浙江名校新高考联盟Z20联盟2020届第一次联考数学试题卷

成 ABE ，则点 A 在面 BCDE 内的射影 O' 在线段 OF 上，
设 A 到平面 BCDE 上的距离为 h ，则 h A'O' ，
tan h tan h tan h
由二面角、线面角的定义得：
O'O ，
O'B ，
O'C ，
显然 O'O O'B,O'O O'C ，所以 tan 最大，所以 最大，
不成立.
【详解】如图在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，
令平面 为底面 ABCD ，平面 为平面 BCC1B1 ，直线 a 为 AA1
若直线 AB 为直线 b ，此时 b ，且 ，故排除 A,B,D； 因为 a ， a / / ，所以 内存在与 a 平行的直线，且该直线也垂直 ，由面面垂直的判 定定理得： ，故选 C.
1 2
11
2
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，
6 2 2 1 2 ( 5)2 ( 2 )2 1 11 2 1 1 2 23
表面积为：
2
22
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cБайду номын сангаас2
【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能 力和运算求解能力.
e
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2
3 3
，故选
C.
【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.
3.已知 a, b 是不同的直线，， 是不同的平面，若 a ， b ， a / / ，则下列命题
中正确的是（ ）
A. b
B. b / /
C.
D. / /
【答案】C
【解析】
【分析】
构造长方体中的线、面与直线 a, b, , 相对应，从而直观地发现 成立，其它情况均

2020届浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2017级高三第一次联考数学试卷★祝考试顺利★一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-UB. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞UD. (1,0)(2,3)-U【答案】A【解析】【分析】 解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <，所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 3.已知,ab 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ）A. b α⊥B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4 【答案】B。

浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（ ） A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。

Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020届第一次联考技术参考答案第一部分：信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、非选择题（本大题共4小题，其中第13小题4分，第14小题8分，第15小题7分，第16小题7分，共26分）13．（1）B9:O11 （1分）不需要（1分）（2）B9:B11,O9:O11或B3,B9:B11,O3,O9:O11 （1分）（3）有（1分）14．（1）AD （2分）（2）C （1分）（3）文字2图层第31帧插入空白关键帧（2分）或文字2图层第31帧至第40帧执行删除帧/清除帧操作（4）景点按钮（1分） C （1分）（5）不能（1分）15．（1）A （1分）（2）a(j) < a(k) （2分）（3）a(i)*3 >= s （2分）（4）4 （2分）16．（1）1 （1分）（2）①(x - 1) \ bk + 1 （2分）②L To BL(L) * bk （2分）③Str(a(K) + f(BL(K))) （2分）通用答案在第二页浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考技术参考答案第 1 页共 2 页第二部分：通用技术（共50分）一、选择题(本大题共13小题，每小题2分,共26分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13答案 C B A B A B C C D B B C D二、非选择题（本大题共4小题，第14小题6分，第15小题9分，第16小题3分，第17小题6分，共24分）14．（1）C （2）B （3）A （4）B （5）C D （每空1分）15．（1）（2）与钢板连接挡车杆评分：1.能与挡车杆连接得1分2.能与钢板连接得1分3.能实现水平转动得1分4.能竖直抬起时，挡车杆牢固可靠得1分5.标出2个合理尺寸，并正确得2分（3）B C 2分（每空1分）（4）D 1分16．3分17．（1）C 1分（2）A 2分（3）D 1分（4）2分浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考技术参考答案第 2 页共 2 页。

高考复习2019年8月Z20联盟开学联考试题解析I ： <2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第1题)K 已知集合・4 = {x|(x-3)(x + l)>0}, 5 = (x||x-l|>l},则(C K A)f]B= < Aj-L0）U （2,3]B.（2.3]方法提供：（浙江绍兴金晓江）解析：A = [x\x > S E J CX 〈一 1}, 8 = (x|x > 2 或0}, GJ = (x|-l<x<3),所以(G ・4)D3 = [-L0)U(2,3]故选A2： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第2題） 2、已知双曲线C ：y-^ = 1.则C 的离心率为（ ） A •專B.后C.罕方法提供：（浙江绍兴金晓江） 解析：。

2=9出=3, = , +牛='=¥，故选C3： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第3题）已知。

,5是不同的直线，，是不同的平面.若。

丄久方丄艮a 〃尸，则下列命题中正确的是（方法提供：（浙江绍兴金晓江） 解析：易知A/a 或此。

也有可能，故43错。

a 丄戶显然成立，故选C 4： <2019年8月Z20联盟开学联考试题鮮析第4题）A."aB b//aC.Q 丄贞D a”C.(TT ・0)U(2.*D )D. (-L0)U(2,3)D.23, 4、 已知实数'，）'满足A.11x +），21 ,则2x +），的最大值为（ 心(x-1)B.10C.6方法提供：（浙江绍兴金晓江）,■,解析；如图所示，直线经过点N （3,4）, 2x + .y 最大，最大值为10。

故选BA项A 符合，故选:A6： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第6题）方法提供：（浙江金华阮国勇）解析：函数/（对的图像如图所示：当f （a ）< 1时，ae[-4,2],故选：D7： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第7題）解析：XT0*. 11叫-> 一8. cosx->lr /(、)->*[同理：X->OL /(・X )TYO .所以排除 C 、 D,又易知/（X ）= 0在卜2m2i]有6个零点：±1, ±y, 土号，所以排除A,所以本题选：B5、已知圆C 的方程为（x-3）'+尸=1,若y 轴上存在一点K ，使得以.4为圆心，半径为3的圆与圆 C 有公共点，则H 的纵坐标可以是 A.1 B.-3 方法提供：（浙江金华阮国勇）C.5D.-7解析：由题意知：圆C 和圆/有公共点，设N （0. b ）,有：2<\AC\ = yJ9 + b 2 <4,代入检验知，选6、已知函数/（x ） =厂言。

C.
D. ∥
x 3
4、已知实数
x,
y
满足
x
y
1
，则 2x y 的最大值为
y
2
x
1
A.11
B.10
C.6
D.4
5、已知圆 C 的方程为 x 32 y2 1 ，若 y 轴上存在一点 A ，使得以 A 为圆心，半径为 3 的圆与圆
C 有公共点，则 A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
20、（本题满分 15 分）已知数列 an 为等差数列， Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a5 5, S3 a6 .数
列 bn 满足 a1b1 a2b2 anbn 2n 2bn 2 .
（1）求数列 an ，bn 的通项公式；
（2）令
cn
an bn
,n
N*
，证明：
c1
c2
cn
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浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第一次联考
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1、已知集合 A x x 3x 1 0 ， B x x 1 1 ，则 CR A B
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an

