2017_2018学年高中数学课下能力提升(含答案)十三总体特征数的估计苏教版必修3

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3总体特征数的估计（一） 【新知导读】1.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则该电池的平均寿命估计是( ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．302．如果1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 的平均数为3，那么12(3)a -、22(3)a -、32(3)a -、42(3)a -、52(3)a -、62(3)a -的平均数为 ( )A ．0B ．3C ．6D ．13.2004奥运首金获得者杜丽在决赛中的成绩如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 环数9.410.610.710.410.410.110.210.810.810.6下列说法正确的是（ ）A ．平均成绩是(9.4+10.62+10.7+10.42+10.1+10.2+10.82)10=10.5⨯⨯⨯÷B ．众数是10.8环C ．极差是1.2环D ．中位数是10.5环，比平均成绩高0.1环 【范例点睛】例1 李先生是一家快餐店的经理，下面是该快餐店所有工作人员8月份的工资表： 李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务员 会计 3000元450元350元400元320元320元410元(1) 计算所有人员8月份的平均工资；(2) 计算出平均工资能反映打工人员这个月收入的一般水平吗？(3) 去掉李某工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般打工人员当月的收入水平吗？ 【课外链接】1．如果数据1x 、2x 、3x 、．．．n x 的平均数是10，则数据172x -，272x -，372x -，．．．，72n x -的平均数为___________________ ．【随堂演练】1．从测量所得数据中取出a 个x ，b 个y ，c 个z ，d 个ω组成一个样本，则这个样本的平均数x 是（ ） A ．4x y z ω+++ B ．4a b c d +++ C ．ax by cz d a b c d ω++++++ D ．4ax by cz d ω+++2．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么MN为( ) A ．4041 B ．1 C ．4140 D ．2 3．设n 个实数1x ，2x ，．．．，n x 的算术平均数为x ，若a x ≠，设2212()()p x x x x =-+-+323()...()n x x x x -++-，2222123()()()...()n q x a x a x a x a =-+-+-+-，则一定有( )A ．p q >B ．p q <C ．p q =D ．p q =4．某商店备有100千克蔬菜，上午按1.2元/千克的价格售出50千克，中午按1元/千克的价格售出30千克，下午按0.8元/千克的价格售出20千克，那么这批蔬菜的平均售价是每千克____________元．5．一位教师出了一份含有3个问题的测验卷，每个问题1分．班级中30%的学生得了3分，50%的学生得了2分，10%的学生得了1分，另外还有10%的学生得0分，则全班的平均分是_________． 6．已知一个数列有11项，其平均值为1.78,且该数列的前10项的平均值为1.74,则该数列的第11项的值为 __________．7．有一容量为100的某校毕业生起始月薪的样本．数据的分组及各组的频数如下： 起始月薪(百元) [13,14) [14,15) [15,16) [16,17) [17,18) [18,19) [19,20) [20,21) 频数711262315846从上表中，估计该校毕业生起始月薪平均值是______________．8．某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽10名男生测验100m 短跑，测得成绩如下(单位：s )：甲 15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 14.7 15.2 14.5 乙 15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 14.9 15.1 15.2 问哪个班男生100m 短跑平均水平高一些？9．一个球队所有队员的身高如下：(单位：cm)178,179,181,182,176,183,180,183,175,181,185,180,184．问这个球队的队员的平均身高是多少(精确到1cm)?10．学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：工作态度教学成绩业务学习王老师98 95 96张老师90 99 98(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？2.3总体特征数的估计（一）【新知导读】1．B 2．A 3．C【范例点睛】例1．(1)平均工资1(3000450350400320320410)7507x=++++++=元．(2)由(1)所得的平均工资不能反映打工人员这个月的收入水平，这是因为李某工资值为异常值．(3)除李某外的人员平均工资为1(450350400320320410)3756x=+++++=元，则平均工资能代表一般打工人员的当月收入水平．【课外链接】1．68【随堂演练】 1．C 2．B 3．B4．1.06 5．2分 6．2.18 7．1648元. 8. 解：1(15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5)14.810x +++++++++=甲＝()s ，1(15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2)15.0()10x s +++++++++=乙＝．x x <乙甲，∴甲班男生短跑水平高些．9．解：1(17817918118217618317618018317518118514x =++++++++++++ 180+)184180≈(cm) ．10．解：(1)王老师的平均分是(989596)396++÷≈．张老师的均分是：(909998)395.7++÷≈．王老师的平均分较高，评王老师为优秀．(2)王老师的平均分是(9820%9560%9620%)95.8⨯+⨯+⨯=，张老师的平均分为(90⨯20%9960%+⨯9820%)97+⨯=．张老师的得分高，评张老师为优秀．。

