2019-2020学年高中数学 第一章《集合》集合的运算(1)教学案苏教版必修1.doc

1.3 交集、并集互动课堂疏导引导1.利用数形结合解决集合问题数形结合在集合中有两个方法：一是画集合图，也叫韦恩图；二是利用坐标系、,数轴或平面直角坐标系（数轴是一维的坐标系）.这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉.从而把抽象的集合问题具体化和形象化.此外，有时还可用补集法，省去了很多烦恼.注意：正难则反.2.集合运算注意事项（1）处理集合运算问题时，要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母，要注意对字母分类讨论.（2）在解决有关集合运算题目时，一要把握概念中的关键词，如“所有”“且”“或”；二要把握它们各自的实质；三要借助数轴，应用数形结合的思想.（3）Ve nn图在集合中起到数形结合的作用，由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来，起到化繁为简，化抽象为直观的作用.（4）在学习子、交、并、补集的概念时，应注意对“任何一个”“都”“所有”“或”“且”等词的理解，“交集”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合，忽略了“交集”概念中的“所有”两个字就会错误地认为“若A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，3，4｝，则A∩B＝｛2｝”.“并集”概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，生活用语中的“或”一般是或此或彼，必具其一，不兼有，“并集”概念中的“或”是可兼有的，但不必须兼有.●案例1我们经常遇到集合元素个数的问题，若用符号carkd（A）表示有限集A中的元素个数，那么card（A∪B）与card（A）、card（B）及card（A∩B）之间有怎样的关系？同时完成：若集合A中含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B含有几个元素？【探究】根据交集、,并集的定义及集合中元素的互异性得到：card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）.由以上公式不难求出第二个问题的答案为：15个元素.●案例2开运动会时，高一某班28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的人，请问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？【探究】 本题涉及到元素个数问题，可用公式：card （A ∪B ∪C ）=card （A ）+card （B ）+card （C ）－card （A ∩B ）－card （B ∩C ）－card （A ∩C ）+card （A ∩B ∩C ），或利用Ve nn 图.假设同时参加田径和球类比赛的共有x 人，参加游泳为A ，则card （A ）=15，参加田径为B ，card （B ）=8，参加球类为C ，card （C ）=14，由条件card （A ∩B ）=3，card （A ∩C ）=3，A ∩B ∩C =∅，故有15+8+14－3－3－x =28，解得x =3.因此，同时参加田径和球类比赛的共有3人，同时只参加游泳的有15－3－3=9(人).●案例3已知集合A ={x |a ≤x ≤a +3}，B ={x |x <-1或x >5}.(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围.【探究】 画数轴可以直观看到解的情况.（1）若A ∩B ＝∅，则数轴表示如下：∴⎩⎨⎧≤+-≥,53,1a a 即-1≤a ≤2.（2）若A ∪B ＝R ，则数轴表示如下：∴⎩⎨⎧≥+-≤.53,1a a ∴⎩⎨⎧≥-≤.2,1a a 故a 无解.【溯源】 解此类问题可先画出满足条件的数轴，再从图中分析出字母的范围，区间端点处的值能否取到要单独考虑.●案例4某班对两条新制度A 、B 进行表决，结果A 以90% 的得票率顺利通过，而B 却因得票40% ，未过半数被否决.而且知道，对A、B都投赞成票的学生是对A、B都投否决票的学生的6倍.已知全班共50人，并且不能弃权.问单对A投赞成票和同时投A、B赞成票的学生各有多少人？【探究】赞成A的人数90%×50＝45人，赞成B的人数40%×50＝20人.设同时否决A、B的人数为m人，则同时赞成A、B的人数为6m人.若设M＝｛赞成A的学生｝，N＝｛赞成B的学生｝，则card（M∪N）＝card（M）＋card （N）－card（M∩N）＝45＋20－6m＝65－6m.由补集定义知，card（M∪N）＋U(M∪N）＝50,即65－6m＋m＝50.∴m＝3，6m＝18.∴单对A赞成的学生数：45－18＝27人.同时赞成A、B的学生数为18人.【溯源】解此应用题关键是将自然语言转化为符号语言，用集合语言来表达问题，即建立起数学模型来求并集、补集、交集.活学巧用1.已知集合A={－1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0【思路解析】方程mx=1中的m可以取0，这一点易被忽略.由A∪B=A,则B⊆A，B=∅，{-1}，{1}，所以m的值为0，-1，1.【答案】 D2.已知集螹有3个真子集，集合N有7个真子集，那么M∪N的元素个数为( )A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不能确定【思路解析】含有n个元素的集合的真子集个数是2n-1.【答案】 B3.若A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝{a ，b }，则满足条件的集合A 、B 的组数为( )A.2B.4C. 6D.8【思路解析】 把满足条件的集合列出来即可，列时应按一个集合进行，不易遗漏或重复.{}{}⎩⎨⎧==b B a A ,或{}{}⎩⎨⎧==a B b A ,或{}⎩⎨⎧∅==B b a A ,,或{}⎩⎨⎧=∅=.,,b a B A 【答案】 B4.己知集合A ＝｛x ｜－2≤x ≤5｝，B ＝｛x ｜m ＋1≤x ≤2m －1｝，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围.【思路解析】 ①A ∪B ＝A ⇒B ⊆A .②B ⊆A 中包含有B ＝∅的情况.③逆向考查并集概念.【解】 A ∪B ＝A ⇒B ⊆A .（1）若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，∴m ＜ 2.此时A ∪B ＝A ∪∅=A 成立.(2)若B ＝∅而且B ⊆A ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-⇔-≥≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤--≤+3233212512121m m m m m m m m综上所述，m 的取值范围为m ≤3. 5.集合M =｛y |y =x 2+1,x ∈R ｝,N =｛y |y =5-x 2,x ∈R ｝,则M ∪N =.【思路解析】 这两个集合都是数集,可先化简M 、N 再运算. M ={y |y ≥1},N ={y |y ≤5},∴M ∪N =R .【答案】 R6.S 与T 是两个非空集合，且S T ，令Z =S ∩T ，则S ∪Z 为( )【思路解析】∵S T,∴Z=S∩T=T.∴S∪Z=S∪T=S.【答案】 D7.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，那么U(A∩B)等于( )A.{3,4}B.{1,2,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D.∅【思路解析】此题考查集合的交、并、补运算.【答案】 B【借题发挥】(U A)∪(U B)怎么求，两个式子有什么关系，这种关系恒成立吗？事实上,U(A∩B)=(U A)∪(U B).8.已知全集U= {1，2，3，4，5，6，7，8}，A= {3，4，5}，B= {1，3，6}，那么集合{ 2 ，7 ，8}是( )A.A∪BB.A∩BC.U A∩U BD.U A∪U B【思路解析】图示如下：【答案】C9.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,5}，B U A,则集合B的个数是( )【思路解析】任何集合的补集都是相对于全集而言的.U A={2,3,4}，B就是{2，3，4}的真子集，故选C.【答案】 C。