同理知存在 x3 0 x4 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，故 B = [x3, x4 ] .
……………1 分
F (x) − G(x) = (4ax2 − e2x ) − (ax2 − ex ) ，
令 H (x) = ax2 − ex ，由 a 0 知 H (x) 在 (−,0) 上单调递减，
− 48x02
− 144)

0
0 x02 8 + 4 7 ，故此解符合题意. （其他解法酌情给分）
22．解：（1） h(x) = 1 x2 + ex ， h(x) = 1 x ……………1 分
h(x) 在 R 上单调递增，且 h(−1) = 0 ，
h(x) 在 (−, −1) 上负，在 (−1, +) 上正，
1+ 1+ 1
又 F (0) 0, F (−
2
2a
)

0（也可依据
lim
x→−
F ( x)

0 ），存在
x0

0
使得
F (x0 )
=
0，
故 F (x) 在 (−, x0 ) 上单调递减，在 (x0 , +) 上单调递增.
又 对 于 任 意 m N* ， 存 在 x ln m 使 得 F(x) m ， 又 lim F (x) → + ， 且 有 x→−
−
x03 8(x02 + 3)
=
3x0 8(
(x02 + 4) x02 + 3)
,
k
FD
=
−
2 x0
, kBC
=
x0 2
, kFD

2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.(2x−1x 2)7的展开式中1x 2项的系数是( )A. 672B. −420C. 84D. −5603.已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7a 5=1213，则S 13S 9=( )A. 913B. 1213C. 75D. 434.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则E(2X +1)=( ) X 123P13a 16A. 116B. 113C. 143D. 2235.已知函数f(x)=log 2(x 2−ax),a ∈R ，则“a ≤2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )A. (π6,2π3]B. (π6,4π3]C. (π3,4π3]D. (π3,7π3]7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为( )A. 74B. 2C. 32D. 538.设函数f(x)=a(x−1)2−1,g(x)=cos πx2−2ax ，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(−1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. a≤2B. 12<a≤1 C. 12<a≤2 D. 1<a≤2二、多选题：本题共3小题，共18分。