课时跟踪检测（十三） 平均数及其估计层级一 学业水平达标1．已知1,2,3,4，a ，b ，c 的平均数是8，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：据题意17(1＋2＋3＋4＋a ＋b ＋c )＝8，∴a ＋b ＋c ＝46. 答案：462．已知2,4,2x,4y 四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y 四个数的平均数是9，则xy 的值是________．解析：据题意⎩⎪⎨⎪⎧14＋4＋2x ＋4y ＝5，14＋7＋4x ＋6y ＝9，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴xy ＝6. 答案：63．在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是________．解析：x ＝140(6×2＋7×5＋8×7＋9×11＋10×15)＝8.8.答案：8.81． 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)．则甲种树苗高度平均为________；乙种树苗的高度平均为________；甲、乙两种树苗高度平均为________．解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为2349＝26，乙树苗高度平均为29810＝29.8，甲、乙两种树苗高度平均为119(234＋298)＝28.答案：26 29.8 285．50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8. 列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分． 解：频率分布表如下：法一：总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3 810(分)， 故50名同学的数学平均分约为3 810÷50＝76.2(分)． 法二：求组中值与对应频率之积的和．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分)．层级二 应试能力达标1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．答案：－31． 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.答案：91.5,91.53．一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是________万元，年收入的中位数是________万元．解析：年平均收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3. 答案：2.8 34．已知x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是________．(填序号)①x ＝40a ＋60b 100；②x ＝60a ＋40b100；③x ＝a ＋b ；④x ＝a ＋b2.答案：①5．已知数据x 1，x 2，…，x 8的平均数为6，则数据2x 1－6,2x 2－6，…，2x 8－6的平均数为________．答案：66．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为h ，y 1，y 2，…，y m 的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为____________．答案：nh ＋mk n ＋m7．一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．解析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，x ＝13(30＋90＋135)＝85(万)．答案：858．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是________．(2)所有员工工资的中位数是________．(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.(填“能”或“不能”)解析：(1)平均工资为(3 000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.(2)由表格可知中位数为450.(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．答案：(1)810 (2)450 (3)中位数(4)445 能9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x ＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．10．有一组数据：x 1，x 2，…，x n (x 1<x 2<…<x n )的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.(1)求出第一个数x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式；(2)若x 1，x 2，…，x n 都是正整数，试求第n 个数x n 的最大值，并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据．解：(1)依条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n ， ①x 1＋x 2＋…＋x n －1＝n －， ②x 2＋x 3＋…＋x n ＝n －， ③由①－②得x n ＝n ＋9.又由①－③得x 1＝11－n .(2)由于x 1是正整数，故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10，故x n ＝n ＋9≤19.当n ＝10时，x 1＝1，x 10＝19，x 2＋x 3＋…＋x 9＝80，此时，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝9，x 6＝11，x 7＝12，x 8＝13，x 9＝14.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三7.总体特征数的估计（A）（时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8频数10 13 x 14 15 13 12 9第三组的频数和频率分别是 .2．已知一组数据为0，-1，x，15，4，6，且这组数据的中位数为5，则数据的众数为 .3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为 .4．x是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是 .(1)4060100a bx+=(2)6040100a bx+=(3)x= a+b (4) x=2a b+5．下列说法中，正确的是．(1)数据5，4，4，3，5，2的众数是4(2)一组数据的标准差是这组数据的方差的平方(3)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半(4)频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数6．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26．26，则下列说法中正确的是．(1)甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐(2)乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐(3)甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐(4)不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度7．某影院有50排座位，每排有60个座位，一次报告会上坐满了听众，会后留下座号为18的听众50人进行座谈，这是运用了抽样.8．已知同一总体的两个样本，甲的样本方差为121+，乙的样本方差为32-，则下列说法正确的是 .(1)甲的样本容量小(2)乙的样本容量小(3)甲的波动较小(4) 乙的波动较小9．下列说法正确的是．（1）根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关（2）方差和标准差具有相同的单位（3）从总体中可以抽取不同的几个样本（4）如果容量相同的两个样本的方差满足S12<S22，那么推得总体也满足S12<S22是错的10．一总体由差异明显的三部分数据组成，分别有m个、n个、p个，现要从中抽取a个数据作为样本考虑总体的情况，各部分数据应分别抽取、、．11．在讨论某项重大改革时，有人表示反对，认为此项措施对不同行业人的影响差异太大，因此决定抽查相关人员对此项改革的拥护率，并认为采用抽样方式比较合适．12．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60，0.25，则n的值是．13．已知一组数据x ，－1，0，3，5的方差为S 2=6.8，则x= ．14．在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分)写出下列各题的抽样过程(1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本. (2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行.(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的测得进行得出，车间得出的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下：很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 24354567 39261072打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？16．(本题满分14分)在一批实验田里对某早稻品种进行丰产栽培实验，抽测了其中15块实验田的单位面积（单位面积的大小为2115hm ）的产量如下（产量的单位为kg ）： 504 402 492 495 500 501 405 409 460 486 460 371 420 456 395这批实验田的平均单位面积产量约是多少？17．(本题满分14分)为了了解高三年级一、二班的数学学习情况，从两个班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下（单位：分）一班：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83二班：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74比较两组数据的方差，并估计一、二两个班哪个班学生的数学成绩比较整齐.18．(本题满分16分)两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲10 9.8 10 10.2机床乙10.1 10 9.9 10如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.19. (本题满分16分)一个样本：25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、25、26、28、试以2为组矩，列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，并由此估计总体在22～28间的概率.20. (本题满分16分)学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：工作态度教学成绩业务学习王老师98 95 96张老师90 99 98(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？参考答案：一、填空题：1. 14和0.14;2.6;3. 4，23; 4.(1); 5.(3); 6.(1); 7. 系统抽样; 8.（4）; 9.（3）; 10.mam n p++；na m n p ++；pam n p++; 11. 分层; 12. 240; 13. －2或5.5; 14. 100.二、解答题：15.解：（１）①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号； ②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕（２）采取系统抽样189÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组 中随机抽取1人，这9人组成样本(3)采取分层抽样总人数为12000人，12000÷60＝200，人余＝，余＝人，＝人，7252001072126192003926167222004567145112002345 = 所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人16.解：如果将这批试验田里每块试验田的单位面积产量的全体称为总体，那所抽测的15块试验田的单位面积就组成从这个总体中抽取的一个样本，于是我们可用这个样本的平均数相对应的总体平均数作出估计．用科学计数器算得：()450kg x -≈，即这15块试验田的平均产量为450kg ，于是可以由此估计，这批试验田的平均单位产量约为450 kg. 17． S 12 =13.2 S 22 =26.36 ∴一班比二班更整齐18．解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为211x s 、； 机床乙的平均数、方差分别为222x s 、。

2.3 总体特征数的估计课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．1．众数、中位数、平均数 (1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数． (2)中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数． (3)平均数n 个数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值记作a ＝________________＝1n∑ni ＝1a i . 2．一组数据的________与________的差称为极差．3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称____________________为这个样本的________，其算术平方根s ＝1n∑ni ＝1(x i －x )2为样本的________，分别简称样本方差、样本标准差．一、填空题1．下列说法正确的是________．①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小； ③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高． 2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是________．4．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是________．5．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为________． 6．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则下列各式正确的是________．①x A>x B，s A>s B；②x A<x B，s A>s B；③x A>x B，s A<s B；④x A<x B，s A<s B.7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙10107999．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．二、解答题10．(1)已知一组数据x1，x2，…，x n的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，x n －2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，x n的标准差为s x，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3x n＋a 的标准差为s y，求s x与s y的关系．11．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．能力提升12．下面是一家快餐店所有工作人员(2)计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？(3)去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？13．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：1．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量． 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 3．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．2．3 总体特征数的估计知识梳理1．(3)a 1＋a 2＋…＋a nn 2.最大值 最小值3．s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2方差 标准差作业设计 1．②解析 ①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低． 2．c>b>a解析 由题意a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，即b ＝16，c ＝18，∴c>b>a. 3．乙解析 方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定． ∵5.09>3.72，故乙发挥得更稳定．4．9s 2解析 s 20＝1n [9x 21＋9x 22＋…＋9x 2n －n(3x )2]＝9·1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)＝9·s 2(s 2为新数据的方差)． 5．85,1.6解析 由题意x ＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85.s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15(1＋1＋1＋1＋4)＝85 ＝1.6. 6．②解析 样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x A <x B ， 又样本B 波动范围较小，故s A >s B . 7．91解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y ＝5×10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝7.所以xy ＝91.8．甲解析 x 甲＝9，s2甲＝0.4，x 乙＝9，s2乙＝1.2，故甲的成绩较稳定，选甲． 9．0.19解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为121×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.10．解 (1)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则有： a ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． ∵x 1－2，x 2－2，…，x n －2的平均数为x －2， 则这组数据的方差s 2＝(x 1－2－x ＋2)2＋…＋(x n －2－x ＋2)2n ＝(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2n ＝a.(2)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1＋a,3x 2＋a ，…，3x n ＋a 的平均数为3x ＋a. s y ＝s2y ＝1n[(3x ＋a －3x 1－a)2＋…＋(3x ＋a －3x n －a)2] ＝1n·32·[(x －x 1)2＋…＋(x －x n )2] ＝9·s2x＝3s x ，∴s y ＝3 s x .11．解 由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为： 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击10次中靶环数分别为： 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)，x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，s 2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4) ＝1.2，s 2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] ＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9) ＝5.4.(2)s 2甲<s2乙，∴甲成绩比乙稳定． ②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少， ∴乙成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．12．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数x ＝17×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝17×5 250＝750(元)．(2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平．(3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为：x ′＝16×(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝16×2 250＝375(元)．这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平．13．解 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)，依题意有：x ＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y ＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为：140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)，s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)(此处，x ＝90，y ＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2)＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2) ＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. s ＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.。

