6章 刚体的平面运动分析
6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕc o s )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=
（2）
α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 22
1t αϕ=
（3）
起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过
θϕϕ+=A
因动齿轮纯滚，故有⋂
⋂
=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =
， ϕϕr
r R A += （4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=22
2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα
6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为
h
v AC v AP v AB
θθω2
000cos cos ===
6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：R v R v A A ==
ω
R v
R v B B 22==ω
B A ωω2=
6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
习题6-1图
习题6－2图
习题6－2解图
习题6-3解图
习题6-3图
v A = v
v B = v ωA
ωB
习题6-6图
习题6-6解图
解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BD
v B ⋅=ωBP
BD BP v B BC ⋅==
ωω ︒︒⨯=
30sin 27030cos 36012 rad/s 8=
PC v BC C ⋅=ω
m/s 87.130cos 27.08=︒⨯=
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。
图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。
6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =
2
1
AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。ϕ= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。
解：杆AB 的瞬心在O
3===ωωOA
v
A AB
rad/s ωl v B 3= 2.531===
ωωl
v B
B O rad/s
习题6-5图
习题6-4图
习题6-4解图
习题6-5解图
(a)
90v v A
(a)
(b)
6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
解：如图
333.16
.08
.03.09.0==-=
A O v ωrad/s
2.16
8
9.09.0=⨯==O O v ωm/s
卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度1v 和2v 作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
解：如图，以O 为基点： r v v O O ω+=1
r v v O O ω-=2
解得：
22
1v v v O +=
r v v O 221-=ω
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度ω= 20rad/s ，试求当曲柄OA 在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE 的速度。已知OA = 400mm ，AC = CB = 20037mm 。
解：OA 定轴转动；AB 、CD 平面运动，DE 平移。 1．当ϕ= 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图（a ）表示ϕ= 90°情形，此时AB 瞬时平移，v C 水平，而v D 只能沿铅垂， D 为CD 之瞬心 v DE = 0
同理，ϕ= 270°时，v DE = 0
2．ϕ= 180°，0°时，杆AB 的瞬心在B ϕ= 0°时，图（b ），A C v v 2
1
=（↑）
此时CD 杆瞬时平移
42
1====A C D DE v v v v m/s （↑） 同理ϕ= 180°时，v DE = 4m/s （↓）
6－10 杆AB 长为l = 1.5 m ，一端铰接在半径为r = 0.5 m 的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O
速度的大小为v O = 20 m/s 。试求图示瞬时（OA 水平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
习题6-7图
习题6－8图
习题6－8解图
习题6－9图
习题6－9解图