1．1 集合的含义及其表示1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系．2.理解集合元素的特征．3．掌握集合的表示方法．1．集合(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．(2)记法：通常用大写拉丁字母表示．(3)常用数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)记法：通常用小写拉丁字母表示．(3)特性：确定性、互异性、无序性．3．元素与集合的关系关系定义记法读法属于a是集合A的元素a∈A a属于A不属于a不是集合A的元素a∉A或a A a不属于A4.表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等．6．集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}答案：B3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．答案：24．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________．答案：4 －1集合的概念[学生用书P2]判断下列各组对象能否组成一个集合．(1)新华中学高一年级全体学生；(2)我国的大河流；(3)不大于3的所有自然数；(4)在平面直角坐标系中，到原点距离等于1的点．【解】(1)能，所指的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是到原点的距离等于1，故能组成一个集合.判断一组对象组成集合的依据判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合．1.判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)不超过20的非负数；(3)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(4)直角坐标平面内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(3)类似于(2)，也能构成集合．(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．元素与集合的关系[学生用书P2](1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ， 所以若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 只含有1个元素，不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断一个元素是否属于某一个集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系．2.(1)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2(2)用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有 17________A ；－5________A . 解析：(1)因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2.(2)由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17，则k ＝5∈Z .所以17∈A .令3k ＋2＝－5， 则k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：(1)D (2)∈ ∉集合中元素的特性[学生用书P3]已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －1若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3.(1)若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形(2)若集合A 中有三个元素x ，x ＋1，1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，求实数x 的值．解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，而x ＝－1满足，所以x ＝－1.集合中元素的表示[学生用书P3]用适当的方法表示下列集合：(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为{3，5，7，11}．(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合．4.设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B ，2∉B .(2)因为62＋x ∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6.所以x 只能取0，1，4.所以B ＝{0，1，4}．1．集合含义中的“研究对象”的理解集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．3．对符号“∈”与“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．列举法表示集合时应注意的四点(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等．(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去．(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．5．描述法表示集合时应注意的三点(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型．(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．[解析] ①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合．[答案] ③(1)本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误．(2)解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式．1．下列各组对象能构成集合的是( )A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B．大于－5且小于5的有理数C．新华书店中有意义的小说D．π(π＝3.141…)的近似值的全体解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”．故能构成集合．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选 D.偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：34．已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a<0得a>1.答案：a>1[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( )A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目B ．某学校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2018年全国经济百强县解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．故选B.3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D.因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D. 4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }， 所以M 中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B.5．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }，则( ) A ．M 是有限集，N 是有限集 B ．M 是有限集，N 是无限集 C ．M 是无限集，N 是无限集 D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B.因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ∈N }＝{(2，2)，(5，0)}， 所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a ＝－1，b ＝0. 答案：－1，07．下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3. 答案：39．判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学； (3)方程x ＋y ＝3的非负整数解； (4)与π非常接近的有理数． 解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}． (3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 10．用适当的方法表示下列集合．(1)由x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N 组成的集合； (2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．解：(1)列举法：{0，2，4}；或描述法{x |x ＝2n ，0≤n ≤2且n ∈N }． (2)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[B 能力提升]1．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ， 则集合A 用列举法表示为________． 解析：因为126－x∈N ，x ∈N ，所以6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.所以集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数． (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12；②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1，此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}． 所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1. 4．(选做题)设S 是由满足下列条件中的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由． 解：(1)因为2∈S ，2≠1，所以11－2＝－1∈S .因为－1∈S ，－1≠1，所以11－（－1）＝12∈S .因为12∈S ，12≠1，所以11－12＝2∈S . 所以集合S 中有另外两个数为－1和12. (2)证明：因为a ∈S ，所以11－a∈S ， 所以11－11－a ∈S ，即11－11－a＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)． 若a ＝0，则11－a＝1∈S ，不合题意． 所以若a ∈S ，则1－1a∈S . (3)集合S 中的元素不能只有一个．证明如下：假设集合S 中只有一个元素，则根据题意知a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0.因为Δ＝1－4<0，所以此方程无实数解，所以a ≠11－a. 所以集合S 中不能只有一个元素．。

