解三角形的实际应用举例

＝900， ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝3300＝1(小时)． 故救援船到达 D 点需要 1 小时．
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第三章 三角函数
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1．解三角形的一般步骤
注：还可以用向量法求解.
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第三章 三角函数
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解三角形的实际应用举例
第二课时
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第三章 三角函数
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探究点二 ：测量高度问题
测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯
角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把
立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．
2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
分析：本题解决的关键是什么？ 分布在哪个三角形中？能直接利 用正、余弦定理求解吗？若不能， 则需要在哪几个三角形中先求出 哪几条边的长度？
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第三章 三角函数
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解析： 在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，
CD＝6 000 m，∠ACD＝45°， 根据正弦定理 AD＝CDsinsin604°5°＝
量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的
距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A、B 两点的
距离为 ( A )
A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D．252 2 m
解析 由题意知∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACABC＝sin∠ABACB，
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第三章 三角函数
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∴AC＝sinasαin－ββ. 在 Rt△ACB 中，AB＝AC·sin α＝sinasαin－ββsin α. 方法二：在 BC 的延长线上找一点 D，使得在 D 点测得仰角∠ADB ＝α2. 又测得 DC 的长为 m. 在△ADC 中，∠ADC＝α2， ∠DAC＝α－α2＝α2. ∴DC＝AC＝m，
由sinAB15°＝sinAD45°，得
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2
2 2
＝800(
3＋1)(m)．
4
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800( 3＋1)(m)．
故山高 CD 为 800( 3＋1)m.
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探探究要点点、三究所：与方向有关的实际问题
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第三章 三角函数
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探究点二 ：测量高度问题 【变式训练】A、B是海平面上的两个点，相距
800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝ 120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到 水平面的垂足，求山高CD.
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第三章 三角函数
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解析： 在△ABD 中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
则xy11＝ ＝1x15＝21t5sti.n 45°＝15t，
由
tan
θ＝12可得，cos
θ＝25 5，sin
θ＝
5 5.
故 xy22＝ ＝1100
5tsin θ＝10t， 5tcos θ－40＝20t－40.
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第三章 三角函数
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(1)令 t＝3，P、Q 两点的坐标分别为(45,45)、(30,20)， |PQ|＝ 45－302＋45－202＝ 850＝5 34， 即出发后 3 小时两船相距 5 34海里． (2)由题意得： |PQ|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 10t－15t2＋20t－40－15t2 ＝ 50t2－400t＋1 600＝ 50t－42＋800≥20 2， ∴当且仅当 t＝4 时，|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4 小时时距离最近，最近距离为 20 2海里．
探究点一 ：测量距离问题
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6o20，AC长为1.40m，计算BC的长度（结果精确到
0.01m）．
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
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第三章 三角函数
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布置作业
1、书面作业：课本P61练习2第1 （3）（4）题和第2题
2、检查作业：
（1）步步高《40分钟课时训练》
（2）学业水平测试题A卷
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第三章 三角函数
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解析： 以 A 为原点，BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角
坐标系．
设在 t 时刻甲，乙两船分别在 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
解三角形的实际应用举例
第一课时
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第三章 三角函数
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基础知识回顾
1、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
从中你能学到ຫໍສະໝຸດ Baidu值 23CD， 运算的技巧吗？
在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，
CD＝6 000 m，∠BCD＝30°，
根据正弦定理
BD＝CsDinsi1n3350°°＝
2 2 CD.
又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，
根据勾股定理有
AB＝ AD2＋BD2＝ 23＋12CD＝1 000 42(m)，
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
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第三章 三角函数
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探究点二 ：测量高度问题
方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β.
在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， ∴BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝sibn·sβin＋βγ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝bs·sininββ＋tanγα.
如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的 底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，
现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子 (可以测量地面上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点 测得仰角∠ACB＝α，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测
时两船之间的距离是________n mile.
解析： 如图，由题意可得 OA＝50，
OB＝30.
而 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 120°
＝502＋302－2×50×30×－12 ＝2 500＋900＋1 500＝4 900，∴AB＝70.
答案： 70
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第三章 三角函数
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变式训练 1（2） 如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测
(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
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第三章 三角函数
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课时小结
解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意． 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语 如坡度、仰角、俯角、方位角等．
(2)根据题意画出示意图． (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理 用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中 要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
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第三章 三角函数
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以4人小组为单位，讨论你 们的设计方案.
解析： 方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D，
在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a.
在△ADC 中∠DAC＝α－β，
在△ADC 中，由正弦定理得sAinCβ＝sinDαC－β，
实际所需电线长度约为 1.2AB≈7 425.6(m)．
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第三章 三角函数
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课外探究 如图所示，甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作
匀速直线航行，速度为 15 2海里/小时，在甲船从 A 岛出发的同
时，乙船从
A
岛正南
40
海里处的
B
岛出发，朝北偏东
θtan
θ＝12
的方向作匀速直线航行，速度为 10 5海里/小时．
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探究点一 ：测量距离问题 求距离问题要注意：
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有 未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，
就选择更便于计算的定理．
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第三章 三角函数
栏目导引
解三角形实际应用举例
＝ sin
53＋ 3·sin 45°cos 60°＋cos
45° 45°sin
＝5 60°
33＋3＋1 1＝10
3(海里)．
2
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第三章 三角函数
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探探然究要点点、三究：所与方向有关的实际问题
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20 3(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12
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第三章 三角函数
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【思考探究】如何用方位角、方向角 确定． 一点的位置？
提示：利用方位角或方向角和目标与观 测点的距离即可唯一确定一点的位置
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第三章 三角函数
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4、坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面与垂直高度 h和水平宽度l的比叫坡度
i
h l
tan
a
h
a
l
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第三章 三角函数
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571
BC 1.89(m)
答：顶杠BC长约为1.89m.
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第三章 三角函数
B
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变式训练1（1）轮船A和轮船B在中午12时同时
离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的
航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2
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第三章 三角函数
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探要点、究所
探然究点三 ：与方向有关的实际问题
解 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB， ∴DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin310·s5i°n 45°
最大角度
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第三章 三角函数
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实例讲解
分析：这个问题就是在ABC
C
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
BAC 60 620' 6620'
1.40m
求BC的长，由于已知 ABC
的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得
60
A
620'
1.95m
BC2 AB2 AC2 2AB ACcos A
∴AB＝ACsi·nsi∠n∠ABACCB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
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第三章 三角函数
栏目导引
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
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第三章 三角函数
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
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第三章 三角函数
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【思考探究】 仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示： 三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的． 3．方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
例然4 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 3( 3＋1) 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北 偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点 南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船 立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援 船到达 D 点需要多长时间？