重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求．）1．集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}，则以下选项正确的是（）A．N∈M B．N⊆M C．M∩N={1，5} D．M∪N={﹣3，﹣1，3}2．“x≥3”是“x＞3”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．sin585°的值为（）A．B．C．D．4．若θ是第四象限角，且|cos|=﹣cos，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．f（3x）=x，则f（10）=（）A．log310 B．lg3 C．103D．3106．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=x2+2 C．y=x3﹣3 D．8．tan70°•cos10°（tan20°﹣1）等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣29．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f（x）≠0），且在区间上单调递减．已知α，β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能10．已知关于x的方程4x+m•2x+m2﹣1=0有实根，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，1）C．[﹣，1] D．[1，]11．设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A．B．C．2 D．412．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（）A．[0，1）B．[0，π2）C．D．[0，π）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=的定义域为．14．函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值范围为．15．当t∈[0，2π）时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为．16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊂D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=|3x﹣1|是2型函数，则m+n=1；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．17．已知A={x|x2+2x﹣8＞0}，B={x||x﹣a|＜5|}，且A∪B=R，求a的取值范围．18．已知0＜α＜，tanα=（1）求的值；（2）求sin（﹣α）的值．19．已知f（x）=x为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．（1）求f（x）的表达式；（2）若函数g（x）=log a[a﹣x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．20．函数f（x）=cos2（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+）﹣（ω＞0，0＜φ＜）同时满足下列两个条件：①f（x）图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形②（，0）是f（x）的一个对称中心、（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）令g（x）=f2（x﹣）+f（x﹣）+m，若g（x）在x∈[，]时有零点，求此时m 的取值范围．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3．（1）若函数在区间[﹣1，1]上最大值除以最小值为﹣2，求实数q的值；（2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12﹣t（此区间[a，b]的长度为b﹣a）22．已知集合A={t|t使{x|x2+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，集合B={t|t使{x|x2+2tx﹣2t=0}≠∅}，其中x，t均为实数．（1）求A∩B；（2）设m为实数，g（α）=﹣sin2α+mcosα﹣2m，α∈[π，π]，求M={m|g（α）∈A∩B}．四、附加题：本题满分0分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．本题所得分数计入总分．23．已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x）=，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N*且k≥2，函数f（x）具有性质P（）．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求．）1．集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}，则以下选项正确的是（）A．N∈M B．N⊆M C．M∩N={1，5} D．M∪N={﹣3，﹣1，3}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；分析法；集合；简易逻辑．【分析】由元素与集合之间的关系，判断A不正确，由集合N中的元素不都是集合M中的元素，判断B不正确，再由交集以及并集运算判断C，D则答案可求．【解答】解：集合M={﹣1，1，3，5}，集合N={﹣3，1，5}，N∈M不正确，∈是元素与集合之间的关系，故A不正确，N⊆M不正确，集合N中的元素不都是集合M中的元素，故B不正确，对于C，M∩N={﹣1，1，3，5}∩{﹣3，1，5}={1，5}，故C正确，对于D，M∪N={﹣1，1，3，5}∪{﹣3，1，5}={﹣3，﹣1，1，3，5}，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．2．“x≥3”是“x＞3”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若x=3满足x≥3，但x＞3不成立，若x＞3，则x≥3成立，即“x≥3”是“x＞3”成立的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．3．sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】诱导公式的作用．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．4．若θ是第四象限角，且|cos|=﹣cos，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号；象限角、轴线角．【专题】数形结合；定义法；三角函数的求值．【分析】根据θ是第四象限角，得出是第二或第四象限角，再由|cos|=﹣cos，得出是第二象限角．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴2kπ+≤θ≤2kπ+2π，k∈Z；∴kπ+≤≤kπ+π，k∈Z；又|cos|=﹣cos，∴是第二象限角．故选：B．【点评】本题考查了象限角与三角函数符号的判断问题，是基础题目．5．f（3x）=x，则f（10）=（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设3x=t，求出f（t）=log3t，由此能求出f（10）．【解答】解：∵f（3x）=x，∴设3x=t，则x=log3t，∴f（t）=log3t，∴f（10）=log310．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．6．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），故将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=x2+2 C．y=x3﹣3 D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用奇偶性的定义判断已知函数为偶函数，在x＜0上递减，再由常见函数的奇偶性和单调性及定义，即可得到满足条件的函数．【解答】解：函数y=，当x=0时，f（0）=1；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=（）﹣x=e x=f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=e﹣x=f（x），则有在R上，f（﹣x）=f（x）．则f（x）为偶函数，且在x＜0上递减．对于A．f（﹣x）=﹣f（x），则为奇函数，则A不满足；对于B．则函数为偶函数，在x＜0上递减，则B满足；对于C．f（﹣x）=（﹣x）3﹣3=﹣x3﹣3≠f（x），则不为偶函数，则C不满足；对于D．f（﹣x）=f（x），则为偶函数，当x＜0时，y=递增，则D不满足．故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性及定义的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．8．tan70°•cos10°（tan20°﹣1）等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】将原函数式中的“切”化“弦”后，通分整理，用辅助角公式整理即可．【解答】解：tan70°•cos10°（tan20°﹣1）=•cos10°（•﹣1）=•=×2sin（20°﹣30°）==﹣1．故选C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，“切”化“弦”后通分整理是关键，考查化简与运算能力，属于中档题．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f（x）≠0），且在区间上单调递减．已知α，β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由平移图象可得y=f（x）的对称轴为x=0，由f（x）f（x+1）=4，将x换为x+1，可得f（x）的周期为2，由题意可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜，运用诱导公式和正弦函数的单调性，即可判断大小，得到结论．【解答】解：f（x﹣1）的对称轴为x=1，可得y=f（x）的对称轴为x=0，即有f（﹣x）=f（x），又f（x）f（x+1）=4，可得f（x+1）f（x+2）=4，即为f（x+2）=f（x），函数f（x）为最小正周期为2的偶函数．f（x）在区间上单调递减，可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜，即有0＜α＜﹣β＜，则0＜sinα＜sin（﹣β）＜1，即为0＜sinα＜cosβ＜1，则f（sinα）＜f（cosβ）．故选：B．【点评】本题考查函数的对称性和周期性的运用，考查偶函数的单调性的运用，同时考查三角形函数的诱导公式和正弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．10．已知关于x的方程4x+m•2x+m2﹣1=0有实根，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，1）C．[﹣，1] D．[1，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】令2x=t（t＞0），可得t2+mt+m2﹣1=0有正根，分类讨论，即可求实数m的取值范围．【解答】解：令2x=t（t＞0），可得t2+mt+m2﹣1=0有正根，①有两个正根，，∴﹣≤m＜﹣1；②一个正根，一个负数根，m2﹣1＜0，∴﹣1＜m＜1；③m=﹣1时，t2﹣t=0，t=0或1，符合题意，综上所述，﹣≤m＜1．故选：B．【点评】本题考查根的分布，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11．设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A．B．C．2 D．4【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （因为2a2y2+ay＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0，所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞或者y＜﹣（舍去），∴≤2，∴a，故选：A【点评】本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2a2y2+ay当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于y的函数．12．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a2+b2的取值范围是（）A．[0，1）B．[0，π2）C．D．[0，π）【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】先假设函数存在零点x0，得出方程：sin（x0+φ）=2kπ+，再根据三角函数的性质得出结果．【解答】解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0，由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0），根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+，即，sin（x0+φ）=2kπ+（k∈Z），要使该方程有解，则≥|2kπ+|min，即，≥（k=0，取得最小），所以，a2+b2≥，因此，当原函数f（x）没有零点时，a2+b2＜，所以，a2+b2的取值范围是：[0，）．故答案为：C．【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=的定义域为{x|x≥1或x≤0}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：x（x﹣1）≥0，解得：x≥1或x≤0，故函数f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤0}，故答案为：：{x|x≥1或x≤0}．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．14．函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值范围为[﹣3，3] ．【考点】带绝对值的函数．【专题】计算题；推理和证明．【分析】化简函数，分别确定其范围，即可得出函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值范围．【解答】解：当﹣1＜x＜2时，y=2﹣x﹣x﹣1=1﹣2x∈（﹣3，3）；当x≤﹣1时，y=2﹣x+（x+1）=3；当x≥2时，y=x﹣2﹣（x+1）=﹣3，所以y的取值范围是[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．【点评】本题考查求函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值范围，正确讨论是关键．15．当t∈[0，2π）时，函数f（t）=（1+sint）（1+cost）的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】由f（t）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，sintcost=，则f（t）=1+m+=，运用二次函数的值域求法，可得最大值．【解答】解：f（t）=（1+sint）（1+cost）=1+（sint+cost）+sintcost，令m=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，即有m2=1+2sintcost，即sintcost=，则f（t）=1+m+=，即有m=﹣1时，f（t）取得最小值0；m=，即t=时，f（t）取得最大值，且为．故答案为：．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用三角换元和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．16．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊂D（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=|3x﹣1|是2型函数，则m+n=1；④若函数y=（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为正确的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．