§1.3.1 交集、并集(1)（预习部分）一、教学目标1、理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的有关术语和符号，会求两个简单集合的交集与并集2、理解区间的表示法3、掌握有关集合的术语和符号，会用它们正确地表示一些简单的集合二、教学重点理解交集与并集的概念三、教学难点会求集合的交集和并集四、教学过程（一）创设情境，引入新课用Venn 图分别表示下列各组中的3个集合：（1）A={-1，1,2,3}，B={-2,-1,1},C={-1,1}；（2）}3{≤=x x A ，}0{>=x x B ，}30{≤<=x x C ；（3）}1{）语文测验优秀者为高一（x x A =，}1{）英语测验优秀者为高一（x x B =}1{者）语文、英语测验优秀为高一（x x C =上述每组集合中，A ，B ，C 之间均具有怎样的关系？（二）推进新课1. 交集的概念：________________________________________________________.记作______________.符号语言：=B A _______________________.图形语言：交集的性质：=A A ，=φ A ，=B A ，()A B C =____________ ,A （A C U ）= ,2. 并集的概念：___________________________________________________________.记作______________.符号语言：=B A _______________________.图形语言：并集的性质：=A A ，=φ A ，=B A ，=C B A )(_____________ , A （A C U ）= _.3.区间的概念设R b a ∈,且b a <，则规定：=≤≤}|{b x a x =<<}|{b x a x=<≤}|{b x a x =≤<}|{b x a x=>}|{a x x =<}|{b x x =R4. 德摩根定律： （课本P14练习10）（A C U ） （B C U ）= ，（A C U ） （B C U ）= .（三）预习巩固见必修一教材第13页练习1,2,3,4§1.3.1 交集、并集(1)（课堂强化）（四）典型例题题型一 求集合的交集与并集例1 （1）设A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，求A ∩B 和A ∪B ．（2）设集合{}{}B ⋃A B ⋂A <<=B <<-=A ，求集合,31|,21|x x x x变式：已知A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}，A ∩B ＝{－1，1}，其中A ＝{－1，0，1}，求集合B ．题型二 集合运算的交集、并集及补集的综合例2 设全集I=R , {},321213|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤<≤-=B <<-=A X x x x x 或集合则求 （1）B A （2）B A（3）()()B C A C I I （4）()()B C A C I I例3已知A ＝{( x ，y )| x ＋y ＝2}，B ＝{( x ，y )| x －y ＝4}，求集合A ∩B ．题型三 Venn 图的运用例4 学校举办了排球赛,某班45名同学中有12名同学参赛,后来又举办了田径赛,这个班有20名同学参赛,已知两项都参赛的有6名同学,两项比赛中,这个班共有多少名同学没有参加过比赛?变式：已知全集{}20U =不大于的质数，A,B 是U 的两个子集，且满足(){}U AC B 3,5=，(){}U C A B 7,19=，()(){}U U C A C B 2,17=，则=A ；=B . （五）随堂练习1.设}3,2,1{=A ，}5,4,3{=B ，则=B A ；2.设}22|{≥-≤=x x x A 或，}31|{≤≤=x x B ，则=B A ， =B A ；3.若},3|{Z x x x A ∈<=，},1|{Z x x x B ∈≤=，全集,Z U =则=)(B C A U ；4.设]2,2(},02|{2-==--=B x x x A ，则=B A ；5.设}0|{},01|{},24|{2≤=≥+=<≤-=x x C x x B x x A ，则=B A ，=C A ，=C A ，=C B ；6.设},3|),{(},64|),{(-===+=nx y y x B my x y x A )}2,1{(=B A ，则=m ，=n ；7.设}{正方形=A ，}{菱形=B ，}{矩形=C ，则=B A ，=B A ，=C B ，=C A .（六）课堂小结（七）课后作业见必修一教材第13页2,4,5。

