贝叶斯统计_先验分布的确定

m(
x)
p( x
|
)
(
)d， 为连续时
p( x | ) ( )， 为离散时
(3.1)
当先验分布含有未知参数时，譬如π(θ)=π(θ|λ)，那么
边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ).
例 设总体X～N(, σ2) 其中σ2已知。
取另一正态分布N(μπ,τπ2)作为正态均值的先验分布 , 则可以算得X的边缘分布为N(μπ,τπ2+σ2)
2.若还有σ2 (θ)= σ2（与θ无关的常数 ），则
m2 2 2
其中
2
E
2
例3.14 设X
~
N
(
,1),的先验分布类为{N
(
,
2
)}
主观经验预测X的均值为1, 方差为3,即m
10和
2 m
3,
试确定其先验分布.
解 :已知m
1;
2 m
3,由X
~
N ( ,1)知 2
1,利用推论1,
( ) m 10
2.注意的问题
(1)所咨询专家应是声誉良好的和富有经验的
(2)这两个方法相比，决策者更愿意使用变分度法.
§3.3利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x)
设总体X的密度函数为p(x|θ),它含有未知参数θ，若θ 的先验分布选用形式已知的密度函数π(θ)，则可算得 X的边缘分布(即无条件分布)
取
d
d
2
[ln
(
2
)]
2(
2
n
2
)
ns2
2(
2
2
)2
0
得
2

贝叶斯统计的基本原理与方法贝叶斯统计作为一种概率统计方法，具有广泛的应用领域和强大的实用性。

本文将介绍贝叶斯统计的基本原理与方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、贝叶斯定理贝叶斯定理是贝叶斯统计的基础，它建立了先验概率和后验概率之间的关系。

贝叶斯定理的数学表达为：P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)其中，P(A|B) 表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B发生的概率，P(A) 表示A发生的先验概率，P(B) 表示B发生的先验概率。

二、贝叶斯统计方法贝叶斯统计方法基于贝叶斯定理，通过不断更新概率分布来推断模型参数或进行预测。

主要包括先验分布、似然函数和后验分布的计算。

1. 先验分布先验分布是对参数的先验信息的概率分布。

在没有实际观测数据前，我们通常根据经验或领域知识来选择合适的先验分布。

常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。

2. 似然函数似然函数是在给定参数值的情况下，观测数据出现的可能性。

通过似然函数，我们可以评估参数值对观测数据的拟合程度。

似然函数越大，说明参数值越能解释观测数据。

3. 后验分布后验分布是在考虑观测数据后，对参数进行更新和修正得到的概率分布。

根据贝叶斯定理，后验分布与先验分布和似然函数的乘积成正比。

通过后验分布，我们可以得到参数的点估计或区间估计。

三、贝叶斯统计的应用贝叶斯统计具有广泛的应用领域，我们将以两个具体问题来说明其应用。

1. 医学诊断贝叶斯统计在医学诊断中有重要的应用。

在医学检测中，我们通常需要根据患者的检测结果判断其是否患有某种疾病。

贝叶斯统计可以帮助我们评估患病的概率，并根据患者的症状和其他相关因素进行精确的诊断。

2. 文本分类贝叶斯统计在文本分类中被广泛应用。

通过对已知类别的文本进行训练，我们可以得到每个单词在不同类别下的概率分布，即先验概率。

然后，根据贝叶斯定理，我们可以根据给定的文本内容来计算其在不同类别下的后验概率，从而实现文本的自动分类。

3.假如有历史数据，要尽量利用，帮助形成初步概念， 然后再做一些对比修正，再形成个人信念.
注意：1.利用先验信息确定主观概率没有固定模式； 2.主观概率必须满足概率的3条公理.
总结 1.理解主观概率的定义 2.了解主观概率确定的常用方法
§3.2 利用先验信息确定先验分布 在贝叶斯统计方法中关键的一步是确定先验分布。1.
要进一步分析先验信息.先验信息很分散；柯西分布
先验信息较为集中：正态分布
3.两个先验分布都满足给定的先验信息。
（1）如果两个先验分布差别不大，对后验分布的影响 也不大，那可任选一个。
（2）假如面临两个差异较大的先验分布可供选择时， 应慎重选择。因不同的选择对后验分布的影响也会很大.
三、定分度法与变分度法 两种方法的共同点：通过咨询专家获得各种主观概 率，然后经过整理加工可得到累积概率分布曲线.
例3.12 设总体X～N(, σ2) 其中σ2已知。
取另一正态分布N(μπ,τπ2)作为正态均值的先验分布
则可以算得X的边缘分布为N(μπ,τπ2+σ2)
设X 在给定时条件分布为N ( ,
2 ),
(
)
~
N (
,
2
),
则边缘分布m( x
)
~
N (
,
2
2)
n
由 m( X ) m(xi )
i 1
第三章 先验分布的确定
§3.1 主观概率 §3.2 利用先验信息确定先验分布 §3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度 §3.4 无信息先验分布 §3.5 多层先验
概率的公理化定义
定义:设Ω 为一个样本空间， F为Ω的某些子集组成 的一个事件域，如果对任一事件A∈F，定义在F上 一个实值函数P(A)满足下列条件：