【解答】解：①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；②y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确；③设函数f（x）=|3x﹣1|是2型函数，则当定义域为[m，n]时，函数值域为[2m，2n]，若n≤0，则函数f（x）=|3x﹣1|=1﹣3x，为减函数，则，即，即2﹣（3m+3n）=2（m+n），若m+n=1，则2﹣（3m+3n）=2，即3m+3n=0不成立，若m≥0，则函数f（x）=|3x﹣1|=3x﹣1为增函数，则，则（3m+3n）﹣2=2（m+n），若m+n=1，则（3m+3n）﹣2=2，即3m+3n=4，当m=0，n=1时，等式成立，则③正确，④，y=（a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2==≤，即n﹣m的最大值为，∴④正确；故答案为：②③④【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．17．已知A={x|x2+2x﹣8＞0}，B={x||x﹣a|＜5|}，且A∪B=R，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用一元二次不等式的解法可化简集合A，利用绝对值不等式的解法可化简集合B，再利用集合的运算即可得出答案．【解答】解：对于集合A：由x2+2x﹣8＞0，化为（x+4）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣4，∴A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．对于集合B：由|x﹣a|＜5，化为a﹣5＜x＜a+5，∴B=（a﹣5，a+5）．∵A∪B=R，∴，解得﹣3≤a≤1．∴a的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，属于基础题．18．已知0＜α＜，tanα=（1）求的值；（2）求sin（﹣α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．【分析】（1）化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．（2）利用同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦函数化简求解即可．【解答】解：0＜α＜，tanα=（1）===20；（2）0＜α＜，tanα=，可得sinα=，cosα=，sin（﹣α）=cos sinα==．【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，考查计算能力．19．已知f（x）=x为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．（1）求f（x）的表达式；（2）若函数g（x）=log a[a﹣x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的性质，即可求出t的值，从而求f（x）的解析式；（2）利于换元法，结合复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：（1）∵在x∈（0，+∞）单调递增，∴﹣t2+2t+3＞0，即t2﹣2t﹣3＜0，得﹣1＜t＜3，∵t∈z，∴t=0，1，2，若t=0，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．若t=1，则f（x）=x4为偶函数，满足条件．若t=2，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．故f（x）的表达式为f（x）=x4；（2）∵f（x）=x4，∴g（x）=log a[a﹣x]=log a（ax2﹣x）设t=ax2﹣x，则y=log a t，若g（x）=log a[af（x）﹣x]（a＞0，且a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，则t=ax2﹣x和y=log a t的单调性相反，若a＞1，则t=ax2﹣x在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=，即a，此时不满足条件．若0＜a＜1，则t=ax2﹣x在区间[2，4]上是单调递增函数，则对称轴x=，且当x=2时，t=4a﹣2＞0，解得，即．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及复合函数单调性之间的关系，利于换元法是解决本题的关键．20．函数f（x）=cos2（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+）﹣（ω＞0，0＜φ＜）同时满足下列两个条件：①f（x）图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形②（，0）是f（x）的一个对称中心、（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）令g（x）=f2（x﹣）+f（x﹣）+m，若g（x）在x∈[，]时有零点，求此时m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】压轴题；转化思想；配方法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2ωx+2φ+），令2ωx+2φ+=0，可得函数的一个最大值点O的坐标，令2ωx+2φ+=﹣，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标，令2ωx+2φ+=，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标，由|AB|2=2|OB|2，结合范围ω＞0，解得．由cos（+2φ+）=0，结合范围0＜φ＜，可得φ=，可得函数解析式，由x∈[0，2]时，可得πx+∈[，]，利用余弦函数的图象可得单调递减区间．（2）由（1）及配方法可得g（x）=+m﹣（sinπx+）2，由题意，m=（sinπx+）2﹣在x∈[，]时有解，利用正弦函数的有界性即可求解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵f（x）=cos2（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）•sin（ωx+φ+）﹣=﹣sin（2ωx+2φ）﹣﹣cos（2ωx+2φ）﹣=[cos（2ωx+2φ）﹣sin（2ωx+2φ）]=cos（2ωx+2φ+），∴函数周期T=，∵令2ωx+2φ+=0，可得函数的一个最大值点O的坐标为：（﹣，），令2ωx+2φ+=﹣，可得函数的一个最大值点O的左相邻的对称点A的坐标为：（﹣，0），令2ωx+2φ+=，可得函数的一个最大值点O的右相邻的对称点B的坐标为：（，0），∴由题意可得：|AB|2=2|OB|2，即得：（）2=2[（+）2+（﹣）2]，解得ω2=，∵ω＞0，解得：．∴f（x）=cos（πx+2φ+），∵（，0）是f（x）的一个对称中心，即：cos（+2φ+）=0，∴+2φ+=kπ+，k∈Z，解得：φ=﹣，k∈Z，∴由0＜φ＜，可得：φ=．∴f（x）=cos（πx+），∵x∈[0，2]时，πx+∈[，]，∴当利用余弦函数的图象可得，当πx+∈[π]，πx+∈[2π，]时单调递减，即函数f（x）的单调递减区间为：[0，]∪[，2]．（2）∵由（1）可得：f（x﹣）=cosπx，f（x﹣）=﹣sinπx．∴g（x）=f2（x﹣）+f（x﹣）+m=cos2πx﹣sinπx+m=+m﹣（sinπx+）2，∵g（x）在x∈[，]时有零点，即方程：+m﹣（sinπx+）2=0在x∈[，]时有解，∴m=（sinπx+）2﹣在x∈[，]时有解，∵x∈[，]，sinπx∈[﹣1，]，sinπx+∈[﹣，]，（sinπx+）2∈[0，]，∴m∈[﹣，﹣]．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数，余弦函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，考查了数形结合思想和转化思想的应用，考查了配方法的应用，综合性强，计算量大，属于难题．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3．（1）若函数在区间[﹣1，1]上最大值除以最小值为﹣2，求实数q的值；（2）问是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12﹣t（此区间[a，b]的长度为b﹣a）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到函数f（x）的单调性，求出其最大值和最小值，得到关于q的方程，解出即可；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴为x=8，∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）max=f（﹣1）=20+q，f（x）min=f（1）=﹣12+q，由题意得：=﹣2，解得：q=；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴t=．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．22．已知集合A={t|t使{x|x2+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，集合B={t|t使{x|x2+2tx﹣2t=0}≠∅}，其中x，t均为实数．（1）求A∩B；（2）设m为实数，g（α）=﹣sin2α+mcosα﹣2m，α∈[π，π]，求M={m|g（α）∈A∩B}．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【专题】综合题；转化思想；综合法；集合．【分析】（1）分别求出集合A、B，取交集即可；（2）令t=cosα，则t∈[﹣1，0]，令h（m）=t2+mt﹣2m﹣1，得到：﹣2＜t2+mt﹣2m﹣1＜﹣1，求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵集合A={t|t使{x|x2+2tx﹣4t﹣3≠0}=R}，∴△1=（2t）2+4（4t+3）＜0，∴A={t|﹣3＜t＜﹣1}，∵集合B={t|t使{x|x2+2tx﹣2t=0}=∅}，∴△2=4t2﹣4（﹣2t）＜0，∴B={t|﹣2＜t＜0}，∴A∩B=（﹣2，﹣1）；（2）∵g（α）=﹣sin2α+mcosα﹣2m，α∈[π，π]，∴g（α）=﹣﹣2m，令t=cosα，则t∈[﹣1，0]，∴h（m）=t2+mt﹣2m﹣1，∴﹣2＜t2+mt﹣2m﹣1＜﹣1，解得：﹣＜m＜﹣，由t∈[﹣1，0]，得：0＜m＜故M={m|0＜m＜}．【点评】本题考察了集合的运算以及表示，考察转化思想，是一道中档题．四、附加题：本题满分0分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤．本题所得分数计入总分．23．已知函数f（x）的定义域为0，1]，且f（x）的图象连续不间断．若函数f（x）满足：对于给定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x）=，若f（x）具有性质P（m），求m最大值；（2）若函数f（x）满足f（0）=f（1），求证：对任意k∈N*且k≥2，函数f（x）具有性质P（）．【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】新定义；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）m的最大值为．分类进行证明，当m=时，函数f（x）具有性质P（）；假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜，证明不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m）即可；（2）任取k∈N*且k≥2，设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，利用叠加法可得g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0，分类讨论：当g（0）、g（）、…、g（）中有一个为0时，函数f（x）具有性质P（）；当g（0）、g（）、…、g（）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，进而可证函数f（x）具有性质P（）．【解答】解：（1）m的最大值为．首先当m=时，取x0=，则f（x0）=f（）=1，f（x0+m）=f（）=f（1）=1所以函数f（x）具有性质P（）假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜．当x0=0时，x0+m∈，f（x0）=1，f（x0+m）＞1，f（x0）≠f（x0+m）；当x0∈（0，1﹣m]时，x0+m∈（，1]，f（x0）＜1，f（x0+m）≥1，f（x0）≠f（x0+m）；所以不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m），所以，m的最大值为．…（2）证明：任取k∈N*且k≥2设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有g（0）=f（）﹣f（0）g（）=f（）﹣f（）…g（）=f（）﹣f（）…g（）=f（1）﹣f（）以上各式相加得：g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0当g（0）、g（）、…、g（）中有一个为0时，不妨设为g（）=0，i∈{0，1，…，k﹣1}，即g（）=f（+）﹣f（）=0，则函数f（x）具有性质P（）；当g（0）、g（）、…、g（）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，不妨设g（）＞0，g（）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k﹣1}，由于g（x）是连续的，所以当j＞i时，至少存在一个（当j＜i时，至少存在一个）使得g（x0）=0，即g（x0）=f（）﹣f（x0）=0所以，函数f（x）具有性质P（）…【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．。

2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．15．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．46．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．18．（2021•二模拟）已知二项式)n x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2210．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为812．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B所成角的余弦值．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞【答案】C【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【解答】解： 121{|1},{|(1)0}{|011}{|01}2A x x B x log x x x x x =-<=-=<-=< ，(1,1)A B ∴=- ．故选：C ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<【考点】4M ：对数值大小的比较【专题】4R ：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】设2361a b c k ===>，可得02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，根据0<<，即可得出关系．【解答】解：设2361a b c k ===>，则02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，0<<< ，y x z ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查了指数与对数元素性质、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-【考点】3G ：复合函数的单调性【专题】33：函数思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算；15：综合题【分析】由外层函数0.5log y t =为减函数，把问题转化为内层函数2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a 的不等式组求解．【解答】解： 外层函数0.5log y t =为减函数，∴要使0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则需要2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，即030203a a a a⎧⎪<⎪+>⎨⎪⎪++⎩ ，解得20a -<．