总体特征数的估计在上节我们学习了通过对样本数据的相关处理，用样本的频率分布表、频率分布直方图和茎叶图来估计总体的分布状态，这主要侧重于从“形”的角度来进行判断，从过程的处理来看还是比较烦琐的.另一方面，既然样本是从总体中抽取的，用样本估计总体是统计的基本思想，那么能不能直接通过对样本的数据的处理，从“数”的角度，用样本的特征数来对总体的分布特征进行估计呢？这就是本节要学习的内容——总体特征数的估计.学法建议本节主要学习两个方面的内容，即平均数及其估计、方差与标准差.通过本节的学习一是要掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法；二是要理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并通过具体的处理过程，掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想.此外还应注意以下两点：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.总之，对本节的学习一是要理解相应的理论背景，二是要动手实际操作. 一、知识网络：①方差公式∑=-=n i i x x n s 122)(1中有差、方、和、均四步运算.差是减法，方是平方，和是加法，均则为除法，就是求差、方的平均值，这也是“方差”的由来.②方差的单位是已知数据的平方单位. 二、知识归纳1．总体特征数在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数. 2．平均数设容量为n 的样本的数据值为n a a a ,,21，则称数na a a n+++ 21为这n 个数据n a a a ,,21的平均数或均值，一般记为na a a a n+++= 21.可以证明平均数与实验数据之 间的偏差（离差）最小，是与实验数据最接近、最理想的近似值.证明过程如下：考察函数22221)()()(n x x x x x x y -++-+-= ，将其改写为22221212)(2n n a a a x a a a nx y +++++++-= ，所以当nx x x x n+++= 21时，y值最小.正因为如此，我们可以通过计算样本的平均数来衡量这组数据的水平，进而估计总体的水平.但由于样本抽取的随机性，有时用平均水平来衡量总体还有失偏颇.尽管如此，对总体而言，特征数既有随机性的一面，操作时又是以一个确定的样本为依据的. 3．方差与标准差 （1）极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.极差较大，则数据点比较分散；极差较小，则数据点比较集中.因此有时也可以用极差的大小比较来判断两个（或多个）样本数据的稳定性，从而判定相应总体的稳定程度. （2）方差与标准差当两组数据的集中程度差异不大时，我们可以用方差或标准差来刻画数据的稳定程度.一般地，设一组样本数据n x x x ,,21，其平均数为x ，则称∑=-=n i i x x n s 122)(1为这个样本的方差，其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差.样本方差和样本标准差都是通过每一个数据与平均数的离差程度的平方和来刻画的，因此其值越小，波动越小，样本数据越稳定. 4．关于公式的补充说明 （1）平均数的三个公式计算平均数的三个公式：)(121n x x x nx +++=；a x x +='，a 是接近这组数据的平均数的一个常数；nf x f x f x x nn +++= 2211叫做加权平均数，i f 是数据i x 出现的频数，n fni i=∑=1.（2）方差的三个公式计算方差的三个公式：公式①∑=-=n i i x x n s 122)(1；公式 ②⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑=21221n i i x n x n s ，公式②以使计算过程较为简单，当x 不是整数时尤为简单；公式③⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=ni i x n x n s 122'21，其中n n n x x x a x x a x x a x x ,,,,,,21'2'21'1-=-=-=是n 个已知的原数据，a 是接近这组数据的平均数的一个常数.由于''2'1,,,nx x x 比原数据n x x x ,,,21 都小，因此用公式③计算方差比较简便.三、图解重点总体特征的两个方面的估计思路分析按平均数和方差计算公式处理 [解答] ：3)63321(51=++++=x ， []222222)36()33()33()32()31(51-+-+-+-+-=s []8.291451=++=答：样本的平均数和方差分别是3、2.8 .解题规律 在方差的计算中，由于波动是在平均数上下波动，所以首先要计算平均数，另外，方差的定义要理解着记忆，不能搞错公式的结构.当然在计算过程中要小心谨慎，避免不必要的错误发生. 你也可以用平均数的另外两个公式处理一下，也可以算是熟悉一下公式，再去比较一下结果. 解题规律 本题的解题过210(3)x -=依据相应的公式进行推理 [解答]：由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++=, ① 22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ②将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=,解得33x =+由于数据的复杂性，故可考虑用⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=ni i x n x n s 122'21计算比较简单.[解答] 因为样本数据在20.0上下波动，故取a ＝20.0，列表如下程实际上是解方程，紧扣 x 与这十个样本数据)10,2,1( =i x i 的关系是解题的关键所在.此外有个地方需要提醒读者的是样本平均数并不一定总是正数，它也可以是负数，只不过通常所研究的样本数据都是些正数罢了.因此在解题时不能随意地把另外一个值给舍弃掉. 解题规律 选择合适的解题公式是处理样本数据时值得关注的一个问题.若公式选择不当，则会对解题带来极大的麻烦.尽管最终结果都出来了，但你所花的时间和精力却是不可比较的.此外本题引入表格的处理方法也是应该引起注意的. 思维诊断 应该指出，当我们用样本去估计总体时，是有可能发生偏差、甚至错误的，这与确定性数学中所以02.200.20102.0,02.200.20102.0=+==+=乙甲x x ；)(0336.0)102.0(1034.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=甲， )(0516.0)102.0(1052.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=乙，显然甲工人加工零件的质量比较稳定.通过逻辑推理得到肯定正确结论的情况有所不同，如在本例中，如果另取样本，也可能得出甲-x <乙-x ．为了尽可能减少错误的发生，考虑到一般地容量越大的样本对总体的代表就越大，应在条件许可的情况下适当增加样本容量，并力求使抽样更加合理以提高样本的代表性． 知识拓展亲爱的读者，你能不能从极差这个角度来对甲乙两个工人所加工的零件的质量给出一个判断呢？这提醒我们要多角度地思考问题.体验探究一、科海拾贝如何阅读《统计公报》？阅读《统计公报》，首先应将几个部分联系起来，不能割裂地单看某一个部分，否则就不能从总体上把握国民经济和社会发展的面貌.其次，要弄清公报中一些概念和术语含义.如什么是第一产业？什么是第二产业？国内生产总值（GDP ）到底代表什么含义？等等.第三，最好是将每一年的公报连续对照起来看，从历年数量变化的轨迹中找到规律性的东西，将定量分析与定性分性结合起来，从而在更高层上观察、分析、把握社会经济形势.第四，可以对公报中有关数据进行必要的加工处理，从而了解社会经济生活的种种特色.如可从中计算出全国每天生产多少煤、电，每天完成多少基本建设项目、新建多少公路，每个人每天创造多少收入，每天每时出生多少人口等等，这不仅使得枯燥的数字可以生动化、生活化，也可增添您对生活的量化概念.二、合作探究[解答] 根据相关的公式不难算得： (1) 995)1550406506035020(40011=⨯++⨯+⨯=x ， 83475])9951550(40)995650(60)995350(20[400122221=-⨯++-⨯+-⨯=s (2)同样可算得 10402=x , 9090022=s (3)1004)15505512501009502506507035025(50012=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 85284])10041550(55)1004650(70)1004350(25[50012222=-⨯++-⨯+-⨯=s 现在的问题是你怎么理解上述数据结果的实际意义呢？请你结合教材64页的实例来思考一下.理解：其实公司所说的并没有错，只不过公司偷换了概念，公司平均周工资是300元是不错，但那是总体的平均数，并不是工人的工资的平均数.一般地，经理和管理人员以及高级技工的工资要高出工人工资许多，实际上工人的周平均工资是达不到300元的.这正如关于人均GDP 的统计一样，并不是每个人都有那么多，它只是总体的一个平均数而已.这种偷换概念的事情在实际生活中还会遇到很多，因此不管是现在还是将来，一定要学习统计知识.只有这样，你才会对相关情况有个理性的认识.三、智慧列车将相关的数据直接带入公式即可. [解答] 84605340,53257085Z =+⨯==-=T ，故 T=84 [评注] 本题实际上说明了一个容易使人困惑的一个问题，那就是对任意两个班级来说，每次考试仅仅比较班级的平均分行吗？应该转化成标准分进行判断才合理，同时也有助于形成客观公正的评价机制.当然评价方法有多种多样，但不管怎样，都涉及到一个问题，那就是评价方法的合理性，因此需要我们在实践过程中不断摸索，使评价机制日臻完善！应设法寻找班级成绩与各组成绩之间的关系.[解答] 设第一组20名学生成绩为,20)1,2,(i x i ⋅⋅⋅=，学生成绩的标准差为1S ， 第二组20名学生的成绩为,20)1,2,(i Y i ⋅⋅⋅=，学习成绩的标准差为2S . 所以有：90)(2012021=+⋅⋅⋅++x x x ， 80)(2012021=+⋅⋅⋅++y y y ， 从而全班平均成绩为85)20802090(401=⨯+⨯=z .又因为 6,90),20(20112220222121==-+⋅⋅⋅++=S x x x x x S ； 4,80),y 20(20122220222122==-+⋅⋅⋅++=S y y y y S ， 所以51)40(401222022212202221=-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=z y y y x x x S 即所求的平均成绩和标准差分别为85，51.[评注] 本题的解题过程实际上也体现了局部与整体的关系.平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度.本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小.[解答] 从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等.（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等,且图（2）中后几个数据不影响平均值）.图（1）的标准差比图（2）的标准差大.（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小.因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）.）[评注]要学会从图表中挖掘信息.这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握的统计知识：平均数、众数、中位数、放差、标准差、极差等方面进行分析.[解答] ：（1）用众数进行分析：甲班成绩的众数是90，乙班成绩的众数是70.所以用众数比较，甲班的成绩好于乙班.（2）用方差进行分析：25617222==乙甲，s s ，所以22S S 乙甲<，考虑成绩的稳定性：甲班好于乙班.（3）用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，甲班在中位数以上（包括80分）的学生共33人；乙班在中位数以上（包括80分）的学生共26人.所以甲班成绩好于乙班. （4）甲班学生高于90分（包括90分）的学生共20人，乙班学生高于90分（包括90分）的学生共24人；从满分成绩来看，甲班比乙班少6人.从“优等生”角度看乙班成绩好于甲班.[评注]从不同的角度看待同样的问题，可能会产生不同的认识.。

