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1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]({n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：（1）直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（（2）基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ2．N 点FFT 的运算量大约是（ ）。
解：N N2log 2次复乘和N N 2log 次复加 5．基2FFT 快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用knN W 的特性，将N 点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT ，最后再组合起来。
复乘次数：NN 2log 2，复加次数：N N 2log计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e)(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj eH 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth 数字带通滤波器，抽样频率Hz f s 720=，上下边带截止频率分别为Hz f 601=，Hz f 3002=。
一、单项选择题1．数字信号的特征是( )A.时间离散、幅值连续B.时间离散、幅值量化C.时间连续、幅值量化D.时间连续、幅值连续2．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为y(n)=R 2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时，输出为( )A.R 2(n)-R 2(n-2)B.R 2(n)+R 2(n-2)C.R 2(n)-R 2(n-1)D.R 2(n)+R 2(n-1)3．下列序列中z 变换收敛域包括|z|=∞的是( )A.u(n+1)-u(n)B.u(n)-u(n-1)C.u(n)-u(n+1)D.u(n)+u(n+1)4．下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( )A.DFT 是一种线性变换B.DFT 具有隐含周期性C.DFT 可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析5．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )A.N ≥MB.N ≤MC.N ≥M/2D.N ≤M/2 6．基-2 FFT 算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算7．以下对有限长单位冲激响应（FIR ）滤波器特点的论述中错误的是( )A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性B.FIR 滤波器的单位冲激抽样响应h(n)在有限个n 值处不为零C.系统函数H(z)的极点都在z=0处D.实现结构只能是非递归结构8．下列结构中不属于IIR 滤波器基本结构的是( )A.直接型B.级联型C.并联型D.频率抽样型9．下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( )A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系B.能将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器C.使用的变换是s 平面到z 平面的多值映射D.可以用于设计低通、高通和带阻等各类滤波器10．离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π)的周期是( ) A.7 B.14/3 C.14 D.非周期 11．下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。
1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。
（3）试求8点圆周卷积。
解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5);(4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5);n12340.5x(3-n)x[((n-1))]n43210.5n12340.5x[((-n-1))6]3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为)21)(5.01()1(2)(111------=z z z z H试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。
解0.52ReIm系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<211111213/25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H)1(232)()5.0(34)(--+=n u n u n h n n4．设x(n)是一个10点的有限序列x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。
(1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=90)(k k X,（4）∑=-95/2)(k k j k X eπ解：（1） （2）（3）（4）5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 214][]0[190===∑=n N n x X W 12][][]5[119180510-=-===⎩⎨⎧-=∑∑====奇偶奇数偶数n n n n n n x n x X n n W20]0[*10][][101]0[99===∑∑==x k X k X x k k 0]8[*10][][101]))210[((][]))[((2)10/2(92)10/2(910)/2(===-⇔--=-=-∑∑x k X ek X ex k X e m n x k j k k j k m N k j N πππy(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2} (2)5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2y 1(n)= x(n)⑥h (n)= {-13,4,-3,13,-4,3}(3)因为8>(5+3-1),所以y 3(n)= x(n)⑧h (n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y 3(n)与y(n)非零部分相同。
