0)a f x x x x =+>，则1y b =+与()ln (0)af x x x x=+>有且仅有1个交点，()221a x a f x x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 单调递增，显然x →+∞时，()f x →+∞，于是符合题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，当x a >时，()0f x ¢>，()f x 递增，所以()min ()ln 1f x f a a ==+，则1ln 1b a +=+，即ln b a =．综上，0a ≤或ln b a =．故选：D方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =，所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3【答案】B【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由323y x px x =-+得2323y x px =-+'，由题意221122323323x px x px -+=-+，因为12x x ≠，则有1223x x p +=．把89x y -=代入323y x px x =-+得32992680x px x -++=，由题意112,3x p x -都是此方程的解，即32111992680x px x -++=①，321112229()9()26()80333p x p p x p x ---+-+=，化简为32311145299268033x px x p p -++--=②，把①代入②并化简得313120p p --=，即(1)(3)(4)0p p p ++-=，1,3,4p =--，当1p =-时，①②两式相同，说明12x x =，舍去．所以3,4p =-．故选：B ．【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线()e 1(1)x f x x =->-在点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <处的切线12,l l 互相垂直，且切线12,l l 与y 轴分别交于点,D E ，记点E 的纵坐标与点D 的纵坐标之差为t ，则（）A ．220et -<<B ．22e 0t -<<C ．22et <-D ．2e 2t >-【答案】A【解析】由题意知12x x <，当10x -<<时，()()1e ,e x xf x f x '=-=-，当0x >时，()()e 1,e x xf x f x =-'=，因为切线12,l l 互相垂直，所以()()121f x f x ''=-，所以12121210,e e e 1x x x xx x +-<<<-=-=-，所以1220,01x x x +=∴<<，直线1l 的方程为()()1111e e x x y x x --=--，令0x =，得()111e 1xy x =-+，故()()110,1e 1xD x -+，直线2l 的方程为()()222e 1e x x y x x --=-，令0x =，得()221e 1xy x =--，故()()220,1e 1xE x --，所以()()()()212221221e 1e 21e 1e 2x x x xt x x x x -=----=-++-，设()()()1e 1e 2,(01)x xg x x x x -=-++-<<，则()()e e 0x x g x x -'=-+<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()1()0g g x g <<，即220et -<<，故选：A.【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a 的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】C【解析】因为()sin f x ax x =+，所以()cos f x a x '=+，因为函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数()sin f x ax x =+在1x x =和2x x =的切线互相垂直，则()()12cos cos 1a x a x ++=-，即()22121cos cos 1cos cos 0a a x x x x ++++=①，因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以()()22121cos cos 41cos cos 0x x x x ∆=+-+≥，即()212cos cos 4x x -≥，解得12cos cos 2x x -≥或12cos cos 2x x -≤-，又|cos |1x ≤，所以12cos 1,cos 1x x ==-或12cos 1,cos 1x x =-=，Δ0=，所以方程①变为20a =，所以0a =，故A ，B ，D 错误.故选：C.【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点,P Q ，使得在这两点处的切线重合，则称()f x 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）A ．421y x x =-+B ．sin y x =C ．cos y x x =+D ．2sin y x x=+【答案】D【解析】对于A ，()421f x x x =-+显然是偶函数，()'32242422f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当x <时，()'0f x <，单调递减，当0x <<时，()'0f x >单调递增，当02x <<时，()'0f x <，单调递减，当2x >时，单调递增；在2x =时，()'0f x =，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A 是“切线重合函数”；对于B ，()sin f x x =是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B 是“切线重合函数”；对于C ，考察()(),1,3,31A B ππππ--两点处的切线方程， '1sin y x =-，,A B ∴两点处的切线斜率都等于1，在A 点处的切线方程为()()11y x ππ--=- ，化简得：1y x =+，在B 点处的切线方程为()()3113y x ππ--=- ，化简得1y x =+，显然重合，∴C 是“切线重合函数”；对于D ，'2cos y x x =+，令()2cos g x x x =+，则()'2sin 0g x x =->，()g x 是增函数，不存在12x x ≠时，()()12g x g x =，所以D 不是“切线重合函数”；故选：D.