a ∴的取值范围为[2-，0)．故选：C ．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．1【答案】A【考点】平面向量的基本定理；向量数乘和线性运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量AO，根据向量的线性运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：M为BC 中点，∴1()2AM AB AC =+ ，∴(22AO AB AM AB AC μμλμλ=+=++，O 为ABC ∆的内心，∴1134AO AB AC =+，∴123124μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，712λμ∴+=．故选：A ．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用三角形内心的性质是关键，属于中档题．5．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．4【考点】85：等差数列的前n 项和【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5T ：不等式；62：逻辑推理；65：数学运算【分析】先由题设2{}nx ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可．【解答】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数），2{}n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==，222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x + （当且仅当92010x x =时取“等号“)，2229201092010()2()8x x x x ∴++=，92010x x ∴+（当且仅当92010x x ==时取“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．6．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --【答案】D【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】利用等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式可将问题转化为：2121n n n n a S b T --=，即可得到答案．【解答】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，6131n n S n T n -=-，∴1211212112112121(21)()6(21)112722(21)()3(21)16422n n n n n n n n a a n a a a S n n b b n b b b T n n ------+-+---=====+-+---，故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和的应用，突出考查等价转化思想与思维运算能力，属于中档题．7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】由向量的数量积公式和夹角公式，可得直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，通过平移和讨论三条直线在同一平面、不在同一平面，可得直线l 的条数．【解答】解：11A D AD AA =- ，11AC AB AD AA =++ ，∴1111()()A D AC AD AA AB AD AA ⋅=-⋅++ 2211AB AD AD AB AA AA =⋅+-⋅- 07016=+--=，1||A D = ，1||AC =，111cos ,2A D AC ∴<>==，∴直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，设与1A D 平行的直线为1l ，与1AC 平行的直线为2l ，将直线l ，直线1A D 和直线1AC 平移至点P ，则当三条直线在同一平面时，这样的直线l 不存在；若三条直线不在同一平面，3APB π∠=，PD 是APB ∠的角平分线，在PD 上方有一条直线PE 与1l ，2l 所成角为70︒，同理PF ，PG ，PH 也满足条件，如右图．∴过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为4．故选：A ．【点评】本题考查满足异面直线所成角的直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8．（2021•二模拟）已知二项式1()n x x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84【答案】A【考点】二项式定理【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】二项式展开式的通项公式求出4T ，令x 的指数为0，可求得n ，从而可得常数项．【解答】解：由题意可知93333324()()(1)nn nn T C x C x x--=-=-，令902n-=，解得9n =，所以该二项式的展开式中的常数项为339(1)84C -=-．故选：A ．【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【考点】命题的真假判断与应用；众数、中位数、平均数；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】利用正态分布求解概率，判断A ；二项分布的期望与方差判断B ；回归直线方程求解ˆb，判断C ；通过求解中位数判断D ；【解答】解：对于A ，(2)(4)10.770.23P P ξξ-==-= ，故A 正确；对于B ，1220()10339D X =⨯⨯=，所以220(31)3209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点()x y ，将4x =，50y =代入求得ˆ9.8b=，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x时，中位数为3，此时31367x++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x时，中位数为5，此时313107x++=，解得18x =．所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确．故选：AC ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =【答案】ACD 【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用三角形的面积关系得到122y y =-，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出A ，B ，从而求出||AF ，即可判断选项A ，求出AOB ∆的面积，即可判断选项B ，求出圆心和半径，得到圆的方程，从而求出t 的值，即可判断选项C ，利用两点间距离公式求解||PF ，即可判断选项D ．【解答】解：由题意，(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为A 在B 的上方，则10y >，20y <，因为2AFO BFO S S ∆∆=，则1211||||2||||22OF y OF y ⋅⋅=⨯⋅⋅，即122y y =-，联立方程组2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，即2208ky y k --=，所以12128,16y y y y k+==-，又122y y =-，则12y y ==-所以128y y k+==，解得k =，故(1,A B -，则14||4622p AF x =+=+=，故选项A 正确；因为12y y -=所以121||||2OAB S OF y y ∆=⋅⋅-=故选项B 错误；因为AB 的中点5(2，直径为12||549AB x x p =++=+=，故半径为92，所以圆的方程为22581((24x y -+=，故95()222t =--=-，故选项C 正确；因为(P -，所以||PF =，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，圆的标准方程的求解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为8【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A 中，由222()122a b a b ++=，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确；对于B 中，由41414()559b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当2a b =时，即23a =，13b =时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确；对于C==，又由102<1219412222++=+= ，所以C 不正确；对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+ ，当且仅当2b a =时，即13a =，23b =时，等号成立，可得23111(2)4(1)4811a c c abc c +-⋅+-++-- ，当且仅当32c =时取等，所以D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是结论的灵活应用．12．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞【答案】AD【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A ，B 的正误；利用特殊值判断对称性，判断C 的正误；求解函数的值域判断D ．【解答】解：由题意知()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，且关于原点对称．又11()cos()cos ()cos()cos f x x x f x x x-=-+=+=-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以A 正确，B 错误．因为11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ-=-+=+-，11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ+=++=--+，所以()()22f x f x ππ+≠-，所以函数()f x 的图象不关于直线2x π=对称，C 错误．当cos 0x <时，()2f x - ，当cos 0x >时，()2f x ，所以D 正确．故选：AD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为25.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．【答案】25，65．【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，由此能求出所选3人分别来自不同年级的概率；X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．【解答】解：某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，∴所选3人分别来自不同年级的概率为42105m P n ===．记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则X 可能取值为0，1，2，33351(0)10C P X C ===，1223356(1)10C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===，∴随机变量的数学期望1636()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=．故答案为：25，65．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为32x =-．【答案】32x =-．【考点】抛物线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】法一：求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用||6FQ =，求解p ，然后求解准线方程．法二：利用射影定理，转化求解p ，然后求解准线方程．【解答】解：法一：由题意，不妨设P 在第一象限，则(2pP ，)p ，2OP k =，PQ OP ⊥．所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为：1(22py p x -=--，0y =时，52px =，||6FQ =，所以5622p p-=，解得3p =，所以抛物线的准线方程为：32x =-．法二：根据射影定理，可得2||||||PF FO FQ =，可得262pp =⨯，解得3p =，因此，抛物线的准线方程为：32x =-．故答案为：32x =-．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是323．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；64：直观想象；65：数学运算；44：数形结合法；4R ：转化法【分析】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，求出DMN ∆的面积S 的表达式，然后推出三棱锥P MND =的体积V 的表达式，利用二次函数的性质，求体积的最大值即可．【解答】解：设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，故DMN ∆的面积21111444(4)4(4)282222S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-+，因为点P 是11A C 的任意一点，所以点P 到平面DMN 的距离为4，所以三棱锥P MND =的体积为221112(28)4(2)83323V Sh x x x ==⨯-+⨯=-+，因为04x ，所以20(2)4x - ，故832833V += ．故答案为：323．【点评】本题考查三棱锥体积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为(2015,2018)．【考点】4A ：指数型复合函数的性质及应用【专题】35：转化思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，可得定点坐标．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，∴函数()f x 过的定点坐标为(2015,2018)故答案为：(2015,2018)．【点评】本题考查指数函数的性质运用，定点的求法，考查运算能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）11(1)2323n n n +---+．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，进而得到所求；（2）求得2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，由数列的分组求和、错位相减法求和，计算可得所求和；（3）求得1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，可得610q d ++=，34232d q d +-=+，解得2d q ==，则32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=；（2）2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，021*********()()()[3252(21)(2)]2n n n n n T c c c c c c a a a n -=++⋯++++⋯+=++⋯++-⋅+⋅+⋯++⋅-，由21(321)22n S n n n n =++=+，设121113(2)5(2)(21)(2)222n n B n =⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，23111123(2)5(2)(21)(2)222n n B n +-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，两式相减可得23111133[2(2)2(2)2(2)](21)(2)222n n n B n +=-+⋅-+⋅-+⋯+⋅⋅--+⋅-114[1(2)]13(21)(2)1(2)2n n n -+--=-+-+⋅---，化简可得1565(2)918n n n B ++=--⋅-，所以2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，所以1111(1)(65)122448(1)2(1)2(()()[]3557792123k n n n nnk k k k k b a a n n -+=+-+-----=-+-+-+⋯+-++∑11(1)2323n nn +-=--+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1(2，2)．