总体特征数的估计教学目标：1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。

初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。

感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。

2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。

3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。

教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。

教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。

教学过程：课堂引入：在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。

从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。

我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用“平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。

初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。

学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。

定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？新课讲授§2.3.1平均数及其估计课本P50页引例：我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气温为30.02度。

学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。

注意以下两点：（1）n 个实数a1，a2，a3，……，an 的和简记为∑=ni ia1；（2）n a a a a n+++=......21称为这n 个实数a1，a2，a3，……，an 的平均数或均值。

数学苏教版必修3：课下能力提升（十三）总体特征数的估计-含解析(1)一、填空题1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x等于________．2．一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是________．3.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的有________．①X甲<X乙，乙比甲成绩稳定②X甲>X乙，甲比乙成绩稳定③X甲>X乙，乙比甲成绩稳定④X甲<X乙，甲比乙成绩稳定甲乙8 7 2 7 86 8 2 82 9 1 54．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为________，方差为________．5．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x、y、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．二、解答题6.一次选拔运动员的比赛中，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，测得平均身高为177 cm ，有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x.(1)求x ； (2)求方差s2.7．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间(单位：天)： 甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．8．(安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，17 0 3 x 8 9 180 12，估计1－2的值．答案1．解析：由于中间数有两个，故＝22，即x＝21.答案：212．解析：s′2＝错误!＝错误!＝4s2答案：4s23．解析：∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，∴X甲＝＝81，X乙＝＝86.8，∴X甲<X乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．答案：①4．解析：∵＝10，故x1＋x2＋…＋xn＝10n－n＝9n，故x1＋x2＋…＋xn＋2n＝11n，∴＝11，s＝[(x1＋1－10)2＋(x2＋1－10)2＋…＋(xn＋1－10)2]＝1[(x1－9)2＋(x2－9)2＋…＋(xn－9)2]n＝[(x1＋2－11)2＋(x2＋2－11)2＋…＋(xn＋2－11)2]＝s.故所求的平均数为11，方差为2.答案：11 25．解析：＝＝10，可得x＋y＝20，①根据方差的计算公式s2＝[(x－10)2＋(y－10)2＋12＋12]＝2，可得x2＋y2－20(x＋y)＋200＝8，②由①②得|x－y|＝4.答案：46．解：(1)180＋181＋170＋173＋178＋179＋170＋x＝177×7，即1 231＋x＝1 239，∴x＝8.(2)s2＝(72＋42＋1＋1＋22＋32＋42)＝.7．解：甲＝(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)s＝[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49(天2)；x乙＝(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s＝[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05(天2)．从交货时间的平均数来看，甲供货商的交货时间短一些；从交货时间的方差来看，甲供货商的交货时间较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．8．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知＝0.05，解得n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－＝.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.根据样本茎叶图可知30(－)＝30－30x′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此－＝0.5.故－的估计值为0.5分．。