苏教版高中数学必修1第1章集合交集、并集
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.
（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。

2．过程与方法
通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实
质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.
3．情感、态度与价值观
通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想
认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.
（二）教学重点与难点
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.
难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系
（三）教学方法
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，
尝试实践与交流相结合.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数
加法运算，探究集合能否进行类似“加
法”运算.
（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，
C = {1，2，3，4，5，6}
（2）A = {x | x是有理数}，
B = {x | x是无理数}，
师：两数存在大小关系，两集合
存在包含、相等关系；实数能进
行加减运算，探究集合是否有相
应运算.
生：集合A与B的元素合并构
成C.
师：由集合A、B元素组合为C，
生疑析疑，
导入新知。

高一数学必修1教学案第一单元集合(1) 集合的含义及其表示班级姓名目的要求：（1）使学生掌握集合的概念；（2）理解集合与元素的属于关系；（3）熟悉常用的数集及其符号表示．重点难点：重点：理解集合的含义；难点：集合的表示法．教学过程：一、问题情境：1．请仿照课本叙述，向全班同学介绍一下你的家庭、原来读书的的学校、现在的班级等情况．2.请分析：像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？二、建构数学：1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set)．集合中的每一个对象称为该集合的元素(element)，简称元．2．数学研究对象与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作_______；读作“___________”；如果a不是集合A的元素，就记作__ _或__ _读作“______”.3．集合的基本特征：（1）确定性.设A是一个给定的集合，a是某一研究对象，则a是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4. 常用的数集及其记法：一般地，自然数集记作_______,正整数集记作________或________ 整数集记作_____ ,有理数记作_______,实数集记作________5.集合的表示方法：（1）列举法：将集合的元素______出来，并______________表示集合的方法叫列举法.元素之间要用__________分隔，但列举时与_________________无关.（2）描述法： 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成_________的形式,称之为描述法.注：{()}x p x 中x 为集合的代表元素，()p x 指元素x 具有的性质.（3）图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部示意集合.6. 集合的分类：有限集与无限集及空集空集：7.集合相等：如果两个集合,A B 所含的元素_______， 则称这两个集合相等，记为：____三、数学运用：例1、求不等式235x ->的解集．例2、用符号∈或∉填空：（1） 1 {}1，（2）a {}1,1,-+a a a ， （3）0____N ，（4，（5）π____Q ， （61 1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例3、用适当的方法表示下列集合：（1）{小于12的质数} （2）方程0136422=++-+y x y x 的解集（3）正偶数集 （4）坐标平面内第一、三象限角平分线上的点集例4、试分析下列集合的含义：（1）{}{}2211|10,|10A x x x B y y =++==+<；（2）{}2223|1,|4A y y x x B y y ⎧⎫==++=≥⎨⎬⎩⎭；（3）{}23(,)|1A x y y x x ==++，{}23(,)|1,11B x y y x x x ==++-≤≤（4）{}24|10A a x ax =++=方程无实数根例5、若{}220152015,,1,,0,ab a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭求的值.四、课堂练习1、用适当的方法表示下列集合：（1）{a | 0≤a<5,a ∈N};（2）{(x,y )|0≤x ≤2, 0≤y <2,x,y ∈Z};（3）“mathematics ”中字母构成的集合．2、已知集合{}22,2512A a a a =-++，且3A -∈，则a =五、课堂小结六、教学反思高一数学作业(6)班级姓名得分1、 用列举法表示集合{}|15x x 为的正约数为 ．2、 若{}2|0A x x x =-=，则1- A （用“∈”或“∉”填空）.3、已知集合A ={a －3，2a －1,21a -},若－3是集合A 的一个元素，则a 的取值是________．4、若A {}23<<-∈=x N x ，在A 中所有元素之和是________．5、已知{}x x x A +=2,,2，若A ∈6，则实数x =________．6、化简集合{}y x y x y x 232,1),(-==+且=________7、已知集合{}R a x ax x A ∈=++=,022,若A 中元素至多只有1个，则实数a 的取值范围是________．8、按要求表示下列集合：（1）用列举法表示{ (y x ,) |052=-+y x ,x ∈N,y ∈N};（2）用描述法表示{ 1 ，3，5，7，9}．9、用适当的方法表示下列集合．（1）方程(2x －1)(x +2)(2x +1)=0的解集；（2）不等式－3x +2<－4的解集；（3）第二、四象限内点的集合．10、已知两个元素的集合M={－2，24x x +-}，若x ∈M,求由满足条件的实数x 组成的集合．11、已知集合A ={}{}y x B y x xy x ,,0,,,=-且A =B ，求x 与y 的值．集合(2) 子集班级 姓名 目标要求1、了解集合之间包含关系的意义；2、理解子集、真子集的概念；．重点难点重点：子集的概念；难点：集合包含关系的判断．教学过程：一、问题情境观察下列各组集合：（1）A ={-1，1}，B ={-1，0，1，2}；（2）A =N ，B =R ；（3）A ={x x 为北京人}，B = {x x 为中国人}；思考1：上述三组集合中，集合A, B 之间具有怎样的共同特征？如何用语言表示这种关系？二、建构数学1.