【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；解三角形；数学运算【分析】（Ⅰ）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可求出角A 的大小；（Ⅱ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得12b c =+C 的取值范围即可求得bc的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=，因为sin 0B >，所以cos 1A A +=，所以1sin(62A π-=，因为(66A ππ-∈-，56π，所以66A ππ-=，所以3A π=．（Ⅱ）13sin cos sin sin()1322sin sin sin 22tan C Cb B A Cc C C C C++====+，因为ABC ∆为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<，所以62C ππ<<，所以tan C >，所以1132222tan C <+<，即b c 的取值范围是1(2，2)．【点评】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算【分析】（1）取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，通过面面平行的判定定理证明平面//KMN 平面11A BC ，再由面面平行的性质定理可得//MN 平面11A BC ；（2）由异面直线所成角的定义，结合11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，结合条件，运用余弦定理，可得所求值．【解答】解：（1）//MN 平面11A BC ，证明：取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，由KM 为1ABA ∆的中位线，可得1//KM A B ，KM ⊂/平面11A C B ，可得//KM 平面11A BC ；同样1//KN AD ，11//AD BC ，即1//KN BC ，KN ⊂/平面11A C B ，可得//KN 平面11A BC ；由KM ，KN 为平面KMN 的两条相交直线，可得平面//KMN 平面11A BC ，又MN ⊂平面KMN ，可得//MN 平面11A BC ；（2）由于11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，由7AB =12BC CC ==，可得1723A B =+=，1222BC =+=，11723A C =+，在△11A C B 中，可得222113231cos 2323AC B +-∠==⨯⨯，则AC 与1C B 所成角的余弦值为13．【点评】本题考查空间线面的位置关系和异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．【答案】（1）(,)e +∞；（2）1e +．【考点】利用导数研究函数的最值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）求出导数，分类讨论a 的正负即可求解；（2）结合（1）可知0a >，由()0f x ，等价于()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，可得21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，利用导数求得g （a ）1max e <+，即可求解．【解答】解：（1）1b =时，()x f x e ax =-，()x f x e a '=-，①当0a时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，不满足题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，则()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，要使()f x 有两个零点，只需()0f lna <，即0a alna -<，解得a e >，即a 的取值范围是(,)e +∞．（2）函数()1x f x e ax b =--+，()x f x e a '=-，由（1）知，当0a时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，与()0f x 矛盾，所以0a >，由（1）知，()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，所以1b a alna -+，21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，g '（a ）211lna lna =--=-，令g '（a ）0>，可得0a e <<，令()0g x '<，可得a e >，所以g （a ）在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以g （a ）max g =（e ）1e =+，所以1a b e ++，所以a b +的最大值为1e +．【点评】本题主要考查利用导数的应用，考查函数零点个数问题以及最值的求解问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．【答案】（1）12λ>．（2）0y 的取值范围为{3-，3}．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=求出直线的斜率1k =-，得到AB 的方程为40x y +-=然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出0y 的取值范围即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=得：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=．①由122(3)123x x k k k +-==+，解得1k =-，此时AB 的方程为40x y +-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）将1k =-代入①，得248160x x λ-+-=．由△6416(16)0λ=-->，解得12λ>．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=得：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=．②由题意0122()123k k y x x k -+==+，即03ky -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）12|||AB x x -==，||CD =，⋯⋯（7分）所以CD 中点P 的横坐标00322211()12131313y ky k k x k k k---+-===+++，点P 到AB 的距离d221|31k --=+，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由A ，B ，C ，D 四点共圆222||||()()22CD AB d ⇔=+，即22222222119[12(13)]()(3(13)3k k k k k k λλ++-++=--+++，③不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，即上式恒成立，所以222211313k k k k ++=++，解得21k =，此时③式成立．代入②，由△0>得此时12λ>．所以0y 的取值范围为{3-，3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】BK ：线性回归方程【专题】5I ：概率与统计；12：应用题；11：计算题【分析】（Ⅰ）求得样本中心点(t ，)y ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；将6t =代入线性回归方程，即可求得该地区2018年该农产品的产量估计值为6.69万吨（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：1(12345)35t =++++=，1(5.6 5.76 6.2 6.5)65y =++++=，51() 2.3ii i tt y y =--=∑521()10ii tt =-=∑51521()()ˆ0.23()ii i ii tt y y btt ==--==-∑∑，ˆˆ 5.31ay bt =-=，y ∴关于t 的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t =+；当6t =时，ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），因为二次函数图象的对称轴为 6.3y =，又因为{5.6y ∈，5.7，6，6.2，6.5}，所以当 6.2y =时，即2016年销售额最大，于是4t =．【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题。

高2026届高一（上）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.7sin π6=（）A. B.12-C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】结合诱导公式计算即可求解.【详解】由题意知，7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2.若a b >，c ∈R ，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.22ac bc > C.e e a b--< D.cos cos a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C.【详解】A ：当a b >时，令1,1a b ==-，则11a b>，故A 错误；B ：当0c =时，22ac bc =，故B 错误；C ：当a b >时，e e 0a b >>，则11e ea b <，即e <e a b --，故C 正确；D ：当a b >时，令π0,2a b ==-，则π1cos 0cos()02=>-=，即cos cos a b >，故D 错误.故选：C3.在扇形OAB 中，已知弦2AB =，60AOB ∠=︒，则扇形OAB 的面积为（）A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.【详解】由题意知，设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为2211π2π22233S r α==⨯⨯=.故选：B4.函数()()22log 2f x x x =-+的单调递增区间为（）A.(),1-∞ B.()0,1 C.()1,2 D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.【详解】由题意得220x x -+>，解得02x <<，22y x x =-+开口向下，对称轴为1x =，所以22y x x =-+在(0,1)上递增，在(1,2)上递减；因为2log y x =是定义域上的递增函数，利用复合函数的同增异减可得22()log (2)f x x x =-+的单调递增区间为(0,1)，故选：B.5.“11sin 3t -≤<”是“7cos 29t >”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要条件D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】首先根据7cos 29t >，求得sin t 的取值范围，再判断集合的包含关系，根据充分，必要条件，即可判断选项.【详解】27711cos 212sin sin 9933t t t >⇔->⇔-<<，因为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以11sin 3t -<<是11sin 33t -<<的必要不充分条件．故选：B 6.已知352a =，2512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c a b >>B.a c b>> C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可.【详解】因为3255221a b =>=>，112221log log 132c =<=，故a b c >>.故选：C.7.已知ππ,36a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足π12cos 613⎛⎫+=- ⎪⎝⎭αα，3sin 5β=，则πcos 3⎛⎫++= ⎪⎝⎭αβ（）A.5665-B.1665-C.1665D.5665【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由题意，利用同角三角函数的关系求得π5cos 313⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，4cos 5β=-，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.【详解】π12112cos cos sin 6132213a a ⎛⎫+=-⇒⋅-⋅=- ⎪⎝⎭ααα，112cos sin 2213a a +=，得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ,36⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ α，ππ0,32⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭α，π5cos 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 5=β，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5β∴==-，ππππcos cos cos cos sin sin 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβαβ541235613513565⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A8.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A .22,93⎛⎫⎪⎝⎭ B.22814,,9399⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D.22814,,9399⎛⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，得02ω<≤，再由()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，得πππ03233π0ππ23ωω⎧-<-<⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩或ππ2π02333πππ2π23ωω⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，取并集结合02ω<≤的前提条件，即可得答案.【详解】当π,012x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，ππππ,31233x ωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭，因为()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故πππ1232--≥-ω，则02ω<≤；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πππ3ππ,32323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，且πππ2π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3πππ8π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①πππ0223233π930ππ23ωωω⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②ππ2π08142333π99ππ2π23ωωω⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.