2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( ) ABCD ．23．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．45．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 ，||z = ． 12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 3cm ，表面积为 2cm ．13．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = ，2a = ．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = ，cos CED ∠= ．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 （用数字作答）．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= ． 17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)【解答】解：集合{|(3)(1)0}{|1A x x x x x =-+>=<-或3}x >， {||1|1}{|0B x x x x =->=<或2}x >， {|13}R C A x x ∴=-剟，(){|10R A B x x ∴=-<…ð或23}[1x <=-…，0)(2⋃，3]．故选：A ．2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( )A B C D ．2【解答】解：双曲线22:193x y C -=，可得3a =，b =c ==所以C 的离心率为：c e a ==故选：C ．3．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ【解答】解：a α⊥，b β⊥，//a β， A 、//b α，故本选项不符合题意； B 、//b α或b α⊆，故本选项不符合题意； C 、αβ⊥，故本选项符合题意；D 、αβ⊥，故本选项不符合题意；故选：C ．4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．4【解答】解：由实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，联立32(1)x y x =⎧⎨=-⎩，解得(3,4)A ，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为10．故选：B ．5．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-【解答】解：圆C 的方程为22(3)1x y -+=，则圆心(3,0)C ；设y 轴上一点(0,)A b ，当以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点时， 满足31||31CA -+剟，即24，所以24， 化简得27b …，b ，A ∴的纵坐标可以是1．故选：A ．6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]【解答】解：函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，f （a ）1…，可得0|2|11a a ⎧⋯⎨+-⎩……①或201a log a >⎧⋯⎨⎩…②，解①得：[4a ∈-，0]， 解②得：(0a ∈，2]， 综上[4a ∈-，2]． 故选：D ．7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数()(||)cos f x ln x x =，是偶函数；2x π=-时，20y ln π=>，排除选项C 、D ，x π=-时，0y ln π=-<，排除选项A ，故选：B ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形，BA A D ∴'⊥'，当A '点在底面BCD 上的射影O 落在BC 上时，平面A BC '⊥底面BCD ， 又DC BC ⊥，DC ∴⊥平面A BC '，DC BA ∴⊥'， BA ∴'⊥平面A DC '，在Rt △BA C '中，设1BA '=，则BC =1A C ∴'=，O ∴为BC 中点， 当A '点在底面上的射影E 落在BD 上时，A E BD '⊥，设1BA '=，则A D '=，A E '=，BE = 要使点A '在平面BCD 上的射影F 在BCD ∆内（不含边界），则点A '的射影F 落在线段OE 上（不含端点）， 可知A EF ∠'为二面角A BD C '--的平面角θ， 直线A D '与平面BCD 所成角为A DF α∠'=， 直线A C '与平面BCD 所成的角为A CF β∠'=，由题意得DF CF >，A C A D ∴'<'，且1A E '=<，A C '的最小值为1， sin sin sin A DF A CF A EO ∴∠'<∠'<∠'，αβθ∴<<．故选：D ．9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【解答】解：由已知可知△240a b =->函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]分为两种情况： ①函数()f x 在区间[0，2]上只有一个零点⇔0(0)(2)0f f >⎧⎨⎩…因为(0)f f （a ）222222(42)2424()40b a b b ab b b ab a b a a b b a =++=++=+++-=++-…，即22()4a b a b +-…，又因为240a b ->，此时得不到a b +具体取值范围；②函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点⇔0(0)0(2)420022f b f a b a >⎧⎪=⎪⎪⎨=++⎪⎪<-<⎪⎩……，解得20a b -+剟；即20a b -+剟可推出函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点， 因而20a b -+剟是函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]的充分不必要条件． 故选：A ．10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 【解答】解：下面证明：112n a <<．(2)n …． 令()(2)f x x ln x =+-，102x <<． 11()1022xf x x x--'=+=>--， ∴函数()f x 在1(0,)2上单调递增，1()()(0)2f f x f ∴>>，∴131(2)222ln x ln x +>+->． 112n a ∴>>． ∴2019112a <<． 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 1- ，||z = ． 【解答】解：2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i ----====--+++-，z ∴的虚部为1-，||z ==．故答案为：1-12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 33cm ，表面积为 2cm ．【解答】解：由题意可知几何体的正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：31123222112()323cm ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．表面积为：21114362211212)2222cm ⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯=+．故答案为：233；43213．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = 2- ，2a = ． 【解答】解：若72807162567012877777(2)(21)(2)[(2)(2)(2)(2)]x x a a x a x a x x C x C x C x C x C +-=+++⋯+=+-++⋯+-，则常数项02a =-，2x 的系数652277222154a C C =-=-， 故答案为：2-；154-．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = +cos CED ∠= ．【解答】解：36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，∴在BDE ∆中，2DB =，45B =︒，120BDE ∠=︒，15BED ∠=︒，由正弦定理，可得sin sin BD BDEBE BED∠==∠，在CEB ∆中，由余弦定理，可得2222?cos CE BE CB BE CB B =+-224(4=-=-，4CE ∴=-∴2221cos 2?2CE BE CB CEB CE BE +-∠==， 60CEB ∴∠=︒，45CED CEB BED ∴∠=∠-∠=︒，cos CED ∴∠=．故答案为：．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 60 （用数字作答）．【解答】解：体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A =种． 其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A =种． 故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种， 故答案为：60．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= 1 ． 【解答】解：A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补， 可知直线AF 与直线BF 关于x 轴对称，如图：(1,0)F ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，B 关于x 轴的对称点221(4y B ，2)y -，121221214244y y k y y y y +==--，2124k y y =+， 12()4y y -=-，可得124y y =，则221212122221()()11116164y y y y y y k k +--=-==． 故答案为：1．17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 4 ．【解答】解：由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则(2,0)A ，(2,)B b ，0b >， 则(2,0)a =，(2,)b b =， 由3144c a b =+，则(2,)4b C ，则直线OB ，OC 的斜率分别为2b ，8b ， 由两直线的夹角公式可得：3328tan 841282b b BOC b b b b -∠===+⨯+…，当且仅当82bb =即4b =时取等号， 此时(2,4)B ， 则(0,4)a b -=-， 即||4a b -=， 故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．【解答】解：（1）函数21cos 21()cos cos sin(2)262x f x x x x x π+=+==++，所以51()sin 1362f ππ=+=．（2）13()210f α=，所以113sin()6210πα++=，整理得4sin()65πα+=，由于(0,)3πα∈，3cos()65πα+=． 则3341433cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666552ππππππαααα+=+-=+++=+=19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则(0B ，0，0)，1(1B -，0，(0C ，2，0)， 3(2M ，0， 1(1BB =-，0，3(,2CM =-，∴133022BB CM =-+=，1BB CM ∴⊥．（2）解：3(2BM =，1(1CB =-，2-，3(2CM =，2-， 设平面1CB M 的法向量(n x=，y ，)z ，则1203202n CB x y n CM x y⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，取2z =，得(0n =2)， 设直线BM 与平面1CB M 所成角为θ， 则||sin 7||||37nBM n BM θ===， ∴直线BM 与平面1CB M ．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）设首项为1a ，公差为d 的数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =， 则：114532362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a d ==，所以11n a n n =+-=，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．①所以当2n …时1122111(222)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=--+．②，①-②得1(24)(2)n n n b n b --=-，整理得()12nn b b -=常数，当1n =时，12b =，所以1222n n n b -==．证明：（2）由于,2n n n a n b ==，所以2n n n c =，故：231232222n nnT =+++⋯+①，2341112322222n n nT +=+++⋯+②， ①-②得23411111112222222n n n n T +=++++⋯-，解得2222n n nT +=-<．21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．【解答】解：（1）椭圆的离心率12c e a ==，①椭圆过点1)，代入椭圆方程228113a b+=，②222a b c =+，③解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆的方程22143x y +=； （2）设0(A x ，20)4x ，求导2xy '=，则切线的斜率02x k =，切线方程2000()42x x y x x -=-，即20024x x y x =-，令0y =，则02xx =，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，(E E x ，)E y联立200222434120x x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，整理得4223000(3)1204x x x x x +-+-=， 3012203x x x x +=+，则30122022(3)E x x x x x +==+，32200002200322(3)44(3)E x x x x y x x =⨯-=-++， 所以3020(2(3)x E x +，20203)4(3)x x -+，则BC 的中垂线的EK 的方程：23002200032()()4(3)2(3)x x y x x x x --=--++，令0y =，则30208(3)x x x =+，则320(8(3)x K x +，0)， 所以00211224x x S =⨯⨯=，3232000001222200039(4)1()228(3)4(3)64(3)x x x x x S x x x +=⨯-⨯=+++， 因此2200122209(4)1816(3)49x x S S x +==+，解得204x =，则02x =，则(2,1)A ． 所以A 的坐标(2,1)．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当12a e =时，2()()()2x x h x f x g x e e =+=+， ()x xh x e e∴'=+， 令()0x xh x e e'=+=，解的1x =-， 当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>， ()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，222222()()4()(4)()x x x x F x G x ax e ax e ax e ax e -=+-+=---，所以2()4x F x ax e '=+，()8x F x a e ''=+，(0a ∈，1]，()0F x ''∴>恒成立，即()F x '递增的，()n limF x →-∞'=-∞，(0)0F '>，所以函数()F x 先减后增，又()n limF x →-∞=+∞，()n limF x →+∞=+∞，且(0)1F m =…，根据零点存在定理，必存在1x ，2x ，使得120x x <…且12()()F x F x m ==， 所以集合1[A x =，2]x ；同理可得，存在3x ，4x ，使得34()()G x G x =，解得集合3[B x =，4]x ； 设2()x H x ax e =-，(0a ∈，1]，所以当0x <时，()2x H x ax e '=-，即()H x 单调递减， 则0x <时，()()(2)()0F x G x H x H x -=->， 所以331()()()F x G x m F x >==， 所以()F x 单调递减， 所以31x x <；若1m =时，则240x x ==，此时A B ⊆；当0x >时，设22222()()()(4)()3x x x x h x F x G x ax e ax e ax e e =-=---=-+， 则2()62x x h x ax e e '=-+，(0)0h '<，2()640x x h x a e e ''=-+<恒成立， 所以()h x '单调递减，即0x >时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，而(0)0h =，所以()0h x <，()()0F x G x -<， 当1m >时，244()()()F x m G x F x ==>，所以()F x 单调递增， 所以240x x >>，但31x x <， 所以不满足A B ⊆或B A ⊆．综上所述，当且仅当1m =使得A B ⊆或B A ⊆成立．。

浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

20Z 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考数学试题卷一、单选题1.已知集合(){}2{2,1,0,1,2},|ln 56A B x y x x =--==--,则A B = A.{2,1,0,1,2}-- B.{2}- C.{0,1,2}D.{2,1,0}--2.已知复数1z i =-(i 为虚数单位),则574z=-A.1 C.3D.43.已知向量||5||4a b a b a ==，，，，与b 的夹角为120︒,若(2)()ka b a b -⊥+,则k =A.45-B.35-C.45D.354.已知等轴双曲线Γ经过点(3,2)A ,则Γ的标准方程为A.22155x y -= B.22155y x -= C.221y x -= D.221x y -=5.已知等差数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若17515a S a ==，,则数列{}n a 的公差d =A.1B.2C.-1D.-26.已知函数1()ln 1x x e f x e +=-,则[(3)]f f =A.ln 3B.3C.3eD.3ln 3e 7.已知1sin cos 05αααπ-=≤≤，,则sin 24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.50- B.50C.50-D.508.在三棱锥P ABO -中,PO ⊥平面ABO OB BA OH BP ⊥⊥，，于||4H AP C =，，为PA 中点,则三棱锥P HOC -的体积的最大值为A.263B.23C.63D.22二、多选题9.已知()*N nx n ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项,则n 的可能取值为A.4B.6C.8D.1010.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=,直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=,则下列说法正确的是A.直线l 恒过定点(3,1)B.直线l 被圆C 截得的弦最长时,13m =-C.直线l 被圆C 截得的弦最短时,34m =-D.直线l 被圆C截得的弦最短弦长为11.设数列{}{}n n a b ，都是等比数列,则A.若n n n c a b =,则数列{}n c 也是等比数列B.若nn na db =,则数列{}n d 也是等比数列C.若{}n a 的前n 项和为n S ,则232n n n n n S S S S S --，，也成等比数列D.在数列{}n a 中,每隔k 项取出一项,组成一个新数列,则这个新数列仍是等比数列12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足如下条件:①()()()f xy xf y yf x =+；②当1x >时,()0f x >：则下列结论中正确的是A.(1)0f =B.()()()f xy f x f y =C.()f x 在(1,)+∞上单调递增D.不等式33()22xf x x f x ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[2,)+∞三、填空题13.已知成对样本数据()()()1122,,,,,,(3)n n x y x y x y n ≥ 中12,,,n x x x 互不相等,且所有样本点()1,(1,2,,)i x y i n = 都在直线112y x =-+上,则这组成对样本数据的样本相关系数r =.14.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用80C ︒的开水泡制,再等茶水温度降至35C ︒时饮用,可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是0C T ︒,经过一定时间min t 后的温度C T ︒,则可由公式()01ha a T T T T e ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭求得,其中a T 表示室温,h 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有一杯80C ︒的绿茶放在室温为20C ︒的房间中,已知茶温降到50C ︒需要10min .那么在20C ︒室温下,用80C ︒的开水刚泡好的茶水大约需要放定时间min ,才能达到最佳饮用口感.15.杭州亚运会举办在即,主办方开始对志愿者进行分配.已知射箭场馆共需要6名志愿者,其中3名会说韩语，3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有种.(用数字作答)16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,过点F 作倾斜角为4π的直线交椭圆C 于,A B 两点,弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,若||1||4PF AB =,则椭圆C 的离心心e =.四、解答题17.(10分)已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的周期为π,且图像经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，,若2426ABC C af c b c S π∆⎛⎫++=== ⎪⎝⎭，，求a 的值.18.(12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11AA CC ，上,且1133AE EA CF FC ==，.(1)证明:1//BE D F ；(2)若1124AB AD AA ===，，,求平面DEF 与平面BDF 夹角的余弦值.19.(12分)在数列{}n a 中，()(){}*111N 2(1)1n n n n na a a n a n na +==∈++，，的前n 项为n S .(1)求证:1n na ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列,并求{}n a 的通项公式；（2）当2n ≥时,1116n n n a S a λ-+≥恒成立,求λ的取值范围.20.(12分)已知函数(ln )()a x a f x x+=.(1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间；（2）求证:当0a >时,22()a f x e -≤.21.(12分)2023年中央一号文件指出,民族要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有(30)N N >名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动,每次抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直播时这N 名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X (不重复计数).(1)若甲是这N 名顾客中的一人,且甲被抽中的概概为925,求N ；(2)求使(30)P X =取得得大值时的整数N .22.(12分)已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r +-=>相交于A B C D ，，，四个点.(1)当2r =时,求四边形ABCD 的面积；(2)四边形ABCD 的对角线交点是否可能为M ,若可能，求出此时r 的值；若不可能，请说明理由；(3)当四边形ABCD 的面积最大时,求圆M 的半径r 的值.Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考数学参考答案选择题填空题13．−1 14．20 15．140 16．21 部分小题详解：7．解析：将−=αα5sin cos 1平方得−=αα2512sin cos 1，所以=αα252sin cos 24，则∈απ2(0,)。

浙江省2020届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。

1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()U A B =I ð（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221U A B =-=+∞，，，ð，所以()[)12U A B =I ，ð，故选C . 【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m P ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m P 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34y x =?【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =u u u u r u u u r ，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x =?，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B Ð为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2020年第一次全国大联考【浙江卷】文科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|560M x N x x =∈--<，{}3|22N x Z x =∈<<，则M N =I（ ）A.(2,6)B.{}3,4,5C.{}2,3,4,5,6D.[2,6] 2.“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（ ）A.3y x = B.cos 2y x = C.sin 3y x = D.tan(2)4y x π=+4.已知数列{}n a 是正项等比数列，满足2123n n n a a a ++=+，且首项为方程2230x x +-=的一个根.则下列等式成立的是（ ）A.121n n a S +=+B.21n n a S =+C.11n n a S +=+D.121n n a S -=-5.△ABC 中，5,3,7AB BC CA ===，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，则△ABD 的面积为（ ）A.532 B.52C.53D.5 6.已知函数()sin()(0,0,(0,))f x A wx B A w ϕϕπ=++>>∈的部分图象如图所示，则()2f π的值为（ ）A.2-B.1-C.0D.12-7.过双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的右焦点F ，且斜率为2的直线l 与双曲线相交于点,A B ，若弦AB 的中点横坐标取值范围为(2,4)c c ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.(3,4) B.(2,3) C.(3,4) D.(3,2)8.已知函数23()25(1),()log f x x ax a g x x =-+>=.若函数()f x 的定义域与值域均为[1,]a ，且对于任意的12,[1,1]x x a ∈+，12()()42t tf xg x -≤+恒成立，则满足条件的实数t 的取值范围是（ ）A.[2,8]-B.[0,8]C.[0,)+∞D.[0,8)第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，其中9—12题每小题两空，每题6分，13—15题每小题一空，每题4分，合计36分.请将答案填在答题纸上）9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为224n S n n c =-+，则首项1a = ；该数列的首项1a 与公差d 满足的()1da = .10.若实数,x y 满足不等式组1310220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则该不等式表示的平面区域的面积为 ；目标函数43z x y =+的最大值为 . 11.已知函数23()sin()sin()3cos ()2f x x x x πππ=--++-，则()4f π= ；该函数在区间[,]44ππ-上的最小值为 .12.已知直线l 过点(2,1),(1,1)P Q -，则该直线的方程为 ；过点P 与l 垂直的直线m 与圆222(0)x y R R +=>相交所得弦长为655，则该圆的面积为 . 13.三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA 与底边,AB AC 所成的角均为60o .若顶点1A 在下底面的投影恰在底边BC 上，则该三棱柱的体积为 .14.已知正数,a b 满足22a b +=，则11122a b+++的最小值为 .15.如图所示，△ABC 中，AB AC ⊥，6,8AB AC ==.边,AB AC 的中点分别为,M N .若O 为线段MN 上任一点，则OB OC OA OB OA OC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围是 .三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本大题满分14分）在△ABC 中，4,6AB AC ==，60BAC ∠=o.点A 在边BC 上的投影为点D . (1)试求线段AD 的长度；(2)设点D 在边AB 上的投影为点E ，在边AC 上的投影为F ，试求线段EF 的长度.17.（本大题满分15分）已知正项递增等比数列{}n a 的首项为8，其前n 项和记为n S ，且3222S S -=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足3232log ()116n nb a =+，其前n 项和为n T ，试求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n B .18.（本大题满分15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=o .,Q M 分别为,PA BC 的中点.(1)证明：直线//QM 平面PCD ；(2)若二面角A BD Q --所成角正切值为2，求直 线QC 与平面PAD 所成角的正切值.19.（本大题满分15分）已知抛物线2:4C y x =.直线:(8)l y k x =-与抛物线C 交于,A B （A 在B 的下方）两点，与x轴交于点P .(1)若点P 恰为弦AB 的三等分点，试求实数k 的值.(2)过点P 与直线l 垂直的直线m 与抛物线C 交于点,M N ，试求四边形AMBN 的面积的最小 值.20.（本大题满分15分）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+-⋅-. (1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 在[2,2]-上的最小值.MCDAPQ。