先验分布的确定幻灯⽚67 其步骤如下：（1）写出样本的对数似然函数∑∏====ni i n i i x p x p x l 11)|(ln )|(ln )|(θθθ（2）求样本的信息阵pj i l E I j i x ,...,2,1,,)(2|=-=θθθθ2|2(),x l I Eθθθ=-??在单参数(p=1)场合,(3)Θ的⽆信息先验密度为2/1)]([det )(θθπI =1/2()[()]I πθθ=在单参数(p=1)场合,幻灯⽚682122(,,...,)(,),(,).n X x x x N Jeffreys µσθµσ==设是来⾃正态分布的⼀组样本试求的先验2211:()ln[]2i x ni l x e µσθπσ--==∑写出样本的对数似然函数22111(,)ln(2)ln ().22ni i l n x µσπσµσ=?=---∑22222222()()0:(,);20()()ll nE E Fisher I n ll E E µµσσµσσµσσ-- ??==?? -- ??其信息阵42),(det -=?σσµn I22,(,):(,)2.Jeffreys n µσπµσσσ--=∝所以的先验为幻灯⽚6911:,(),:()1;,()2,();,(,);nI I n σµπµσµσσπσσµσπµσσ---=∝=∝∝注当已知当已知当和独⽴幻灯⽚70 例3.22关于成功概率的⽆信息先验分布⾄今已有4种π1(θ)=1 ——正常π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 ——不正常π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正则化后可成为正常π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常注意：1.⼀般说来，⽆信息先验不是唯⼀的.但它们对贝叶斯统计推断的影响都很⼩，很少对结果产⽣较⼤的影响2.任何⽆信息先验都可以采⽤。

贝叶斯统计标准方法
贝叶斯统计标准方法是一种使用贝叶斯定理进行概率推断和统计推断的方法。

贝叶斯定理是一种在已经观察到某些证据的情况下更新概率分布的方法。

在贝叶斯统计标准方法中，首先需要确定一个先验概率分布，表示在观察到任何数据之前对待估计量的不确定性的初始估计。

然后，根据观察到的数据，计算出一个后验概率分布，用于更新预估量的不确定性。

贝叶斯统计标准方法的步骤如下：
1. 定义问题并确定待推断的参数或模型。

2. 确定先验概率分布，通常基于以往的经验或领域知识。

3. 收集观测数据。

4. 使用贝叶斯定理计算出后验概率分布，将先验概率分布与观察到的数据相结合。

5. 基于后验概率分布，可以计算出感兴趣的统计量的点估计、置信区间或区间估计。

6. 验证结果，可以使用模型检验方法检验推断的质量。

贝叶斯统计标准方法的优点在于可以利用先验信息来约束推断结果，并逐步更新先验概率分布，使其适应观察到的数据。

这使得贝叶斯方法在处理小样本或缺少数据的情况下特别有用。

(
x1,
, xn )
h(x1, , m(x1,
xn , )
, xn )
p(x1, , xn ) ( ) p(x1, , xn ) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 ( x1, , xn )
称为θ的后验密度函数，或后验分布。而 ：
m(x1, , xn ) p(x1, , xn ) ( )d
j
假如总体X也是离散的，则只须将p(x|θ)
换成P(X=x|θ)即可。
10
二、后验分布是三种信息的综合
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数
θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通
过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果
就是后验分布 ( x1, , xn) 。后验分布是三种信息的 综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，
P( 0.5/ x)
(n 2)
0.5
x
(1
)n
x
d
1.15 1042
( x 1)(n x 1) 0
故他断言男婴诞生的概率大于0.5。
13
注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：
(s) xs1e xdx, s 0, (n 1) n! 0
B( p,q) 1 x p1(1 x)q1dx, p 0,q 0 0
26
例1.9 对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。 分析：后验分布Be(α+x, β+n-x)的均值和方差可写为：
27
28
29
四、 常用的一些共轭先验分布
共轭先验分布选取的一般原则： 是由似然函数L(θ)=p(x|θ)中所含的因式所 决定的，即选与似然函数具有相同核的分布作 为先验分布。