已知幂函数()()1233a f x a a x =-+，则下列说法正确的有（）A.1a =或2B.()f x 一定为奇函数C.()f x 一定为增函数D.()f x 必过点()1,1【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数系数为1，求出幂函数解析式，判断A ；根据幂函数性质判断BCD.【详解】根据幂函数的定义，可得23311a a a -+=⇒=或2，故A 正确；当2a =时，()f x =B 错误；1a =或2时，()f x x =或()f x =，都是增函数，故C 正确；幂函数均经过点()1,1，故D 正确故选：ACD10.下图是函数())s 0(in π()f x A x =+<<ωϕϕ的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.下列说法正确的有（）A.()1lg lg f x x x=+的最小值为2 B.()()ln 12ln f x x x =-最大值为18C.()sin 1sin 22xxf x -=+的最小值为 D.()222cos 1sin cos x f x x x=+的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可.【详解】A ：当lg 0x <时，11lg [(lg )()]2lg lg x x x x +=--+-≤--，当且仅当1(lg )()lg x x-=-即lg 1x =-时等号成立，故A 错误；B ：()()2112ln 12ln 12ln 12ln 2248x x x x +-⋅-≤=，当且仅当2ln 12ln x x =-即1ln 4x =时等号成立，故B 正确；C ：sin 1sin22x x -+≥=当且仅当1sin 1sin sin 2x x x =-⇒=时等号成立，故C 正确；D ：22222222cos 1cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x ++=+2222cos sin 113sin cos x x x x =++≥+=当且仅当222222cos sin sin cos sin cos x x x x x x=⇒=时等号成立，故D 错误．故选：BC12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()4g x f x =+，()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-，()31g -=，则下列说法正确的有（）A.()11f =B.()f x 为奇函数C.()f x 的周期为6D.()202613k f k ==-∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知得()()4g x f x -=，将()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-转化为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，给,x y 取值推导奇偶性和周期性解决问题.【详解】对于A ，()()311g f -==，故A 正确；()()4g x f x =+ ，()()4g x f x ∴-=，()()()()f x y f x y f x f y ∴++-=，令1y =，则()()()11f x f x f x ++-=①，()()()21f x f x f x ∴++=+②，①+②可得()()120f x f x -++=，()()30f x f x ∴++=，()()360f x f x ∴+++=，()()6f x f x ∴=+，因此6T =，故C 正确；令0x =，()()()()0f y f y f f y +-=，令1x =，0y =，()()()2110f f f =，则()02f =，故0x =，()()()()()2f y f y f y f y f y +-=⇒=-，故()f x 为偶函数，所以B 不正确；因为()()()6f x f x f x =+=-，故()f x 关于3x =对称，且()02f =，()11f =，令1x =，1y =，则()21f =-，令2x =，1y =，()32f =-，则()()421f f ==-，()()511f f ==，()()602f f ==，一个周期的和为0，则()()()()()2026112343k f k f f f f ==+++=-∑，故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()()2ln 1f x x =-______【答案】()1,+∞【解析】【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可.【详解】由题意可得21010x x ⎧->⎨+>⎩，解得1x >，故答案为：(1,)+∞.14.()23e 1log 9log 8-+⋅=______【答案】7【解析】【分析】由指数运算与对数运算的性质直接求解即可.【详解】()()()02323232323e 1log 9log 81+log 3log 2=1+2log 33log 2=1+6log 3log 2=7-+⋅=⋅⋅⋅，故答案为：7.15.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭===--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：216.函数()ln ,02πln 2·sin ,24x x f x xx ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若存在010a b c d <<<<<，使得()()f a f b =()()f c f d ==，则()2364c d a a b++的取值范围是______【答案】313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据函数()f x 图象与性质得1ab =，12c d +=，对所求表达式消元后得916a a+，再根据函数图象求出112a <<即可求出取值范围.【详解】由()()f a fb =，得1ln ln lna b b=-=，则1ab =，由()()f c f d =，得12c d +=，则()2396416c d a a a ba++=+，由图象知，112a <<，结合对勾函数单调性知916a a +在13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，在3,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，所以当34a =时，916a a +取得最小值32，当12a =时913168a a +=，当1a =时9251616a a +=，所以9313,1628a a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合201x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}10B x x x a =+-<（1a >-）（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,2（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合,A B ，即可根据交运算求解，（2）根据集合的包含关系即可求解.【小问1详解】()()20120121x x x x x -<⇔--<⇒<<-，所以()1,2A =当3a =时，解得()1,3B =-，则()1,2A B ⋂=【小问2详解】由（1）及题设()1,2A =，()1,B a =-，A B ⊆ ，2a ∴≥18.平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为1,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求sin α，tan 2α；（2）化简并求值：()()7πsin tan π2πcos cos π2⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭αααα.【答案】18.sin 3α=，tan27α=19.1cos α，3-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出sin ,cos ,tan ααα，再由二倍角的正切公式即可求出tan 2α.（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.【小问1详解】根据三角函数的定义：1cos 3α=-，sin 3α=，则tan α=-22tan tan 21tan 77-===--ααα.【小问2详解】()()()7πsin sin tan πcos cos tan 12cos 3πsin cos sin cos cos cos cos π2αααααααααααααα⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭====--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭.19.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x xx -+=（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+（2）求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域.【答案】19.选择见解析，证明见解析20.[)2,+∞【解析】【分析】（1）由题意直接求出22cosh sinh x x -、22cosh sinh x x +的值，即可证明；（2）由（1），222()cosh sinh cosh 2cosh 1cosh f x x x x x x =++=-+，令cosh t x =，利用换元法可得()()221f x g t t t ==-+(1)t ≥，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】若选择①：由题意e e sinh 2x x x --=，e e cosh 2x x x -+=，则()()22222222e e e e e e 2e e 24cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+--=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若选择②：()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e cosh sinh cosh 22242x x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫⎛⎫+-++++-++=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】法一：由（1）知，22cosh sinh 1x x -=，则222cosh sinh cosh 2cosh 1cosh x x x x x ++=-+，令cosh t x =，则e e 122x x t -+=≥=，当且仅当0x =时取等，令()()222cosh sinh cosh 21f x x x x g t t t =++==-+，又函数()g t 在[)1,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞；法二：22e e e e cosh 2cosh 22x x x xx x --+⋅+=≥，令e e 2x x t -=+≥，222222e e 2e e 2x x x x t t --=++⇒+=-，令()()cosh 2cosh f x x x g t =+=，则()()22111922224g t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()g t 在[)2,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞.20.已知函数()2121x x f x -=+，()()41log 212xg x x=--（1）解不等式211212x x ->-+；（2）方程()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，求a 的取值范围？【答案】（1）()2log 3,-+∞（2）815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用换元法可得123x>，即可根据指数函数的单调性即可求解，（2）根据对数的运算性质可将问题转化为()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】211212x x ->-+，令2x t=（0t >），()()111211123t t t t t ->-⇒->-+⇒>+故22112log log 333xx >⇒>=-【小问2详解】()()44421log 21log 2log 2xxxx g x -=--=，()()444log log 21log 21xxa af x --=+()()44212121log log 2212x x x x x xaa -+-=⇒=+，故()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，等价于()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，令[]23,4xt =∈，()()()()2212111112x x xt t t y t ttt+-+--====-，[]3,4t ∈，故函数1y t t=-在[]3,4t ∈上单调递增，则当3t =，83y =，当4t =，154y =，故815,34a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 32cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =22.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()0f x ≠，满足()()()f x y x y f x f y xy ++=，()12f =，令()()f x g x x=，设当0x >时，都有()()2g x f >（1）计算()2f ，并证明()g x 在()0,∞+上单调递增；（2）对任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>成立，求t 的取值范围？【答案】（1）()21f =，证明见解析（2）30,2⎛- ⎝【解析】【分析】（1）利用赋值法，令1x y ==即可求得()2f 的值，由条件得()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，判断()()12g x g x -的符号，可得出答案；（2）由题意得，任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，根据二次函数的性质分类讨论求解.【小问1详解】令1x y ==，()()()222211f f f =⇒=，()()()()()()f x y f x y f y x y f x f x f y xy x y x y+++=⇒=⋅+，则()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，则()()()()121222g x g x g x x x g x -=-+-()()()1222g x x g x g x =--()()()2121g x g x x =--，因为120x x ->，所以()121g x x ->，又因为20x >，故()20g x >，所以()()()21210g x g x x -->，所以()()12g x g x >，因此()g x 在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】由（1）可知，()g x 在()0,∞+上单调递增，()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>，故任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，2200012sin cos sin 21m x x x m =+⇒=-，()2000sin 2sin cos 1x a x x b m am b ++++=++，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，因为2a ≥-，所以12am =-≤，故2y m am b =++在⎡⎣上单调递增，max 2y b =+，min 1y a b =++，则当：①210b a b ++++≥时，()max 22m b b =++=++ϕ，②210b a b ++++<，()max 11m a b a b =++=--ϕ，则：()))max132,2131,2a b b m a a b b ϕ⎧++⎪+≥-⎪=⎨++⎪---<-⎪⎩，将其视为关于b 的函数，令其为()h b ，则()h b 在)12,23a ⎪++⎛⎫-∞- ⎝⎭上递减，在)213,2a ⎡⎫++-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上递增，则())()min2132112113222222a h b h a a ⎛⎫++-=-=+≥⨯-+= ⎪⎝⎭，。