2017-2018学年苏教版数学必修3全册课后能力提升训练目录课下能力提升(一)算法的含义 (1)课下能力提升(二)顺序结构选择结构 (4)课下能力提升(三)循环结构 (8)课下能力提升(四)赋值语句输入、输出语句 (12)课下能力提升(五)条件语句 (16)课下能力提升(六)循环语句 (20)课下能力提升(七)算法案例 (24)课下能力提升(八)简单随机抽样 (28)阶段质量检测(一)算法初步 (30)课下能力提升(九)系统抽样 (37)课下能力提升(十)分层抽样 (40)课下能力提升(十一)频率分布表频率分布直方图与折线图 (43)课下能力提升(十二)茎叶图 (47)课下能力提升(十三)总体特征数的估计 (51)课下能力提升(十四)线性回归方程 (55)阶段质量检测(二)统计 (59)课下能力提升(十五)随机事件及其概率 (67)课下能力提升(十六)古典概型 (70)课下能力提升(十七)几何概型 (73)课下能力提升(十八)互斥事件 (76)阶段质量检测(三)概率 (80)阶段质量检测(四)模块综合检测 (86)课下能力提升(一)算法的含义一、填空题1．写出解方程2x＋3＝0的一个算法过程．第一步________________________________________________________________；第二步________________________________________________________________．2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步令A＝89，B＝96，C＝99；第二步计算总分S＝________；第三步计算平均分M＝________；第四步输出S和M.3．给出下列算法：第一步输入x的值；第二步当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；第三步计算y＝4－x；第四步输出y.当输入x＝0时，输出y＝__________.4．已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点到直线距离的一个算法有如下几步：①输入点的坐标x0，y0；②计算z1＝Ax0＋By0＋C；③计算z2＝A2＋B2；④输入直线方程的系数A，B和常数C；⑤计算d＝|z1|z2；⑥输出d的值．其正确的顺序为________．5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．第一步输入实数a.第二步______________________________________________________________. 第三步输出a＝18.二、解答题6．写出求a，b，c中最小值的算法．7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85，ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量，如何设计计算费用c (单位：元)的算法．8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时，输出的值最小？答案1．第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2，得x ＝－32.2．解析：总分S 为三个成绩数之和，平均数 M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．解析：由于x ＝0>4不成立，故y ＝4－x ＝2. 答案：24．解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 答案：①④②③⑤⑥5．解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步 6．解：算法如下：第一步 比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”． 7．解：算法步骤如下： 第一步 输入行李的重量ω；第二步 如果ω≤50，那么c ＝0.53ω； 如果ω>50，那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时，输出的值最小．课下能力提升(二) 顺序结构 选择结构一、填空题1．如图所示的流程图最终输出结果是________．2．如图所示的流程图，若a ＝5，则输出b ＝________.3．已知函数y ＝|x －3|，如流程图表示的是给定x 的值，求其相应函数值的算法，请将该流程图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．4．阅读如图所示的流程图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 的值为________．5．如图是一个算法的流程图，当输入的值为3时，输出的结果是________．二、解答题6．某学生五门功课成绩为80,95,78,87,65.写出平均成绩的算法，画出流程图．7.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分收取通话费(时间以分钟计，不足1分钟按1分钟计算)，画出计算话费的流程图．8．求方程ax2＋(a＋1)x＋1＝0根的算法流程图如图所示，根据流程图，回答下列问题：(1)本题中所给的流程图正确吗？它表示的是哪一个问题的算法流程图？(2)写出一个正确的算法，并画出流程图．答案1．解析：第二步中y ＝2，第三步中y ＝22＋1＝5. 答案：52．解析：这是一个分段函数b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1， a ≤5，2a ， a ＞5，的求值问题．根据条件易知，b ＝52＋1＝26.答案：263．解析：由y ＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x ＜3.∴①处应填“x ＜3”，②处应填“y ←x －3”． 答案：x ＜3 y ←x －34．解析：由流程图知：令2x 2－1＝18(x >0)，则x ＝34，令(12)x ＝18(x ≤0)，无解，∴输入的实数x ＝34. 答案：345．解析：流程图反映的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1 (x ＜5)，2x 2＋2 (x ≥5)的求值问题， ∴当x ＝3时，y ＝32－1＝8. 答案：86．解：算法如下： 流程图S1 S ←80 S2 S ←S ＋95 S3 S ←S ＋78 S4 S ←S ＋87 S5 S ←S ＋65 S6 A ←S /5 S7 输出A7．解：根据题意：话费S (元)与时间t (分钟)有如下函数关系：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，t ≤30.2＋0.1(t －3)，t >3且t ∈N *0.2＋0.1([t ]－2)，t >3且t ∉N *流程图如下图所示．8．解：本题中给出的流程图不正确．因为它没有体现出对a 的取值的判断，它只解决了算法中的一部分，即a ≠0时的情形，这样是达不到求解的目的的．(2)算法如下： S1 输入a ；S2 如果a ＝0，则x ←－1，输出x ， 否则x 1←－1，x 2←－1a ，输出x 1，x 2. 流程图如右图所示．课下能力提升(三)循环结构一、填空题1．一个算法流程图如图所示，则输出S为________．2．如图流程图中，(1)若判断框内的条件是I≤19，则输出的结果为________．(2)若输出的结果为400，则判断框内的条件是________．3．按如图所示的流程图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是________．4．运行如图所示的程序，其输出结果是________．5．(重庆高考改编)执行如图所示的流程图，则输出的k 的值是________．二、解答题6．用循环结构写出计算11×3＋12×4＋13×5＋…＋1100×102的流程图．7.下列三图是为计算22＋42＋62＋…＋1002而绘制的算法流程图，根据流程图回答后面的问题：(1)其中正确的流程图有哪几个？错误的流程图有哪几个？错误的要指出错在哪里？(2)错误的流程图中，按该流程图所蕴含的算法，能执行到底吗？若能执行到底，最后输出的结果是什么？8．某高中男子田径队的50 m 赛跑成绩(单位：s)如下：6．3,6.6,7.1,6.8,7.1,7.4,6.9,7.4,7.5,7.6,7.8，6．4,6.5,6.4,6.5,6.7,7.0,6.9,6.4,7.1,7.0,7.2.设计一个算法，从这些成绩中搜索出成绩小于6.8 s 的队员，并画出流程图．答案1．解析：0＋1＋…＋9＝45.答案：452．解析：(1)S＝1＋3＋5＋…＋19＝100；(2)已知S＝1＋3＋5＋…＋n＝400，得n＝39.即I≤39(或I＜40或I＜41)．答案：(1)100(2)I≤39(或I＜40或I＜41)3．解析：第一次运行x＝2x＋1，k＝1，第二次运行x＝2(2x＋1)＋1，k＝2，此时输出x的值，则2x＋1≤115且2(2x＋1)＋1>115，解得28<x≤57.答案：(28,57]4．解析：由题意知，流程图功能为1×3×5×…×i≥10 000，∴i＝11，故输出的结果为i＝11＋2＝13.答案：135．解析：利用循环结构相关知识直接运算求解．k＝1，s＝1＋02＝1；k＝2，s＝1＋12＝2；k＝3，s＝2＋22＝6；k＝4，s＝6＋32＝15；k＝5，s ＝15＋42＝31＞15.故输出k＝5.答案：56．解：如图所示：7．解：(1)正确的流程图只有图③，图①有三处错误：第一处错误，第二个图框中i←42，应该是i←4，因为本流程图中的计数变量是i，不是i2，在22,42，…，1002中，指数都是2，而底数2,4,6,8，…，100是变化的，但前后两项的底数相差2，因此计数变量是顺加2.第二处错误，第三个图框中的内容错误，累加的是i2而不是i，故应改为p←p＋i2.第三处错误，第四个图框中的内容，其中的指令i←i＋1，应改为i←i＋2，原因是底数前后两项相差2.图②所示的流程图中有一处错误，即判断框中的内容错误，应将框内的内容“i＜100”改为“i≤100”或改为“i＞100”且判断框下面的流程线上标注的Y和N互换．(2)图①虽然能进行到底，但执行的结果不是所期望的结果，按照这个流程图最终输出的结果是p＝22＋42＋(42＋1)＋(42＋2)＋…＋(42＋84)．图②虽然能进行到底，但最终输出的结果不是预期的结果而是22＋42＋62＋…＋982，少了1002.8．解：此男子田径队有22人，要解决该问题必须先对运动员进行编号．设第i个运动员编号为N i，成绩为G i，设计的算法如下：S1i＝1.S2输入N i，G i.S3如果G i<6.8，则输出N i，G i，并执行S4；否则，直接执行S4.S4i＝i＋1.S5如果i≤22，则返回S2；否则，算法结束．该算法的程序框图如图所示．课下能力提升(四)赋值语句输入、输出语句一、填空题1．如图所示的伪代码a←2b←5c←a＋ba←c＋4Print a输出的结果是________．2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试设计一个伪代码，输入A，B两点的坐标，输出其中点的坐标．现已给出伪代码的一部分．试在横线上填上适当的语句，把伪代码补充完整．3．下列算法的结果是________．a←2b←－5c←7a←b＋cb←c＋ac←a＋b＋cPrint a，b，c4．下面算法的功能是________________，输出的结果为________．