【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩，图象上不同的两点，若函数()y f x =在点A 、B 处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当0x ≤时，()2f x x x a =++的导数为()21f x x '=+；当0x >时，()ln f x x x a =-的导数为()ln 1f x x '=+，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数图象上的两点，且12x x <，当120x x <≤或120x x <<时，12()()f x f x ''≠，故120x x ≤<，当10x ≤时，函数()f x 在()()11,A x f x 处的切线方程为：21111()(21)()y x x a x x x -++=+-；当20x >时，函数()f x 在()()22,B x f x 处的切线方程为2222ln (ln 1)().y x x a x x x -+=+-两直线重合的充要条件是21ln 121x x +=+①，221x a a x --=-②，由①②得：12211(e )2xa x =-，10x ≤，∴令221()(e )(0)2x g x x x =-≤，则2()e x g x x '=-，令2()()e x h x g x x '==-，则2()12e x h x '=-，由()0h x '=，得11ln 22x =，即11ln 22x =时()h x 有最大值11111(ln )ln 022222h =-<，()g x ∴在(],0-∞上单调递减，则1()(0)2g x g ≥=-.∴a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.方向7、最值问题【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线1e x y +=上，点Q 在曲线1ln y x =-+上，则||PQ 最小值为（）A B ．C 2)ln +D 2)ln -【答案】B【解析】1e x y += 与1ln y x =-+互为反函数，其图像关于直线y x =对称先求出曲线1e x y +=上的点到直线y x =的最小距离．设与直线y x =平行且与曲线1e x y +=相切的切点0(P x ，0)y ．1e x y +'=，01e 1x +=，解得01x =-．110e 1y -+∴==．得到切点(1,1)P -，点P 到直线y x =的距离d =||PQ ∴最小值为故选：B ．【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线1ln 2y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ln 2)2-B ln 2)-C ln 2)+D ．(1ln 2)2+【答案】D【解析】2e x y =与1ln 2y x =互为反函数，它们图像关于直线y x =对称；故可先求点P 到直线y x =的最近距离d ，又22e x y '=，当曲线上切线的斜率022e 1x k ==时，得01ln 22x =-，0201e 2xy ==，则切点11ln 2,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y x =的距离为ln 2)4d =+，所以||PQ 的最小值为2ln 2)d =+．故选：D ．【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线ln ln 2y x =-上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．2(1ln 2)+D ln 2)+【答案】D【解析】2e x y = 与ln ln 2y x =-互为反函数，所以2e x y =与ln ln 2y x =-的图像关于直线y x =对称，设()2()x f x e x x R =-∈，则()2e 1x f x '=-，令()0f x '=得1ln 2x =，则当1ln2x <时，()0f x '<，当1ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(,ln )2-∞单调递减，在1(ln ,)2+∞单调递增，所以11()(ln )1ln 022f x f ≥=->，所以2e x y =与y x =无交点，则ln ln 2y x =-与y x =也无交点，下面求出曲线2e x y =上的点到直线y x =的最小距离，设与直线y x =平行且与曲线2e x y =相切的切点0(P x ，0)y ，2e x y '= ，02e 1x ∴=，解得01ln ln 22x ==-，1ln202e1y ∴==，得到切点(ln 2,1)P -，到直线y x =的距离ln 2)2d +==，||PQ的最小值为2ln 2)d +，故选：D ．【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c ，d 满足|ln(1)||2|0a b c d --+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．B ．8C ．4D ．16。

课时作业4函数及其表示一、选择题11 .函数 f （x ） = log 2（1 — 2x ）+ 的定义域为（D ）X I ( n B.「，2丿解析：由1 — 2x>0，且x + 1工0,得x<2且 x 工一1,所以函数f(x) =log 2（1 — 2x ） + 丄的定义域为（―乂，一 1）U ' — 1, 1 jx +1 22. (2019晋豫省际大联考)下列各组函数中，表示同一函数的是 (D )A . y = ( x)2 与 y = x 2B . y = lne x 与 y = e kx 「x 2— G彳 C .尸齐1与尸x — 1_,x+1D . y = ig(x +1)— 1 与 y =ig^0"解析：对于A , y = ( x)2的定义域为［0，+乂), y = x 2的定义域 为R ，则A 不正确；对于B , y = ine x = x , y = e kx ，则B 不正确；对于 x 2— 1 C , y =的定义域为(一=,—1)U (— 1,+乂), y =x — 1 的定义x + 1A .0 2丿 C . （—1,0）u 0 2）—1）u — 1,域为R，贝S C不正确；对于D, y = lg(x +1) —1的定乂域为(一1,+x + 1g ）, y = ig 市 =ig （x +1）— 1的定义域为（—1,+乂），则D 正确，故 选D.3 .