有许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用。总体信息是很 重要的信息，为了获取此种信息往往耗资巨大。
二、样本信息，即从总体抽取的样本给我们 提供的信息。这是最“新鲜”的信息，并 且愈多愈好。人们希望通过对样本的加工 和处理对总体的某些特征做出较为精确的 统计推断。没有样本就没有统计学可言。 这是大家都理解的事实。
1.2 贝叶斯公式(定理)
一、贝叶斯公式的密度函数形式 1. 依赖于参数 的密度函数在经典统计中记为 p(x; ) 或 p (x) ，它表示在 参数空间 {} 中不同的 对应不同的分布。可在贝叶斯统计中记为 p(x ) ， 它表示在随机变量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分布。 2. 根据参数 的先验信息确定先验分布 ( ) 。
例 1.2“免检产品”是怎样决定的？某厂的产品每天都要抽检几件，获得
不合格率 的估计。经过一段时间后就积累大量的资料，根据这些历史资料
（先验信息的一种）对过去产品的不合格率可构造一个分布：
P(
i) n
i,
i 0，1，„ n
这个对先验信息进行加工获得的分布今后称为先验分布。这个先验分布是
综合了该厂过去产品的质量情况。如果这个分布的该率绝大部分集中在 =0
此式在定义域上与二项分布有差别。再计算 X 的边缘分布
m(x)
1
h( x,0)d
0
n x
1 0
x
(1
)
n
x
d
nx
(x
1)(n (n 2)
x
1)
1, n 1
x 0,1,..., n.
最后可得 的后验分布
( x) h(x, )
(n 2)
(x1)1 (1 )(nx1)1 ,0 1

贝叶斯先验分布
贝叶斯先验分布是贝叶斯统计学中的一个重要概念。

在统计学上，它是为了解决在前提条件下的概率问题而设计的。

贝叶斯先验分布可以理解为一种已知某些信息下，我们对未知参数的概率分布的一种假设。

在贝叶斯统计学中，可以使用既存的数据来推导出这种分布，并将其作为新数据的基础分布。

在具体应用上，贝叶斯先验分布在很多实际问题中都有着广泛应用。

例如，在医学领域中，可以假定一种药物对某种疾病的有效率符合γ 分布，那么如果有一个新的患者需要进行治疗，我们就可以将先验分布作为考虑新患者的基础，通过观察该患者的治疗效果来不断更新这个先验分布，得到更加准确的预测结果。

另一个例子是在金融或投资领域中，我们可以将某公司的财务数据作为先验分布，用来预测该公司未来的盈利情况。

如果在观察到一些新的信息之后，我们更新了某些参数，并且重新计算了该公司的盈利预测，那么这就是基于贝叶斯先验分布的预测。

由此可见，贝叶斯先验分布在很多实际问题中都具有很强的实用性。

但是，构造一个准确的先验分布需要根据具体的问题场景进行分析和处理。

例如，对于一些不确定性较大的领域，我们可能需要选择一种较为宽松的先验分布，以保证我们的预测结果更加准确。

总之，无论在什么场景下，贝叶斯先验分布都是一个非常重要的概念。

它为我们提供了一种简单而有效的工具，能够通过少量的数据，在高度不确定性的情况下，对未来结果进行比较准确的预测。

因此，对于任何从事数据分析和预测的人来说，掌握并理解贝叶斯先验分布的概念是非常重要的。

2[ E( | x)][E( | x) d( x)]h( | x)d
又因为 E( | x) h( | x)d 则 [ E( | x)][E( | x) d( x)]h( | x)d
[E( | x) d( x)][ E( | x)]h( | x)d
[E( | x) d( x)][E( | x) E( | x)] 0
由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风险函数定 义为
R( , d ) E (L( , d( X ))
L( , d( x))q( x | )dx
此积分仍为的函数，在给定的先验分布()时，定义
R(d ) E (R( , d ))
R( , d )π( )d
为决策函数d在给定先验分布()下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
0,
0,
x 0,
设Y X 1,则Y的密度函数为
f
(
y;
,
)
(
)
(
1 y
)
1
e
y，y
0,
0,
y 0,
此分布密度为倒分布的密度函数, 设 ²的先验分布为倒
分布，即
(
2
)
(
)
(1
2
) 1
e 2，y
0,
0,
y 0,
则 ²的后验分布为
h( 2 | x) q( x | 2 )π( 2 )
min R(d ) min m( x){ [ d( x)]2 h( | x)d }dx
min a.s [ d( x)]2 h( | x)d
又因为
[ d( x)]2 h( | x)d
[ E( | x) E( | x) d( x)]2 h( | x)d