高2025届高一（下）数学期末考试参考答案一、单选题12345678ADADBCCD1.【答案】A【详解】由题知，这个人体重减轻的概率为59100.故选：A 2．【答案】D【详解】在复平面内，复数85i z -=对应的点81(,)55-位于第四象限.故选：D3【答案】A【详解】在ABC 中，最大角为角C ，222222121317313289cos 022910180a b c C ab +-+--===>⨯⨯.所以角(0,)2C π∈，则三角形为锐角三角形，故选：A 4【答案】D【详解】【详解】因为甲，乙通过面试的概率都是45，且两人通过面试相互之间没有影响，所以他们只有一人通过面试的概率为4444811555525⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:D5．【答案】B【详解】由图象知，函数的最小正周期24433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2π14π2ω==，A =，由五点对应法则代入2π3⎛ ⎝12π23ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即12ππ2π,Z 232k k ϕ=⨯++∈，因为π||2ϕ<，解得π6ϕ=，所以()1π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1π226f x x θθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭为偶函数，有π()262k k Z θππ+=+∈，22()3k k Z πθπ=+∈，当41,3k πθ=-=-，故选：B 6．【答案】C【详解】因为//,//a a b α，所以b 与平面α平行或直线b 在平面α内，A 错误，C 正确；对选项B ，当c αβÇ=，且////a c b ，此时也符合//,b a ββ⊄，所以B 错误，当b α⊂，此时不存在平面β与α，D 不正确.故选：C 7.【答案】C【详解】在三角形ABP 中，180ABP γβ∠=-+ ，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=---∠=----+=- ，正弦定理：sin sin AP ABABP APB=∠∠，所以sin sin()sin sin()AB ABP AB AP APB γβγα∠-==∠-，sin sin()sin 45sin 41sin 20041186.12sin()sin 30PQ AP AB αγβαγα-===⨯=≈-，故选C ，8.【答案】D【详解】由222||||||24a b a b a b -=+-⋅= ，所以25||22a b b ⋅=- ，又非零向量,a b 不共线，所以||,||,||a b a b -为三角形三边，所以||||||||||a b a b a b +>->- ，所以3||2||b b >> ，22||3b >> ，258||2(,8)29a b b ⋅=-∈- 选D二、多选题9101112ABABDABDBCD9．【答案】AB【详解】由图可知，[)40,500.05f =，[)50,6010f x =，[)60,700.2f =，[)70,800.3f =，[)80,900.25f =，[]90,1000.05f =，由频率之和为1可得100.15x =，故0.015x =；所以选项A 对；因为[]90,10050.05f N==，所以100N =，所以选项B 对；由[)[)[)40,5050,6060,700.4f f f ++=，所以中位数位于区间[)70,80，设中位数为a ，则(70)0.030.1a -⨯=，解得73.33a =，所以选项C 错；平均数为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以选项D 错；综上所述，AB 正确，而CD 错误；故选：AB 10．【答案】ABD【详解】依题意，113i z =-，则112z OZ ==，故A 正确；又113i z =+，()21223i z =-+，21223i z =--，21223i z =-+，即()2211z z =，故B 正确；对于选项C:2211||1||z z z z ==，故C 错误；由复数几何意义知D 选项对，故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】由题意π43sin cos 2sin 63ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)2πα∈，知2(,)663πππα+∈，当2(,)633πππα+∈时，π3sin (,1]62α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而π23sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以(0,)6πα∈所以7cos(2)6πα+，则2πcos 1sin 635(6παα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭），则πππ45sin22sin cos 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22πππ1cos2cos sin 6669ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以24102sin 2sin(2())[sin(2())cos(2())]126426618πππππαααα-⎛⎫+=+-=+-+= ⎪⎝⎭.故答案为ABD12．【答案】BCD【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则491317AP =+=<，故A 错误；对于B ，当'1PC =，所以'BPB 中，''5,2PB BP BB ===，则'2sin 5PBB Ð=，设'BPB 外接圆半径为r ，则由正弦定理知：''52sin 2PB r PBB ==Ð，则54r =，又'AB BPB ^，设三棱锥B ABP '-的外接球半径为R ，则2222541()121616AB R r =+=+=，所以三棱锥B ABP '-的外接球表面积24144S R ππ==，故B 正确；对于C ，如图：因为DD '平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '⊥，又AC BD ⊥，DD BD D '= ，DD '，BD ⊂平面DD B '，所以AC ⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B '.所以AC BD '⊥'，同理可得BD AB ''⊥，AC AC A ⋂'=，AC ，AB '⊂平面ACB '.所以BD '⊥平面ACB '.所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊄平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，所以//PG 平面ACB '，同理可得//GF 平面ACB '.则平面//PGF 平面ACB '.设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且12PC '=，可得13,||22DG DF AF AE ====，所以33242EF A D ='=，故C 正确；对于D ，如图：延长DC ，D P '交于点H ，连接AH 交BC 于I ，连接PI ，所以平面AD P '被正方体ABCD A B C D -''''截得的截面为AIPD '.PCH D DH ~' ，所以34PH PC HC D H DD DH ''===.ICH ADH ~ ，所以34CI HC IH DA DH AH ===，所以34PH IH PI D H AH AD ='=='，所以//PI AD '，且PI AD ≠'，所以截面AIPD '为梯形，141742AI PD ==+='，所以截面AIPD '为等腰梯形.所以'117233733()22288AIPD S AD BP h '=⨯+=⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD.三、填空题1314151642i-+382921213．【答案】42i-+【详解】由题知：(1,2),(3,4)OA OB ==- ，则(4,2)AB OB OA =-=-，对应复数为42i-+14.【答案】38【详解】由2(sin cos )12sin cos αααα+=+，则112sin 24β=-，所以3sin 28β=。

2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高一（艺术班）上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}24A x x =≤，{}02B x x =<<，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =RD ．A B ⋂=∅【答案】B【分析】解不等式求出集合A 可得B A ⊆，从而可求解.【详解】∵{}{}2422A x x x x =≤=-≤≤，{}02B x x =<<，∴B A ⊆.∴,A B A ⋃=A B B =. 故选:B.2．已知命题p ：“()0,x ∀∈+∞，2333x x +=”，则p ⌝为（ ） A ．()00,x ∃∈+∞，020333xx +≠B ．()00,x ∃∉+∞，020333xx +=C ．()0,x ∀∉+∞，2333x x +≠D ．()00,x ∃∈+∞，020333xx +=【答案】A【分析】全称命题的否定是特称命题，其否定方法为：改量词，否结论. 【详解】改量词：()0,x ∀∈+∞改为()00,x ∃∈+∞，否结论：2333x x +=否定为020333x x +≠，所以p ⌝为()00,x ∃∈+∞，020333x x +≠.故选：A.3．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．154B ．415C ．158D ．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步， 3081202S ⨯==（平方步）， 设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A4．已知函数()lg ||f x x =，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 D ．是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数【答案】C【分析】求出函数定义域，求出()f x -的表达式即可判断奇偶性. 当0x >，()lg f x x =，可知函数在(0,)+∞上单调递增，即可得出答案.【详解】由已知可得，()f x 的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称. 又()()lg ||lg f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数.当0x >，()lg f x x =，因为lg y x =在(0,)+∞上是增函数，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 故选：C.5．若角α的终边经过点1,2，则sin cos αα+等于（ ）．A B ．C ．D ．1【答案】B【分析】根据三角函数的概念，求出sin α以及cos α的值，即可得出结果.【详解】设()1,2P -，则OP根据三角函数的概念知，2sinOP α-===1cos OP α==，所以sin cos αα+=故选：B.6．函数()f x = ）A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(1，+∞)D ．[0，+∞)【答案】A【分析】直接根据函数解析式要求求解函数定义域即可. 【详解】已知()f x则()1210log 10x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x ≤<，即函数()f x 的定义域为[)0,1. 故选：A7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+是增函数，记1313a f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，37log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性可确定133317log log 532⎛⎫<< ⎪⎝⎭，根据()f x 单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系.【详解】1333311701log 3log log 5332⎛⎫⎛⎫<<==<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在()0,∞+是增函数， ()133371log 5log 23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为偶函数，()()3313log 5log 5log 5f f f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， 1313371log 5log 23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪∴>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：A.8．设函数()(),01,101xx mf x xx m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]12,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】先将 ()g x 的零点问题转化为两函数的交点问题，分段函数中的 m 不好处理，要变形为12314,11y x y mx m y x ==+=-++， 在各自区间上的交点问题，经过画图分析，比较斜率等最终求得结果.【详解】令 ()()410g x f x x =--= ， 则 ()41f x x =+， 当 01x ≤< 时，41xx m=+ ，即 4x mx m =+ ， 即函数 1y x = 与 24y mx m =+ 的交点问题，其中 24y mx m =+ 恒过 1,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当 10x -<< 时，()411xx m x -=++ ，即 1141mx m x -+=++ ， 即函数 3111y x =-++ 与 24y mx m =+ 的交点问题. 分别画出函数 123,,y y y 在各自区间上的图象: 当 2y 与 3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++ ，化简得:()24510mx m x m +++= ，由 ()2251160m m ∆=+-- 得: 1211,9m m =-=- (舍去)当直线 2y 的斜率，大于等于直线 1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把 ()1,1B 代入24y mx m =+ 中，解得: 15m =，则 15m ≥ ， 综上， m 的取值范围是 {}11,5∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（ ） A．cos α= B．sin α=C ．tan 2αD．sin cos αα+=【答案】ACD【分析】求得P 点的坐标，根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系式确定正确选项.【详解】由题意可得P ⎝，则cos α==sin α==，sin tan 2cos ααα==-．sin cos αα+=所以ACD 选项正确. 故选：ACD10．若函数()()2lg f x x ax a =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．若0a =，则()f x 为偶函数B ．若()f x 的定义域为R ，则40aC ．若1a =，则()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．若()f x 在()2,1--上单调递减，则12a < 【答案】AB【分析】对于A 选项：根据偶函数的定义即可判断； 对于B 选项：根据二次函数在R 上恒成立的条件即可判断；对于C 选项：求出()f x 的定义域，由单调区间和定义域的关系即可判断； 对于D 选项：根据函数的定义域和复合函数的单调性即可判断.【详解】对于A 选项：若0a =，则()2lg f x x =，其定义域为()(),00,∞-+∞，又()()()22lg lg f x x x f x -=-==，即()f x 为偶函数，所以A 选项正确；对于B 选项：若()f x 的定义域为R ，则20x ax a +->在R 上恒成立，即240a a ∆=+<，解得：40a ，所以B 选项正确；对于C 选项：若1a =，则()()2lg 1f x x x =+-，则210x x +->，解得：x >x <即()f x 的定义域为152⎛⎛⎫-+-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12-<C 选项错误； 对于D 选项：若()f x 在()2,1--上单调递减， 则()()2110a a -+⨯--≥，且12a-≥-，解得：12a ≤，所以D 选项错误；故选：AB.11．