A←1A←A＋2A←A＋3A←A＋4A←A＋5Print A5．读如下两个伪代码，完成下列题目．x←1x←2x x←3x Print x Read x y←x2＋6 Print y(Ⅰ)(Ⅱ) (1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入的值为________．二、解答题6．把如图所示的伪代码用流程图表示出来． A ←20B ←15A ←A ＋BB ←A －B A ←ABC ←A ＋BPrint C7.已知函数f (x )＝－x 2＋4x －7.求f (3)、f (－5)及f (5)，并计算f (3)＋f (－5)＋f (5)．用赋值语句和输入、输出语句写出算法的伪代码，并画出相应的流程图．8．求用长度为c 的细铁丝分别围成一个正方形和圆时，所围成的正方形和圆的面积，试设计一个求正方形和圆的面积的算法，写出伪代码，并画出流程图．答案1．解析：a ＋b ＝7，此时c ＝7,7＋4＝11，故a ＝11.答案：112．解析： 利用中点坐标公式求解．答案：①x ←x 1＋x 22 ②y ←y 1＋y 223．解析：由a ←2，b ←－5，c ←7知a ＝2，b ＝－5，c ＝7.又a ←b ＋c ，b ←c ＋a ，c ←a ＋b ＋c ，∴a ＝b ＋c ＝2，b ＝c ＋a ＝9，c ＝2＋9＋7＝18.答案：2 9 184．解析：按算法语句的顺序执行A 的值依次为1,3,6,10,15，因此此算法的功能是求1＋2＋3＋4＋5的值，结果为15.答案：计算1＋2＋3＋4＋5的值 155．解析：(1)输出的结果应为x＝2×3＝6. (2)由条件知x2＋6＝6，∴x＝0.应输入的x＝0. 答案：606．解：流程图如下：7．解：伪代码和相应的算法流程图如下：x ←3y1←－x2＋4x－7x←－5y2←－x2＋4x－7x←5y3←－x2＋4x－7y←y1＋y2＋y3Print y1，y2，y3，y8.解：流程图如图所示：伪代码：Read ca←c4r←c 2πS1←a2S2←πr2 Print S1，S2课下能力提升(五)条件语句一、填空题1．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是________．2．下面程序的运行结果是________．A←100B←90If A＜B ThenT←A A←B B←TElseA←A－BEnd IfPrint A3．求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则横线处应为________．4．给出一个算法：Read xIf x≤0Thenf(x)←4xElsef(x)←2xEnd IfPrint f(x)根据以上算法，可求得f(－3)＋f(2)的值为________．5．下列伪代码运行结果是________．X←0If X＞0ThenX←X＋1ElseX←X－1End IfIf X＞0 ThenY←XElse If X＝0 ThenY←1ElseY←3－XEnd IfEnd IfPrint Y二、解答题6．已知算法：Read a，b，cm←aIf b>m Thenm←bEnd IfIf c>m Thenm←cEnd IfPrint m若输入10、12、8，求输出的结果．7.用算法语句表示下列过程，输入一个学生的成绩S，根据该成绩的不同值作以下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S≤90，则输出“及格”；若S>90，则输出“优秀”．8．某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定：购物额在100元及以内不予优惠；在100～300元之间(含300元)优惠货款的5%；超过300元之后，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效．用伪代码写出根据输入购物额能输出应付货款的算法，并画出流程图．答案1．解析：由10x＝20，得x＝2.由2.5x＋5＝20，得x＝6.答案：2或62．解析：由题意可知：A＝100－90＝10.答案：103．解析：当x<4时，y＝4－x＋1＝5－x，故横线处应填y←5－x.答案：y←5－x4．解析：由题意知f(－3)＝－12，f(2)＝4，∴f(－3)＋f(2)＝－12＋4＝－8.答案：－85．解析：当X＝0时，将X－1的值赋给X，此时X为－1，当X＝－1时，将3－X的值赋给Y，则Y＝3－(－1)＝4.答案：46．解：∵12>10，∴m＝12，又8>12不成立．∴输出m为12.7．解：伪代码如下：y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≤100，0.95x ， 100<x ≤300，285＋(x －300)×0.92， x >300伪代码如下：课下能力提升(六)循环语句一、填空题1．如图是一算法的伪代码，执行此算法，最后输出的n的值为______．n←6s←0While s＜15s←s＋nn←n－1End WhilePrint n2．以下伪代码运行结果t＝________.a←1b←1While b＜5c←a＋ba←bb←cEnd WhilePrint b4．如果下列伪代码运行后输出的结果是720，则在横线处应填入的正整数为________．I共循环________次．S←0I←1While S＜60S←S＋II←I＋1End While二、解答题6．写出下列伪代码执行的结果．a←2i←1While i≤6a←a＋1Print i，ai←i＋1End While7．试确定S＝1＋4＋7＋10＋…中加到第几项时S≥300？写出伪代码．8．给出某班50名学生的数学测试成绩，60分及60分以上的为及格，要求统计及格人数、及格人数的平均分、全班同学的平均分，画出流程图，并写出伪代码．答案1．解析：s＝6，n＝5；s＝11，n＝4；s＝15，n＝3，退出循环，此时n＝3.答案：32．解析：由条件i From 2 To 5知共循环4次．第一次循环t←1×2＝2，第二次循环t←2×3＝6，第三次循环t←6×4＝24，第四次循环t←24×5＝120.故运行结果为120.答案：1203．解析：第一步：c＝2，a＝1，b＝2；第二步：c＝3，a＝2，b＝3；第三步：c＝5，a＝3，b＝5.答案：54．解析：依题意需计算10×9×8，该循环体共执行了三次，当完成S←S×8后应结束循环，因此在横线处应填8.答案：85．解析：由题意知该程序的作用是判断S＝1＋2＋3＋…＋n≥60的最小整数n.∵1＋2＋3＋…＋10＝55＜601＋2＋3＋…＋11＝66＞60.故可知该程序循环了11次．答案：116．解：算法中用到了While循环语句，从a←2，i←1开始，第一次循环求2＋1，并输出1,3；第二次求3＋1，并输出2,4；第三次求4＋1，并输出3,5，…；第六次求7＋1，并输出6,8.即输出结果为1,32,43,54,65,76,87．解：伪代码一：伪代码二：S←0n←1i←1While S＜300 S←S＋nn←n＋3i←i＋1End While Print i－1S←0n←1i←1DoS←S＋nn←n＋3i←i＋1 Until S≥300 End Do Print i－18．解：流程图如下伪代码：M←0i←1S←0T←0DoRead xIf x≥60Then S←S＋xM←M＋1End IfT←T＋xi←i＋1Until i＞50End DoP←S/MT←T/50Print M，P，T课下能力提升(七)算法案例一、填空题1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．2．下列伪代码运行的一个结果是________．________．4．84和32的最小公倍数是________．5．下列伪代码的运行结果是________．a←120b←252While a≠bIf a＞ba←a－bElseb←b－aEnd IfEnd WhilePrint a二、解答题6．已知如图所示的流程图(其中的m、n为正整数)：(1)这个算法的功能是什么？(2)当m ＝286，n ＝91时，运行的结果是什么？7．试写出用二分法求方程x 3＋x 2－1＝0在[0,1]上的近似解的伪代码(精确度为0.01)．8．有一堆围棋子，5个5个地数余2,7个7个地数余3,9个9个地数余4，请画出求这堆围棋子共有多少个的流程图，并写出伪代码．答案1．解析：294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次．答案：22．解析：此伪代码的功能是求⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4x ＋2，m ＝5x ＋3，m ＝7x ＋3的最小正整数∴m ＝38.答案： 383．解析：由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b ＝14，a ＝18；由18>14得a ＝4，b ＝14；由14>4得b ＝10，a ＝4；由10>4得b ＝6，a ＝4；由6>4得b ＝2，a ＝4；由4>2得a ＝2，b ＝2.满足a ＝b ，输出2.答案：24．解析：先求84和32的最大公约数．84＝32×2＋2032＝20＋1220＝12＋812＝8＋48＝4×2.故84和32的最大公约数是4.所以84和32的最小公倍数为84×32÷4＝672.答案：6725．解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→( 24,12)→(12,12)，∴输出12.答案：126．解：(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.7．解：伪代码如下：伪代码：课下能力提升(八) 简单随机抽样一、填空题1．为了了解某校高一学生的期末考试情况，要从该年级700名学生中抽取120名学生进行数据分析，则在这次考查中，考查总体数为________，样本容量是________．2．一个总体共有30个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为7的样本，则某个特定个体入样的可能性是________．3．下列抽样中：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子里；③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)． 其中属于简单随机抽样的是________．4．某工厂共有n 名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为15，则n ＝________. 5．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面编号方法：①01,02，03，…，100；②001,002,003，…100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的序号是________．二、解答题6．要从3 000辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．7．某师范大学为支援西部教育事业发展，计划从应届毕业生中选出一批志愿者．现从符合报名条件的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．8．说出下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？并说明原因．设一个总体中的个体数N ＝345，要抽取一个容量为n ＝15的样本，现采用如下方法：从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．答案1．