浙江新高考名校联考信息卷（一）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|213,{|4}x A x B y y x =+>==-，则A B =（ ）A. (1,0]-B. (0,1)C. (1,2]D. [0,2]【答案】C 【解析】 【分析】先解指数不等式得到集合A ，再根据函数的值域求得集合B ，最后根据集合的交运算求解即可．【详解】解：由{}|213(1,),{|[0,2]x A x B y y =+>=+∞===，则(1,2]A B ⋂=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查指数不等式的解法、函数的值域、集合的交运算，考查考生的运算求解能力．2.已知抛物线216y x =在第四象限内的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的15，则点M 的坐标为（ ） A. (1,4)B. (1,4)-C. (1,4)±D.(2,-【答案】B 【解析】【详解】解：设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义，得1(4)5x x =+，解得1x =， 代入抛物线方程得，4y =±． 又点M 在第四象限， 所以4y =-， 故(1,4)M -， 故选：B ．【点睛】本题主要考查拋物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算．3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z ai +=+，且z 在复平面内所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,2)-∞ B. [2,2)-C. (2,2]-D. (2,2)-【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的四则运算将复数z 化为(,)a bi a b R +∈的形式，再根据复数的几何意义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：由(1)2i z ai +=+， 得2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2ai ai i a a iz i i i ++-++-===++-． 因为z 在复平面内所对应的点在第四象限，所以20,20,a a +>⎧⎨-<⎩得22a -<<， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的几何意义及四则运算，考查考生的运算求解能力． 4.已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则cos ,5a b a b a b⋅==⋅若12m <，则cos ,05a b a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，若,a b 为钝角，则cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <”是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 5.已知函数()log |1|a f x x =+，其中0a >且1a ≠，若(1)0f <，则（ ） A. ()(2)f a f a >-B. ()(2)f a f a <-C. ()(2)f a f a =-D.(),(2)f a f a -的大小关系不确定【答案】B 【解析】 【分析】先根据()f x 得到函数()f x 的定义域及其图象的对称性，再根据(1)0f <判断a 的取值范围，得到()f x 的单调性，并据此判断(),(2)f a f a -的大小关系． 【详解】解：因为()log |1|a f x x =+，所以()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，且()f x 的图象关于直线1x =-对称． 因为(1)log 20a f =<， 所以01a <<，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增， 在(1,)-+∞上单调递减．易知10,(2)()a f a f a -<-<-=-， 由()f x 在(1,)-+∞上单调递减， 知()()(2)f a f a f a <-=-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．6.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. ()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式． 【详解】解：由题意知22πωπ==． 将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象， 因为其图像关于y 轴对称， 所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈． 又||2ϕπ<， 所以6π=ϕ．即()sin(2)6f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．7.设整数,x y 满足约束条件10,1,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+>⎨⎪--<⎩则目标函数222()2z x y x y =++++的最大值为（ ） A. 2B. 4C. 25D. 41【答案】C 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再确定目标函数的几何意义，最后数形结合求出目标函数的最值. 【详解】解：不等式组表示的可行域为如图所示的ABC 的内部及线段AC （不含端点）上的整数点．目标函数22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++， 其几何意义为可行域内的点与点(1,1)--距离的平方，由数形结合知，22222()2(1)(1)z x y x y x y =++++=+++在点（2,3）处取得最大值，且最大值为25， 故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划，考查考生的数形结合能力与运算求解能力．8.甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在,,A B C 三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（ ） A. 150 B. 210C. 240D. 280【答案】A 【解析】 【分析】先根据巳知条件将5个节目分成3组，再计算出每组分到三家电视台的排列数，最后利用分步乘法计数原理计算出正确答案．【详解】解：第一步：分组，将5个节目在三家电视台独家播放，每家电视台至少播放一个节目的分组方案有1,1,3和2,2,1这两种，当分组1,1,3时，共有1135432210C C C A =种分组方法， 当分组为2,2,1时，共有2215312215C C C A =种分组方法， 所以总的分组情况共有101525+=（种）．第二步；排列，将分好的组分配到三家电视台每一个组有33A 种分法．故不同的播放方案共有3325150A ⨯=（种），故选：A ．【点睛】本题主要考查排列数、组合数及两个计数原理的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．9.定义函数f （x ）3481221222x x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，＞，则函数g （x ）＝xf （x ）﹣6在区间[1，2n]（n ∈N *）内的所有零点的和为（ ） A. n B. 2nC.34（2n ﹣1） D.32（2n ﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】先画出()y f x =在12x ≤≤的图像，再利用1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭得其它定义域图像，再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置，即可求解 【详解】由()()60g x xf x =-=得6()f x x=，故函数的零点即为函数()y f x =和函数6y x =图象交点的横坐标．由1()22x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数()y f x =在区间[1,2]上的图象， 再依次作出在1[2,4],[4,8],,2,2n n-⎡⎤⎣⎦上的图象（如图）．然后再作出函数6y x=的图象，结合图象可得两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置， 由此可得函数()g x 在区间()12,2n n-上的零点为1223224n n nn x -+==⋅，故所有零点之和为()()21232134122n n nS --=⋅=-． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，归纳分析的思想，准确作图是关键，属于中档题10.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是线段,AB AD 的中点，现将AEF 沿EF 翻折至A EF '△的位置，使A '在平面ABCD 内的投影在EF 上，设直线A C '与平面BCD 所成的角为α，异面直线A F '与CE 所成的角为β，则α与β的大小关系是（ ）A. αβ>B. αβ=C. αβ<D. 不能确定【答案】C【分析】先过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，再连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ，则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角，然后求解即可. 【详解】解：由题意得平面A EF'⊥平面ABCD ， 过A '作A M EF '⊥于点M ，则A M '⊥平面ABCD ．连接CM ，则ACM '∠为直线A C '与平面BCD 所成的角，即ACM α'=∠．由题意可知1AE BE A E FD A F AF ''======， 则EFCE ==，所以22EM A M CM A C ''==== 所以cos CM A C α'==． 连接CF ，延长,BA CF 交于点T ，过点F 作//FG CE 交BT 于点G ， 则A FG '∠为异面直线A F '与CE 所成的角或其补角， 即A FG β'=∠或A FG πβ'-=∠． 因为FD AF =， 所以122FC TF GF CE ====． 连接,GM A G '，易知G 为ET 中点，M 为EF 中点，所以122GM TF ==，所以2A G '=， 所以57|1|cos cos cos A FG βα'+-=∠==<，所以，【点睛】本题主要考查平面图形的翻折、异面直线所成的角、线面角，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，合与多少肉．”