27
例3.22
关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正常 ——不正常 ——正则化后可成为正常
π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常
注意：1.一般说来，无信息先验不是唯一的.
但它们对贝叶斯统计推断的影响都很小，很少对结 果产生较大的影响
2.任何无信息先验都可以采用。
28
总结
1. 掌握贝叶斯假设
2.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布
3.会用Fisher信息阵确定无信息先验
29
§3.5 多层先验
一、多层先验 二、多层模型
30
一、多层先验
1.定义
当所给先验分布中超参数难于确定时，可以对超参数 再给出一个先验，第二个先验称为超先验。由先验和 超先验决定的一个新先验称为多层先验。
试求分布参数 与的无信息先验.
取为位置参数, 为尺度参数, 令 1, ln( ), w ln( x), 则有
p( w; , )
1
w
d * 由随机变量函数知, ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 1 , d
浙江财经学院本科教学课程经济数学三概率统计精品文档贝叶斯统计34352第三章先验分布的确定31主观概率32利用先验信息确定先验分布33利用边缘分布mx确定先验密度34无信息先验分布35多层先验334无信息先验分布一贝叶斯假设二位置尺度参数族的无信息先验三用fisher信息阵确定无信息先验4所谓参数??的无信息先验分布是指除参数??的取值范围和??在总体分布中的地位之外再也不包含??的任何信息的先验分布
例3.23 设对某产品的不合格品率了解甚少，只知道 它比较小。现需要确定θ的先验分布。决策人经过 反复思考，最后把他引导到多层先验上去，他的思 路是这样的： (1)开始他用(0,1)上的均匀分布U(0,1)作为θ的先 验分布。

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计经典统计先验信息贝叶斯统计与经典统计是统计学中两个重要的分支，它们在统计推断和参数估计等方面有着不同的理论基础和方法。

