数学分析中求极限的方法汇总

数学分析中求极限的方法汇总

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数学分析中求极限的方法总结

1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如

下：定理 1.1 ：如果lim f（x）= ,lim g（x）=

x x 0 x x0

1lim f (x) g (x) lim f x) lim g(x)

x x0 x x0 x x0

2

）

lim f（x）g ( x)= lim

f

( x)

lim

g(x)

x x

x x

x x

3

）

若B

≠0

则：

f (x)

lim

lim f

(x)

x x

0 g(x)

lim

x x0

4lim c f (x) c lim f(x) c

x x0 x x0

lim

f(x)

n

x lim x f

(x) n

5x x0 x x0 （n 为自然

上述性质对于x ,x ,x 也同样成立i

由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

lim x

2 5

例 1. 求x 2 x 3 的极限

解：由定理中的第三式可以知道

x12

lim

例 2. 求x 3 x 3 的极限

解：分子分母同时乘以x 1 2

2

2

5

23

x 1 2 x 1 2 lim

x 3

x 3 x 1 2

li m x 3 x 3

x 3 x 1 2 1

4

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可

2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数 f(x) 在 x 0

附近有定义， ， 则

y f x 0 x f x 0

如果

存在，

x12 x3

例 3.

1 1 1 已知 x n 11

2 21

3 n 11 n 观察

1 2=1

2 11

因此得到

x n 11 2

1

12

1

1 2 1 2

1

1 n

所以

，求 lim

x

n 1 n n-1

3 n 1n

13 13 lim x n lim 1 1

n

n

n n

1 1 1 n 1n 1 n

li x m 0 x y li x m 0

f x 0 x f x

x

2

则此极限值就称函数 f(x) 在点 x 0

的导数

记

为

f'x 0

。

在这种方法的运用过程中，首先要选好

f(x) 。然后把所求极限都表示成 f(x) 在定

点 x

的

x

1

f'2

f x 0

x f x 0 x

导数。

例 4. 解：

求 lim x x 2 ctg2x 的极限

x

2

lim x x 2 ctg2x x 2x

lim

x

x

tg2x tg 2 2

li

tg2x 2

lim

3利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：

1

例

5

lim (1 2 x ) x

x 0

(1 x)

解：为了利用极限 1

故把原式括号内式子 lim （1

x ） x e

拆成两项，使得第一项为 1，第二项和括号外的 指数互为倒数进行配平。

lim

1 cos x

例6：

x 0

x 2

解：将分母变形 后再化成“ 0/0 ”型 所以

1)l x

im

sin x

x 1

，

（2） lim 1 1

x

x

但我们经常使用的是它们的变形：

（1）lim sin

x x

1, x 0 ， 1

x x

2) lim 1

1

e, x

x e

l x im 0 ( 1 2 x)

(1 x )

lim x0

(1

lim

[( 1

1

3x x )

1

3x x

)

=lim

x0

1x 3x

e 3

2x

1

sin 2

利用这两个重要极限来求函数的极限时要 仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过 变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用 此方法来求极限。 一般常用的方法是换元法和配 指数法。

4

利用函数的连续性

因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的

内的点 , 则 l x

im

x 0

f (x) f(x 0)

lim arcsin 2x 1

例 8：

x 1

6

解 : 因为复合函数 是初等函数 , 而 x 1

是其

例

7:

1

求 lim (1 2x) x

的极限 x0

lim

x0 解：原式 =lim (1 2x) 2x

(1 2x) 2x

e 2

lim

x0

lim

x0

x 2

2 ( 2

x ) 2 所以如果

f(x)

是初等函数 , 且

x 0

是

f (x)

的定义区间

cos x 2

x

2 sin 2

x 2