高中数学《必修2》立体几何知识点及解题思路

第一章 空间几何体

一、常见几何体的定义

能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。

二、常见几何体的面积、体积公式

1.圆柱：侧面积rl cl S π2==侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆柱的母线，也是高）

表面积)(2222l r r r rl S S S +=⋅+=+=πππ底侧表

h r sh V 2π==柱体

2.圆锥：侧面积rl cl S π==

2

1侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆锥的母线） 表面积)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底侧表 h r sh V 23

131π==椎体 3.$

4.圆台：侧面积l R r l

R r S )(2

)22(+=+=πππ侧 （其中r 、R 是上下底面半径，l 是圆台的母线） 表面积)()(2222R r Rl rl R r l R r S S S +++=+++=+=ππππ底侧表

h S S S S V )(3

1''++=台体 （其中'S 、S 是上下底面面积，h 是圆台的高） 5.球：表面积24R S π=表，体积33

4R V π=球 三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。

画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行，长度不变；

与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，但是长度减半。

四、三视图

1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。

`

①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。

③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。

2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；

侧视图：光线从左向右的正投影；

俯视图：光线从上向下的正投影。

三视图的性质：

侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系 一、立体几何中的公理与基本关系

&

1.平面公理：

公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。

推论3：两条平行直线确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】

2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

3.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形。

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4.点、线、面之间的位置关系的表示方法：

①点A 在直线l 上，记作 ，点A 不在直线l 上，记作 ；

②点A 在平面α内，记作 ，点A 不在平面α内，记作 ；

③直线l 在平面α内，记作 ，直线l 不在平面α内，记作 ； ④直线l 与平面α相交，记作 ，直线l 与平面α平行，记作 ； ⑤平面α与平面β平行，记作 ，平面α与平面β相交，记作 。

二、线面间的位置关系

1.线线间的位置关系：相交、平行、异面。

①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②异面直线所成的角：过空间任意点O 分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角或直角。异面直线所成的角的取值范围是(0,90]α∈。

2.…

3.线面间的位置关系：平行，相交，线在面内。【线在面外是指：平行或相交。】

3.面面间的位置关系：平行、相交。【注：垂直是相交的一种特殊情况。】

三、平行关系

1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。

2.线面平行

①定义：直线a 与平面α没有公共点，叫做直线a 与平面α平行，记作：//a α。 ②判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号语言：若,,//a b a b αα⊄⊂，则//a α。

③性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若//,,a a b αβα

β⊂=，则//a b 。 `

3.面面平行

①定义：平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记作//αβ。

②判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号语言：若,,,//,//a b a b p a b ββαα⊂⊂=，则//αβ。

③性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号语言：若//,,a b αβα

γβγ==，则//a b 。

四、垂直关系

1.线线垂直：若两条直线的夹角为90°，则称为两直线垂直。

2.线面垂直

①定义：若直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直；记作：l α⊥。

~

②判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言：若,,,,l m l n m n m n P αα⊥⊥⊂⊂=，则l α⊥。

③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言：若,m n αα⊥⊥，则//m n 。

3.面面垂直

①定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。记作：αβ⊥。 ②判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号语言：若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥。

③性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言：若,,,m m l l αβαα

β⊥⊂⊥=，则m β⊥。 `

四、空间中的角

1.线线角：线线角的范围[0,90]α∈。

2.线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围[0,90]α∈。

3.面面角：

【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围[0,180]α∈。

【二面角的平面角】在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的垂线OB OA 和，则射线OB OA 和所成的角AOB ∠叫做二面角的平面角。注：二面角的大小等于它的平面角的大小。

五、空间的距离（略）

【常见题型与思路】

【一、平行的证明方法】

1.线线平行的证明方法：

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①平行线的传递性：若//,//a b a c ，则//b c 。

②平行四边形：平行四边形的对边平行。

③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。

④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若//,,l l m αβαβ⊂=，则//l m 。

⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。

符号语言：若//,,m n αβαγβγ==，则//m n 。

⑥垂直于同一平面的两条直线平行。

符号语言：若,m n αα⊥⊥，则//m n 。

2.线面平行的证明方法：