在进行统计分析时，我们通常会考虑先验信息，也就是在观测数据之前已经获得的关于参数的知识或信念。

下面将分别介绍贝叶斯统计和经典统计中的先验信息。

1. 贝叶斯统计中的先验信息：贝叶斯统计的核心思想是基于贝叶斯定理，通过将先验信息与观测数据相结合来更新对参数的估计。

以下是一些贝叶斯统计中常见的先验信息：- 先验分布：根据领域知识或以往实验的结果，我们可以选择一个适当的先验分布来描述参数的不确定性。

例如，对于一个二项分布的参数p，我们可以选择一个Beta分布作为其先验分布。

- 先验均值：如果我们对参数的均值有一定的认识，可以将其设置为先验均值。

这可以是基于经验或专家知识得出的结果。

- 先验方差：如果我们对参数的方差有一定的预期，可以将其设置为先验方差。

这可以反映出我们对参数的不确定性程度。

2. 经典统计中的先验信息：经典统计是基于频率主义的理论，它主要关注样本的分布和参数的估计。

以下是一些经典统计中常见的先验信息：- 假设检验：在进行假设检验时，我们通常会根据先验信息提出一个原假设和一个备择假设。

原假设是我们想要进行推断的参数满足的条件，备择假设是原假设不成立的情况。

- 置信区间：在估计参数时，我们可以根据先验信息构造一个置信区间。

置信区间可以反映我们对参数估计的不确定性程度。

- 样本大小：在经典统计中，样本大小对于参数估计的准确性和置信区间的精度有重要影响。

我们可以根据先验信息来确定样本大小，以保证估计结果的可靠性。

3. 贝叶斯统计与经典统计的先验信息比较：贝叶斯统计和经典统计在先验信息的处理上有所不同。

贝叶斯统计中，先验信息直接融入了参数的估计过程，而经典统计中，先验信息主要用于假设检验和置信区间的构造。

贝叶斯统计更加注重主观先验信息的利用，而经典统计更加注重样本数据的分布和频率性质。

先验分布的选择的概念
先验分布是在贝叶斯统计学中一个重要的概念，它是指在进行统计推断时，对于待估计的未知量可能取值的预先概率分布。

先验分布的选择对贝叶斯分析的结果有着至关重要的影响。

在这篇文章中，我们将分步骤阐述先验分布的选择的概念。

1. 了解先验分布的作用
在进行贝叶斯分析时，我们需要先指定一个先验分布。

这个先验分布代表了我们关于待估计量的先有知识和信念。

这个先验分布将与我们要估计的数据相结合，得到一个后验分布。

后验分布是我们对待估计量真实值的置信度分布。

2. 考虑问题的具体情况
在选择先验分布时，需要考虑到具体的问题情况。

例如，如果我们要对某一物种的平均寿命进行估计，那么我们可以选择一个均值为50岁，方差为10岁的正态分布作为先验分布。

这是因为我们已经知道的关于这个物种寿命的知识是它大概位于50岁附近，并且可能有一些波动。

3. 考虑领域知识
在选择先验分布时，领域知识会起到重要的作用。

以医学统计学为例，医生可能会选择一个先验分布，该分布已经考虑了疾病的流行率和其他相关因素。

这样的选定的先验分布可能会使得后验分布更加准确。

4. 更替先验分布
如果我们发现后验分布并不准确，那么我们应该考虑更换先验分布。

我们可以通过先验分布的灵活性，比如选择一个更加宽松的先验分布，来看看是否有更好的结果。

在贝叶斯统计学中，选择先验分布是一个非常关键的环节，它直接影响到后验分布和加权决策的准确性和可靠性。

因此，在选择先验
分布时，我们需要考虑问题所涉及的具体情况和领域知识，以及不断更替先验分布，以寻找效果更好的方法。

贝叶斯先验分布
贝叶斯先验分布（Bayesian prior distribution），是指在进行贝叶斯统计推断过程中，对未知参数的概率分布的初始假设。

简单来说，先验分布是对参数先前知识的一个概率分布的表达。

贝叶斯统计中的先验分布是与后验分布相关的。

先验分布是在获得新的证据之前确定参数的概率分布，而后验分布是仅仅基于新的信息来确定参数的概率分布。

先验分布是在进行实验之前就已经被确定的，因此可以被视为提供了默认的基准信息。

在实验产生数据的时候，新发现的数据会与先验分布结合，从而构建出一个更新的后验分布。

贝叶斯先验分布中常常包含一些超参数，这些超参数可以用来控制先验分布的形态和精度。

根据数据的实际情况和模型的选择，可以利用贝叶斯最优化方法来确定超参数的值，从而使得先验分布更好地反映出真实情况。

实际中，先验分布的选择和超参数的确定往往需要专家经验和领域知识的支持，因此具有一定的主观性。

课程考核：闭卷考试
成绩评定 平时(20分)
=作业+考勤+课堂表现
期末(80分)
=卷面(100分) ×
80%
总评(100分)
=平时+期末
比例
20%
80%
100%
学分数
2
课堂上讲过的习题、练习题和作业的题目要会.
伽玛函数
函数
( ) x 1exdx 0
称为伽玛函数，其中α>0.
伽玛函数的性质: (1) (1) 1; (1)
人们在试验之前对要做的问题在经 验上和资料上 总是有所了解的，这些信息对 统计推断是有益的。
三、先验信息，即是抽样（试验）之前有关统计 问题的一些信息。 一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。先 验 信息在日常生活和工作中是很重要的。
例1.1 英国统计学家Savage曾考察如下2个统计实验：
A。一位常饮牛奶加茶的妇女声称，她能辨别先倒进 杯子里的是茶还是牛奶。对此做了10次试验，她都正 确地说出了。
贝叶斯统计
Bayesian Statistics 山东经济学院
统计与数学学院
张爱
shangkejiaoxue@Fra bibliotek贝叶斯统计
预修要求：已修过概率论与数理统计
基本教材： 茆诗松编，贝叶斯统计
中国统计出版社，2005年.
[1] 贝叶斯统计与决策．Berger J O．中国统计出版 社．1998 [2] 现代贝叶斯统计．Kotz S,吴喜之．中国统计出版 社．1999 [3] 贝叶斯统计推断．张尧庭、陈汉峰．科学出版 社．1991
第一，按图1.1所示的概率分布我们可谈论未知量θ位于 某个区间的概率。
例θ位于37到43岁间的概率为0.9。