子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，__________，则称集合A 为集合B 的子集（subset ）,记为_____或_____读作“_____”或“______”. 符号语言与图形语言的表示：2.子集的性质：① ； ② ；想一想:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？若能，A 与B 的关系是什么？3.真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A ≠B ，这时集合 A 称为集合B 的真子集（proper set ）,记为_____或_____读作“__________”或“__________”，符号语言可表示为：____________________.4.真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集，符号表示为___________________.②真子集具备传递性，符号表示为___________________.5.有限集合的子集的个数三、数学运用例1（1）写出集合{a ，b }的所有子集并标注其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集并标注其真子集.例2 判断下列集合的关系，并使用正确的符号表示:（1）A ={x |x 为平行四边形}，B ={x |x 为菱形} ，C ={x |x 为矩形}，D ={x |x 为正方形}，（2）A ={x |x =2n +1, n N ∈}，B ={x |x =4n +1, n N ∈}（3）A ={x |x =322+-c c ,c R ∈}，B ={y |y =122+-x x , xR ∈}例3 已知{0} ⊆A ≠⊂{a +1,1,2},求a 的值，并写出满足条件的所有集合A .例4 已知A ={ x |x 232--x =0}，B ={x |ax 01=-}，B ⊆A ，求实数a 的值.四、课堂练习1、判断下列表示是否正确：(1) a⊆{a};(2){a}∈{a,b};(3) {a,b}⊆{b,a};(4){－1，1}≠⊂{ －1，0,1};(5) ∅≠⊂{－1，1}.2、指出下列各组中集合A与B之间的关系．（1）A={－1，1}，B=Z；(2) A={1,3,5,15},B={x|x是15的正约数}；(3) A=N*,B=N．五、教学反思高一数学作业(7)班级 姓名 得分1、填入适当的符号：{2}____{2,3}, ∅_____{0},0______{0}2、若x ,y ∈R ，A ={(x ,y ) | y =x },B ={(x ,y ) | yx=1},则A 、B 的关系为_________________.3、集合A ={x |(1)(2)0x x x --=}的非空子集的个数为_______________.4、已知集合{}1,2,3A ⊆，且A 的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A 共有 个.5、已知M={y | y=x },N={x |x =2m ,m ∈R},则集合M 和集合N 之间的关系是____________ .6、已知集合A ={x |－1<x <3 },B ={x |x < a },若A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是________.7、设集合{}1,2,3,,S A B =是S 的两个非空子集，且B 中最小数大于A 中最大数，则这样的集合,A B 共有 对.8、非空集合{}|1S x x m =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，则m = .9、已知M={2,a ,b }，N={2a ,2, 2b },且M=N ，求实数a,b 的值．10、已知{}{}|1,2,|40A x x x B x x p =<->=+<或，当B A ⊆时，求实数p 的取值范围.11、已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，求满足条件A ⊆C ⊆B 的所有集合C 的所有元素之和.12、已知A ={x |52≤≤-x }，B ={x | 121-≤≤+m x m }，若B ⊆A ，求m 的取值范围．必修1_01 集合(3) 全集、补集班级 姓名目标要求了解全集的意义，理解补集的概念． 重点难点重点：补集的概念； 难点：补集性质的理解． 一、问题情境（1）复习子集的有关概念（2）问题：下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系 ①{}2,1,1,2--=S ,{}1,1-=A ,{}2,2-=B ；②R S =， {}R x x x A ∈≤=,0{}R x x x B ∈>=,0； ③{}为地球人x x S =，{}{}为外国人为中国人x x B x x A ==, (3)上问题中每一组的3个集合，它们之间还有什么关系？二、建构数学1.全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作_____ 怎样的集合才是全集？视你研究的问题而定，比如在实数范围内讨论集合，R 便可看成一个全集U.2.补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A的补集（complementary set ）, 记为______，读作“_______”即：U C A =__________U C A 图形语言表示__________________3.补集的性质：① U C ∅=__________________ ② U C U =__________________ ③ ()U U C C A =______________ 三、数学应用例1 若集合A ={x |-1≤x <2}，当全集U 分别取下列集合时，求C U A ，并在数轴上表示. (1)U=R ； (2)U={x |x 3≤}； (3)U={x |-2≤x ≤2}；例2 已知全集U={}32,3,22-+a a ，A ={7+a ,2}，C U A ={5}，求实数a 的值.例3 已知集合A ={x |x <5}，B ={x |1<x ≤a ，1>a }，C R A ≠⊂C R B ，求实数a 的取值范围.例4已知全集S ＝{1， 2，3，4，5}，A ＝{ x ∈S ｜x 2－5qx ＋4＝0}．（1）若C S A ＝S ，求q 的取值范围；（2）若C S A 中有四个元素，求C S A 和q 的值； （3）若A 中仅有两个元素，求C S A 和q 的值．四、课堂练习1. 已知全集U R =，{}|015A x x =<-≤，则U C A =___________.2.设集合M={0,1,2,3}，C S M={-1,-3,4,5},，C S B ={1,-1,2}，则B = .3. U={x | x 是至少有一组对边平行的四边形},A ={x |x 是平行四边形},U C A =___________.五、教学反思高一数学作业(8)班级 姓名 得分1.下列各结论中，不正确的是 （ ） （A ）⊆φ C U M （B ）C U U=φ （C ）C U ( C U M)=M （D ）φU C ≠⊂ U2.已知全集U=Z ，集合M={x |x =2k , k Z ∈},P={x | x =2k +1, k Z ∈}，则有下列关系式：①M ⊆P ；②C U M=C U P ；③C U M=P ；④C U P=M 。

