摘要：从有小角度偏转的平行板电容器电容计算出发,用解析课件.ppt

• 通过取对数 变换，加上 边界之条件， 我们同样可 以得到：
u1 C ln R1 u2 C ln R2
vv12

0
C 2
• 从图六可看出,此变换将z平面上原来的圆弧形电容器 映射为了在ω平面上与v轴平行的平行板电容器,由此 可求得此平行板电容器板间距离和长度：
•
L1 L2 d h
L1
d
（12）
• 解得：
•
ln L1 L2 ln d h h 1 ( h )2 （13）
L1
d d 2d
• 按泰勒级数展开,取前两项,然后将（12）式代入式
（10）就得到:
•
C 0ab (1 h )
（14）
h 2d
• （13）式的结果与文献[1]结果相同,可以看出此种解 法的正确性。
• 由于对称性，我们只考虑二维平面。
• 将三维空间C1简化为二维为平面ω，将三维 空间C2简化为二维为平面z。
• 设：z平面的复数 z x iy rei（15）
• ω平面的复数 w u iv （16）
• 令： w w(z) ;u u(x, y) ; v v(x,y) （17）
• 注：参考文献[1]----《物理学难题集》（增 订本） 舒幼生 胡望雨 陈秉乾 高等教育出 版社
•
• 如图：设两块导体平 板长为L2，宽为L，两 板的延长线交于O点， 板的另一端与O相距 L1，两平板延长线夹 角为α，两板电势分别 为U1、U2（U1＞ U2）。由于对称性建 立如图所示的二维极 坐标系。
（3） （4） （5）
• 最后解得：
•
U C1 C2
• 代入初始条件：
（6）
0,U U1; ,U U2
• 最终解得：
•
U
U1
U1
U2


（7）
• 由电场与电势的关系，我们又得到：
•
•E

U

( U r
er

1 r
U

e
)

U1 U2
(U1
U2)

L1 L2 L1
1 r
dr
L 0
(U1
U2

)
ln
L1
L2 L1
•
（10）
• 最终求出：
•
C Q Q L0 ln L1 L2
U U1 U2
L1
（11）
• 若按参考文献[1]假设的 • 两板长与宽分别为a， • b，一对边距离为d， • 另一边为距离为 • （d+h），则α=h/a, • 由于α很小,故d>>h， • 所以由三角形相似性：
注意到两板之间（n=1，2，……）平分
面均过原点，由空间的无限可分性原理，
对于任意的θ=θ0平面，总有一系列的使
得：
0

i 1
1 2ki
E(r, ) Er e
• 所以我们可以认为，两极板所夹任意的过原点 的平面均为等势面。
• 即电场强度的大小仅与离原点的距离r有关， 其方向垂直于r，且θ=θ0平面的电势相等。进 一步，我们有：
• 比较（24）式与（11）式，由于变换前后,两极板 间的电压和极板上所带电量不变,只是两极板间的 空间被扭曲了，所以在变换后平行板电容器的电 容值即为变换前的非平行板电容器的电容值。
• 对于非平行板电容器所夹空间，这种空间映射的 原理确实正确，但对其它类型的电容器呢？为此， 我们尝试用这方法求解同轴柱面电容器的电容值。 由于对称性，我们同样只考虑二维平面，建立如 图五所示的二维极坐标系，同上面一样 。
• 摘要：从有小角度偏转的平行板电容器电 容计算出发，用解析函数的性质计算几种 非平行板电容器电容及电场分布，并用保 形变换进行空间的伸张和扭曲，最后对结 果进行讨论。
• 关键词：非平行板电容器、电容器、电容、 电场强度、空间变换、保形变换。
• 参考文献[1]给出了有小角度偏转的平行板 电容器电容的计算方法，本文用解析函数 的性质计算出一般的非平行板电容器电容 及电场分布，并用保形变换进行空间的伸 张和扭曲，最后对结果进行讨论。
•
d v2 v1 C
（23）
• •
l

u2

u1
ClnL1来自 L2 L1（24）
• 由于两空间的第三维未变换，即原非平行板电容器
的宽度L在变换后没有改变。所以，ω平面上的平行
板电容器的电容为：
•
C 0 S 0 Ll 0 L ln L1 L2 （25）
d d
L1
• 为求解两极板间的电场分 布，我们可以设两板的宽 度L很大，而且可以忽略 边缘效应，由电荷分布对 称性原理可以知道,在两板 的角平分面（平面A）， 每一点的电场强度都应该 与之垂直，且该面为一个 等势面。
• 根据对称性原理，两板之间（n=1，
2，……）角平分面上的电场强度方向均
垂直于该面，且该面也为等势面。我们
•
•
E(r, ) Er e
（1）
• •
U (r, ) U
（2）
• 由于电势的连续性，对在全平面解析，有：
•
•
2U r 2
1 U r r

1 r2
2U
2
0
• 由（2）式知：
• 故： •
U 2U 0 r r2
• 解得：
1 2U 0
r 2 2
r
e
（8）
• 我们作一高斯面，它的小底面△S取在r处的导体板 内，侧面为电场线围成的弯曲柱面，另一小底面 △S也与弯曲柱面垂直。显然，由高斯定理可得：
•
r
0E

U1 U2
r
0
（9）
• 所以，板导体带电：
• dS L1L2
•L1
r
L
dr L1L2
L1
r
L 0
• 取对数函数作映射函数：即：
•
w C ln z(C R ) （18）
• 将（15）式代入即得：
•
w(z) C ln r iC
• 比较（17）式即得：
•
•
u C ln r
v C
（19） （20）
• 从图四可看出,此变换将z平面上原来的非平行板电容 器映射为了在ω平面上与u轴平行的平行板电容器,由 此可求得此平行板电容器板间距离和长度：
• 由解出（7）式发现电势仅与角度 θ有关，与到原点的距离r无关；由 解出（8）式发现的电场强度只与r 成反比，方向垂直于r。
• 对比平行板电容器，不难发现，如 果将平行板电容器两极板空间C1 的一端压缩，以压缩后的两板延长 线（由于对称性，我们只考虑二维 平面）交点为原点建立图一所示的 二维极坐标系，则压缩后的空间 C2即为非平行板电容器两极板的 空间。