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。
（3）试求8点圆周卷积。
解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1}2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3}3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0}2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n);(3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5);(4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5);n12340.5x(3-n)x[((n-1))]n43210.5n12340.5x[((-n-1))6]3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为)21)(5.01()1(2)(111------=z z z z H试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。
解:0.52ReIm系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<211111213/25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H)1(232)()5.0(34)(--+=n u n u n h n n4．设x(n)是一个10点的有限序列x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。
(1) X(0), (2) X(5), (3)∑=9)(k k X ,（4）∑=-95/2)(k k j k X eπ解：（1） （2）（3）（4）5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 }(1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）14][]0[190===∑=n Nn x X W 12][][]5[119180510-=-===⎩⎨⎧-=∑∑====奇偶奇数偶数n n n n n n x n x X n n W20]0[*10][][101]0[99===∑∑==x k X k X x k k 0]8[*10][][101]))210[((][]))[((2)10/2(92)10/2(9010)/2(===-⇔--=-=-∑∑x k X ek X ex k X e m n x k j k k j k m N k j N πππ5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 2y(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2}(2)5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2y1(n)= x(n)⑥h(n)= {-13,4,-3,13,-4,3}(3)因为8>(5+3-1),所以y3(n)= x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0}y3(n)与y(n)非零部分相同。
数字信号处理习题集第一章习题1、已知一个5点有限长序列，如图所示，h (n )=R 5(n )。
（1）用()n δ写出()x n 的函数表达式；（2）求线性卷积()y n =()x n *()h n 。
2、已知x (n )=(2n +1)[u (n +2)-u (n -4)],画出x (n )的波形，并画出x (-n )和x (2n )的波形。
3、判断信号3()sin 73x n n ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭是否为周期信号，若是求它的周期。
4、判断下列系统是否为线性的，时不变的，因果的，稳定的？ （1）2()(3)y n x n =-，（2）0()()cos()y n x n n ω= 5、已知连续信号()2sin(2),3002a x t ft f Hz ππ=+=。
（1）求信号()a x t 的周期。
（2）用采样间隔T=0.001s 对()a x t 进行采样，写出采样信号ˆ()a x t 的表达式。
（3）写出对应于ˆ()a xt 的时域离散信号()x n 的表达式，并求周期。
6、画出模拟信号数字处理的框图，并说明其中滤波器的作用。
第二章习题1、求下列序列的傅立叶变换。
（1）11()333nx n n ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，（2）[]2()()()n x n a u n u n N =--2、已知理想低通滤波器的频率响应函数为：000(),0j n j e H e n ωωωωωωπ-⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩c c 为整数，求所对应的单位脉冲响应h (n )。
3、已知理想高通滤波器的频率响应函数为：00()1j H e ωωωωωπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩cc ，求所对应的单位脉冲响应h (n )。
4、已知周期信号的周期为5,主值区间的函数值=()(1)n n δδ+-,求该周期信号的离散傅里叶级数和傅里叶变换.5、已知信号()x n 的傅立叶变换为()j X e ω，求下列信号的傅立叶变换。
（1）(3)x n - （2）*()x n -6、已知实因果信号()x n 如图所示，求()e x n 和()o x n 。
7、已知实因果信号()x n 的偶分量为{-2,-3,3,4,1,4,3,-3,-2},求信号()x n 。