§1集合的含义及其表示（一）一、教学目标二、教学重、难点三、新课导航1．问题展示（1）集合的含义：一般地，一定范围内某些_________、_________对象的_________构成一个集合。

集合中的称为该集合的元素，简称______。

集合的元素的性质：、和（2）集合、元素的记法集合的记法；元素的记法。

元素与集合的关系有两种：①如果是集合的元素，那么就记作，读作“”②如果不是集合的元素，那么就记作，读作“”（3）常用数集的记法：自然数集记作______，正整数集记作，整数集记作，有理数集记作，实数集记作。

（4）集合的分类：按照集合中元素的个数可分为、、，其中，不含任何元素的集合称为，记作。

2．基础测评（1）下列叙述能否构成集合，是集合说明是有限集还是无限集①黄海中鲜美的鱼；②著名的数学家；③中国的四大河流；④直线上所有点。

（2）由实数、、、组成的集合有几个元素？答：个；（3）对于①；②；③；④，其中正确的个数是________；四、合作探究活动1判断下列叙述能否构成集合（1）高一（1）班个子较高的同学；（2）高二（2）班成绩一般的同学；（3）大于等于的所有自然数；（4）函数图象上所有的点。

活动2求方程所有实数解所组成的集合的元素。

活动3集合中有且仅有个元素，问：字母有什么范围要求。

活动4 关于的方程的解组成的集合中元素有且仅有一个，求实数的取值范围。

变式1：关于的方程的解组成的集合中元素只有一个，求实数的取值范围。

变式2：关于的方程的解组成的集合中元素至少有一个，求实数的取值范围。

五、提高拓展1．用符号或填空：已知集合中有且仅有一个元素，则_________；2．由实数所组成的集合里最多含有________个元素；六、知识网点七、反思2019-2020年高一数学苏教版必修一教学案 1集合的含义及其表示（一）一、填空题1．是中的元素吗？答：____________；是中的元素吗？答：_____________；是中的元素吗？答：_____________；2．下列给出的对象中，表示集合的序号是________________（1）一切很大的数；（2）绝对值等于本身的数；（3）聪明的人；（4）方程的实数解．3．用符号或填空_____；_______；_______；_____ ；____4．已知集合由所有平行四边形组成，表示某个矩形，表示某个梯形，则，（用符号或填空）；5．若关于的方程组成的集合中有且仅有一个元素，则的取值范围是_______________；6．设都是非零实数，代数式可能取到的值组成的集合有_______________个元素；二、解答题7．指出下列集合是有限集还是无限集（1）由与的公倍数组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；（3）方程的解的集合。