意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差40文钱，买九两多16文钱，求肉数和肉价．则该问题中，哑子的钱为_________文． 【答案】88 【解析】 【分析】先阅读题意，然后设肉的价格为x 文两，可得1640916x x -=+，再求解即可. 【详解】解：设肉的价格为x 文两， 则1640916x x -=+， 解得8x =，故哑子的钱为1684088⨯-=（文），故答案为：88．【点睛】本题以古代数学文化为背景设题，考查考生的运算求解能力．12.已知随机变量ξ的分布列如下表所示，当14x y+取最小值时，x =_________，()E ξ=_________．【答案】 (1).16(2). 136 【解析】【分析】 先根据离散型随机变量的分布列的性质求出,x y 的关系，再根据基本不等式取等号的条件得出,x y 的值，最后根据分布列求出数学期望()E ξ．【详解】解：由题意得，1(0,0)2x y x y +=>>， 所以141442()252(54)18y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y x =，即11,63x y ==时取等号， 此时随机变量ξ的分布列为所以11113()1236236Eξ=⨯+⨯+⨯=，故答案为：16，136．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望及基本不等式的应用，考查考生的运算求解能力．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为_________．【答案】 (1). 6 (2). 1625+【解析】【分析】先根据几何体的三视图还原出该几何体的直观图，再利用体积与表面积的计算公式求解．计算体积时，可按照棱柱的体积公式直接计算，也可运用割补法进行求解．【详解】解：由三视图知，该几何体的直观图如图中几何体11BCC F ADD E-所示，是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，故其体积(12)2262V+⨯=⨯=，表面积22(12)222212212216252S+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯=+，故答案为：6，1625+．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积与表面积的计算、割补法的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．14.已知234560123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n x a a x a x a x a x a x a x -=++++++++++++，则n =________，3a =_________．【答案】 (1). 6 (2). 160-【解析】【分析】先根据二项展开式的最高次幂确定n 的值，再利用二项展开式的通项求解3a 的值即可．【详解】解：等式左边x 的最高次幂为n x ，等式右边x 的最高次幂为6x ，故6n =．66(1)[(1)2)x x ⎤-=+-⎦，其通项66166C (1)(2)(2)C (1)r r r r r r r T x x --+=+-⋅=-+， 令6r 3-=，解得3r =，故3336(2)160a C =-⨯=-，故答案为：6，160-．【点睛】本题主要考查二项展开式，考查考生的逻辑推理与运算求解能力．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若139,1a a ==，且m S ，()*122,3m m S S m ++∈N 成等差数列，则7a =_______，n S =_______．【答案】 (1). 181 (2). 33123n n --⨯ 【解析】【分析】由12,2,3m m m S S S ++成等差数列入手，根据n a 与n S 之间的关系得出数列{}n a 的递推关系式，再由已知得到{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列，最后求出7,n a S 即可． 【详解】解：因为12,2,3m m m S S S ++成等差数列，所以1243m m m S S S ++=+，即()1213m m m m S S S S +++-=-，即123m m a a ++=，所以数列{}n a 从第2项开始是公比为13的等比数列， 由31a =得23a =．因为19a =， 所以2113=a a ， 所以{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列， 故673191113139,13812313n n n n a S -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⨯=== ⎪⨯⎝⎭-， 故答案为：181，33123n n --⨯． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等比数列的通项以及前n 项和公式，考查逻辑推理能力、运算求解能力．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过左焦点1F 且与双曲线的左支交于,A B 两点，且满足1123,||AF BF AB BF ==，则双曲线C 的离心率为________．【解析】【分析】 设1BF x =，先利用双曲线的定义建立起x 与a 的关系，再借助余弦定理建立起x 与c 的关系，最后利用离心率的计算公式求解． 【详解】解：令1BF x =， 则123,||4AF x AB BF x ===． 连接2AF ，由双曲线的定义可知，21432BF BF x x x a -=-==，2123AF AF a x -==， 所以2136AF x AF x =+=．因为1212AF F BF F π∠+∠=，所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=．由余弦定理可得22222212129436416cos ,cos 23222x c x x c x AF F BF F x c x c+-+-∠=∠=⨯⨯⨯⨯， 所以2222229436416023222x c x x c x x c x c+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 得322c x =， 又32x a =， 所以双曲线C 的离心率2c e a ==， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查圆锥曲线的离心率，考查考生的运算求解能力．17.已知在ABC 中，对任意的,||||t BA tBC AC ∈-R 恒成立，且10,:4:3,AB AC BC P ==为ABC 内切圆上的点，则PA PB ⋅的取值范围是________．【答案】[1645,1645]---+【解析】【分析】先由向量加法、减法的几何意义判断出ABC 的形状，再利用数量积的概念选择合适的计算方法，最后结合圆的有关知识计算出取值范围即可．【详解】解：因为对任意的,||||t R BA tBC AC ∈-≥恒成立，所以AC BC ⊥．又10,:4:3AB AC BC ==，所以8AC =，6BC =．设ABC 内切圆的半径为r ，圆心为M ， 则1()22BAC r AB BC AC S AC BC ++==⋅， 所以2r ．以C 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(0,8),(6,0),(2,2)C A B M ，设(,)P x y ，则2222(,8)(6,)68(3)(4)25PA PB x y x y x x y y x y ⋅=--⋅--=-+-=-+--， 22(3)(4)x y -+-的几何意义为内切圆M 上的动点(,)P x y 与点(3,4)N 的距离的平方， 连接PN ，所以222(3)(4)||x y PN -+-=．连接MN ，因为||2NM =>，2||2PN -≤≤+，所以29||9PN ≤-≤+所以[1616PA PB ⋅∈---+，故答案为：[1616---+．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量加法、减法的几何意义，考查考生的数形结合能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.如图，在梯形ABCD 中，1//,2,2,6,cos 3AB CD BCD BAD BD AB BCD ∠=∠==∠=-．（1）求AD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案】（1）2AD =；（232. 【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式计算出BAD ∠的余弦值，再由余弦定理求出线段AD 的长；（2）根据图中角之同的关系求出sin CBD ∠，再由正弦定理求DC 的长，最后根据梯形ABCD 的面积为ABD △与CBD 的面积和求解．【详解】解：（1）因为12,cos 3BCD BAD BCD ∠=∠∠=-，所以2cos 2cos 1BCD BAD ∠=∠-， 即21cos 3BAD ∠=． 因为(0,)BCD π∠∈， 所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos BAD ∠= 在ABD △中，由余弦定理得，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠，即2462AD AD =+-解得AD =．（2）由（1）可得222AD BD AB +=， 所以2ADB π∠=，所以sin ABD ∠=． 因//AB CD 且ABD ∠为锐角，所以BDC ABD ∠=∠，所以sin sin 33BDC ABD BDC ∠=∠=∠==．由1cos 3BCD ∠=-，得sin 3BCD ∠=． 所以1sin sin()sin cos cos sin 3CBD BCD BDC BCD BDC BCD BDC ⎛⎫∠=∠+∠=∠∠+∠∠+- ⎪⎝⎭．在BCD 中，由正弦定理得，sin sin DC BD CBD BCD=∠∠，所以sin 6sin BD CBD DC BCD ⋅∠==∠， 所以梯形ABCD 的面积1132sin 222ABD BCD S S S AD BD BD CD BDC =+=⨯⨯+⨯⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，倍角公式，三角函数的诱导公式，正、余弦定理等知识，考查考生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．19.如图1，在梯形ABCD 中，//,90AB CD BCD ∠=︒，点E 在线段CD 上，且满足2223AB AD CD CE ====，将ADE 沿AE 翻折，使翻折后的二面角D AE B '--的余弦值为13-，如图2．（1）求证：AE BD '⊥；（2）求直线BC 与平面AED '所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质证得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证得线面垂直，最后根据线面垂直的性质定理证得线线垂直；（2）先通过作辅助线找到所求的线面角及二面角D AE B '--的平面角，再通过解三角形求相关线段的长度，即可得线面角的正弦值，也可根据垂直关系建立空间直角坐标系进行求解．