m(x)
p(x | ) ( )d
p(x | ) ( )
(3.1)
当先验分布含有未知参数时，譬如π(θ)=π(θ|λ)，那么边缘分布 m(x)依赖于λ，可记为 m(x|λ). 幻灯片 91 （一）、先验选择的 ML—Ⅱ方法
m(x)
p(x | ) ( )d
p(x | ) ( )
(3.1)
§3.1 主观概率 §3.2 利用先验信息确定先验分布 §3.3 利用边缘分布 m(x)确定先验密度 §3.4 无信息先验分布 §3.5 多层先验
幻灯片 82 总结
1.理解主观概率的定义,了解主观概率确定的常用方法. 2.了解直方图法 3.掌握选定先验密度函数形式再估计其超参数 4.理解定分度法与变分度法
称H ( ( ))为的熵.
如果部分验前信息由下式给出:
m
E [gk ( )] gk (i ) (i ) k , k 1,2,...,m i1
则在上述约束下使熵取 最大值时的 ( )作为的验前密度 ,表示为 :
m
exp[ k gk ( )]
( ) n
k 1 m
exp[k gk ( )]
5. 掌握利用边缘分布 m(x)确定先验密度的先验选择的 ML—Ⅱ方法和先验选择的矩方法 6. 掌握贝叶斯假设 7.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布 8.会用 Fisher 信息阵确定无信息先验 9.理解多层先验
幻灯片 83 一、主观概率 1.定义：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性大小所给出的个人信念， 这样给出的概率称为主观概率 幻灯片 84 说明：1.主观概率不是随意决定的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰 富的经验，甚至是这方面的专家。并能对周围信息和历史信息进行仔细分析，在这个基础 上确定的主观概率就能符合实际。所以应把主观概率与主观臆造，瞎说一通区别开来。 2.主观概率要受到实践检验，要符合概率的三条公理，通过实践检验和公理验证，人们会 接受其精华，去其糟粕。 3.主观概率是频率方法和经典方法的一种补充，有了主观概率至少使人们在频率观点不适 用时也能谈论概率，使用概率和统计方法。 4.主观概率并不反对用频率方法确定概率，但也要看到它的局限性。 幻灯片 85 二、确定主观概率的方法 1.用对立事件的比较来确定主观概率（最简单的方法） 2.用专家意见来确定主观概率的方法（最常用的）. 注意：（1）.向专家提的问题要设计好，既要使专家易懂又要使专家回答不是模棱两可。 （2）.要对专家本人比较了解，以便做出修正，形成决策者自己的主观概率. （3）.通过向多位专家咨询后，经修正和综合获得主观概率，关键在于把问题设计好，便 于往后综合，即在提出问题时，就要想到如何综合。 3.假如有历史数据，要尽量利用，帮助形成初步概念，然后再做一些对比修正，再形成个 人信念. 幻灯片 86 二、 利用先验信息确定先验分布

贝叶斯统计知识整理第⼀章先验分布和后验分布统计学有两个主要学派，频率学派与贝叶斯学派。

频率学派的观点：统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进⾏推断，这⾥⽤到两种信息：总体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应该使⽤第三种信息：先验信息。

贝叶斯统计就是利⽤先验信息、总体信息和样本信息进⾏相应的统计推断。

1.1三种信息（1）总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息（2）样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息（3）先验信息：在抽样之前有关统计推断的⼀些信息1.2贝叶斯公式⼀、贝叶斯公式的三种形式(⼀）贝叶斯公式的事件形式假定k A A ,,1 是互不相容的事件，它们之和i ki A 1= 包含事件B ，即i ki A B 1=? 则有：∑==ki ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()(（⼆）贝叶斯公式的密度函数形式1.贝叶斯学派的⼀些具体思想假设I ：随机变量X 有⼀个密度函数);(θx p ，其中θ是⼀个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，);(θx p 是在给定θ后的⼀个条件密度函数，因此记为)(θx p 更恰当⼀些。

在贝叶斯统计中记为)(θx p 它表⽰在随机变量θ给定某个值时，总体指标X 的条件分布。

这个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体信息。

假设II ：当给定θ后，从总体)(θx p 中随机抽取⼀个样本X1，…，Xn ，该样本中含有θ的有关信息。

这种信息就是样本信息。

假设III ：从贝叶斯观点来看，未知参数θ是⼀个随机变量。

⽽描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数⽤)(θπ表⽰。

2.先验分布定义1：将总体中的未知参数Θ∈θ看成⼀取值于Θ的随机变量，它有⼀概率分布，记为)(θπ，称为参数θ的先验分布。

3.后验分布（1）从贝叶斯观点看，样本x =(1x ,…,n x )的产⽣要分两步进⾏。