20.数列{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，81=a ，161=b ，且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，1,2,3n = 。
（1）求2a ，2b 的值；
（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n ，有7
211111121<-++-+-n a a a 。 20.（1）24，36；（2）2)1(4+=n b n ，)1(4+=n n a n ；（3）见解析
【解析】（1）由题意得1122b a a =+，可得211224a b a =-=。由2212a b b =可得2221
==36a b b ；（2）因为且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，所以1=n n n b a a ++①，因为n b ，1+n a ，
1+n b 成等比数列，所以211=n n n a b b ++，因为{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +
②，于是，当2n ≥时，n a ，因
此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n -=+，于是()2=41n b n +。由③式，可得当2n ≥时，()=41n a n n +，当=1n 时，1=8a ，满足上式，
所以对一切正整数n ，都有()=41n a n n +；（3）由（2）可知，所证明的不等式为211112723474417n n +++<+- ，首先证明)1
11(7214412+-<-+n n n n ，即证n
n n n 772144122+<-+，即证022>-+n n ，即证0)2)(1(>+-n n ，所以当2n …时，72217271)]111()3121[(72711441471231712=⨯+<+-++-+<-+++++n n n n 。当1n =时，7271<。综上所述:对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a 。 解析中的1=n n n b a a ++改为21=n n n b a a ++
数学专业学科卷二
19.已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-
+-∈．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合。
19. （1）π（2）{x|x ＝k π＋5π12，k ∈Z} 【解析】(1)∵f(x)＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π。
(2)当f(x)取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，
有2x －π3＝2k π＋π
2，
即x ＝k π＋5π
12 (k ∈Z)，
∴所求x 的集合为{x|x ＝k π＋5π12，k ∈Z}。 解析中的3，因印刷问题不太明显。