700 1202．解析：每个个体被抽取的可能性为730.答案：7303．解析：根据总体的个数有限，可知①不是简单随机抽样；根据抽样是不放回地逐个抽取可知②不是简单随机抽样；只有③是简单随机抽样．答案：③4．解析：∵简单随机抽样为机会均等的抽样， ∴20n ＝15，即n ＝100. 答案：1005．解析：只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．否则的话，由①是先选二位数字呢？还是先选三位数字呢？那就破坏了随机抽样．②③的编号位数相同，可以采用随机数表法，但②中号码是三位数，读数费时，③省时．答案：③6．解：本题中总体容量较大，样本的容量较小，故可选用随机数表法来抽取含3个个体的样本，其抽样过程如下：第一步，将3 000辆汽车进行编号，号码是0 001，0 002，0 003，……，3 000. 第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，如选第5行第11列的数3.第三步，从选定的数3开始向右读，依次得满足条件的号码为2 231，0 990,0 618. 第四步，把编号为2 231,990,618的汽车取出，即得到一个容量为3的样本． 7．解：第一步，将18名志愿者编号，号码为1,2,3， (18)第二步，将号码分别写在18张大小、形状都相同的纸条上，揉成团，制成号签． 第三步，将制好的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀． 第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号． 第五步，所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．8．解：运用了简单随机抽样中的随机数表法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的每个特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数表法．阶段质量检测(一) 算 法 初 步[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．如图表示的算法结构是________结构．2．语句A ←5，B ←6，A ←B ＋A ，逐一执行后，A 、B 的值分别为________． 3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则lg 1 000⊗(12)－2＝________.4．如图是一个算法的流程图，最后输出的W ＝________.5．下面的伪代码运行后的输出结果是________． a ←1b ←2c←3a ←b b ←c c ←aPrint a ，b ，c6.一个伪代码如图所示，输出的结果是________．S ←1For I From 1 to 10 S ←S ＋3×I End For Print S7．下面的伪代码输出的结果是________． i ←1s ←1While i ≤4 s ←s ×i i ←i ＋1End While Print s8．459与357的最大公约数是________．9．下列算法，当输入数值26时，输出结果是________． Read xIf 9＜x ＜100 Then a ← x \10 b ← Mod(x,10) x ←10b ＋a Print x End If10．(广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．(10题图) (11题图)11．如图所示的流程图输出的结果为________．12．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是________．13.下列伪代码运行后输出的结果为________． a ←0j ←1While j ≤5a ←mod (a ＋j ，5) j ←j ＋1End While Print a14．执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)写出求最小的奇数I ，使1×3×5×7×…×I >2 012的伪代码．16．(本小题满分12分)高中毕业会考等级规定：成绩在85～100为“A”，70～84为“B”，60～69为“C”，60分以下为“D”．试编制伪代码算法，输入50名学生的考试成绩(百分制，且均为整数)，输出其相应的等级．17．(本小题满分12分)下面是计算应纳个人所得税的算法过程，其算法如下： S1 输入工资x (x ≤8 000)； S2 如果x ≤3 500，那么y ＝0；如果3 500<x ≤5 000，那么y ＝0.03(x －3 500)；否则y ＝45＋0.1(x －5 000) S3 输出税款y ，结束．请写出该算法的伪代码及流程图．18．(本小题满分14分)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)用伪代码表示计算10年以后该城市人口总数的算法；(3)用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法．答案1．解析：由流程图知为顺序结构． 答案：顺序2．解析：∵A ＝5，B ＝6，∴A ＝6＋5＝11，B ＝6. 答案：11、63．解析：令a ＝lg 1 000＝3，b ＝(12)－2＝4，∴a <b ，故输出b －1a ＝4－13＝1.答案：14．解析：第一次循环后知S ＝1.第二次循环后知T ＝3，S ＝9－1＝8.第三次循环后知T ＝5，S ＝25－8＝17.所以输出W ＝17＋5＝22.答案：225．解析： 第4行开始交换，a ＝2，b ＝3，c 为赋值后的a ，∴c ＝2. 答案： 2,3,26．解析：由伪代码可知S ＝1＋3×1＋3×2＋…＋3×10＝1＋3×(1＋2＋…＋10)＝166. 答案：1667．解析：由算法语句知s ＝1×1×2×3×4＝24.答案：248．解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数是51.答案：519．解析：这是一个由条件语句为主体的一个算法，注意算法语言的识别与理解．此算法的目的是交换十位、个位数字得到一个新的二位数．(x\10是取x除以10的商的整数部分)．答案：6210．解析：本题第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.答案：711．解析：由题意知，输出的b为24＝16.答案：1612．解析：依据循环结构运算并结合输出结果确定条件．k＝2，s＝1，s＝1×log23＝log23，k＝3，s＝log23·log34＝log24，k＝4，s＝log24·log45＝log25，k＝5，s＝log25·log56＝log26，k＝6，s＝log26·log67＝log27，k＝7，s＝log27·log78＝log28＝3.停止，说明判断框内应填k≤7或k＜8.答案：k≤7(或k＜8)13．解析：第一步：a＝mod(1,5)＝1，j＝2；第二步：a＝mod(1＋2,5)＝3，j＝3；第三步：a ＝mod(3＋3,5)＝1，j＝4；第四步：a＝mod(1＋4,5)＝0，j＝5；a＝mod(0＋5,5)＝0，j＝6，此时输出，∴a＝0.答案：014．解析：由题知，k＝1，S＝0，第一次循环，S＝2，k＝2；第二次循环，S＝2＋2×2＝6，k ＝3；……；第六次循环，S＝30＋2×6＝42，k＝6＋1＝7；第七次循环，S＝42＋2×7＝56，k＝7＋1＝8，此时应输出k的值，从而易知m的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．解：t←1I←1While t≤2 012t←t×II←I＋2End WhilePrint I－216．解：伪代码如图：While I ≤50Read a I (学生成绩)If a I ＜60 Then Print “D ”Else If a I ＜70 Then Print “C ”Else If a I ＜85 Then Print “B ”ElsePrint “A ”End If I ←I ＋1EndWhile17．解：伪代码：18．解：(1)y ＝100×1.012x (2)伪代码如下：I←1.012For x From 1 To 10 S←S×IEnd ForPrintS(3)即求满足100×1.012x≥120的最小正整数x，其算法流程图如图．课下能力提升(九) 系统抽样一、填空题1．若总体中含有1 645个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，编号后应均分为______段，每段有________个个体．2．从2 013个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________． 3．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．4．某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________．5．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．二、解答题6．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？7．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题． 本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人； 应抽户数：30户； 抽样间隔：1 20030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12； 确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户； ……(1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？8．一个总体中有1 000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本，规定：如果在第0小组中随机抽取的号码为x ，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k 小组中抽取的号码的后两位数字与x ＋33k 的后两位数字相同．(1)当x ＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x 的取值范围．答案1．解析：因为1 64535＝47，故采用系统抽样法时，编号后分成35段，每段47个个体． 答案：35 472．解析：先从2 013个个体中剔除13个，则分段间隔为2 00020＝100.答案：1003．解析：第7组中号码的十位数字为6.又m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，所以抽取号码为63.答案：634．解析：系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n ，则60n ＝0.2，故n＝300.答案：3005．解析：∵组距为5，∴(8－3)×5＋12＝37. 答案：376．解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样， 或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.7．解：(1)系统抽样．。