已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x) = f(2x) + 8— 2x 的 定义域为(A )A . [0,1]B . [0,2]C . [1,2]D . [1,3]f 0< 2x < 2,解析：由题意，得18 — 2x > 0,代71解析：令 t =2x — 1,贝y x = 2t + 2, f(t) = 2(2t + 2)— 5 = 4t — 1,贝S 4a — 1 = 6,解得 a = 4.[2x , x>0,4 •已知 f (x )Jx +1), x < 0,+4- 3 f—3 J 的值等于（B ） 解析：由题意得f 劭=2X3' 4 3,5. 所以f f 4)f — 3 = 4・已知 f qx — 1 = 2x — 5,且 f(a)= 6, 则a 等于（A ） 解得0W x < 1,故选A.其中 m € R ，则 f(3 + 4m )= ( A A . 2m解析：因为 3+ 4m >3，所以 f(3 + 4m ) = log 24m = 2m ,故选 A. fj x , 0<x<1, ⑴ 7. 设 f(x)=・ 彳 d 若 f(a) = f(a +1)，则 f a =( <I2(x - 1 ), x > 1. 切解析：当 0<a<1 时，a + 1>1, f(a)= a , f(a + 1) = 2(a + 1- 1)= 2a,vf(a) = f(a + 1),二 a = 2a ,1解得a =4或a = 0(舍去)./.f -卜f(4) = 2X (4- 1)= 6.当 a > 1 时，a + 1>2, .*.f(a)= 2(a - 1), f(a + 1)=2(a + 1-1)= 2a ,「・2(a — 1) = 2a ,无解.综上，怙丿=6.[x 2 + x , x<0,8. 设函数f(x) = 2c g(x)为定义在R 上的奇函数，且L -x , x >0,当x<0时，g(x) = x 2-2x -5,若f(g(a))<2,则实数a 的取值范围是 (A ) _A . (一 oo, 一 1]U [0,2 2- 1]B . [ - 1,2 2 - 1]C . (-o,- 1]U (0,3]B . 6 D . 2m 或 6D . [ - 1,3]解析：Tg(x)是定义在R上的奇函数，「・g(0) = 0,若x>0,则—x<0, g( - x)= X2+ 2x-5,vg(- x) =-g(x),Ag(x)=- x2- 2x+ 5, x>0，由题意，知f(-2) = 2,•••f(g(a)) < 2 即为f(g(a)) < f( - 2).2x + X, x<0, 又f(x)= 2「g(a)》-2,l —x2, x>0,a<0, a>0,二2或2或a= 0,a2—2a—5> —2 —a2—2a+ 5> —2「a w — 1 或O w a w 2 2— 1.故选A.二、填空题门x>1 59. 设函数f(x) = x' ，则f(f(2))= —2,函数f(x)的[—x —2, x w 1, —值域是[—3,+乂).解析：-.f(2) = 2,Af(f(2)) = f|21= —2—2= —I当x>1 时,f(x) € (0,1),当x w 1 时,f(x) € [ —3 , +乂) ,「.f(x)€ [—3, ).10. 已知函数f(x)满足f(5x) = x,贝S f(2) = log52.解析：因为f(5x) = x,令5x= t,则x= log5t ,所以f(t)= log5t ,所以f(2)= log52.②,x>0,11. 已知函数f(x)= 若f(a) + f(1) = 0,则实数aL x+ 1 , x w 0 ,的值等于一3.解析：\f(1) = 2>0 ,且f(1) + f(a) = 0, /.f(a) = —2<0 ,故a w 0.依题知a+ 1 = —2,解得a= — 3.x2+ 2ax, x>2, o12. 已知函数f(x)= x , c 若ff(1))>3a2，则a的取2x+ 1, x<2,值范围是(一1,3).解析：由题知，f(1)= 2+ 1= 3, f(f(1))= f(3) = 9+ 6a,若f(f(1))>3a2，则9+ 6a>3a2，即a2—2a-3<0,解得一1<a<3.力提升练13. 已知f(x)=]4X X'0,贝y方程f(x)= 3的根的个数fx + 2)，—6< x<0,B. 4D .无数多个解析：画出函数f(x)的图象，如图所示.画出函数g(x) = 3的图象，观察可得，函数f(x)与函数g(x)的交点的个数为4,则方程f(x)四川内江一中高三第一模拟)设函数f(x)=14 . (2019x x—1 , x>0,则满足f(x) + f(x—1)<2的x的取值范围是(一乂,一f一x, x<0,2).解析：(1)当 x > 1 时，f(x) + f(x — 1)=x(x — 1)+ (x — 1)(x — 2)V2, 解得 0<x<2，即 1 < x<2;(2)当 0< x<1 时，f(x) + f(x — 1) = x(x —1) + x(1 — x) = 0<2,满足题 意;⑶当 x<0 时，f(x) + f(x — 1) = x( — x — 1) + x(1 — x)= — 2x 2<2 恒成 立,综上，x 的取值范围是(一乂，2).尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用2 2综上可知a >3,即a 的取值范围是3,+^ .16.(2019广东佛山学情调研)定义在R 上的函数满足f? != fg ]= 1, f&j= 2f(x)，且当 o <X 1VX 2< 1 时，f(xd < f(X 2)，则 f°0届卜厉1 111 1 111 1111 解析：f 25 = 1f 1 = 1, f^5 =2f 25 = 1, f 625= 2f 莎=8,3x — 1, x<1,15.设函数怒戶2x , x >1,则满足f[f(a)] = 2f(a)的a 的取值范围是(C ) B . [0,1]D . [1，+* )解析：由已知函数和f[f(a)] = 2f(a),得f(a)> 1•若a<1,则3a — 1> 1, 2 2解得a >3,此时3<a<1;若a > 1,则2a > 1,解得a >0,此时a > 1.2 c._3,1 1 f250 = 2fj25^./= 2f^50)= 16，因为 X 1<X 2< 1 时，f(xd <哄),以J 1 ■-丄 以 f 2 018 =16.4) ( 1)⑵ 2 f —3 =f r3.=f 3=2X 2「1 )仃1 IJ 1 1/口 1 二 w =，得 16=f则 1 v贝"1 250V2 0183 125,了 1 ) ( 1 、 1 f0 018戶怡125丿=16，所。