已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．()24a b ab +≤； B ．2a b+≥； C ．2a b a b a ++-≤； D ．2a b a b b +--≥.【答案】AB【分析】利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论.【详解】由基本不等式可知2a b+≥a b =时等号成立，B 选项正确， 两边平方得()24a b ab +≤，当且仅当a b =时等号成立，A 选项正确.根据绝对值三角不等式2a b a b a b a b a ++-≥++-=，C 选项错误.根据绝对值三角不等式2a b a b a b b a a b b a b +--=+--≤++-=，D 选项错误. 故选：AB12．已知函数()lg ,010101,100x x x f x x -⎧<≤=⎨--≤≤⎩，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在[)0,10上有两个零点B ．方程()f x t =在[)0,10有两个不等实根，则(]0,1t ∈C ．方程()f x t =在(]0,10上的两个不等实根为12,x x ，则121=x xD ．方程()101xf x -=+共有两个实根【答案】ACD【分析】画出函数()f x 的图象，根据图象可判断AB ；不妨设12x x <，可得12lg lg x x -=，根据对数的运算可判断C ；设()101xg x -=+，根据函数()g x 的图象与性质求解()f x 与()g x 图象的交点个数，从而可判断D.【详解】画出()f x 的图象如图所示：由图可知，函数()f x 在[)0,10上有两个零点，即0x =和1x =，故A 正确； 方程()f x t =在[)0,10有两个不等实根，则[]0,1t ∈，故B 错误； 方程()f x t =在(]0,10上的两个不等实根为12,x x ，不妨设12x x <， 则12lg lg x x -=,即()1212lg lg lg 0x x x x +==，解得121=x x ，故C 正确； 设()101xg x -=+，则()g x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞，所以()1101101110xxx g x --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，由()g x 为偶函数可得()g x 在(),0∞-上单调递增，且()(]1,2g x ∈.所以()f x 与()g x 的图象在(),0∞-上有1个交点，在()0,∞+上也有一个交点，所以()f x 与()g x 的图象有2个交点，即方程()101xf x -=+共有两个实根，故D 正确.故选:ACD.三、填空题13．已知θ21sin θ-=_______． 【答案】cos θ【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.【详解】221sin cos cos θθθ-，且θ是第四象限角，则cos 0θ>，即cos cos θθ=cos θ= 故答案为:cos θ14．若34,43x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()24310x x λ-++≥恒成立，则实数λ的取值范围为________.【答案】4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题意可得134x x λ+≤+在34,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，然后构造函数1()4f x x x =+求出其最小值，从而可求出实数λ的取值范围.【详解】由34,43x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()24310x x λ-++≥恒成立，得134x x λ+≤+在34,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令1()4f x x x =+，34,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取1234,,43x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则21212111()()44f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭1221214()x x x x x x -=-+21211()4x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21212141()x x x x x x -=-⋅， 因为123443x x ≤<≤，所以210x x ->，210x x >，21410x x ->， 所以21212141()0x x x x x x --⋅>，所以21()()0f x f x ->， 即21()()f x f x >， 所以1()4f x x x =+在34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 33141343344334f x f ⎛⎫==⨯+=+= ⎪⎝⎭， 所以1333λ+≤，得43λ≤， 即实数λ的取值范围为4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15．已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(,)A m n ，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是__________ 【答案】13【分析】先求出()f x 经过的定点A ，再由基本不等式即可求解 【详解】函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠令21x -=，可得3x =，代入函数可得1y =，∴定点A 的坐标(3,1)， 代入1m n x y +=可得311x y+=，那么3xx y =-，且0,0x y >>，则313333(3)37767132yxx y x y x y x y xx y y ⎛⎫=+-=++-=++≥=+= ⎪⎝⎭++ 当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，取等号，∴2x x y y ++的最小值为13.故答案为：13四、双空题16．已知函数()f x x x =.（1）当=1m 时，不等式()()0f x m mf x ++<的解集为____________．（2）若对任意1x ≥，有()()0f x m mf x ++<恒成立，则实数m 的取值范围是____________【答案】 1<2x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ (],1-∞-【分析】（1）根据题意，先将不等式转化为()110x x x x +++<，再利用分类讨论解绝对值的方法解之，即可得到解集；（2）先将不等式转化为()20x m x m mx +++<，再结合1x ≥与x m +，分类讨论1m >-，1m =-，1m <-三种情况，结合一元二次函数的图像，判断原不等式是否恒成立，特别注意的是1m <-时，要再分类讨论1x m <<-与1m x <-<的情况，由此可得m 的取值范围. 【详解】（1）因为=1m ，()f x x x =，所以由()()0f x m mf x ++<得()()10f x f x ++<，即()110x x x x +++<， 当1x ≤-时，不等式化为()2210x x -+-<，整理得22210x x ++>，由于2242140∆=-⨯⨯=-<，所以不等式恒成立，即解得R x ∈，故1x ≤-；当10x -<<时，不等式化为()2210x x +-<，整理得210x +<，解得12x <-，故112x -<<-；当0x ≥，不等式化为()2210x x ++<，因为()210x +≥，20x ≥，显然不等式不成立，即x ∈∅；综上：12x <-，即不等式()()0f x m mf x ++<的解集为1<2x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）因为1x ≥，所以由()()0f x m mf x ++<得()0x m x m mx x +++<，即()20x m x m mx +++<恒成立，当1m >-时，0x m +>，则()()()2222212x m x m mx x m mx m x mx m +++=++=+++，令()()2212g x m x mx m =+++，因为10m +>，所以()g x 开口向上，由一元二次函数的图像可知，当x →∞，()g x →∞，即存在0x ∈R ，使得()0g x >，即()()0f x m mf x ++<不恒成立，不满足题意；当1m =-时，0x m +≥，则()()222121x m x m mx x x x +++=--=-+，显然21y x =-+在[)1,+∞上单调递减，故2121110y x =-+≤-⨯+=-<，即()()0f x m mf x ++<恒成立，满足题意； 当1m <-时，1m ->，i)当1x m ≤<-时，0x m +<，则()()222x m x m mx x m mx +++=-++()2212m x mx m =---令()()2212h x m x mx m =---，则120m -<-<，()()22324140m m m m ∆=-+-=<，所以()h x 开口向下且与x 轴没有交点，即()0h x <恒成立，即()()0f x m mf x ++<恒成立，满足题意；ii)当1m x <-<时，0x m +>，则()()()2222212x m x m mx x m mx m x mx m +++=++=+++，令()()2212x m x mx m ϕ=+++，则10m +<，对称轴为()2211m mx m m=-=-++，因为2011m m m m m-=<++，所以对称轴1m x m m =-<-+， 所以()x ϕ开口向下，在[),m -+∞上单调递减，故()()()()()223120x m m m m m m m ϕϕ≤-=+-+-+=<，即()()0f x m mf x ++<恒成立，满足题意；综上：1m ≤-，即(],1m ∈-∞-.故答案为：1<2x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；(],1-∞-. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．五、解答题17．已知集合{12},{23}A xx B x m x m =-<=<<+∣∣ (1)求集合A 中的所有整数；(2)若()A B =∅R ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)0,1,2(2)][(,31,0∞⎤--⋃-⎦【分析】（1）解绝对值不等式求得集合A ，从而确定正确答案.（2）对集合B 是否为空集进行分类讨论，结合()A B =∅R 求得m 的取值范围.【详解】（1）12,212,13x x x -<-<-<-<<，所以{}|13A x x =-<<，所以集合A 中的所有整数为0,1,2.（2）由（1）得：{13}A xx =-<<∣，所以R {1A x x =≤-∣或3}x ≥①B =∅时，即23m m ≥+，所以3m ≤-，符合()R A B ⋂=∅；②B ≠∅时，即23m m <+，所以3m >-，由于()R A B ⋂=∅， 所以1233m m ≥-⎧⎨+≤⎩， 所以10m -≤≤.综上，实数m 的取值范围是][(,31,0∞⎤--⋃-⎦.18．已知sin θ、cos θ是关于x的方程20x a -+=的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ是第四象限的角，求sin cos θθ-的值．【答案】(1)14-或12(2)【分析】（1）由韦达定理可得sin cos sin cos a θθθθ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，消去sin θ，cos θ得到关于实数a 的方程，即可求出实数a 的值；（2）由θ是第四象限的角，可以得出14a =-且sin cos 0θθ-<，再根据()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，即可得出结果.【详解】（1）由题意，2Δ840sin cos sin cos a a a θθθθ⎧=-≥⎪⎪+=⎨⎪⋅=⎪⎩，即0a ≤或12a ≥， 因为()22sin cos 2s c 1in os 8a θθθθ+==+，所以2128a a +=，解得14a =-或12a =，符合题意， 所以14a =-或12a =. （2）因为θ是第四象限的角，所以sin 0θ<，cos 0θ>， 所以14a =-且sin cos 0θθ-<， 所以()23sin cos 12sin cos 2θθθθ-=-=，即sin cos θθ-=19．已知函数()1ln 1x f x x+=-. (1)判断函数()f x 的奇偶性并证明你的结论；(2)在()0f x >的条件下，求函数()2231x x g x x ++=+的最小值. 【答案】(1)奇函数(2)【分析】(1)根据奇函数的定义判断证明；(2)利用基本不等式求最小值.【详解】（1）判断函数为奇函数，理由如下： 要使函数有意义，则101x x+>-即(1)(1)0x x +-<解得11x -<<， 所以函数的定义域为()1,1-，又因为()1111ln ln ln ()111x x x f x f x x x x --+++⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭， 所以函数为奇函数.（2）由()0f x >的1ln 01x x +>-即111x x +>-即201x x >-， 则(1)0x x -<解得01x <<，()()22122321111x x x g x x x x x ++++===++≥=+++ 当且仅当211x x+=+即1x =时，等号成立， 所以()g x 的最小值为20．《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩； (2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.【详解】（1）当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-； 当100x ≥时，45004500100(1205400)20002034009090L x x x x x =-+--=--+--， 所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩. （2）当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+，当90x =时，L 取得最大值950， 当100x ≥时，22520(90)16001600100090L x x =--++≤-+=-， 当且仅当2259090x x -=-，即105x =时取等号，而1000950>， 所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.21．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.(1)求()f π的值；(2)求13x -≤≤时，()f x 的解析式；(3)当44x -≤≤时，求方程()(0)f x m m =<的所有实根之和.（写出正确答案即可）【答案】(1)4π-(2)(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩(3)见解析【分析】（1）首先根据已知求出函数周期，然后借助函数的周期性求解函数值即可；（2）首先根据函数的奇偶性求解()1,0x ∈-的解析式，再根据已知条件()()2f x f x +=-求得(]1,3x ∈-的解析式，进而求得答案；（3）首先画出函数()f x 在44x -≤≤的图像，然后结合图像根据对称性求得函数实根之和.【详解】（1）由(2)()f x f x +=-，得(4)[(2)2]f x f x +=++(2)()f x f x =-+=，所以()f π=(4)f π-(4)(4)4f πππ=--=--=-.（2）若10x -≤≤，则01x ≤≤，则()f x x -=-，()f x 是奇函数，()()f x x f x ∴-=-=-，即()f x x =，10x -≤≤，即当11x -≤≤时，()f x x =，若13x <≤，则121x -<-≤，()()2f x f x +=-()()()222f x f x x x ∴=--=--=-+，即当13x -≤≤时，()f x 的解析式为(),112,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩. （3）作出函数()f x 在44x -≤≤时的图像，如下图，则函数的最小值为1-，若1m <-，则方程()f x m =无解，若1m =-，则函数在44x -≤≤上的零点为=1x -，3x =，则132-+=，若10m -<<，则函数在44x -≤≤上共有4个零点，则它们分别关于=1x -和3x =对称，设它们分别为a b c d ,,,，则2a b +=-，6c d +=，即264a b c d +++=-+=.22．