【详解】解：（1）在梯形ABCD 中，连接,BE BD ，记BD AE O =．由题意易得//,AB DE AB DE =，所以四边形ABED 是平行四边形，又AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，所以BD AE ⊥，所以,BO AE D O AE '⊥⊥．又BO D O O '=∩，,BO D O '⊂平面BOD ， 所以AE ⊥平面BOD ，又BD '⊂平面BOD ， 所以AE BD '⊥．（2）因为AE ⊥平面,BOD AE '⊂平面AED '， 所以平面AED '⊥平面BOD ．过点B 作BH D O '⊥交D O '的延长线于点H ， 如图所示，因为平面AED '∩平面BOD OD ''=， 所以BH ⊥平面AED '．延长,AE BC 交于点P ，连接PH ，则BPH ∠为直线BC 与平面AED '所成的角． 由,BO AE D O AE '⊥⊥，得二面角D AE B '--的平面角为BOD '∠， 则1cos 3BOD '∠=-，所以1cos ,sin 33BOH BOH ∠=∠=． 由四边形ABED 是菱形， 且易得23BED BEC ππ∠=-∠=， 得BAE △为等边三角形，所以BO =，所以26sin BH BO BOH =⋅∠=． 在ABP △中，易知EC 为ABP △的中位线，3BC =，所以223BP BC ==，所以2623sin 323BH BPH BP ∠===， 即直线BC 与平面AED '所成角的正弦值为23．【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，线面角正弦值的求解，考查考生的运算求解能力、空间想象能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想．20.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1n S a a ==，且满足*1123,2,n n n S S S n n n -++=+≥∈N ．设11n n n b a a +--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n c a tb =-，若0n n c T +≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）[1,)+∞.【解析】【分析】（1）利用已知等式以及n S 和n a 的关系得到递推关系式，再根据定义证明数列{}n b 是等比数列；（2）求出{}{},n n a b 的通项公式及n T ，进而求出n c ，最后根据0n n c T +≥恒成立求出实数t 的取值范围．【详解】解：（1）因为()*11232,n n n S S S n n n N-++=+≥∈，①所以21231n n n S S S n +++=++，②②-①得，21231n n n a a a +++=+． 所以()2111112n n n n a a a a +++--=--， 又11n n n b a a +--=， 即*11(2),2n n b b n n N +=≥∈． 在①中，令2n =得，()()112312232a a a a a a +++=++，又121a a ==，所以332a =． 所以121232111,12b a a b a a =--=-=--=-，即2112b b =． 所以()*112n n b b n N +=∈， 故数列{}n b 是以1-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可得，112n n b -=-， 所以111112,122n n n n n T a a +--=-+-=-， 所以2n ≥时，()()12112021111112222n n n n n a a a a a a n ---⎛⎫⎛⎫=-++-+=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当1n =时，11a =适合上式，所以()*2122n n a n n N -=-+∈． 所以1222n n t c n -+=-+， 所以111213224222n n n n n t t c T n n ---+++=-+-+=-+．令0n n c T +≥，得13402n t n -+-+≥，即13(4)2n t n -+≥-恒成立． 令1(4)2n n k n -=-，则12343,4,0k k k k ====．当4n >时，0n k <，所以34t +≥，解得1t ≥，故实数t 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，考查考生的推理论证能力．21.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别为,A B ．设点(2,)(0)M m m >，连接MA 交椭圆于点C ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若||||OC CM =，求四边形OBMC 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）43. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长以及,,a b c 之间的关系列出方程组，解方程组得到,a b 的值，即得椭圆的标准方程；（2）先写出直线AM 的方程，并与椭圆的方程联立，得到点C 的坐标，连接OM ，取OM 的中点R ，根据||||OC CM =，可得CR OM ⊥，即可求得m 的值，进而可求四边形OBMC 的面积．【详解】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，所以222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以1a b ==， 所以该椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）因为点)(0),(M m m A >，所以直线AM的方程为y x =，即(4y x =+．由221,2(4x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得()22224280m x x m +++-=．设(),C x y ''，则22284m m '-=+，所以x '=，所以244m y m '=+． 连接OM ，取OM 的中点R ，则22m R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连接CR ，因为||||OC CM =，所以CR OM ⊥．又32OM CR m y k k '-===31=-， 即42280m m +-=，所以m =，所以四边形OBMC的面积114223ABM AOC S S S =-=⨯=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、根与系数的关系、四边形面积的求解等，考查数形结合思想、运算求解能力．22.已知函数()(21)ln (2)f x x x a =-+-+，其中a 为实数．（1）求()()21f xg x x =+的单调区间； （2）若0a >，则当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x +++≤-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先求出函数()g x 的解析式，再对其求导，利用导数与函数单调性的关系即可求解；（2）先通过分类讨论去掉绝对值，再将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后根据函数的单调性求出最值，则问题获解．【详解】解：（1）由题意得，()()2()ln 02121+==-->++f x a g x x x x x ， 所以222124421()(21)(21)a x ax g x x x x x '+-+-=-+=++． 所以0a ≤或24160a ∆=-≤时，()0g x '≤恒成立，即当2a ≤时，()0g x '≤恒成立，所以()gx 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．当2a >时，令()0g x '>x << 令()0g x '<，得0x <<或x >，所以()g x 的单调递增区间为⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，当2a ≤时，()g x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当2a >时，()g x ）的单调递增区间为44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,,44a a ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|()22ln 2|2a f x a x x x+++≤-恒成立， 等价于当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，3|ln |2a x a x +-≤恒成立． 由21,e x ⎡⎤∈⎣⎦得ln [0,2]x ∈． 令2()|ln |,1,e a A x x a x x⎡⎤=+-∈⎣⎦． ①若2,()ln ,a a A x a x x≥=+- 21()0,()a A x A x x x'∴=--<在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max ()(1)2A x A a ==，所以322a ≤， 则34a ≤，与2a ≥矛盾，故此时a 不存在． ②若02a <<，当1e a x ≤≤时，21()ln ,()0a a A x a x A x x x x'=+-=--<， ()A x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以max 3()(1)22A x A a ==≤，此时304a <≤，符合题意． 当2e e a x <≤时，221()ln ,()a a x a A x x a A x x x x x'-=+-=-+=．令()0A x '=得x a =．令()x B x e x =-，则()e 10xB x '=->在(0,2)上恒成立，所以()B x 在(0,2)上单调递增，所以当(0,2)x ∈时，(0)1x e x B ->=，所以e a a <． 所以()0,'>A x 则()ln =+-a A x x a x在(2,a e e ⎤⎦上单调递增， 所以()2max 2()2==+-a A x A e a e， 所以2322+-≤a a e ， 即()2221e a e ≥-． 又()()222113242121e e e =+<--， 所以()223421e a e ≤≤-． 综上，实数a 的取值范围为()223,421e e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式恒成立问题，考查考生的逻辑推理能力，运算求解能力，分析问题、解决问题的能力．。