8、已知信号()cos(2100),300a s x t t f Hz π==,对信号采样,得到时域采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号x(n),求:(1)写出信号()a x t 的傅里叶变换.(2)写出时域采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号x(n)的表达式. (3)求时域采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号x(n)的傅里叶变换. 9、求下列信号的Z 变换或反变换（1）()3(3)n x n u n =- （2）4()2()n x n R n = （3）()||.(.)(.)2050503z X z z z z =>--（4）().||.(.)(.)2102030203z X z z z z +=<<--10、已知稳定离散时间系统的差分方程为: ()10/3(1)(2)()y n y n y n x n --+-=, 求(1)系统函数和单位脉冲响应。
(2)若()()x n u n =,求系统的零状态响应。
(3)写出频率响应函数()j H e ω。
(4)若输入为0()j n x n e ω=，求输出y (n )。
11、一个离散时间系统有一对共轭极点：/4/4120.8,0.8j j p e p e ππ-==，且在z=1处有一阶零点。
H(0)=1,（1） 写出该系统的系统函数H(z), 并画出零极点图。
（2） 试用零极点分析的方法大致画出其幅频响应（0～2π）。
（3） 若输入信号2()j nx n eπ=，求该系统的输出y(n)。
第三章习题1、计算下列序列的8点DFT (1)()(3)x n n δ=- (2)()()2(4)x n n n δδ=+-2、()()(3)(5)x n n n n δδδ=+-+-,求该信号的6点DFT.3、已知()(21)[(2)(3)]x n n u n u n =++--，若4()(())y n x n =，画出x (n )和y (n )的波形。
4、已知5()()x n R n =，求它的DTFT ()j X e ω，若对ω在[0,2π]内做N 点等间隔采样得到X （k ），（1）写出X （k ）的表示式，并说明在何种情况下可以由X （k ）恢复出()j X e ω，写出内插公式。
（2）求IDFT[X (k )].5、已知信号()2()(1)(2)x n n n n δδδ=+-+-,()(2)3()(1)2(3)h n n n n n δδδδ=++--+-, (1)求66(())()h n R n -⎡⎤⎣⎦，并画出它的波形。
(2)求线性卷积66()()*(())()y n x n h n R n =-⎡⎤⎣⎦. (3)求()x n 和66(())()h n R n -⎡⎤⎣⎦的6点循环卷积.(4)若用循环卷积求解线性卷积,循环卷积的长度为多少?6、已知一个5点有限长序列，如图所示。
（1）画出波形188()((3))()x n x n R n =-和266()(())()x n x n R n =-的波形。
（2）求线性卷积：()y n =2()*()x n x n （3）求6点循环卷积()y n =()x n2()x n 。
（4）若用循环卷积求解线性卷积，则循环卷积至少要求几点？7、已知实序列x(n)的9点DFT 为X(k), X(0)=1, X(1)=2+j, X(2)=2, X(3)=0.5-0.1j, X(4)=1-0.5j ，（1）求出整个X （k ）。
（2）若199()((3))()x n x n R n =-，求1()X k 。
（3）若2/321()()j n x n x n e π=，求2()X k 。
8、已知x (n )为N 点序列，n =0，1，…，N -1，N 为偶数，其DFT 为X (k ). 令()()12()1,()(1)n y n x N n y n x n =--=-，y 1(n )和y 2(n )为N 点序列，试用X (k )表示Y 1(k )和Y 2(k ).9、用微处理机对实数序列做谱分析，要求频率分辨率20F ≤Hz ，信号最高频率为1kHz ，试确定以下参数： （1）最小记录时间Tmin ； （2）最大取样间隔Tmax ； （3）最少采样点数Nmin ；（4）在采样频率不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的最小采样点数N 。
第四章习题1、画出4点基2 DIT-FFT和DIF-FFT运算流图。
2、做32点FFT时，求数字15的倒序数。
3、y(n)=x(n)*h(n),x(n)和h(n)分别为长度为8和5的序列，若用FFT来求解线性卷积，则要做几点的FFT。
4、采用基2FFT算法用来计算N=32点DFT，求需要计算复乘法的次数和复数加法的次数。
第五章习题1、已知因果离散时间系统的差分方程为: ()10/3(1)(2)()y n y n y n x n --+-=, 求(1)判断该系统是IIR 系统还是FIR 系统. (2)画出系统的级联型,并联型和直接型的网络结构.2、设某FIR 数字滤波器的系统函数为12456()(13553)H z z z z z z -----=+---＋，试求（1）该滤波器的单位取样响应)(n h 的表示式，并判断是否具有线性相位；（2）()j H e ω的幅频响应和相频响应的表示式；（3）画出该滤波器流图的直接型结构和线性相位型结构图，比较两种结构，指出线性相位型结构的优点。
3、设某FIR 数字滤波器的系统函数为12345()(12552)H z z z z z z -----=++++＋，试求（1）该滤波器的单位取样响应)(n h 的表示式，并判断是否具有线性相位；（2）()j H e ω的幅频响应和相频响应的表示式；（3）画出该滤波器流图的直接型结构和线性相位型结构图，比较两种结构，指出线性相位型结构的优点。
第六章习题1、已知模拟系统函数为3()(2)(4)asH ss s+=++，试用双线性变换法和脉冲响应不变发将该模拟传递函数转变为数字传输函数)(zH，采样周期T=0.2s。
2、已知数字高通滤波器,要求通带截止频率ωp=0.8π rad，通带衰减不大于3 dB，阻带截止频率ωs=0.5π rad，阻带衰减不小于18 dB。
采样周期T=1s。
(1) 利用双线性变换法确定模拟高通滤波器的边界频率。
(2)确定模拟低通滤波器的边界频率。
(3)设计该巴特沃斯滤波器。
第七章习题1、用矩形窗设计线性相位FIR 滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10，希望逼近的理想低通滤波器()j d H e ω为0()0j j d e H e ωαωωωωωπ-⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩c c（1）求单位脉冲响应()d h n ;（2）求出加矩形窗设计的FIR 低通滤波器的单位脉冲响应h(n),确定α与N 的关系。
2、设某FIR 数字滤波器的系统函数为1234()(1353)H z z z z z ----=+++＋，试求（1）该滤波器的单位取样响应)(n h 的表示式，并判断是否具有线性相位；（2）()j H e ω的幅频响应和相频响应的表示式；（3）画出该滤波器流图的直接型结构和线性相位型结构图，比较两种结构，指出线性相位型结构的优点。