已知()x xa f x e e =+是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求函数()222x x y e e f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；（3）令()()g x f x x =-，求不等式()()32220g x x g x x -+--<的解集．【答案】（1）见解析； （2）①当0λ≤时，值域为[)2,∞+； ②当0λ>时，值域为)22,⎡-+∞⎣λ； （3）(,1)(1,2)-∞-⋃.【分析】（1）由奇函数得()00f =，可解出a ；（2）先换元1x x e t e-=（0t ≥），则22212x x e t e +=+，222y t t λ=-+，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到()()g x f x x =-也为奇函数，用导数证得()g x 在R 上单调增，将()()32220g x x g x x -+--<等价转化为()()3222g x x g x x -<+-，所以3222x x x x -<+-，解出答案即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-可知，()00f =， 所以10a +=，即1a =-；当1a =-时，()()11x x x x f x e e f x e e---=-=-+=-，此时()f x 为奇函数所以1a =-．（2）令1x x e t e-=（0t ≥），所以22212x x e t e +=+ 所以()222h t t t λ=-+，对称轴t λ=，①当0λ≤时，()())0,h t h ⎡∈+∞⎣，所求值域为[)2,+∞；②当0λ>时，()()),h t h λ⎡∈+∞⎣，所求值域为)22,λ⎡-+∞⎣；（3）因为()1x xf x e e =-为奇函数，所以()()()()(),g x f x x f x x g x -=---=-+=- 所以()()g x f x x =-为奇函数，所以()()32220g x x g x x -+--<等价于()()3222g x x g x x -<+-，又()()1112110x xg x f x e e '=-=-≥-='+>当且仅当0x =时，等号成立， 所以()()g x f x x =-在R 上单调增，所以3222x x x x -<+-，即32220x x x --+<，又()()()32222110x x x x x x --+=--+<，所以1x <-或12x <<．所以不等式的解集是()(),11,2-∞-⋃．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题.。

2021-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高一〔上〕期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．〔5分〕in〔﹣690°〕的值为〔〕A． B． C． D．2．〔5分〕设集合，B={|＜1}，那么A∪B=〔〕A． B．〔﹣1，1〕∪〔1，2〕C．〔﹣∞，2〕D．3．〔5分〕向量=〔3，1〕，=〔，﹣2〕，=〔0，2〕，假设⊥〔﹣〕，那么实数的值为〔〕A． B． C． D．4．〔5分〕a=in153°，b=co62°，，那么〔〕A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．〔5分〕在△ABC中，点E满足，且，那么m﹣n=〔〕A． B． C． D．6．〔5分〕函数f〔〕=Ain〔ωφ〕，〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，其局部图象如图，那么函数f〔〕的解析式为〔〕A． B．C． D．7．〔5分〕函数的图象〔〕A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于=轴对称D．关于原点轴对称8．〔5分〕为了得到函数=in〔2﹣〕的图象，可以将函数=co2的图象〔〕A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．〔5分〕不等式|﹣3|﹣|1|≤a2﹣3a对任意实数恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣1]∪[4，∞〕 B．[﹣1，4]C．[﹣4，1]D．〔﹣∞，﹣4]∪[1，∞〕10．〔5分〕将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f〔〕，那么函数f〔〕的图象与函数=2inπ〔﹣2≤≤4〕的图象的所有交点的横坐标之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．811．〔5分〕设函数f〔〕=e﹣|n〔﹣〕|的两个零点为1，2，那么〔〕A．12＜0 B．12=1 C．12＞1 D．0＜12＜112．〔5分〕定义在R上的偶函数f〔〕满足f〔1〕=﹣f〔〕，且当∈[﹣1，0]时，，函数，那么关于的不等式f〔〕＜g〔〕的解集为〔〕A．〔﹣2，﹣1〕∪〔﹣1，0〕B．C． D．二、填空题〔每题5分，总分值2021将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕tan210°=．14．〔5分〕向量，，那么向量与的夹角为．15．〔5分〕某教室一天的温度〔单位：℃〕随时间〔单位：h〕变化近似地满足函数关系：，t∈[0，24]，那么该天教室的最大温差为℃．16．〔5分〕假设函数f〔〕=恰有2个零点，那么实数a的取值范围是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17．〔10分〕0＜α＜π，in〔π﹣α〕co〔πα〕=m．〔1〕当m=1时，求α；〔2〕当时，求tanα的值．18．〔12分〕函数f〔〕=的定义域为M．〔1〕求M；〔2〕当∈M时，求1的值域．19．〔12分〕函数f〔〕=2in〔ωφ〕，的最小正周期为π，且图象关于=对称．〔1〕求ω和φ的值；〔2〕将函数f〔〕的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位得到函数g〔〕的图象，求g〔〕的单调递增区间以及g〔〕≥1的取值范围．202112分〕f〔〕=|﹣a|〔a∈R〕．〔1〕假设a=1，解不等式f〔〕＜2；〔2〕假设对任意的∈[1，4]，都有f〔〕＜4成立，求实数a的取值范围．21．〔12分〕函数f〔〕为R上的偶函数，g〔〕为R上的奇函数，且f〔〕g〔〕=og4〔41〕．〔1〕求f〔〕，g〔〕的解析式；〔2〕假设函数h〔〕=f〔〕﹣在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．22．〔12分〕f〔〕=a2﹣2〔a1〕3〔a∈R〕．〔1〕假设函数f〔〕在单调递减，求实数a的取值范围；〔2〕令h〔〕=，假设存在，使得|h〔1〕﹣h〔2〕|≥成立，求实数a的取值范围．2021-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．〔5分〕in〔﹣690°〕的值为〔〕A． B． C． D．【解答】解：in〔﹣690°〕=in〔﹣720210°〕=in30°=，应选：C．2．〔5分〕设集合，B={|＜1}，那么A∪B=〔〕A． B．〔﹣1，1〕∪〔1，2〕C．〔﹣∞，2〕D．【解答】解：={|﹣≤＜2}，B={|＜1}，那么A∪B=〔﹣∞，2〕，应选：C．3．〔5分〕向量=〔3，1〕，=〔，﹣2〕，=〔0，2〕，假设⊥〔﹣〕，那么实数的值为〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵⊥〔﹣〕，∴•〔﹣〕=0，即，∵向量=〔3，1〕，=〔，﹣2〕，=〔0，2〕，∴3﹣2﹣2=0，即3=4，解得=，应选：A．4．〔5分〕a=in153°，b=co62°，，那么〔〕A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：a=in153°=in27°，b=co62°=in28°，＞=1，∴c＞b＞a．应选：D．5．〔5分〕在△ABC中，点E满足，且，那么m﹣n=〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵点E满足，∴===〔﹣〕==mn，∴m=，n=，∴m﹣n=﹣，应选：B6．〔5分〕函数f〔〕=Ain〔ωφ〕，〔A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕，其局部图象如图，那么函数f〔〕的解析式为〔〕A． B．C． D．【解答】解：由图知，A=2，=﹣〔﹣〕=2π，又ω＞0，∴T==4π，∴ω=；又=f〔〕的图象经过〔﹣，2〕，∴×〔﹣〕φ=2π〔∈Z〕，∴φ=2π〔∈Z〕，又0＜φ＜π，∴φ=．∴f〔〕=2in〔〕．应选：B．7．〔5分〕函数的图象〔〕A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于=轴对称D．关于原点轴对称【解答】解：由题意，f〔〕=•ta n，∴f〔﹣〕=•tan〔﹣〕=f〔〕，∴函数f〔〕是偶函数，图象关于轴对称，应选：B．8．〔5分〕为了得到函数=in〔2﹣〕的图象，可以将函数=co2的图象〔〕A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵=in〔2﹣〕=co[﹣〔2﹣〕]=co〔﹣2〕=co〔2﹣〕=co[2〔﹣〕]，∴将函数=co2的图象向右平移个单位长度．应选B．9．〔5分〕不等式|﹣3|﹣|1|≤a2﹣3a对任意实数恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣1]∪[4，∞〕 B．[﹣1，4]C．[﹣4，1]D．〔﹣∞，﹣4]∪[1，∞〕【解答】解：令=|3|﹣|﹣1|当＞1时，=3﹣1=4当＜﹣3时，=﹣﹣3﹣1=﹣4当﹣3≤≤1时，=3﹣1=22 所以﹣4≤≤4所以要使得不等式|3|﹣|﹣1|≤a2﹣3a对任意实数恒成立只要a2﹣3a≥4即可，∴a≤﹣1或a≥4，应选：A．10．〔5分〕将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f〔〕，那么函数f〔〕的图象与函数=2inπ〔﹣2≤≤4〕的图象的所有交点的横坐标之和等于〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意得，f〔〕====，∴函数f〔〕的图象关于点〔1，0〕对称，且函数=2inπ的周期是2，且点〔1，0〕也是的对称点，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象：由图象可知，两个函数在[﹣2，4]上共有8个交点，两两关于点〔1，0〕对称，设其中对称的两个点的横坐标分别为1，2，那么12=2×1=2，∴8个交点的横坐标之和为4×2=8．应选：D．11．〔5分〕设函数f〔〕=e﹣|n〔﹣〕|的两个零点为1，2，那么〔〕A．12＜0 B．12=1 C．12＞1 D．0＜12＜1【解答】解：令f〔〕=0，那么|n〔﹣〕|=e，作出=|n〔﹣〕|和=e在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为1，2且|n〔﹣1〕|＜|n〔﹣2〕|，1＜﹣1，2＞﹣1，故有＞2，即12＜1．又由12＞0．故0＜12＜1应选：D12．〔5分〕定义在R上的偶函数f〔〕满足f〔1〕=﹣f〔〕，且当∈[﹣1，0]时，，函数，那么关于的不等式f〔〕＜g〔〕的解集为〔〕A．〔﹣2，﹣1〕∪〔﹣1，0〕B．C． D．【解答】解：由题意知，f〔1〕=﹣f〔〕，∴f〔2〕=﹣f〔1〕=f〔〕，即函数f〔〕是周期为2的周期函数．假设∈[0，1]时，﹣∈[﹣1，0]，∵当∈[﹣1，0]时，，∴当∈[0，1]时，，∵f〔〕是偶函数，∴f〔〕=，即f〔〕=．∵函数，∴g〔〕=，作出函数f〔〕和g〔〕的图象如图：当﹣1＜＜0时，由=，那么，由选项验证解得=，即此时不等式式f〔〕＜g〔|1|〕的解为﹣1＜＜，∵函数g〔〕关于=﹣1对称，∴不等式式f〔〕＜g〔〕的解为﹣1＜＜或＜＜﹣1，即不等式的解集为〔，﹣1〕∪〔﹣1，〕，应选：D．二、填空题〔每题5分，总分值2021将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕tan210°=0．【解答】解：原式===0，故答案为：0．14．〔5分〕向量，，那么向量与的夹角为12021．【解答】解：∵向量，，设向量与的夹角为θ，那么=11•2•coθ=0，求得coθ=﹣，∴θ=12021故答案为：1202115．〔5分〕某教室一天的温度〔单位：℃〕随时间〔单位：h〕变化近似地满足函数关系：，t∈[0，24]，那么该天教室的最大温差为3℃．【解答】解：由t∈[0，24]得，，那么，所以f〔t〕=，即那么该天教室的最大温差为3℃，故答案为：3．16．〔5分〕假设函数f〔〕=恰有2个零点，那么实数a的取值范围是[，1〕∪[3，∞〕．【解答】解：①当a≤0时，f〔〕＞0恒成立，故函数f〔〕没有零点；②当a＞0时，3﹣a=0，解得，=og3a，又∵＜1；∴当a∈〔0，3〕时，og3a＜1，故3﹣a=0有解=og3a；当a∈[3，∞〕时，og3a≥1，故3﹣a=0在〔﹣∞，1〕上无解；∵2﹣3a2a2=〔﹣a〕〔﹣2a〕，∴当a∈〔0，〕时，方程2﹣3a2a2=0在[1，∞〕上无解；当a∈[，1〕时，方程2﹣3a2a2=0在[1，∞〕上有且仅有一个解；当a∈[1，∞〕时，方程2﹣3a2a2=0在[1，∞〕上有且仅有两个解；综上所述，当a∈[，1〕或a∈[3，∞〕时，函数f〔〕=恰有2个零点，故答案为：[，1〕∪[3，∞〕．三、解答题〔本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17．〔10分〕0＜α＜π，in〔π﹣α〕co〔πα〕=m．〔1〕当m=1时，求α；〔2〕当时，求tanα的值．【解答】解：〔1〕由得：inα﹣coα=1，所以1﹣2inαcoα=1，∴inαcoα=0，又0＜α＜π，∴coα=0，∴．〔2〕当时，．①，∴，∴，∵，∴．②由①②可得，，∴tanα=2．18．〔12分〕函数f〔〕=的定义域为M．〔1〕求M；〔2〕当∈M时，求1的值域．【解答】解：〔1〕由可得，∴﹣1＜≤2，所以M=〔﹣1，2]．〔2〕由，∵∈M，即﹣1＜≤2，∴，∴当2=1，即=0时，g〔〕min=﹣1，当2=4，即=2时，g〔〕ma=17，故得g〔〕的值域为[﹣1，17]．19．〔12分〕函数f〔〕=2in〔ωφ〕，的最小正周期为π，且图象关于=对称．〔1〕求ω和φ的值；〔2〕将函数f〔〕的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位得到函数g〔〕的图象，求g〔〕的单调递增区间以及g〔〕≥1的取值范围．【解答】解：〔1〕由可得，∴ω=2，又f〔〕的图象关于对称，∴，∴，∵，∴．〔2〕由〔1〕可得，∵将函数f〔〕的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移个单位得到函数g〔〕的图象，∴．由，得，故g〔〕的单调递增区间为，∈Z．由g〔〕≥1，可得，∴，∴4ππ≤≤4π，∈Z，即要求的的取值范围为{|4ππ≤≤4π，∈Z }．202112分〕f〔〕=|﹣a|〔a∈R〕．〔1〕假设a=1，解不等式f〔〕＜2；〔2〕假设对任意的∈[1，4]，都有f〔〕＜4成立，求实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=1时，不等式f〔〕＜2，即|﹣1|＜2，即〔|﹣1|﹣2〕＜0，∴①，或②．解①求得0＜＜3，解②求得＜﹣1，故原不等式的解集为{|0＜＜3，或＜﹣1}．〔2〕∵对任意的∈[1，4]，都有f〔〕＜4成立，即|﹣a|＜4恒成立，即|﹣a|＜1．∴，解得，求得2＜a＜6，即实数a的取值范围为〔2，6〕．21．〔12分〕函数f〔〕为R上的偶函数，g〔〕为R上的奇函数，且f〔〕g〔〕=og4〔41〕．〔1〕求f〔〕，g〔〕的解析式；〔2〕假设函数h〔〕=f〔〕﹣在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕因为，…①，∴，∴…②由①②得，，．〔2〕由=．得：，令t=2，那么t＞0，即方程…〔*〕只有一个大于0的根，①当a=1时，，满足条件；②当方程〔*〕有一正一负两根时，满足条件，那么，∴a＞1，③当方程〔*〕有两个相等的且为正的实根时，那么△=8a24〔a﹣1〕=0，∴，a=﹣1〔舍〕时，，综上：或a≥1．22．〔12分〕f〔〕=a2﹣2〔a1〕3〔a∈R〕．〔1〕假设函数f〔〕在单调递减，求实数a的取值范围；〔2〕令h〔〕=，假设存在，使得|h〔1〕﹣h〔2〕|≥成立，求实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕①当a=0时，f〔〕=﹣23，显然满足；②，③，综上：．〔2〕存在，使得|h〔1〕﹣h〔2〕|≥成立即：在上，h〔〕ma﹣h〔〕min≥成立，因为，令，那么，．〔i〕当a≤0时，g〔t〕在单调递减，所以，等价于，所以a≤0．〔ii〕当0＜a＜1时，，g〔t〕在上单调递减，在上单调递增．①当时，即，g〔t〕在单调递增．由得到，所以．②当时，时，g〔t〕在单调递减，由得到，所以．③当，即时，，最大值那么在g〔2〕与中取较大者，作差比拟，得到分类讨论标准：a．当时，，此时，由，得到或，所以．b．当时，，此时g〔t〕ma=g〔2〕，由，得到，所以此时a∈∅，在此类讨论中，．c．当a≥1时，g〔t〕在单调递增，由，得到，所以a≥1，综合以上三大类情况，a∈〔﹣∞，]∪[，∞〕．。