有的 m；若不存在，请说明理由．
解析
浙江名校新高考研究联盟 2020 届高三第一次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0} ， B {x‖x 1| 1} ，则 CR A B （ ）
A．[1,0) (2,3]
B． (2,3]
浙江名校新高考研究联盟 2020 届高三第一次联考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0} ， B {x‖x 1| 1} ，则 CR A B （ ）
A．[1,0) (2,3]
B． (2,3]
C． ( , 0) (2, )
【点睛】
本题考查与分段函数有关的不等式，会对 a 进行分类讨论，使 f (a) 取不同的解析式，从而
将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.
【详解】
设 A(0, y0 ) ，两圆的圆心距 d y02 32 ， 因为以 A 为圆心、半径为 3 的圆与圆 C 有公共点， 所以 3 1 d 3 1 2 y02 32 4 ，解得 7 y0 7 ，选项 B、C、D 不合题意，
故选 A. 【点睛】
8
本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵
EDC 60 ，则 BE ________， cosCED ________.
15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不
能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）．
16．已知 A, B 是抛物线 y2 4x 上的两点， F 是焦点，直线 AF , BF 的倾斜角互补，记

2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合A ={x||x|>1,x ∈R}，B ={y|y =2x 2,x ∈R}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−1≤x ≤1}B. {x|x ≥0}C. {x|0≤x ≤1}D. ⌀2. 双曲线y 24−x 25=1的离心率的值为( )A. 12B. 23C. 32D. √533. 己知两个不重合的平面α、β和直线a 、b ，下列说法正确的是( )A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a ⊂α，b ⊂β，且a//b ，则α//βC. 若a ⊥α，b ⊥β，且a//b ，则α//βD. 若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥b4. 已知x ，y 满足{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1,则z =2x +y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)与圆E ：(x −3)2+(y −4)2=16有公共点，则r 的范围() A. (3,6) B. [1,7] C. [1,9] D. [4,8]6. 已知函数f(x)={log 13x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是( )A. (0,√33)B. (−1,0]C. (−1,√33)D. (−1,0)∪(0,√33)7. 函数f(x)=(x +1x )cos2x 在[−2,2]上的大致图象为( )A. B.C. D.8.如图，已知△ABC中，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′−CD−B的平面角为α，则()A. ∠A′DB≤αB. ∠A′DB≥αC. ∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α9.函数f(x)=2x2−5x−6有两个零点x1，x2(x1<x2)，则()．A. x1∈(0,1)B. x1∈(1,2)C. x2∈(3,4)D. x2∈(4,5)10.数列{a n}满足，若a1=35，则a2014=()A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z=3+i1+i，则∣z∣=_____________．12.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______ cm2，体积是______ cm3．13.已知(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=_______14.已知△ABC中，AC=√2，BC=√6，∠ACB=π6，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=π4，则CD=_________．15.某学校在一天上午的5节课中，安排语文、数学、英语三门文化课和音乐、美术两门艺术课各1节，且相邻两节文化课之间最多安排1节艺术课．则不同的排课方法共有______种(用数字作答)．16.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．17.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=cos2x+2sinxcosx−sin2x；(1)求f(x)在[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(α)=35√2，α∈(π8,π2)，求sin2α的值．19.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．20. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3=9，a n+12=6S n +9n +9，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若正项等比数列{b n }满足b 1=a 2，b 2=a 1，且c n =a n ·b n ，数列{c n }的前项和为T n .求证T n <72；21. 如图，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F(1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M,N 两点，连接MO(O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求面积的最大值及取最大值时直线l 的方程。