2019-2020年高中数学 1.1 集合的含义及其表示9.教案苏教版必修1教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（或a A）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1.3 交集、并集学习目标核心素养1．理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)3．会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点) 通过学习集合的交集、并集，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．借助Venn图表示交、并运算及区间的数轴表示，提升学生的直观想象素养．学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：(1)中考的物理成绩不低于90分；(2)中考的数学成绩不低于100分．如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？1．交集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B 的交集，记作A∩B(读作“A交B〞)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图①②③2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁U A)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．思考1：A∩B是把A与B的部分元素组合在一起吗？[提示]是把公共元素组合在一起，而不是部分．3．并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B〞)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn图①②③4．并集的性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A⊆A∪B；(3)B⊆A∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪∅＝A；(6)A∪(∁U A)＝U；(7)A∪U＝U(其中U为全集)．思考2：A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗？[提示]不是，因为A和B可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素．5．区间的概念设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R．[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点．6．区间的数轴表示区间表示数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)以上就是一些区间的数轴表示．在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．( )(2)A∩B＝A∩C，那么B＝C．( )(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝∅．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，那么A∩B＝．{3,4}[A，B的公共元素为3,4，故A∩B＝{3,4}．]3．假设集合A＝{a，b，c，d}，B＝{a，b，e，f}，那么A∪B＝．[答案]{a，b，c，d，e，f}4．(一题两空)“大于3小于等于5的数〞用集合表示为，用区间表示为．[答案]{x|3<x≤5}(3,5]集合的交集[例1] (1)集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，那么A∩(∁R B)＝．(2)假设集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，那么b＝．(3)集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，假设A∩B＝{9}，求a的值．[思路点拨](1)可以先按集合的补集定义求出∁R B，再求交集．(2)由二元一次方程组成方程组得到两条直线的交点坐标代入直线y＝3x＋b求出参数b 的值．(3)由A∩B＝{9}可得9∈A，依次讨论a2,2a－1等于9的可能性来求解．(1){x|3<x<4} (2)2[(1)因为B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1，或x>3}．作出数轴表示集合A和∁R B，如下图．由图可知A ∩∁R B ＝{x |3<x <4}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，所以b ＝2．](3)[解] 因为A ∩B ＝{9}，所以9∈A ，所以2a －1＝9或a 2＝9， 所以a ＝5或a ＝±3．当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}． 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}．故a ＝5舍去．当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去． 经检验可知a ＝－3符合题意．1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏． 2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn 图解决．3．集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．[跟进训练]1．(1)集合A ＝{x ∈N |2≤x ≤5}，B ＝{x |1≤x <4}，那么A ∩B ＝．(2)设集合A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2，x ∈R }，那么A ∩B ＝． (1){2,3} (2)∅ [(1)A ＝{2,3,4,5}，B ＝{x |1≤x <4}，所以A ∩B ＝{2,3}．(2)集合A 表示y ＝x 2的函数值组成的集合，故A ＝{y |y ≥0}．B 表示y ＝x ＋2上的点组成的集合，是点集，故A ∩B ＝∅．]集合的并集(2)假设A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |1<x <4}，那么A ∪B ＝． [思路点拨] (1)将A ，B 中的元素合并，注意互异性即可． (2)借助数轴表示A ，B ，再求A ∪B ．(1){3,4,5,6,7,8} (2){x |－1≤x <4} [(1)A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}． (2)用数轴表示出A ，B ，如图．所以A ∪B ＝{x |－1≤x <4}．]两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.[跟进训练]2．方程2x 2－px ＋q ＝0的解集为A ，方程6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0的解集为B ，假设A ∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，那么A ∪B ＝． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13 [因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以12∈A ，12∈B ，故12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q＝0，那么联立方程，解方程组得p ＝－7，q ＝－4，那么2x 2＋7x －4＝0,6x 2－5x ＋1＝0，故A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，那么A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13．]补集与交集、并集的关系[例3] 全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，试写出∁U A ，∁U B ，A ∩B ，A ∪B ，∁U (A ∩B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．[思路点拨] 采用列举法逐一将上述各集合写出． [解]∁U A ＝{5,6,7,8}，∁U B ＝{1,2,7,8}，A ∩B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}．∁U (A ∩B )＝{1,2,5,6,7,8}，∁U (A ∪B )＝{7,8}． (∁U A )∩(∁U B )＝{7,8}，(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,5,6,7,8}．从此题解答中可以得出两个结论：∁U A ∪B＝∁U A ∩∁U B ；∁U A ∩B ＝∁UA ∪∁UB .[跟进训练]3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，求(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )． [解] 由题知A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪B ＝{x |1≤x ≤4}．所以∁U (A ∩B )＝{x |x <2或x >3}，∁U (A ∪B )＝{x |x <1或x >4}． 所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{x |x <1或x >4}， (∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝{x |x <2或x >3}．结合集合的交集、并集、补集，求参数的X 围[例4] 集合A ＝{x |2<x <4}，B ＝{x |a <x <3a }，假设A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围． [思路点拨] 先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a 的方程或不等式，进而求相应a 的取值X 围．[解] 分两类情况，一类是B ≠∅⇒a >0．此时，又分两种情况：①B 在A 的左边，如图中B 所示； ②B 在A 的右边，如图中B ′所示．集合B 在图中B 或B ′位置均能使A ∩B ＝∅成立， 即0<3a ≤2或a ≥4，解得0<a ≤23或a ≥4．另一类是B ＝∅，即a ≤0时，显然A ∩B ＝∅成立．综上所述，a 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤23或a ≥4．1．假设A ∩B ＝∅，那么A ，B 可能的情况为：(1)A ，B 非空但无公共元素；(2)A ，B 均为空集；(3)A 与B 中只有一个是空集．2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母X 围问题的常用方法．[跟进训练]4．集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值X 围．[解] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 所以分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，所以k <2．②当B ≠∅时，那么根据题意如下图：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52．综合①②可得k 的取值X 围是1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或〞的意义，“或〞与通常所说的“非此即彼〞有原那么性的区别，它们是“相容〞的．“x ∈A ，或x ∈B 〞这一条件，包括以下三种情况：x ∈A 但x B ；x ∈B 但x A ；x ∈A 且x ∈B ．因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有〞属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分．特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅．2．集合的交、并运算中的须知(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交〞“并〞定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．1．集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，那么A ∩B ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2}C [利用数轴可知A ∩B ＝{x |1<x <2}．]2．设集合U ＝{0,1,2,3,4}，M ＝{1,2,4}，N ＝{2,3}，那么(∁U M )∪N ＝． {0,2,3} [由题意知，∁U M ＝{0,3}，所以(∁U M )∪N ＝{0,2,3}．] 3．集合M ＝{(x ，y )|x ＝0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，那么M ∩N ＝．{(0,2)} [由题意可得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＝0＝{(0,2)}．] 4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)假设A ∩B ＝{2}，某某数a 的值； (2)假设A ∪B ＝A ，某某数a 的取值X 围．[解] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)因为A ∩B ＝{2}，所以2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0，a ＝－1或a ＝－3． 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，那么由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2a ＋1，1×2＝a 2－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值X 围是a ≤－3．。