中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴

1

2

AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，

∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2

x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若(

)

2

x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222=

+=

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：

12PO•BO=1

2

×2×2=8。

2．如图，抛物线y ＝12

x 2

+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝

213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3

2，﹣258

）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5

4

）． 【解析】 【分析】

（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；

（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；

（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3

2

=

对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线

x 3

2=

交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】

（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112

⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213

22

x =-x ﹣2． y 21322x =

-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325

2

8

，

-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，213

22

x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．

∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．

（3）∵顶点D 的坐标为 （3

2528，

-），∴抛物线的对称轴为x 32

=． ∵抛物线y 12=

x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 3

2

=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 213

22

x =

-x ﹣2＝﹣2，则点C

的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x

3

2

=

交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC

+MB 的值最小．

设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：2

40b k b =-⎧⎨+=⎩

，

解得：122k b ⎧

=⎪

⎨⎪=-⎩

，∴y 12=x ﹣2．

当x 32=

时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（35

24-，

）． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．

3．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．

（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，

11AM AN

+均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a =13

-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33