13.4 课题学习 最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题(Ⅰ)如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？依据：两点之间,线段最短.(Ⅱ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

作法：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。

根据：两点之间，线段最短.(Ⅲ)两点在一条直线同侧★★★如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？答：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．(Ⅳ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求．(Ⅴ)造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。

）例．如图，两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【思考】如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离呢？【进一步的思考】如果A、B两地之间有三条平行的河流呢？【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用粗实线画出来．。

13.4 课题学习最短路径问题一、解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所.例题1：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．注意：距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．【练习】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？警误区：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．二、解决“两线＋一点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。

试画出图形，并说明理由.三、解决“两线＋两点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋两点”型最短路径问题，要每点做一次轴对称，从而构造出最短路径．例题3：圣林中学八年级举行元旦联欢会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a四、造桥选址问题：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．例题4：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？注：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．。

13.4课题学习最短路径问题课前准备一、课标分析《数学课程标准（实验稿）》要求：本课题学习通过两个极值题使学生了解解决最短路径问题的一些基本方法，并体会其中蕴含的化归思想。

二、教材分析随着课改的深入，数学更贴近生活，“课题学习”作为初中数学四大领域之一，是改“学数学”为“做数学”，培养学生创新实践能力的较好内容之一。

也出现了解决生产、经营中的省时、省力寻求最短路径问题，这类问题一般借助“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”来解决；当条件不同，解决问题的方法也有所不同，本节课通过两个实际问题使学生了解解决最短路径问题的基本方法，并体会化归思想，并渗透数学来源于生活服务与生活的数学思想。

三、学情分析学生在初一已经学习了“两点之间线段最短”在“三角形”一章学习了“三角形三条边之间的关系”并且了解了平移与轴对称的相关概念和性质，由于八年级学生还是第一次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。

四、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，并体会其中的化归思想；2、能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”和“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和“最小问题”转化为“两点之间线段最短”最短问题；3、通过选取一个量，与求证的那个“最小”的量进行比较，了解证明最短路径的基本方法；4、在探究最短路径的过程中，体会轴对称的桥梁作用，进一步体会转化思想；5、利用轴对称等相关知识解释生活中的现象，及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、交流论证的过程中发展空间观念，激发学习兴趣。

教学重点：将实际问题转化为数学问题，将同侧两点转化为异侧两点；教学难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，证明最短路径的基本方法。