总体特征数的估计【课堂互动】自学评价案例有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本如下表检查它们的抗拉强度单位:g/mm2，通过计算发现，两个样本的平均数均为125．甲110 1202130 125 12021125 135 125 135 125乙115 100 125 130 115125 125 145 125 145哪种钢筋的质量较好【分析】在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．在平均数相同的情况下，比拟两组数据的极差能大概判断它们的稳定程度．极差: 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比拟，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方法——方差．在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想〞近似值的缘由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高．那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？在上一课时中，设n个实验值=1，2，…，n的近似值为，那么它与这n个实验值=1，2，…，n的离差。

由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，当此和最小时，对应的的值作为近似值，所以当时离差的平方和最小，故可用作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数据，，…，的平均数或均值，在上述过程中，可以发现，一组数据与其平均数的离差的平方和最小，考虑用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示．由于比拟的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差。

总体特征数的估计： ：【学习目标】1.通过实例理解样本的数字特征，如平均数、方差、标准差.2.能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理解释.3.通过实例，使学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用.4.学会计算数据的方差、标准差，并使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想 【要点梳理】要点一：平均数、众数与中位数 1.平均数样本数据的算术平均数，即121()n x x x x n=+++.2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出一项决定，考察全班同学对它赞成与否就可以用众数.3.中位数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.中位数把样本数据分成了相同数目的两部分.要点诠释：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.要点二：利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值;(2)平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和;(3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标. 要点三：标准差与方差 1.标准差 样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：(1)算出样本数据的平均数x .(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：()12i x x i n -=，　，， (3)算出(2)中()12i x x i n -=，　，，的平方. (4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差. (5)算出(4)中平均数的算术平方根，，即为样本标准差. 其计算公式为：s =2.方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s (即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-要点诠释：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.【典型例题】类型一：平均数、众数、中位数例1．据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：（1）求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数；（精确到元）（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路点拨】理解平均数、中位数、众数的概念．【答案】（1）2091 1500 1500 （2）3288 （3）中位数和众数 【解析】 （1）平均数是40003500200021500100055003020150033x ++⨯++⨯+⨯+⨯=+150********≈+=（元）， 中位数是1500元，众数是1500元． （2）平均数是2850018500200021500100055003020'150015001788328833x ++⨯++⨯+⨯+⨯=+≈+=（元），中位数是1500元，众数是1500元．（3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．【总结升华】 （1）深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，结合实际情况，灵活运用．（2）众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各数据的重心． 举一反三：【变式】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.【答案】(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++又因为频率=第二小组频数样本容量所以 121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593100%88%24171593+++⨯=+++++(3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.例2.为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径. 【思路点拨】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量、众数、中位数和平均数的概念. 【解析】(1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20.(2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10(米).20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9(米)和10(米)，所以中位数是21(9+10)=9.5(米). 样本平均数4.9)112311610495817(201=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (米) 所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米. 【总结升华】(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题.要注意：总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径.(2)读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径.另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数.类型二：方差、标准差例3.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是 ( )A.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定 D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定 【答案】A 【解析】 依题意得15x =甲 (80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90， 15x =乙 (80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87， x 甲>x 乙；215S =甲[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2， 215S =乙 [(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，2S 甲<2S 乙， 因此甲比乙成绩更稳定．例4．皮划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m ／s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31. 乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.【思路点拨】先分析甲、乙运动员的平均成绩，若平均成绩基本接近，再考虑两运动员的稳定程度. 【解析】16x =甲(27+38+30+37+35+31)=33. 16x =乙(33+29+38+34+28+36)=33.216s =甲［(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2］=473， 216s =乙［(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2］=383. 22.s s >乙甲所以二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀. 【总结升华】平均值反映了运动员的平均水平，方差反映运动员的稳定程度，方差越小，运动员发挥越稳定. 例5．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【解析】（1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（2）21251013146s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=150(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172， 2150s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256．∴22s s <乙甲，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．举一反三：用样本估计总体 400450 例2【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm) 甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？ 【解析】101001011.101.102.10101=⨯=++=）（甲 x ，1010101104.103.10101=⨯=+++=）（乙 x .∴[]2222101.10101.10102.10101）（）（）（甲-+-+-= s =0.032mm []22221010104.10103.10101）（）（）（乙-+-+-= s =0.062mm . ∴2甲s ＜2乙s∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.。