立体几何证明平行的方法及专题训练
罗虎胜************************
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使
得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
（第1题图）
D
E B 1A 1
C 1
C A
B F
M 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是
平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：
AM ∥平面EFG 。
分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG
6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，
2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
A
B
C
D
E
F G M
A ACC;
证明：MN∥平面//
分析：连结AC1，，则MN是则△A1BC1的中位线，
7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.
求证：AB1//面BDC1；
分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是
△B1AC的中位线
8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的
中点.证明: BC1//平面A1CD;
分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结
DF，则DF//BC1 Array
9、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平
面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OM∥PA
从而PA∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP∥GH.
（.3）利用平行四边形的性质
10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1; 分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1
是平行四边形
P
E
D
C
B
A 11、在四棱锥P-ABCD 中，A
B ∥CD ，AB=
2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
（I ）证法一：
因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2
1
=
在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且
BC AM 2
1=
因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面ABFE 。
(4)利用对应线段成比例
13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点，
（1）
SM AM =ND BN
， 求证：MN ∥平面SDC （2）AM DN
SM BN
=, 求证：MN ∥平面SBC 分析：法一：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD
利用相似比易证MNFE 是平行四边形
