初中圆垂径定理

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∴是⊙的切线 2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件 就能推出最后一个。 十、切线长定理
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【巩固练习】
一. 选择题:
1. ⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,
则P点 [ ]
A.在⊙O内或圆周上
B.在⊙O外
C.在圆周上
D.在⊙O外或圆周上
2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5,最小距离为1,则圆的半径为
[ ]
A、2或3
B、3
初中圆复习
五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另 一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中 2个即可推出其它3个结论,即: ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧 弧中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
A. 相交
B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置
关系是______________.
3.正多边形和圆的有关计算 【例6】 已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面 积. 4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 【例7】 如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相 切于点E,则阴影部分的面积为
(l)求证: AD=DC; (2)求证: DE是⊙的切线; (3) 如果OE=EC,请判断四边形OED是什么四边形,并证明你的结 论.
考点一:与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中准确
理解与圆有关的概念,注意分清它们之间的区别和联系.
1.运用圆与角(圆心角,圆周角),弦,弦心距,弧之间的关系进行
即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧
六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的
弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只 要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①;②;
③;④ 弧弧
七、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线长与底
面半径长的比是
.
考点二:圆中计算与证明的常见类型
1.利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是:直径、平分、过圆心,它们在圆
内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等,从而可以应用相关定理
完成其论证或计算.
(1) AC是⊙O的切线.(2)若AD∶DB=3∶2,AC=15,求⊙O的直 径.(12分)
17.如图11,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上, 弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE·PO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2) 若OE∶EA=1∶2, PA=6,求⊙O的半径;(3)求sinPCA的值.(12分)
; (2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和
十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;
(2)正四边形 同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形 同理,六边形的有关计算在中进行,.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:;
是直角三角形。 即:在△中,∵
∴△是直角三角形或 注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的 内对角。即:在⊙中,
∵四边是内接四边形 ∴
九、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵且过半径外端
即:∵、是的两条切线 ∴;平分
十一、圆幂定理 1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即: 在⊙中,∵弦、相交于点, ∴ 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条
线段的比例中项。即: 在⊙中,∵直径, ∴
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项。
求AB的长和∠ECB的正切值. 21.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,E 为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,求证: (l)AC是⊙D的切线;
(2)AB+EB=AC.
22.如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙;与⊙O的弦AC相交于 D, DE⊥OC,垂足为E.
解题
【例1】 已知:如图所示,在△ABO中,∠AOB=90°,∠B=25°,以O为
圆心,OA长为半径的圆交AB于D,求弧AD的度数.
【例2】 如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOC=100°,则∠ABC的度数
为( ).
A. 30°
B. 45° C. 50° D. 60°
2.利用圆的定义判断点与圆,直线与圆、圆与圆的位置关系
图10 图11
18.如图,⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C, 弦DF//AC交 BC于C.
(1)求证:;
(2)若CF=AE.求证:△ABC为等腰三角形. 图12
19.如图12,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上, ∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD; (2) 若BC=3,sinP=,求⊙O的直径。 20.如图13,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直 线,∠PAC=∠B. (l)求证:PA是⊙O的切线; (2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,CE:ED= 6:5,AE:EB=2:3,
即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴ 2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆
周角所对的弧是等弧; 即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙中,∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形
理.
【例2】
如图,在⊙O的内接△ABC中,CD是AB边上的高,求证:
∠ACD=∠OCB.
3.利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示 了确定四点共圆的方法.
【例3】 如图,四边形ABCD为圆内接四边形,E为DA延长线上一点,若 ∠C=45°,AB=,则点B到AE的距离为________. 4. 判断圆的切线的方法及应用
线.
【例5】 如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长 为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相 切.
【例6】 如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧
上一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP是半圆O的切 线.
4如图2,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若 ∠AOD=60°,则∠DBC的度数为 _ N _ M _ B _ A
_
_ P _ O 5.与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______. 6.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它的外接圆半径 R=______,内切圆半径r=______. 7.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为6,以3为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是 . 8.PA、 PB是⊙O的切线,切点是A 、B,∠APB=50°,过A作⊙O直径 AC,连接CB,则∠PBC=______. 9.如图4,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于P,则CD∶AB等于 A.sinBPC B.CosBPC C.TanBPC D.cotBPC 10.如图5,点P为弦AB上一点,连结OP,过PC作PC⊥OP,PC交⊙O 于C,若AP=4, PB=2,则PC的长是
(2)扇形面积公式: :圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图
= (2)圆柱的体积:
3、圆锥侧面展开图 (1)= (2)圆锥的体积:
十六、内切圆及有关计算。 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距
离相等。 (2)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的
半径r= 。 (3)S△ABC=,其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。 (4)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是
圆的弦。
如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角, ∠DBE=∠A。 \
BE O AD
练习题 1.若⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的 位置关系是( ) A.点A在圆内 B.点A在圆上 c.点A在圆外 D.不 能确定 2.已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是 3.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B 为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则求PA+PB的最小值
【例1】 在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为
1∶5两部分,AB=6,则弦CD的长为
.
A. 2
B. 4
C. 4
D. 2
2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理,在解与圆有关的
问题时,常常添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定
A.Biblioteka Baidu
B.2 C.2
D.3 11.圆的最大的弦长为12 cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距 离为d,那么 A、d<6 cm B、6 cm<d<12 cm C.d≥6 cm D.d>12 cm 12.如图6,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切 线,P为切点,设AB=12,则两圆构成圆环面积为______.13.如图 7,PE是⊙O的切线,E为切点,PAB、PCD是割 线,AB=35,CD=50,AC∶DB=1∶2,则PA=______.
判断圆的切线的方法有三种: (1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;
(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切 线;
(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】 如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=,D是线段BC的中点. ( 1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由. (2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切
【例3】 已知⊙O的半径为3cm,A为线段OM的中点,当OA满足:
(1)当OA=1cm时,点M与⊙O的位置关系是
.
(2)当OA=1.5cm时,点M与⊙O的位置关系是
.
(3)当OA=3cm时,点M与⊙O的位置关系是
.
【例4】 ⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位
置关系是( ).
14.如图8,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C 在⊙O上,∠CAB=30°,求证:DC是⊙O的切线.
15 如图,AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线,⊙C与⊙D相外切,⊙C 的半径r=2,⊙D的半径R=6,求四边形ABCD的面积。 16.如图10,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平 分AC于E,求证:
即:在⊙中,∵是切线,是割线 ∴
3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等(如右图)。
即:在⊙中,∵、是割线 ∴
十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共
弦。如图:垂直平分。 即:∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分
十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1) 公切线长:中,